(Luận án tiến sĩ) ứng dụng lý thuyết quá trình ngẫu nhiên để nghiên cứu thăng giáng lượng tử trong các bộ nối phi tuyến kiểu kerr

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯƠNG THỊ TÚ OANH ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ĐỂ NGHIÊN CỨU THĂNG GIÁNG LƯỢNG TỬ TRONG CÁC BỘ NỐI PHI TUYẾN KIỂU KERR LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÍ NGHỆ AN – 2021 luan an BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯƠNG THỊ TÚ OANH ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ĐỂ NGHIÊN CỨU THĂNG GIÁNG LƯỢNG TỬ TRONG CÁC BỘ NỐI PHI TUYẾN KIỂU KERR LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÍ Chuyên ngành: Quang học Mã số: 9440110 Người hướng dẫn khoa học: TS Đoàn Quốc Khoa PGS TS Chu Văn Lanh NGHỆ AN - 2021 luan an i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung luận án cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn khoa học TS Đoàn Quốc Khoa PGS.TS Chu Văn Lanh Các kết luận án trung thực công bố tạp chí khoa học nước quốc tế Nghệ An, tháng 10 năm 2021 Tác giả luận án Lương Thị Tú Oanh luan an ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Đoàn Quốc Khoa PGS.TS Chu Văn Lanh Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất đến tập thể thầy giáo hướng dẫn - người tận tình giúp nâng cao kiến thức tác phong làm việc tất mẫu mực người thầy tinh thần trách nhiệm người làm khoa học Tôi xin chân thành cảm ơn quí thầy, cô giáo Trường Đại học Vinh về ý kiến đóng góp khoa học bổ ích cho nội dung luận án, tạo điều kiện tốt nhất thời gian học tập thực nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Cao đẳng Sư phạm Nghệ An giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập nghiên cứu năm qua Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, người thân bạn bè quan tâm, động viên giúp đỡ để tơi hồn thành luận án Xin trân trọng cảm ơn! Nghệ An, tháng 10 năm 2021 Tác giả luận án Lương Thị Tú Oanh luan an iii MỤC LỤC Trang LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TIẾNG ANH DÙNG TRONG LUẬN ÁN v DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ vi MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Nội dung nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận án Chương LÝ THUYẾT CƠ SỞ CỦA Q TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ MƠ HÌNH KÉO LƯỢNG TỬ PHI TUYẾN 1.1 Các mơ hình ngẫu nhiên ánh sáng laser 1.1.1 Thăng giáng biên độ pha laser đơn mode 1.1.2 Mơ hình laser đơn mode với thăng giáng bơm 10 1.1.3 Laser đa mode ánh sáng ngẫu nhiên 11 1.2 Lý thuyết nhiễu trắng 12 1.3 Các trạng thái lượng tử hữu hạn chiều 16 1.3.1 Trạng thái n-photon 16 1.3.2 Trạng thái kết hợp hữu hạn chiều 17 1.3.3 Trạng thái đan rối 20 1.3.4 Các trạng thái Bell 23 1.3.5 Cách tính độ đan rối trạng thái lượng tử 24 1.4 Mơ hình kéo lượng tử phi tuyến 27 1.4.1 Môi trường phi tuyến kiểu Kerr 27 1.4.2 Kéo lượng tử phi tuyến dựa dao động tử phi tuyến Kerr 31 1.5 Kết luận chương 35 luan an iv Chương CÁC TRẠNG THÁI ĐAN RỐI HÌNH THÀNH TRONG BỘ NỐI PHI TUYẾN KIỂU KERR 36 2.1 Bộ nối phi tuyến tương tác tuyến tính 36 2.1.1 Mơ hình nối phi tuyến tương tác tuyến tính 36 2.1.2 Sự tạo trạng thái đan rối nối phi tuyến tương