(LUẬN văn THẠC sĩ) thiết lập điều kiện xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ α không giãn suy rộng trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NCKH CỦA SINH VIÊN NĂM 2018-2019 THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN XẤP XỈ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ α - KHÔNG GIÃN SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH Mã số: SPD2018.02.58 Chủ nhiệm đề tài: Nguyễn Kim Ngoan Lớp: ĐHSTOAN15B Giảng viên hướng dẫn: ThS Nguyễn Trung Hiếu Đồng Tháp, 6/2019 download by : skknchat@gmail.com i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN XẤP XỈ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ α- KHÔNG GIÃN SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH Mã số: SPD2018.02.58 Giảng viên hướng dẫn Chủ nhiệm đề tài ThS Nguyễn Trung Hiếu Nguyễn Kim Ngoan Xác nhận Chủ tịch hội đồng TS Lê Hoàng Mai Đồng Tháp, 6/2019 download by : skknchat@gmail.com MỤC LỤC Thông tin kết nghiên cứu iv Summary vi Mở đầu 1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài nước Tính cấp thiết đề tài 3 Mục tiêu nghiên cứu 4 Cách tiếp cận Phương pháp nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nội dung nghiên cứu Ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach 1.1 Không gian Banach lồi 1.2 Ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach Xấp xỉ điểm bất động ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach lồi 17 ii download by : skknchat@gmail.com iii 2.1 Xấp xỉ điểm bất động ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach lồi dãy S-lặp 2.2 17 Xấp xỉ điểm bất động ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach lồi dãy P-lặp Kết luận kiến nghị 28 40 Kết luận 40 Kiến nghị 41 Phụ lục 46 download by : skknchat@gmail.com iv BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Độc lập - Tự - Hạnh phúc TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN Thông tin chung: - Tên đề tài: Thiết lập điều kiện xấp xỉ điểm bất động ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach - Mã số: SPD2018.02.58 - Chủ nhiệm đề tài: Nguyễn Kim Ngoan - Thời gian thực hiện: 7/2018 đến 6/2019 Mục tiêu: - Thiết lập số điều kiện xấp xỉ điểm bất động ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach lồi - Xây dựng ví dụ minh họa cho việc xấp xỉ điểm bất động ánh xạ αkhông giãn suy rộng khơng gian Banach lồi Tính sáng tạo: - Những dãy lặp đề xuất đề tài - Điều kiện đủ cho hội tụ yếu hội tụ dãy lặp đến điểm bất động, điểm bất động chung ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach lồi Kết nghiên cứu: - Xây dựng hai dãy lặp để xấp xỉ điểm bất động hai ba ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach - Thiết lập chứng minh số kết tồn xấp xỉ điểm bất động hai ba ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach lồi - Thiết lập chứng minh số kết xấp xỉ điểm bất động ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach lồi - Xây dựng ba ví dụ minh họa cho việc xấp xỉ điểm bất động hai ba ánh xạ α-không giãn suy rộng download by : skknchat@gmail.com v Sản phẩm: - Một báo khoa học đăng tạp chí khoa