(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach

(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach(Luận án tiến sĩ) - Một số bài toán cauchy chứa kì dị trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ———————————- PHẠM VĂN HIỂN MỘT SỐ BÀI TỐN CAUCHY CHỨA KÌ DỊ TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Bích Huy Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình khoa học tơi hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Bích Huy Các kết viết luận án hoàn toàn trung thực chưa công bố tác giả khác Nghiên cứu sinh Phạm Văn Hiển Mục lục LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU 0.1 Sử dụng dãy lặp nghiên cứu toán 0.2 Sử dụng ánh xạ co nghiên cứu toán 10 0.3 Sử dụng tính compact nghiên cứu tốn 11 Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Các định lý điểm bất động 1.2 Không gian với thứ tự sinh nón 1.3 Ánh xạ co theo họ nửa chuẩn 1.4 Độ đo phi compact ánh xạ cô đặc 1.5 Một số kiến thức khác Chương SỬ DỤNG DÃY LẶP TRONG NGHIÊN CỨU BÀI TỐN 2.1 Bài tốn với kì dị yếu 2.2 Phương trình bậc phân thứ với kì dị yếu 2.2.1 Các khái niệm 2.2.2 Sự tồn nghiệm 2.3 Kỹ thuật lặp đơn điệu 2.4 Bài tốn có chậm Chương SỬ DỤNG ÁNH XẠ CO TRONG NGHIÊN BÀI TOÁN 3.1 Bài toán với điều kiện Lipschitz địa phương 3.2 Bài tốn có chậm 3.2.1 Sự tồn nghiệm toán tổng quát 3.2.2 Bài toán áp dụng 3.3 Bài tốn miền vơ hạn 14 14 15 17 18 20 22 22 28 28 29 32 38 42 42 46 46 49 54 CỨU Chương SỬ DỤNG TÍNH COMPACT TRONG NGHIÊN CỨU BÀI TỐN 4.1 Xây dựng khơng gian Fréchet độ đo phi compact cho toán 4.2 Bài tốn Cauchy khơng có chậm 4.3 Giải tốn có chậm 4.4 Cấu trúc tập nghiệm lớp toán Cauchy thang không gian Banach 4.4.1 Bài tốn khơng gian nghiệm 4.4.2 Một số bổ đề cần thiết 4.4.3 Cấu trúc tập nghiệm 56 57 60 65 70 70 73 77 KẾT LUẬN 82 Danh mục cơng trình tác giả 84 Tài liệu tham khảo 84 MỞ ĐẦU Các trình Tự nhiên Xã hội phụ thuộc vào thời gian t thường mơ tả phương trình vi phân với điều kiện đầu (hay toán Cauchy) sau: u (t) = f (t, u(t)), t ∈ [0, T ), u(0) = u0 , (1) u : [0, T ] → X ẩn hàm, f : [0, T ] × X → X hàm biết, thỏa mãn số điều kiện X không gian vectơ tơpơ Nghiệm tốn theo nghĩa cổ điển (hay nghiệm mạnh) hàm u ∈ C([0, T ], X) ∩ C ((0, T ), X) thỏa mãn (1) Ban đầu, toán (1) nghiên cứu với X khơng gian hữu hạn chiều Khi (1) phương trình vi phân thường Peano chứng minh tồn nghiệm f hàm liên tục; Picard khẳng định tồn nghiệm f liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức f (t, u) − f (t, v) X ≤C u−v X (2) Các phương trình đạo hàm riêng dạng parabolic hyperbolic đưa toán (1) với X không gian Banach không gian Fréchet (khi cần xét tồn nghiệm khoảng thời gian vô hạn) Khi định lý Picard đúng; định lý Peano f liên tục thỏa mãn thêm điều kiện có liên quan tới tính compact, ví dụ điều kiện "cô đặc" độ đo phi compact α không gian X , dạng α f (t, B) ≤ Cα(B), B ⊂ X tập bị chặn (3) Nếu vế phải (1) hàm liên tục tốn tương đương với tốn tìm hàm u ∈ C([0, T ], X) thỏa mãn t u(t) = u0 + f (τ, u(τ ))dτ := F u(t) (4) Phương trình (4) xác định ánh xạ F : C([0, T ], X) → C([0, T ], X) điểm bất động F nghiệm tốn (1) ban đầu Có hai phương pháp để tìm điểm bất động ánh xạ F Ở phương pháp thứ nhất, điểm bất động tìm giới hạn dãy lặp sau: u0 (t) = u0 , un+1 (t) = F un (t), ∀t ∈ [0, T ] Phương pháp thứ hai sử dụng định lý điểm bất động: Định lý ánh xạ co Banach f thỏa mãn điều kiện Lipschitz, Định lý Schauder hay mở rộng Định lý Darbo–Sadovskii f thỏa mãn điều kiện tính compact Trong luận án chúng tơi xét lớp tốn Cauchy chứa kì dị Đó tốn Cauchy (1) họ (cũng gọi thang) không gian Banach (Xs , s ), s ∈ [a, b] thỏa mãn Xs ⊂ Xs , x s ≤ x s , ∀x ∈ Xs , s < s Tính kì dị thể chỗ ánh xạ f không tác động từ khơng gian vào mà vào không gian rộng f (t, Xs ) ⊂ Xs , s < s , thỏa mãn điều kiện Lipschitz dạng f (t, u) − f (t, v) ≤ C u−v s −s , u, v ∈ Xs , s < s (5) C αs (B), B ⊂ Xs bị chặn, s < s , s −s (6) s s điều kiện cô đặc dạng αs f (t, B) ≤ αs độ đo phi compact Kuratowski Xs Các nhà toán học L.Ovcyannikov T.Yamanaka người sử dụng thang không gian Banach nghiên cứu mở rộng định lý Cauchy— Kowalevskaya cho hệ phương trình đạo hàm riêng [44, 45, 54, 55] Trong [44, 45] tác giả xét toán ∂u = ∂t n i=1 ∂u + a0 u ≡ Lu(t, x), u(0, x) = u0 (x) ∂xi (7) Họ xây dựng thang không gian Banach sau Với số dương s, đặt Xs không gian hàm giải tích cầu mở Bs = {x ∈ Rn : x < s} liên tục Bs với chuẩn: u s = k∈N sk sup |Dα u(x)| < ∞, k! x∈Bs |α|=k α = (α1 , , αn ) ∈ Nn đa số |α| = α1 + + αn Ta chứng minh uxi s ≤ C u s −s s , ∀ < s < s , i = 1, , n Và Lu s ≤ C u s −s s (8) , 0 max{ni }i=1, ,Nξ Vậy S liên tục Tiếp theo, chứng minh S compact Giả sử {un }n ⊂ BR (y) yn = Sun , chứng minh {yn }n có dãy hội tụ E theo bước sau Bước 1: Với (t, s) ∈ ∆λ cố định tập A(t) = {yn (t) : n ∈ N} compact tương đối Xs Thật vậy, chọn s = (s + b − λt)/2 với n có: un (τ ) s ≤ un E 4(R + y E ) ≤ , ∀0 ≤ τ ≤ t (b − s − λτ )2 (b − s − λt)2 76 Tức tập B([0, t]) = {un (τ ) : τ ∈ [0, t], n ∈ N} bị chặn Xs Theo tính chất compact g suy ra: Ω = co(g([0, t], B([0, t]) ∪ {θ})) compact Xs Mà yn (t) = t g(τ, un (τ ))dτ g(tτ, un (tτ ))dτ =t ∈ tΩ, ∀ n ∈ N, A(t) = {yn (t) : n ∈ N} ⊂ tΩ ⇒ A(t) compact tương đối Xs Với (t, s) ∈ ∆λ , t2 yn (t1 ) − yn (t2 ) s ≤ g(τ, un (τ )) s dτ t1 ≤ MR (y)Tλ |t1 − t2 |, ∀n ∈ N, t1 , t2 ∈ [0, t] Cho nên {yn |[0,t] }n đồng liên tục Et,s Kết hợp bước định lý AzelàAscoli, suy {yn |[0,t] }n tập compact tương đối không gian Et,s Bước 2: Xây dựng dãy Bởi ∆λ bị chặn R2 nên có dãy {(tn , sn )}n∈N trù mật ∆λ Từ bước có suy luận (tương tự chứng minh bổ đề 4.1.1): (1) (1) • Dãy {yn }n có dãy {yn }n cho {yn |[0,t1 ] }n hội tụ z1 Et1 ,s1 (i+1) (i) • Dãy {yn }n có dãy {yn Eti+1 ,si+1 (i+1) }n cho {yn |[0,ti+1 ] }n hội tụ zi+1 Đặt dãy đường chéo (n) wn = yn , ∀n Thì {wn |[0,ti ] }n hội tụ không gian Eti ,si zi với i Hơn nữa, không gian Xs nhúng vào với phần tử khơng đặt z ∗ (t) = zi (t), ∀t ∈ [0, ti ], i ∈ N Khi z ∗ ∈ Et,s , ∀(t, s) ∈ ∆λ tính trù mật {(tn , sn )}n ∆λ Bước 3: Dãy {wn }n hội tụ z ∗ không gian E t Với (t, s) ∈ ∆λ n ∈ N wn (t) s ≤ g(τ, un(n) (τ )) s dτ ≤ MR (y)Tλ Mặt khác, limn→∞ wn (t) − z ∗ (t) s = suy tồn C > cho sup (t,s)∈∆λ n∈N wn (t) − z ∗ (t) s ≤ C 77 Cho trước ε > 0, xét phân hoạch (4.22) với ξ = sup (b − s − λt)2 wn (t) − z ∗ (t) s ε/C Rõ ràng ≤ ε (4.25) (t,s)∈∆λ \∆λ,ξ n∈N Với i ∈ {1, 2, , Nξ }, giả sử (t, s) ∈ ∆λ,ξ t ∈ [t(i−1) , t(i) ] s ≤ s(i−1) Hơn nữa, theo bước 2, suy tồn ni để với n > ni wn (t) − z ∗ (t) sup t∈[t(i−1) ,t(i) ] s ≤ wn (t) − z ∗ (t) sup s(i−1) ≤ t∈[t(i−1) ,t(i) ] ε (b − a)2 Tức (b − s − λt)2 wn (t) − z ∗ (t) sup s ≤ ε, ∀n > max{ni }i=1, Nξ (t,s)∈∆λ,ξ Kết hợp với (4.25) với n > max{ni }i=1, ,Nξ có sup (b − s − λt)2 wn (t) − z ∗ (t) s ≤ε (t,s)∈∆λ Vậy limn→∞ wn − z ∗ 4.4.3 E = Chúng ta chứng minh xong Cấu trúc tập nghiệm Định lý 4.4.6 Giả sử u0 ∈ Xb giả thiết (f 1), (f 2), (g) Gọi y điểm bất động ánh xạ co F , giả sử tồn MR (y) với R và: MR (y) = R R→∞ lim (4.26) Khi đó, λ > 4C tập nghiệm (4.19) E Rδ Chứng minh Chúng ta sử dụng định lý 4.4.2 cho ánh xạ U = F + S F, S xác định (4.20), không gian X = E xây dựng (4.21) Theo kết trình bày bổ đề 4.4.3, 4.4.4 4.4.5 có: n U (u) := (I − F )−1 S(u) = lim FS(u) (z), ∀ u, z ∈ E n→∞ Và với số R cho trước U ánh xạ compact từ BR (y) vào E Tập nghiệm toán (4.19) tập điểm bất động U Chúng ta chứng minh giả thiết định lý 4.4.2 theo bốn bước (Lưu ý phải chứng minh giả thiết định lý 4.4.2 với n đủ lớn.) Bước Chúng ta tìm số R0 để D := BR0 (y) có tính chất: U : D → D điểm bất động U E thuộc D Đặt: h(t, s) := t(b − s − λt)2 , (t, s) ∈ ∆λ 78 Bằng cách khảo sát có: sup h(t, s) ≤ 4(b − a)3 /(27λ) K := (t,s)∈∆λ Nghĩa có với u ∈ BR (y) thì: t (b − s−λt) Su(t) s ≤ (b − s − λt) g(τ, u(τ )) s dτ ≤ h(t, s)MR (y) ≤ KMR (y), ∀(t, s) ∈ ∆λ Vậy Su E ≤ KMR (y), ∀u ∈ BR (y) (4.27) Theo bổ đề 4.4.3, 4.4.4 với u ∈ E có U (u) − y E ≤ α S(u) E, α = λ/(λ − 4C) Theo giả thiết (4.26) tồn R0 để: M (y) MR0 (y) MR0 (y) ≤ − R ≤ , ∀R > R0 R0 αK R0 αK R R0 (4.28) Kết hợp (4.27), suy u ∈ BR0 (y) thì: U (u) − y E ≤ α S(u) ≤ αMR0 (y)K < R0 E Nghĩa U (BR0 (y)) ⊂ BR0 (y) Bây giờ, giả sử u điểm bất động U u − y u−y E = U (u) − y E ≤ α S(u) < αKMR0 (y) R ≤ R0 1− := R > R0 thì: E E ≤ αMR (y)K R0 R < R Điều gây mâu thuẫn Cho nên điểm bất động (nếu có) U phải thuộc BR0 (y) Chúng ta chứng minh xong bước Với n ∈ N, đặt an : [0, Tλ ) → [0, Tλ ) định bởi: an (t) = t ≤ 1/n, t− n t ≥ 1/n Với u ∈ D, đặt: Sn (u)(t) = S(u)(an (t)), t ∈ [0, Tλ ), Un (u) = (I − F )−1 Sn (u) Khi với t ∈ [0, Tλ ) n ∈ N ≤ an (t) ≤ t Cho nên, cách tương tự bước 1, thấy Un : D → D Chúng ta sử dụng định lý 79 4.4.2 cho ánh xạ U, Un tập D Bước 2: Giả thiết (a) định lý 4.4.2 Với t ∈ [0, T ) n ∈ N ≤ an (t) ≤ t cách chứng minh tương tự bổ đề 4.4.5 Sn liên tục compact từ D vào E với n Bây giờ, cho u ∈ D, (t, s) ∈ ∆λ số tự nhiên n thì: t (b − s − λt)2 Sn (u)(t) − S(u)(t) s ≤ (b − a)2 g(τ, u(τ )) s dτ an (t) ≤ (b − a)2 MR0 (y)|t − an (t)| ≤ (b − a)2 MR0 (y) n Tức sup Sn (u) − S(u) u∈D E (b − a)2 