tác tuyến tính 45 2.2 Bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến 49 2.2.1 Bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến bơm mode 49 2.2.2 Bộ nối phi tuyến tương tác phi tuyến bơm hai mode 61 2.3 Kết luận chương 76 Chương ẢNH HƯỞNG CỦA NHIỄU TRẮNG ĐỐI VỚI SỰ HÌNH THÀNH TRẠNG THÁI ĐAN RỐI CỰC ĐẠI TRONG BỘ NỐI PHI TUYẾN KIỂU KERR 77 3.1 Trung bình phương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu trắng 77 3.2 Các trạng thái có độ đan rối cực đại tạo nối phi tuyến kiểu Kerr trường laser mơ hình hóa q trình ngẫu nhiên 78 3.2.1 Ảnh hưởng nhiễu trắng hình thành trạng thái đan rối nối phi tuyến tương tác tuyến tính bơm mode 78 3.2.2 Ảnh hưởng nhiễu trắng hình thành trạng thái đan rối nối phi tuyến tương tác tuyến tính bơm hai mode 86 3.2.3 Ảnh hưởng nhiễu trắng hình thành trạng thái đan rối nối phi tuyến tương tác phi tuyến bơm mode 93 3.3 Kết luận chương 100 CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG BỐ 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO 106 PHỤ LỤC luan an v DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TIẾNG ANH DÙNG TRONG LUẬN ÁN Từ viết tắt Nghĩa EPR Tên nhà vật lý Einstein - Podolsky - Rosen NQS Kéo lượng tử phi tuyến - Nonlinear quantum scissors luan an vi DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN Ký hiệu  Đơn vị Không thứ nguyên Ma trận Pauli J.s/rad  0 0 P (1) (2) (3) rad/s Nghĩa Hằng số Planck rút gọn Tần số góc 8,8510-12 F/m Độ điện thẩm chân không 1,2610-6 H/m Độ từ thẩm chân không Độ lớn véctơ phân cực điện (vĩ mô) Không thứ nguyên Độ cảm điện tuyến tính C/m2 m/V Độ cảm điện phi tuyến bậc hai m2/V2 Độ cảm điện phi tuyến bậc ba H H0 HI J J J a  Hˆ ext J Hamiltonian toàn phần hệ Hamiltonian tự hệ Hamiltonian tương tác hệ Hamiltonian tương tác mode a với trường b  Hˆ ext J Hamiltonian tương tác mode b với trường Hˆ int J Hamiltonian liên kết mode  rad/s α rad/s β rad/s a0 rad/s Tham số mô tả độ mạnh trường liên kết hai dao động tử Tham số mơ tả độ mạnh liên kết trường ngồi với mode a Tham số mô tả độ mạnh liên kết trường với mode b Tham số liên quan đến thành phần nhiễu a rad/s Hệ số phi tuyến Kerr mode a b rad/s Hệ số phi tuyến Kerr mode b E ebit  - Entropy đan rối Ma trận mật độ cmn  t  - Biên độ xác suất phức Tr - Vết ma trận luan an vii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ Hình 1.1: Hình 1.2: Hình 1.3: Hình 2.1: Hình 2.2: Hình 2.3: Giản đồ dẫn đến mơ hình ngẫu nhiên laser Trạng thái lượng tử qubit ứng với điểm mặt cầu Bloch 21 Mơ hình chung kéo lượng tử phi tuyến hai mode 34 Mơ hình nối phi tuyến tương tác tuyến tính bơm mode 37 Mơ hình nối phi tuyến tương tác tuyến tính bơm hai mode 42 Độ tin cậy trạng thái cắt nối phi tuyến tương tác tuyến tính bơm mode (đường nét liền) hai mode (đường chấm chấm) với hệ số phi tuyến a  b  108 rad/s,   5105 rad/s mode ban đầu trạng thái chân không 45 Hình 2.4: Sự tiến triển entropy đan rối (đơn vị ebit) E101     106        10    2  10 Hình 2.5: (đường nét liền) hai mode rad/s (đường nét gạch)     106  rad/s, rad/s (đường gạch chấm) 46     106  rad/s,         10    2  10 B1100 (đường nét liền) hai mode với rad/s (đường nét gạch)     106  mode với     106        