học Đại học Đồng Tháp thảo gửi xét đăng - Báo cáo khoa học vấn đề xấp xỉ điểm bất động ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach Phương thức chuyển giao, địa ứng dụng, tác động lợi ích mang lại kết nghiên cứu: - Báo cáo tổng kết đề tài tài liệu tham khảo cho giảng viên sinh viên Khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp học tập, giảng dạy nghiên cứu khoa học - Kết đề tài góp phần làm phong phú thêm kết xấp xỉ điểm bất động điểm bất động chung ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach - Việc nghiên cứu đề tài góp phần nâng cao chất lượng học tập nghiên cứu khoa học sinh viên; từ đó, góp phần nâng cao chất lượng đào tạo Trường Đại học Đồng Tháp nói chung Khoa Sư phạm Tốn học nói riêng download by : skknchat@gmail.com vi MINISTRY OF EDUCATION AND TRAINING SOCIALIST REPUBLIC OF VIET NAM DONG THAP UNIVERSITY Independence - Freedom - Happiness SUMMARY General information Project Title: To establish some conditions for approximating of fixed points of generalized α-nonexpansive mappings in Banach spaces Code number: SPD2018.02.58 Coordinator: Nguyễn Kim Ngoan Duration: from July, 2018 to June, 2019 Objectives: - To establish some conditions for approximating for fixed points of the generalized α-nonexpansive mappings in uniformly convex Banach spaces - To give some examples to demonstrate the approximating fixed points of the generalized α-nonexpansive mappings in the uniformly convex Banach spaces Creativeness and innovativeness: - The proposed iterations process is new - The sufficient condition for weak and strong convergence to fixed points and common fixed points of generalized α-nonexpansive mappings in uniformly convex Banach spaces Research results: - Two iterations process for approximating of common fixed points of two and three generalized α-nonexpansive mappings in Banach spaces were introduced - Some results for the existence and approximating of comon fixed points of two and three generalized α-nonexpansive mappings in uniformly convex Banach download by : skknchat@gmail.com vii spaces were established and proved - Some results for the approximating of fixed points of generalized α-nonexpansive mappings in uniformly convex Banach spaces were established and proved - Three examples were given to illustrate the approximating of common fixed points of two and three generalized α-nonexpansive mappings Products: - A paper was published on Dong Thap University Journal of Science and a manuscript was submitted - A scientific report about approximating of fixed points of generalized αnonexpansive mappings in Banach spaces Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of research results: - The scientific report of the project is a reference for lecturers and students of Faculty of Mathematics Teacher Education, Dong Thap University in studying, lecturing and researching - The results of the project contribute to enriching some approximate fixed point and common fixed point results for generalized α-nonexpansive mappings in Banach spaces - The researching of the project partially