MR0 (y) ≤ n (4.29) Để chứng minh giả thiết (a) định lý 4.4.2, dùng đến tính chất liên tục (I − F )−1 khẳng định theo bổ đề 4.4.3, 4.4.4 Khi với n ∈ N tồn δn > cho: (I − F )−1 (u) − (I − F )−1 (v) E < , ∀ u−v n E < δn Mà theo (4.29) lập dãy {Sn }n mà ta ký hiệu {Sn }n cho: sup Sn (u) − S(u) E < δn u∈D Hay: sup Un (u) − U (u) u∈D E = sup (I − F )−1 Sn (u) − (I − F )−1 S(u) u∈D E ≤ n Chúng ta chứng minh xong bước Bước 3: Giả sử w ∈ D w E ≤ 1, chứng minh phương trình u = Un (u) + w có nghiệm D với n đủ lớn Phương trình cho có dạng tương đương: Un (u) = (I − F )−1 Sn (u) = u − w ⇔u = Sn (u) + F (u − w) + w := Sn (u) + G(u) Vì F ánh xạ k-co có điểm bất động y G ánh xạ k-co với điểm bất động (y + w) Cho trước số tự nhiên n, áp dụng bổ để 4.4.3-b) cho ánh xạ G z = Sn (u), có: Gm Sn (u) (y + w) − y E ≤ α Sn (u) E + w E 80 Áp dụng (4.27)-(4.29) với n đủ lớn có: Gm Sn (u) (y + w) − y E ≤ α( S(u) − Sn (u) ≤ α S(u) E E + S(u) E) + + ≤ αKMR0 (y) + ≤ R0 Từ đó, dùng bổ để 4.4.3-a) cho ánh xạ G m vô hạn suy (I − G)−1 (Sn (u)) ∈ D, ∀ u ∈ D Áp dụng định lý điểm bất động Schauder suy tồn điểm bất động ánh xạ (I − G)−1 Sn D Đó điểm bất động ánh xạ G + Sn nghiệm phương trình xét Bước 4: Chứng minh giả thiết (b) định lý 4.4.2 Phương trình u = Un (u) + w viết tương đương là: Vn (u) := (I − Un )(u) = w Tiếp theo bước 3, để chứng minh giả thiết (b) định lý 4.4.2, cần chứng minh Vn đơn ánh đủ Ký hiệu phần tử không thang không gian Xs θ phần tử khơng E θE Khơng tính tổng quát, xét n đủ lớn để 1/n < Tλ Trước tiên, xét t ∈ [0; 1/n], u ∈ D, ta có Sn (u)(t) = S(u)(0) = θ Do FSn (u) (θE )(t) = F (θE )(t) + θ := w0 (t) Giả sử FSmn (u) (θE )(t) = F m−1 (w0 )(t) FSm+1 (θE )(t) = FSn (u) (FSmn (u) (θE ))(t) = FSn (u) (F m−1 (w0 ))(t) n (u) = F m (w0 )(t) + Sn (u)(t) = F m (w0 )(t) Bằng quy nạp, suy FSmn (u) (θE )(t) = F m−1 (w0 )(t), ∀ m = 1, 2, , t ∈ [0, 1/n], u ∈ D Cho m vô hạn theo bổ đề 4.4.3, suy Un (u)(t) = (I − F )−1 Sn (u)(t) = (I − F )−1 (θE )(t), ∀t ∈ [0; 1/n], ∀u ∈ D Vì vế phải không phụ thuộc u có: Un (u)(t) = Un (v)(t), ∀t ∈ [0; 1/n], u, v ∈ D (4.30) 81 Tiếp theo, giả sử u, v ∈ D thỏa mãn u(t) = v(t), ∀t ∈ [0; k/n], k ∈ {1, 2, 3, }, Tλ > k/n Xét t ∈ [0; (k + 1)/n] ∩ [0, T ), suy an (t) ∈ [0; k/n] u(τ ) = v(τ ), ∀τ ∈ [0, an (t)] Cho nên: Sn (u)(t) = S(u)(an (t)) = S(v)(an (t)) = Sn (v)(t) ⇔ FSn (u) (θE )(t) = FSn (v) (θE )(t) Giả sử FSmn (u) (θE )(t) = FSmn (v) (θE )(t) suy FSm+1 (θE )(t) = Sn (u)(t) + F (FSmn (u) (θE ))(t) n (u) = Sn (v)(t) + F (FSmn (v) (θE ))(t) = FSm+1 (θE )(t) n (v) Theo quy nạp, suy FSmn (u) (θE )(t) = FSmn (v) (θE )(t), ∀t ∈ [0; (k + 1)/n] ∩ [0, Tλ ), m ∈ N+ Cho m vô hạn, suy u(t) = v(t), ∀t ∈ [0; k/n], Tλ > k/n thì: Un (u)(t) = Un (v)(t), ∀t ∈ [0; (k + 1)/n] ∩ [0, Tλ ) (4.31) Cuối cùng, giả sử Vn (u) = Vn (v) ⇔ u − Un (u) = v − Un (v) u − v = Un (u) − Un (v) (4.30) suy u(t) = v(t), ∀ t ∈ [0, 1/n] Sau áp dụng (4.31) với k = 1, suy u(t) − v(t) = Un (u)(t) − Un (v)(t) = θ, ∀ t ∈ [0, 2/n] ∩ [0, Tλ ) Nếu Tλ ≤ 2/n dừng lại, cịn