10    2  10 rad/s,  0 rad/s (đường nét gạch)     106  rad/s (đường gạch chấm) 48 01 B31 nối phi tuyến tương tác tuyến tính bơm mode với mode với rad/s, (đường nét liền) hai Xác suất để hệ tồn tại trạng thái kiểu Bell 01 B41 00 B31 nối phi tuyến tương tác tuyến tính bơm mode với rad/s, rad/s, rad/s (đường gạch chấm) 47 Xác suất để hệ tồn tại trạng thái kiểu Bell 00 B41 Hình 2.7  0 nối phi tuyến tương tác tuyến tính bơm mode với Hình 2.6: rad/s, Xác suất để hệ tồn tại trạng thái kiểu Bell 00 B21 cho nối phi tuyến tương tác tuyến tính bơm mode với với E100     106        10    2  10 rad/s,  0 (đường nét liền) hai rad/s (đường nét gạch)     106  rad/s (đường gạch chấm) 48 luan an viii Hình 2.8: Độ tin cậy trạng thái cắt nối phi tuyến tương tác phi tuyến bơm mode Trong trường hợp hệ số phi tuyến a  b  2,5 107 rad/s,     1,5 10 rad/s 53 Hình 2.9: Các xác suất để hệ tồn tại trạng thái nét liền), 1a2 b (đường nét gạch), chấm) với     5 104 rad/s,  (t  0) cut ( P212 ) Hình 2.10:  (t  0) cut  a b Hình 2.11: E202 (đường gạch ( P202 ),  (t  0) cut  a b E220 (đường nét liền), E212 (đường (đường gạch chấm) với     5 104 rad/s B1212 (đường nét gạch) B1202 (đường gạch 12 B22 (đường nét gạch) 02 B22 (đường gạch 12 B32 (đường nét gạch) 02 B32 (đường gạch chấm) với     5 104 rad/s (Hình bên trái)   5 104 rad/s,   2.5 105 rad/s (Hình bên phải) 58 Xác suất để hệ tồn tại trạng thái kiểu Bell B4220 (đường nét liền), Hình 2.15: (đường chấm) với     5 104 rad/s (Hình bên trái)   5 104 rad/s,   2.5 105 rad/s (Hình bên phải) 58 Xác suất để hệ tồn tại trạng thái kiểu Bell B3220 (đường nét liền), Hình 2.14: b chấm) với     5 104 rad/s (Hình bên trái)   5 104 rad/s,   2.5 105 rad/s (Hình bên phải) 57 Xác suất để hệ tồn tại trạng thái kiểu Bell B2220 (đường nét liền), Hình 2.13: (Hình bên trái)   5 104 rad/s,   2.5 105 rad/s (Hình bên phải) 56 Xác suất để hệ tồn tại trạng thái kiểu Bell B1220 (đường nét liền), Hình 2.12: b a ( P220 ) 54 Entropy đan rối (đơn vị ebit) nét gạch)  0a2b 2a0 12 B42 (đường nét gạch) 02 B42 (đường gạch chấm) với     5 104 rad/s (Hình bên trái)   5 104 rad/s,   2.5 105 rad/s(Hình bên phải) 59 Xác suất để hệ tồn tại trạng thái kiểu Bell B5220 (đường nét liền), 12 B52 (đường nét gạch) 02 B52 (đường gạch chấm) với     5 104 rad/s (Hình bên trái)   5 104 rad/s,   2.5 105 rad/s (Hình bên phải) 59 luan an 112 [60] R Graham, M Höhnerbach, A Shenzle (1982), Statisticalproperties of light from a dye laser, Phys Rev Lett 48, 1396 [61] S.N Dixit, P.S Sahni (1983), Nonlinear stochastic processes driven by colored noise: Application to dye-laser statistics, Phys Rev Lett, 50, 1273 [62] P Zoller, G Alber, R Salvador (1981), ac Stark splitting in intense stochastic driving fields with Gaussian statistics and non-Lorentzian line shape, Phys Rev A 24, 398 [63] M Abramowitz, I.A Stegun (1964), Handbook of Mathematical Functions, Natl Bur Stand Washington [64] E Janke, F Emde, F Lösch (1977), Special functions, Nauka, Moscow [65] P Zoller (1979), Ac stark splitting in double optical resonance and resonance fluorescence by a nonmonochromatic chaotic field, Phys Rev A 20, 1019 [66] N.G Van Kampen (2007), Stochastic Processes in