contributes to improving the quality of students learning and scientific research; since then, it partially contributes to improving the training quality of Dong Thap University in general and Faculty of Mathematics Teacher Education in particular download by : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài ngồi nước Nhiều vấn đề tốn học lĩnh vực khoa học khác thường dẫn đến việc tìm nghiệm phương trình F(x) = x Nghiệm x phương trình gọi điểm bất động ánh xạ F Do đó, việc nghiên cứu công cụ hữu hiệu để khảo sát tồn tìm điểm bất động ánh xạ nhiều tác giả quan tâm Trong hướng nghiên cứu này, Nguyên lí ánh xạ co Banach [4] kết lí thuyết điểm bất động Lưu ý nguyên lí điểm bất động ánh xạ co giới hạn dãy lặp Picard Cùng với phát triển tốn học, Ngun lí ánh xạ co Banach mở rộng cho lớp ánh xạ lớp không gian tổng quát Năm 1965, Browder [6] giới thiệu lớp ánh xạ tổng quát lớp ánh xạ co gọi ánh xạ không giãn, đồng thời thiết lập điều kiện đủ cho tồn điểm bất động lớp ánh xạ không gian Banach lồi Tuy nhiên, kết Browder khẳng định tồn điểm bất động ánh xạ không giãn mà không đưa kĩ thuật tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn Do đó, việc xây dựng kĩ thuật để tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu [7] Kĩ thuật để tìm điểm bất động ánh xạ không giãn xây dựng dãy lặp nghiên cứu hội tụ dãy lặp đến điểm bất động điểm bất động chung ánh xạ không giãn Trong hướng download by : skknchat@gmail.com nghiên cứu này, nhiều dạng dãy lặp giới thiệu dãy Mann [15], dãy Ishikawa [14], dãy lặp Noor [17], dãy S-lặp [2], dãy SP-lặp [19], dãy lặp Abbas [1], dãy P-lặp[21], dãy lặp Thakur [28, 29] nhiều kết xấp xỉ điểm bất động ánh xạ không giãn thiết lập Trong dãy lặp đó, dãy S-lặp dãy lặp hai bước, Agarwal cộng [2] giới thiệu năm 2007, đồng thời, tác giả chứng minh dãy S-lặp có tốc độ hội tụ đến điểm bất động ánh xạ co tương đương với dãy lặp Picard nhanh dãy lặp Mann; dãy P-lặp dãy lặp ba bước, Sainuan [21] giới thiệu năm 2015 từ ý tưởng dãy S-lặp dãy SP-lặp [19], đồng thời, tác giả chứng tỏ dãy P-lặp hội tụ đến điểm bất động lớp ánh xạ liên tục, không giảm nhanh dãy S-lặp Trong năm gần đây, số tác giả quan tâm nghiên cứu mở rộng khái niệm ánh xạ không giãn nhiều cách tiếp cận khác Nhiều khái niệm suy rộng ánh xạ không giãn giới thiệu ánh xạ thỏa mãn điều kiện (C) [26], ánh xạ thỏa mãn điều kiện (E) ánh xạ thỏa mãn điều kiện (Cλ ) [10], ánh xạ α-không giãn [3] số kết xấp xỉ điểm bất động ánh xạ không giãn suy rộng thiết lập Năm 2017, Pant Shukla [18] giới thiệu mở rộng ánh xạ α-không giãn gọi ánh xạ α-không giãn suy rộng Sau đó, khái niệm Shukla cộng [27] nghiên cứu không gian Banach thứ tự Mebawondu cộng [16] nghiên cứu không gian Hyperbolic Năm 2018, Piri cộng [20] giới thiệu dãy lặp ba bước nghiên cứu hội tụ dãy lặp đến điểm bất động ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach lồi Như vậy, số kết bước đầu tồn xấp xỉ điểm bất động ánh xạ α-không giãn suy rộng thiết lập Tuy nhiên, nay, chưa có kết xấp xỉ điểm bất động chung ánh xạ α-không giãn suy rộng download by : skknchat@gmail.com 32 Từ (2.35) ta