Tλ > 2/n lại áp dụng (4.31) với k = Rồi tiếp tục với k = 3, có u(t) = v(t), ∀t ∈ [0, Tλ ), suy u = v không gian E Các điều kiện định lý 4.4.2 Do chứng minh xong KẾT LUẬN I Trong luận án, đạt kết sau: Chứng minh tồn nghiệm toàn cục cho hai lớp tốn Cauchy thang khơng gian Banach với kì dị yếu tốn cấp bậc không nguyên Xây dựng dãy lặp đơn điệu hội tụ nghiệm lớp tốn Cauchy thang khơng gian Banach có thứ tự Xét tốn có chậm thang không gian Banach dạng u (t) = f (t, u(t), u(h(t))), u(0) = u0 , với h(t) < t1/p , t ∈ (0, 1) p ∈ (0, 1) Các kết thu bao gồm 3.1 Khi f thỏa iu kin Lipschitz theo bin th hai v Hăolder theo biến thứ ba f (t, u1 , v1 ) − f (t, u2 , v2 ) s ≤ C s −s u1 − u2 s + v1 − v2 p s , u1 , u2 , v1 , v2 ∈ Xs , s < s tốn có nghiệm địa phương 3.2 Khi f không phụ thuộc biến thứ hai thỏa mãn điều kiện f (t, v1 ) − f (t, v2 ) s ≤ C v1 − v2 (s − s)γ p s , v1 , v2 ∈ Xs , s < s , tốn có nghiệm tồn cục kì dị mạnh (γ > 1) 3.3 Xét trường hợp f thỏa mãn điều kiện tính compact dạng f (t, u, v) s ≤L + v ps u s+ (s − s)γ , αsp (Ω2 ) αs f (t, Ω1 , Ω2 ) ≤ L αs (Ω1 ) + (s − s)γ 82 ,s < s 83 αs độ đo phi compact Kuratowski Xs γ = f xác định [0, T ] × B s (u0 , r) × B s (u0 , r), γ > tùy ý f xác định [0, T ] × Xs × Xs Bằng cách xây dựng không gian Fréchet độ đo phi compact nhận giá trị nón, chúng tơi chứng minh tồn nghiệm toán Chứng minh tồn nghiệm toán Cauchy có chậm thang khơng gian Banach có dạng u (t) = f (t, A(t)u(t), B(u(h(t)))) Việc áp dụng kết tổng quát cho phương trình đạo hàm riêng dạng (l ) (l ) ∂t u(t, x) = g[t, x, ∂2 u(t, σ(t)x), ∂2 u(h(t), x)], cho phép mở rộng đáng kể điều kiện đặt lên yếu tố chậm σ(t), h(t) Chứng minh tính Rδ tập nghiệm lớp tốn Cauchy thang khơng gian Banach có dạng u (t) = f (t, u(t)) + g(t, u(t)), f ánh xạ Lipschitz g ánh xạ compact thang không gian II Các nghiên cứu luận án tiếp tục theo hướng: Nghiên cứu sâu toán Cauchy thang khơng gian Banach có thứ tự Nghiên cứu tốn Cauchy thang khơng gian Hilber (Xs , , s ) với ánh xạ thỏa mãn điều kiện Lipschitz phía dạng f (t, u) − f (t, v), u − v s ≤ C u−v s −s s , u, v ∈ Xs , s < s Tìm tốn, mơ hình đưa tốn Cauchy thang khơng gian Banach Ví dụ, tốn q trình ngẫu nhiên [14, 17, 21, 22, 23]), lớp phương trình Camassa-Holm mở rộng không gian Sobolev [10, 11, 29, 33, 53]) 84 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ Phạm Văn Hiển, Cấu trúc Topo tập nghiệm tốn Cauchy có nhiễu thang khơng gian Banach, Hội thảo khoa học trường Đại học Sư phạm TP.HCM, ISBN: 978-604-958-502-9, tháng 10 năm 20183 Nguyễn Bích Huy, Phạm Văn Hiển, THE CAUCHY PROBLEM IN SCALE OF BANACH SPACES WITH DEVIATING VARIABLES, Fixed Point Theory (đã có thư xác nhận đăng bài)4 Nguyễn Bích Huy, Phạm Văn Hiển, VECTOR-VALUED MEASURES OF NONCOMPACTNESS AND THE CAUCHY PROBLEM WITH DELAY IN A SCALE OF BANACH SPACES, J Fixed Point Theory Appl 22, 36 (2020)5 Nội dung báo trình bày mục 4.4 Nội dung báo trình bày mục 2.4 3.2 Nội dung báo trình bày mục 4.1 4.3 Tài liệu tham khảo [1] R R Akhmerov, M