Đang tải... (xem toàn văn)
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ——————————— PHẠM VĂN HIỂN MỘT SỐ BÀI TOÁN CAUCHY CHỨA KÌ DỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành Toán Giải Tích Mã số 62 46 01 02 LU[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ———————————- PHẠM VĂN HIỂN MỘT SỐ BÀI TỐN CAUCHY CHỨA KÌ DỊ TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Bích Huy Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 luan an LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình khoa học tơi hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Bích Huy Các kết viết luận án hoàn tồn trung thực chưa cơng bố tác giả khác Nghiên cứu sinh Phạm Văn Hiển luan an Mục lục LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU 0.1 Sử dụng dãy lặp nghiên cứu toán 0.2 Sử dụng ánh xạ co nghiên cứu toán 10 0.3 Sử dụng tính compact nghiên cứu toán 11 Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Các định lý điểm bất động 1.2 Không gian với thứ tự sinh nón 1.3 Ánh xạ co theo họ nửa chuẩn 1.4 Độ đo phi compact ánh xạ cô đặc 1.5 Một số kiến thức khác Chương SỬ DỤNG DÃY LẶP TRONG NGHIÊN CỨU BÀI TỐN 2.1 Bài tốn với kì dị yếu 2.2 Phương trình bậc phân thứ với kì dị yếu 2.2.1 Các khái niệm 2.2.2 Sự tồn nghiệm 2.3 Kỹ thuật lặp đơn điệu 2.4 Bài tốn có chậm Chương SỬ DỤNG ÁNH XẠ CO TRONG NGHIÊN BÀI TỐN 3.1 Bài tốn với điều kiện Lipschitz địa phương 3.2 Bài tốn có chậm 3.2.1 Sự tồn nghiệm toán tổng quát 3.2.2 Bài toán áp dụng 3.3 Bài toán miền vô hạn luan an 14 14 15 17 18 20 22 22 28 28 29 32 38 42 42 46 46 49 54 CỨU Chương SỬ DỤNG TÍNH COMPACT TRONG NGHIÊN CỨU BÀI TỐN 4.1 Xây dựng khơng gian Fréchet độ đo phi compact cho toán 4.2 Bài toán Cauchy khơng có chậm 4.3 Giải tốn có chậm 4.4 Cấu trúc tập nghiệm lớp tốn Cauchy thang khơng gian Banach 4.4.1 Bài tốn khơng gian nghiệm 4.4.2 Một số bổ đề cần thiết 4.4.3 Cấu trúc tập nghiệm 56 57 60 65 70 70 73 77 KẾT LUẬN 82 Danh mục cơng trình tác giả 84 Tài liệu tham khảo 84 luan an MỞ ĐẦU Các trình Tự nhiên Xã hội phụ thuộc vào thời gian t thường mô tả phương trình vi phân với điều kiện đầu (hay toán Cauchy) sau: u0 (t) = f (t, u(t)), t ∈ [0, T ), u(0) = u0 , (1) u : [0, T ] → X ẩn hàm, f : [0, T ] × X → X hàm biết, thỏa mãn số điều kiện X không gian vectơ tôpô Nghiệm toán theo nghĩa cổ điển (hay nghiệm mạnh) hàm u ∈ C([0, T ], X) ∩ C ((0, T ), X) thỏa mãn (1) Ban đầu, toán (1) nghiên cứu với X khơng gian hữu hạn chiều Khi (1) phương trình vi phân thường Peano chứng minh tồn nghiệm f hàm liên tục; Picard khẳng định tồn nghiệm f liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức kf (t, u) − f (t, v)kX ≤ Cku − vkX (2) Các phương trình đạo hàm riêng dạng parabolic hyperbolic đưa tốn (1) với X khơng gian Banach không gian Fréchet (khi cần xét tồn nghiệm khoảng thời gian vô hạn) Khi định lý Picard đúng; định lý Peano f liên tục thỏa mãn thêm điều kiện có liên quan tới tính compact, ví dụ điều kiện "cô đặc" độ đo phi compact α không gian X , dạng α f (t, B) ≤ Cα(B), B ⊂ X tập bị chặn (3) Nếu vế phải (1) hàm liên tục tốn tương đương với tốn tìm hàm u ∈ C([0, T ], X) thỏa mãn Z t u(t) = u0 + f (τ, u(τ ))dτ := F u(t) (4) Phương trình (4) xác định ánh xạ F : C([0, T ], X) → C([0, T ], X) điểm bất động F nghiệm tốn (1) ban đầu Có hai phương pháp luan an để tìm điểm bất động ánh xạ F Ở phương pháp thứ nhất, điểm bất động tìm giới hạn dãy lặp sau: u0 (t) = u0 , un+1 (t) = F un (t), ∀t ∈ [0, T ] Phương pháp thứ hai sử dụng định lý điểm bất động: Định lý ánh xạ co Banach f