có un+1 − p ≤ (1 − αn ) wn − p + αn − p Điều dẫn đến wn − p ≤ ( wn − p − un+1 − p ) + − p αn Kết hợp điều với (2.31) (2.36) ta c ≤ lim inf − p Khi từ (2.31), n→∞ ta lim − p = c Do đó, n→∞ c = lim − p n→∞ = lim (1 − βn )wn + βn T2 wn − p n→∞ = lim (1 − βn )(wn − p) + βn (T2 wn − p) n→∞ (2.39) Khi đó, từ (2.32), (2.34), (2.39) Bổ đề 1.1.3, ta có lim T2 wn − wn = n→∞ (2.40) Hơn nữa, kết hợp đẳng thức wn − un = γn T1 un − un với (2.38), ta lim wn − un = n→∞ (2.41) Mặt khác, từ Bổ đề 1.2.7, ta có un − T2 un ≤ un − wn + wn − T2 un 3+α un − T2 wn + wn − un ≤ wn − un + 1−α 3+α ≤ wn − un + wn − T2 wn 1−α (2.42) Do đó, từ (2.40), (2.41) (2.42), ta lim un − T2 un = Hơn nữa, kết hợp n→∞ đẳng thức − wn = βn T2 wn − wn với (2.40), ta lim − wn = n→∞ Khi đó, kết hợp điều với (2.41) ta lim − un = n→∞ download by : skknchat@gmail.com (2.43) 33 Mặt khác, ta có c = lim un+1 − p n→∞ = lim (1 − αn )T2 wn + αn T3 − p n→∞ = lim (1 − αn )(T2 wn − p) + αn (T3 − p) n→∞ ≤ lim [(1 − αn ) T2 wn − p + αn T3 − p ] n→∞ ≤ lim [(1 − αn ) wn − p + αn un − p ] n→∞ ≤ lim [(1 − αn ) un − p + αn un − p ] n→∞ = lim un − p = c (2.44) n→∞ Khi đó, từ (2.44) ta lim (1 − αn )(T2 wn − p) + αn (T3 − p) = c Kết hợp n→∞ điều với (2.33) sử dụng Bổ đề 1.1.3, ta lim T3 − T2 wn = n→∞ (2.45) Khi đó, kết hợp bất đẳng thức T3 − wn ≤ T3 − T2 wn + T2 wn − wn với (2.40) (2.45), ta lim T3 − wn = Kết hợp điều với (2.30) bất n→∞ đẳng thức T3 − ≤ T3 − wn + wn − ta lim T3 − = n→∞ (2.46) Mặt khác, từ Bổ đề 1.2.7, ta có un − T3 un ≤ un − + − T3 un 3+α − T3 + − un ≤ u n − + 1−α 3+α ≤ u n − + − T3 1−α (2.47) Do đó, từ (2.43), (2.46) (2.47), ta lim un − T3 un = n→∞ Tiếp theo, thiết lập hội tụ yếu dãy lặp (2.25) đến điểm bất động chung ba ánh xạ α-không giãn suy rộng Mệnh đề 2.2.3 Cho E không gian Banach lồi có tính chất Opial, K tập lồi đóng khác rỗng E, T1 , T2 , T3 : K −→ K ba ánh xạ α-không giãn suy rộng cho F = 0, / dãy {un } xác định (2.25) Khi đó, dãy {un } hội tụ yếu đến p ∈ F download by : skknchat@gmail.com 34 Chứng minh Từ Mệnh đề 2.2.2, ta có dãy {un } bị chặn lim un − T1 un = lim un − T2 un = lim un − T3 un = n→∞ n→∞ n→∞ Vì E khơng gian Banach lồi nên E khơng gian Banach phản xạ Khi đó, tồn dãy {un(i) } {un } cho {un(i) } hội tụ yếu đến p ∈ K Do lim T1 un(i) − un(i) = lim T2 un(i) − un(i) = lim T3 un(i) − un(i) = i→∞ i→∞ i→∞ Khi đó, sử dụng Mệnh đề 1.2.9 , ta có T1 p = T2 p = T3 p = p hay p ∈ F Tiếp theo, ta giả sử {un } không hội tụ yếu đến p Khi đó, tồn dãy {un(k) } {un } cho {un(k) } hội tụ đến p ∈ K với p = q Lập luận tương tự trên, từ Mệnh đề 1.2.9, ta có q ∈ F Hơn nữa, theo Mệnh đề 2.2.1, ta có lim un − p n→∞ lim un − q tồn Sử dụng tính chất Opial, ta có n→∞ lim un − p n→∞ = lim inf un(i) − p i→∞ < lim inf un(i) − q i→∞ = lim un − q n→∞ = lim inf un(k) − q k→∞ < lim inf un(k) − p k→∞ = lim un − p n→∞ Điều mâu thuẫn Do p = q hay {un } hội tụ yếu đến p ∈ F Tiếp theo, thiết lập số kết hội tụ dãy lặp (2.25) đến điểm bất động chung ba ánh xạ α-không giãn suy rộng Mệnh đề 2.2.4 Cho E không gian Banach lồi đều, K tập lồi đóng khác rỗng E, T1 , T2 , T3 : K −→ K ba ánh xạ α-không