I Kamenskii, A S Potapov, B N Sadovskii, Measure of Noncompactness and Condensing operators, Birkhăauser, Basel, 1992 [2] J Appell, Measure of Noncompactness, Condensing Operators and Fixed points: An Application-Oriented survey, Fixed Point Theory, Vol 6, N 2, 2005, 157-229 [3] K Asano, A note on the abstract Cauchy-Kowalewski theorem, Proc Japan Acad Ser A, 64 (1988), 102-105 [4] A Augustynowicz, H Leszczy´ nski, W.Walter, Cauchy-Kovalevskaya theory for nonlinear equations with deviating variables, Nonlinnear Anaysis 45 (2001)743-753 [5] J M Ayerbe Toledano, T Dominguez Benavides, G Lopez Acedo, Measures of Noncompactness in Metric Fixed Point Theory, Birkhăauser, Basel, 1997 [6] J Banỏs, K Goebel, Measure of Noncompactness in Banach Spaces, Lect Notes Pure Appl Math., Vol 60, Marcel Dekker, New York, (1980) [7] M.S.Baouendi, C.Goulaouic, Remark on the abstract form of nonlinear Cauchy-Kovalevsky theorems, Comm Partial Differential Equations, (1977), 1151-1162 [8] E A Barkova and P P Zabreiko, An analog of the Peano theorem for fractional-order quasilinear equations in compactly embedded scale of Banach spaces, Differential Equations, 2004, Vol 40, No 4, pp 565-570 [9] E A Barkova and P P Zabreiko, Fractional Differential Equations with Worsening Right-Hand Sides, Differential Equations, 2010, Vol 46, No 2, pp 208–213 [10] R F Barostichi, A A Himonas, G Petronilho, Autonomuos Ovsyanniikov theorem and applications to nonlocal evolution equations and systems, J Funct Anal 270 (2016) 330-358 85 86 [11] R F Barostichi, A A Himonas, G Petronilho, The power series method for nonlocal and nonlinear evolution equations, J Math Anal Appl., Vol 443 (2016), No.2, 834-847 [12] H.Begehr, Eine Bemerkung zum nichtlinearen klassichen Satz von CauchyKowalewsky, Math Nachr 131 (1987), 175-181 [13] T.D.Benavides, Genetic existence of solution for a differential equation in a scale of Banach spaces, Proc Amer Math Soc 86 (1982), 477-484 [14] C Berns, Y Kondratiev, O Kutoviy, Contruction of a state evolution for Kawasaki dynamics in Continuum, Anal Math Phys (2013), 97-117 [15] R Caflish, A simplified version of the abstract Cauchy-Kowalewsky theorem with weak singularities, Bull Amer Math Soc., 32(1990), 495-500 [16] R.E Caflish, J Lowengrub, Convergence of the vortex method for vortex sheets, SIAM J Numer Anal 26 (1989), 1060-1080 [17] A Daletskii, Stochastic differential equations in a scale of Hilbert spaces, preprint, arXiv:1706.00794 [math.FA] [18] K.Deimling, Ordinary Differential Equations in Banach spaces, Lect Notes Math., 596, Springer, Berlin, 1977 [19] K.Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Springer - Verlag, 1985 [20] K Diethelm, The Analysis of Fractional Differential Equations, Lecture Notes in Mathematics, Springer, 2004 [21] D Finkelshtein, Around Ovcyannikov’s method, Methods Funct Anal Topology, 21 (2015), 131-150 [22] D Finkelshtein, Y Kondratiev, Y Kozitsky, Glauber dynamics in continuum: a constructive approach to evolution of states, Discrete and Cont Dynam Syst Ser A, 33 (2013), 1431-1450 [23] D Finkelshtein, Y Kondratiev, O Kutoviy, E Zhizhina, On an aggregation in birth-and-death stochastic dynamics, Nonlinearity, 27(2014), 1105-1133 [24] S B Gavage, J F Coulombel, N Tzvetkov, Ill-posedness of nonlocal Burgers equations, Advances in Math 227 (2011), 2220-2240 87 [25] M Ghisi, The Cauchy-Kowalevsky theorem and noncompactness measure, J Math Sci Univ Tokyo, (1994), 627-647 [26] D Gourdin, M Mechab, Problème de Goursat non lineaire dans les classes de Gevrey, pour des équations de Kirchhoff generaliseés, J Math Pures Appl., 75 (1996), 569-593 [27] D Gourdin, T Gramchev, Global in time solutionsof evolution equations in scales of Banach function spaces in Rn , Bull Sci math 131 (2007), 761-786 [28] S.Heikkila, V.Lakshmikantham, Monotone Iterative Techniquees for Discontinuous nonlinear differential Equations, Marcel Dekker, 1994 [29] D.P Hewett, A Moida, On the maximal Sobolev regularity of distributions supported by subsets of Euclidean space, Ana and App., Vol 15, No 5(2017), 731-770 [30] A.A Himonas, G Misiolek, Analyticity of the Cauchy problem for an integrable evolution equation, Math Ann 327, 575-584 (2003) [31] L.H Hoa, K Schmitt, Fixed Point Theorems of Krasnoselskii type in locally Convex Spaces and Applications to Integral Equations, Results in Mathematics, vol 25, 291-313, 1994 [32] L.H Hoa, N.N Trong, L.X Truong, Topological Structure of Solution set for a Class of Fractional Neutral Evolution Equations on The Half-line, Topological Methods in Nonlinear Analysis, Vol 43 (2), 1-99 (2014) [33] J Holmes, R C Thompson, Well-posedness and continuity properties of the Fornberg-Whitham equations in Besov spaces, J Diff Eq., Vol 263 (7), 4355-4381 (2017) [34] N.B Huy, On a Cauchy problem in scale of Banach spaces, Mathematics Consortium, Proceedings, V1 (1993), 38-42 [35] N.B Huy, N.A.Sum, N.A.Tuan, A second-order Cauchy problem in a scale of Banach spaces and application to Kirchhoff equations, J Diff Eq., 206 (2004), 253-264 [36] M Kawagishi, T Yamanaka, On the Cauchy problem for PDEs in the Gevrey class with shrinking, J Math Soc Jpn, 54 (2002), 649-677 88 [37] M Kawagishi, T Yamanaka, The Heat equation and the shrinking, EJDE, 97 (2003), 1-14 [38] M.C Lambardo, M.Cannone, M.Sammartino, Well-posedness of the boundary layer equations, SIAM J Math Anal 35 (2003), 987-1004 [39] Y.Maekava, On the inviscid limit problem of the vorticity equations for viscous incompressible flows in the half plane, Comm Pure Appl Math 67 (2014), 1045-1128 [40] V.I Nazarov, Solubility of the Cauchy problem for differential equations in scales of Banach spaces with completely continuous embeddings, Mathematical Notes, Vol 55, No (1994), 372-379 [41] L.Nirenberg, An abstract form of the nonlinear Cauchy-Kowalewski theorem, J Differential Geom (1972), 561-576 [42] T.Nishida, A note on a theorem of Nirenberg J Diff Geometry, 