thỏa mãn điều kiện Lipschitz, Định lý Schauder hay mở rộng Định lý Darbo–Sadovskii f thỏa mãn điều kiện tính compact Trong luận án chúng tơi xét lớp tốn Cauchy chứa kì dị Đó tốn Cauchy (1) họ (cũng gọi thang) không gian Banach (Xs , k.ks ), s ∈ [a, b] thỏa mãn Xs0 ⊂ Xs , kxks ≤ kxks0 , ∀x ∈ Xs0 , s < s0 Tính kì dị thể chỗ ánh xạ f không tác động từ khơng gian vào mà vào không gian rộng f (t, Xs0 ) ⊂ Xs , s < s0 , thỏa mãn điều kiện Lipschitz dạng C ku − vks0 , u, v ∈ Xs0 , s < s0 −s (5) C αs0 (B), B ⊂ Xs0 bị chặn, s < s0 , −s (6) kf (t, u) − f (t, v)ks ≤ s0 điều kiện cô đặc dạng αs f (t, B) ≤ s0 αs độ đo phi compact Kuratowski Xs Các nhà toán học L.Ovcyannikov T.Yamanaka người sử dụng thang không gian Banach nghiên cứu mở rộng định lý Cauchy— Kowalevskaya cho hệ phương trình đạo hàm riêng [44, 45, 54, 55] Trong [44, 45] tác giả xét toán n ∂u X ∂u = + a0 u ≡ Lu(t, x), u(0, x) = u0 (x) ∂t ∂xi (7) i=1 Họ xây dựng thang không gian Banach sau Với số dương s, đặt Xs khơng gian hàm giải tích cầu mở Bs = {x ∈ Rn : kxk < s} liên tục Bs với chuẩn: kuks = X sk k∈N k! sup |Dα u(x)| < ∞, x∈Bs |α|=k luan an α = (α1 , , αn ) ∈ Nn đa số |α| = α1 + + αn Ta chứng minh kuxi ks ≤ s0 C kuks0 , ∀ < s < s0 , i = 1, , n −s Và kLuks ≤ s0 C kuks0 , < s < s0 −s (8) Sử dụng đánh giá giả thiết u0 ∈ Xb , tác giả chứng minh tồn nghiệm (7) thỏa mãn b−s u(t) ∈ Xs với t ∈ 0, , 0 0, β = Bài toán (12) xét thang không gian Banach (Es ) E.A Barkova P.P Zabreiko nghiên cứu [8] phép nhúng Es0 ,→ Es , s < s0 compact [9] f thỏa mãn điều kiện Lipschitz (11) với p = α Khi tốn có tính kì dị yếu, tức p < α chứng minh tồn nghiệm toàn cục Xây dựng dãy lặp đơn điệu sử dụng nhiều nghiên cứu toán Cauchy không gian riêng lẻ (xem [28] tài liệu tham khảo đó) Chúng tơi sử dụng kỹ thuật để nghiên cứu toán Cauchy thang khơng gian Banach có thứ tự Sử dụng giả thiết tồn cặp nghiệm trên, nghiệm kết hợp tính chất đặc biệt thứ tự giả thiết tính đơn điệu dạng f (t, u) − f (t, v) ≥ − s0 C (u − v), u, v ∈ Xs0 , s < s0 , −s chứng minh tồn nghiệm Theo hiểu biết chúng tơi kết toán Cauchy thang khơng gian Banach có thứ tự Một số phương trình đạo hàm riêng dạng cụ thể có chậm thang khơng gian (tuy chưa làm bật tính kì dị toán ) xét [4, 36, 37, 56] Theo hiểu biết chúng tôi, tốn có chậm thang khơng gian Banach trừu tượng chưa nghiên cứu Trong chương luận án, chúng tơi xét tốn có chậm sau: du = f (t, u(t), u(h(t))), t ∈ (0, 1), u(0) = u0 dt (13) yếu tố chậm h : [0, 1) → [0, 1) hàm liên tục thỏa mãn h(t) < t1/p , t ∈ (0, 1) p ∈ (0, 1) Chúng phát rằng, xuất yếu tố chậm theo thời gian cho phép chúng tơi xét "kì dị mạnh" Cụ thể, vế phải tốn (13) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai iu kin Hăolder theo bin th ba: kf (t, u1 , v1 )−f (t, u2 , v2 )ks ≤ C p 0 +kv1 −v2 k , u1 , u2 , v1 , v2 ∈ Xs0 , s < s ku −u k s s s0 − s Hơn nữa, trường hợp vế phải không phụ thuộc biến thứ hai thỏa mãn điều kiện kf (t, v1 ) − f (t, v2 )ks ≤ (s0 C kv1 − v2 kps0 , v1 , v2 ∈ Xs0 , s < s0 , − s)γ luan an ... lý ánh xạ co Banach f thỏa mãn điều kiện Lipschitz, Định lý Schauder hay mở rộng Định lý Darbo–Sadovskii f thỏa mãn điều kiện tính compact Trong luận án xét lớp tốn Cauchy chứa kì dị Đó toán Cauchy. .. 4.4 Cấu trúc tập nghiệm lớp toán Cauchy thang không gian Banach 4.4.1 Bài tốn khơng gian nghiệm 4.4.2 Một số bổ đề cần thiết ... bất động ánh xạ F (được định nghĩa (4)) ta cần "tính chất co" F dãy lặp Trong luận án, xây dựng dãy lặp để nghiên cứu lớp tốn Cauchy thang khơng gian Banach: • Bài tốn với kì dị yếu • Bài tốn