giãn suy rộng với F = 0, / dãy {un } xác định (2.25) lim inf d(un , F ) = Khi đó, dãy {un } hội tụ đến n→∞ p ∈ F Chứng minh Với p ∈ F , theo Mệnh đề 2.2.1, ta có lim un − p tồn Do đó, n→∞ lim d(un , F ) = lim inf{ un − p , p ∈ F } tồn n→∞ n→∞ download by : skknchat@gmail.com 35 Khi đó, lim d(un , F ) = lim inf d(un , F ) = Khi đó, tồn dãy {un(k) } n→∞ n→∞ {un } với dãy {pk } ⊂ F , ta có un(k) − pk < k Khi đó, theo bất đẳng thức (2.27), ta un(k+1) − pk ≤ un(k) − pk ≤ 2k Điều dẫn đến pk+1 − pk ≤ pk+1 − un(k+1) + un(k+1) − pk ≤ 1 + < 2k+1 2k 2k−1 Suy pk+m − pk ≤ ≤ = = < pk+m − pk+m−1 + pk+m−1 − pk+m−2 + + pk+1 − pk 1 + + + 2k+m−2 2k+m−3 2k−1 1 + + + 2k−1 2m−1 2m−2 1 n − 2k−2 2k−2 Do {pk } dãy Cauchy F Hơn theo Bổ đề 1.2.8, ta có F tập đóng khơng gian Banach Do đó, dãy {pk } hội tụ đến p ∈ F Hơn nữa, từ un(k) − p ≤ un(k) − pk + pk − p ≤ + pk − p 2k ta suy lim un(k) − p = Kết hợp với giới hạn lim un − p tồn tại, ta suy n→∞ k→∞ {un } hội tụ đến p ∈ F Mệnh đề 2.2.5 Cho E khơng gian Banach lồi đều, K tập lồi đóng khác rỗng E, T1 , T2 , T3 : K −→ K ba ánh xạ α-không giãn suy rộng cho F = 0, / thỏa mãn điều kiện (C) dãy {un } xác định (2.25) Khi đó, dãy {un } hội tụ đến p ∈ F Chứng minh Từ Mệnh đề 2.2.2, ta có lim T1 un − un = lim T2 un − un = lim T3 un − un = n→∞ n→∞ n→∞ download by : skknchat@gmail.com (2.48) 36 Vì T1 , T2 T3 thỏa mãn điều kiện (C) nên tồn hàm không giảm f : [0, ∞) → [0, ∞) cho f (0) = f (r) > với r > max{ un − T1 un , un − T2 un , un − T3 un } ≥ f (d(un , F )) (2.49) Khi đó, từ (2.48) (2.49), ta lim f (d(un , F )) = Giả sử lim d(un , F ) > Khi đó, với ε > 0, tồn n0 ∈ n→∞ ∗ N n→∞ cho với n ≥ n0 , ta có d(un , F ) > ε Khi đó, f (d(un , F )) ≥ f (ε) Do đó, lim f (d(un , F )) ≥ f (ε) > Điều n→∞ mâu thuẫn với lim f (d(un , F )) = Do đó, lim d(un , F ) = Khi đó, theo n→∞ n→∞ Mệnh đề 2.2.4 ,ta suy {un } hội tụ đến p ∈ F Mệnh đề 2.2.6 Cho E khơng gian Banach lồi đều, K tập lồi đóng khác rỗng E, T1 , T2 , T3 : K −→ K ba ánh xạ α-không giãn suy rộng cho F = 0, / T1 T2 T3 nửa compact dãy {un } xác định (2.25) Khi đó, {un } hội tụ đến u∗ ∈ F Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2.3, ta có {un } bị chặn lim T1 un − un = lim T2 un − un = lim T3 un − un = n→∞ n→∞ n→∞ Hơn nữa, T1 T2 T3 nửa compact nên tồn dãy {un(k) } {un } cho {un(k) } hội tụ đến p ∈ K Mặt khác từ Bổ đề 1.2.7, ta có un(k) − T1 p ≤ 3+α u − T1 un(k) + un(k) − p − α n(k) Điều dẫn đến lim un(k) − T1 p = hay dãy {un(k) } hội tụ đến T1 p Sử dụng k→∞ tính giới hạn T1 p = p Lập luận tương tự, ta chứng minh T2 p = T3 p = p Vì vậy, p ∈ F Do đó, theo Mệnh đề 2.2.1, lim un − p tồn n→∞ Suy tồn giới hạn lim d(un , F ) = lim inf{ un − p , p ∈ F } n→∞ n→∞ Mặt khác, d(un(k) , F ) ≤ un(k) − p nên lim d(un(k) , F ) = k→∞ Do đó, lim d(un , F ) = Khi đó, theo Mệnh đề 2.2.4, ta có dãy {un } hội tụ đến u∗ n→∞ ∈ F download by : skknchat@gmail.com 37 Từ Mệnh đề 2.2.3, Mệnh đề 2.2.4, Mệnh đề 2.2.5, Mệnh đề 2.2.6, cách chọn T1 = T2 = T3 = T , ta nhận định lí xấp xỉ điểm bất động ánh xạ α-không giãn suy rộng dãy lặp (2.24) Định lí 2.2.7 Cho E khơng gian Banach lồi có tính