12 (1977), 629 - 633 [43] T.Nishida, Fluid dynamical limit of the nonlinear Boltzmann equation to the level of the compressible Euler equation, Comm Math Phys 61 (1978), 119-148 [44] LV.Ovcyannikov, Singular operators in a scale of Banach spaces, Soviet Math Dokl, 163 (1965), 819 - 822 [45] LV.Ovcyannikov, A nonlinear Cauchy problem in a scale of Banach spaces, Sov Math Dolk 12 (1971), 1497-1502 [46] LV.Ovcyannikov, Cauchy problem in a scale of Banach spaces, Proc Steklov Institute of Math, 281 (2013), 3-11 [47] M Reissig, A Generalized Theorem of Peano in Scales of Banach Spaces with Completely Continuous Imbedding, Funkcialaj Ekvacioj 37 (1994), 521530 [48] M.V.Safonov, The abstract Cauchy-Kowalevskaya theorem in a weighted Banach space, Comm Pure Appl Math, VXLVIII (1995), 629-637 [49] M.Sammartino, R.E Caflish, Zero viscosity limit for analytic solutions of the Navier-Stokes equation on half-space I Existence for Euler and Prandtl equations, Comm Math Phys 192 (1998), 433-461 89 [50] M.Sammartino, R.E Caflish, Zero viscosity limit for analytic solutions of the Navier-Stokes equation on half-space II Construction of the NavierStokes solution, Comm Math Phys 192 (1998), 463-491 [51] F.Treves, An abstract nonlinear Cauchy-Kowalewska theorem, Trans Amer Math Soc 150 (1970), 72-92 [52] W.Tutschke, Initial value problem for generalized analytic functions depending on time (an extension of theorems of Cauchy-Kovalevskaya and Holmgren), Soc Math Dolk 25 (1982), 201-205 [53] X Wu, Global Analytic Solutions and Traveling Wave Solutions of the Cauchy Problem for the Novikov Equation, Proceeding of the AMS, Vol 146 (4), 2018, 1537-1550 [54] T Yamanaka, Note on Kowalewskaya system of partial differential equations, Comm Math Univ St Paul, (1960), 7-10 [55] T Yamanaka, On the uniqueness of solutions of the global Cauchy problem for a Kowalevskaja system, J Math Soc Japan, Vol 20 (1968), 567-579 [56] T Yamanaka, M Kawagishi, A Cauchy-Kowalevskaya type theory in the Gevrey class for PDEs with shrinking, Nonlinear Analysis, 64 (2006), 18601884 [57] P.P.Zabreiko, K-metric and K-normed spaces: survey, Collect Math., 48 (1997), 825-859 [58] O.Zubelevich, Abstract version of the Cauchy-Kowalewski problem, Central European J Math., (2004), 382-387 [59] O.Zubelevich, Peano type theorem for abstract parabolic equation, Ann I H Poincare 26 (2009), 1407-1421 ... định Trong chương ba này, xây dựng không gian Banach từ thang khơng gian có để áp dụng Định lý ánh xạ co cho ánh xạ tích phân xây dựng từ toán 3.1 Bài toán với điều kiện Lipschitz địa phương Không. .. bất động ánh xạ F (được định nghĩa (4)) ta cần "tính chất co" F dãy lặp Trong luận án, xây dựng dãy lặp để nghiên cứu lớp tốn Cauchy thang khơng gian Banach: • Bài tốn với kì dị yếu • Bài tốn... yếu • Bài tốn bậc khơng ngun với kì dị yếu • Bài tốn thang khơng gian có thứ tự • Bài tốn có chậm Chúng tơi gọi tốn Cauchy (1) thang khơng gian Banach có kì dị yếu điều kiện Lipschitz (5) thay