chất Opial, K tập lồi đóng khác rỗng E, T : K −→ K ánh xạ α-không giãn suy rộng cho F(T ) = 0, / dãy {un } xác định (2.24) Khi đó, dãy {un } hội tụ yếu đến p ∈ F(T ) Định lí 2.2.8 Cho E khơng gian Banach lồi đều, K tập lồi đóng khác rỗng E, T : K −→ K ánh xạ α-không giãn suy rộng với F(T ) = 0, / dãy {un } xác định (2.24) lim inf d(un , F(T )) = Khi đó, dãy {un } hội tụ đến p ∈ F(T ) n→∞ Định lí 2.2.9 Cho E không gian Banach lồi đều, K tập lồi đóng khác rỗng E, T : K −→ K ánh xạ α-không giãn suy rộng cho F(T ) = 0, / thỏa mãn điều kiện (I) dãy {un } xác định (2.24) Khi đó, dãy {un } hội tụ đến p ∈ F(T ) Định lí 2.2.10 Cho E khơng gian Banach lồi đều, K tập lồi đóng khác rỗng E, T : K −→ K ánh xạ α-không giãn suy rộng cho F(T ) = 0, / T nửa compact dãy {un } xác định (2.24) Khi đó, {un } hội tụ đến u∗ ∈ F(T ) Cuối cùng, chúng tơi đưa ví dụ minh họa cho hội tụ dãy lặp (2.25) đến điểm bất động chung ba ánh xạ α-khơng giãn suy rộng Ví dụ 2.2.11 Cho E = R không gian Banach với chuẩn giá trị tuyệt đối, K = [−1, 1] T1 , T2 , T3 : K −→ K xác định       3x/10 x ∈ [−1, 0] x/3       T1 x = T2 x = x = 3/10         −x −x x ∈ (0, 1]\{3/10}, x ∈ [−1, 0] x = 1/3 x ∈ (0, 1]\{1/3} download by : skknchat@gmail.com 38    x    T3 x =     −x/2 x ∈ [−1, 0] x = 1/2 x ∈ (0, 1]\{1/2} Khi đó, theo Ví dụ 1.2.3, Ví dụ 1.2.4 Ví dụ 1.2.5 , ta có T1 , T2 T3 ba ánh xạ α-không giãn suy rộng với α = 0, Ta có F = {0} Hơn nữa, giả thiết lại Mệnh đề 2.2.3, Mệnh đề 2.2.4, Mệnh đề 2.2.5, Mệnh đề 2.2.6 thỏa mãn Do đó, dãy {un } xác định (2.25) hội tụ đến điểm bất động chung T1 , T2 , T3 Bằng lập trình tính tốn Siclab-6.0.0, minh họa dáng điệu hội tụ dãy {un } xác định (2.25) đến hai trường hợp cụ thể sau: n+1 2n + n Trường hợp: n = 50, u1 = −0, 5, αn = , βn = γn = 2n + 3n + 2n + với n ∈ N∗ Hình Dáng điệu hội tụ dãy {un } xác định (2.25) đến với u1 = −0, download by : skknchat@gmail.com 39 Trường hợp: n = 50, u1 = 0, 5, αn = n ∈ N∗ n+1 2n + n , βn = γn = với 2n + 3n + 2n + Hình Dáng điệu hội tụ dãy {un } xác định (2.25) đến với u1 = 0, download by : skknchat@gmail.com 40 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Đề tài đạt kết sau - Hệ thống hóa số khái niệm kết liên quan đến ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach - Xây dựng hai dãy lặp để xấp xỉ điểm bất động chung hai ba ánh xạ α-không giãn suy rộng: dãy lặp (2.2) dãy lặp (2.25) - Thiết lập chứng minh số kết tồn xấp xỉ điểm bất động chung hai ba ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach lồi Mệnh đề 2.1.1, Mệnh đề 2.1.2, Mệnh đề 2.1.3, Mệnh đề 2.1.4, Mệnh đề 2.1.5, Mệnh đề 2.1.6, Mệnh đề 2.2.1, Mệnh đề 2.2.2, Mệnh đề 2.2.3, Mệnh đề 2.2.4, Mệnh đề 2.2.5 Mệnh đề 2.2.6 - Thiết lập chứng minh số kết xấp xỉ điểm bất động ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach lồi Định lí 2.1.7, Định lí 2.1.8, Định lí 2.1.9, Định lí 2.1.10, Định lí 2.2.7, Định lí 2.2.8, Định lí 2.2.9 Định lí 2.2.10 - Xây dựng ba ví dụ minh họa cho việc áp dụng kết đạt Ví dụ 2.1.11, Ví dụ 2.1.12 Ví dụ 2.2.11 Các kết đề tài công bố báo khoa học Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp thảo gửi xét đăng download by : skknchat@gmail.com 41 Kiến nghị Đề tài phát triển theo hướng sau - Nghiên cứu xấp xỉ điểm bất động ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach dãy lặp tổng quát - Nghiên cứu xấp xỉ điểm bất động dãy lặp đề xuất cho lớp ánh xạ không giãn tổng quát download by : skknchat@gmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M Abbas and T Nazir (2014), A new faster iteration process applied to constrained minimization and feasibility problem, Matematiqki vesnik, 66(2), 223 – 234 [2] R P Agarwal , D O’Regan and D R Sahu (2007), Iterative construction of fixed points of nearly asymptotically nonexpansive mappings, J Nonlinear Convex Anal., 8(1), 61 – 79 [3] K Aoyama and F Kohsaka (2011), Fixed point theorem for α- nonexpansive mapping in Banach space, Nonlinear Anal., 74, 4387 – 4391 [4] S Banach (1922), Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux equation integrals, Fund Math., 3, 133 – 181 [5] B Beauzamy (1985), Introduction to Banach spaces and their geometry, North-Holland, Amsterdam [6] F E Browder (1965), Nonexpansive nonlinear operators in a Banach space, Proc Nat Acad Sci U.S.A., 54, 1041 – 1044 [7] A Cegielski (2012), Iterative methods for fixed point problems in Hilbert spaces, Lecture Notes in Mathematics 2057, Springer [8] E L Dozo (1973), Multivalued nonexpansive mappings and Opial’s condition, Proc Amer Math Soc., 38(2), 286 – 292 42 download by : skknchat@gmail.com 43 [9] K Goebel and W A Kirk (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.28 Cambridge University Press, Cambridge [10] J Garcia-Falset, E Llorens-Fuster, and T Suzuki (2011), Fixed point theory for a class of generalized nonexpansive mappings, J Math Anal Appl., 375(1), 185 − 195 [11] D V Hieu, L D Muu, and P K Anh (2016), Parallel hybrid extragradient methods for pseudomonotone equilibrium problems and nonexpansive mappings, Numer Algor., 73(1), 197 – 217 [12] N T Hieu and N V Dung (2018), Hybrid projection algorithm for two finite families of asymptotically quasi φ -nonexpansive mappings in reflexive Banach spaces, Numer Funct Anal Optim., 39(1), 67 – 86 [13] N T Hiếu P A Lam (2018), Sự hội tụ dãy lặp Ishikawa đến điểm bất động ánh xạ đơn điệu thỏa mãn điều kiện (E) không gian Banach thứ tự, Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, 15(6), 76 – 88 [14] S Ishikawa (1974), Fixed points by a new iteration method, Proc Am Math Soc., 44(1), 147 – 150 [15] W R Mann (1953), Mean value methods in iteration, Proc Am Math Soc., 4(3), 506 – 510 [16] A A Mebawondu and C Izuchukwu (2018), Some fixed points properties, strong and δ -convergence results for generalized α-nonexpansive mappings in hyperbolic spaces, Adv Fixed Point Theory, 8(1), – 20 download by : skknchat@gmail.com 44 [17] M A Noor (2000), New approximation schemes for general variational inequalities, J Math Anal Appl., 251(1), 217 – 229 [18] R Pant and R Shukla (2017), Approximating fixed points of generalized α-nonexpansive mappings in Banach spaces, Numer Funct Anal Optim., 38(2), 248 − 266 [19] W Phuengrattana and S Suantai (2011), On the rate of convergence of Mann, Ishikawa, Noor and SP iterations for countinuous functions on an arbitrary interval, J Comput Appl Math., 235(9), 3006 – 3014 [20] H Piri, B Daraby, S Rahrovi and M Ghasemi (2018), Approximating fixed points of generalized α-nonexpansive mappings in Banach spaces by new faster iteration process, Numer Algorithms, – 20, first online [21] P Sainuan (2015), Rate of convergence of P-iteration and S-iteration for continuous functions on closed intervals, Thai J Math 13 (2), 451 – 459 [22] J Schu (1991), Weak and strong convergence to fixed points of asymptotically nonexpansive mappings, Bull Aust Math Soc., 43(1), 153 – 159 [23] H F Senter and W G Dotson (1974), Approximating fixed points of nonexpansive mappings, Proc Am Math Soc., 44(2), 375 – 380 [24] P Sridarat, R Suparatulatorn, S Suantai, and Y J Cho (2018), Convergence analysis of SP-iteration for G-nonexpansive mappings with directed graphs, Bull Malays Math Sci Soc., – 20, first online [25] N Shahzad and R Al-Dubiban (2006), Approximating common fixed points of nonexpansive mappings in Banach spaces, Georgian Math J., 13(3), 529 – 537 download by : skknchat@gmail.com 45 [26] T Suzuki (2011), Fixed point theorems and convergence theorems for some generalized nonexpansive mappings, J Math Anal Appl., (340), 1088 – 1095 [27] R Shukla, R Pant, and M D L Sen (2017), Generalized α-nonexpansive mappings in Banach spaces, Fixed Point Theory Appl., 2017:4, – 16 [28] B S Thakur, D Thakur, and M Postolache (2016), A new iteration scheme for approximating fixed points of nonexpansive mappings, Folimat, 30(10), 2711 − 2720 [29] B S Thakur, D Thakur, and M Postolache (2016), A new iterative scheme for numerical reckoning fixe points of Suzuki’s generalized nonexpansive mappings, Appl Math Comput., 275, 147 – 155 [30] D V Thong and D V Hieu (2018), Modified subgradient extragradient algorithms for variational inequality problems and fixed point problems, Optimization, 63(1), 83 – 102 download by : skknchat@gmail.com 46 PHỤ LỤC Danh mục báo khoa học công bố kết đề tài (1) N T Hieu and N K Ngoan (2019), Approximating common fixed points of three generalized α-nonexpansive mappings in uniformly convex Banach spaces, 14 pages, submitted (2) N K Ngoan N T Hiếu (2019), Sự hội tụ dãy lặp kiểu Agarwal đến điểm bất động chung hai ánh xạ α-không giãn suy rộng không gian Banach lồi đều, Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, 37, 77 – 84 download by : skknchat@gmail.com ... cứu xấp xỉ điểm bất động ánh xạ α- không giãn suy rộng không gian Banach dãy S-lặp dãy P-lặp Mục tiêu nghiên cứu - Thiết lập số điều kiện xấp xỉ điểm bất động ánh xạ α- không giãn suy rộng không gian. .. số kết tồn xấp xỉ điểm bất động hai ba ánh xạ α- không giãn suy rộng không gian Banach lồi - Thiết lập chứng minh số kết xấp xỉ điểm bất động ánh xạ α- không giãn suy rộng không gian Banach lồi... Ánh xạ α- không giãn suy rộng không gian Banach 1.1 Không gian Banach lồi 1.2 Ánh xạ α- không giãn suy rộng không gian Banach Xấp xỉ điểm bất động ánh xạ α- không