Physics and Chemistry, North-Holland Publishing Company, Amsterdam [67] R.F Fox (1978), Gaussian stochastic processes in physics, Phys Rep, 48, 181 [68] S.N Dixit, P Zoller, P Lambropoulos (1980), Nonlinear orentzian laser line shapes and the reversed peak asymmetry in double optical resonance, Phys Rev A 21, 1289 [69] J Peřina (1984), Quantum statistics of linear and nonlinear optical phenomena, D Reidel Publishing Company, Kulwer Academic Publisher Group [70] C.C Gerry, P.L Knight (2005), Introductory quantum optics, Cambridge University Press luan an 113 [71] R Glauber (1963), Coherent and incoherent states of the radiation field, Phys Rev 131, 2766 [72] R Glauber (1963), Photon correlations Phys Rev Lett., 10, 84 [73] V Buzek, A.D Wilson-Gordon, P.L Knight, W.K Lai (1992), Coherent states in a finite-dimensional basis: Their phase properties and relationship to coherent states of light Phys Rev A 45, 8079 [74] A Miranowiacz, K Piatek, R Tanaś (1994), Coherent states in a finitedimensional Hilbert space, Phys Rev A 50, 3423 [75] L.M Kuang, F.B Wang, Y.G Zhou (1993), Dynamics of harmonicoscillator in a finite-dimensional Hilbert-space, Phys Lett A 183, [76] B Schumacher (1995), Quantum coding, Phys Rev A 51, 2738 [77] Cao Long Vân (2005), Tin học lượng tử máy tính lượng tử (II), Tạp chí Ứng dụng Tốn học 3, 77 [78] R Mark (2005), Preparation of Entangled States and Quantum Teleportation with Atomic Qubits, Innsbruck University Press 14, 89 [79] J.S Bell (1964), On the einstein podolsky rosen paradox, Physics 1, 195 [80] J.F Clauser, M.A Horne, A Schimony, R.A Holt (1969), Proposed experiment to test local hidden-variable theories, Phys Rev Lett 23, 880 [81] B.C Sanders (1989), Quantum dynamics of the nonlinear rotator and the effects of continual spin measurement, Phys Rev A 40, 2417 [82] D Sych, G Leuchs (2009), A complete basis of generalized bell states, New J Phys 11, 013006 [83] L Henderson (2003), The von Neumann Entropy, Brit J Phil Sci 54, 291 luan an 114 [84] G Jaeger (2009), Entanglement information and the interpretation of quantum mechanics, Phys Rev A 18, 50 [85] M Nielsen, I Chuang (2010), Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press [86] W.K Wootters (2001), Entanglement of fomation and concurrente, Quantum information and computation, J Phys B: At Mol Opt Phys, 1, 27 [87] Cao Long Vân, Đinh Xuân Khoa, Trippenbach Marek (2010), Nhập môn quang học phi tuyến, NXB GD, Hà Nội [88] L.D Landau, E.M Lifshitz (1975), Điện động lực học môi trường liên tục, NXB KHKT [89] C Christopher, P.L Knight (2010), Introductory Quantum Optics, Cambridge University Press [90] J Peřina Jr, J Peřina (2000), Quantum statistics of nonlinear optical couplers, In E Wolf (Ed.), Progress in optics, Amsterdam, Elsevier [91] J Bajer, M Dusek, J Fiurasek, Z Hradil, A Luks, V Perinova, J Rehacek, J Peřina, O Haderka, M Hendrych, J Peřina Jr, N Imoto, M Koashi, A Miranowicz (2001), Nonlinear phenomena in quantum Optics, in M Evans (Ed.), Contemporary optics and electrodynamics New York, Wiley [92] A Kowalewska-Kudłaszyk, W Leoński (2009), Sudden death and birth of entanglement effects for Kerr-nonlinear coupler, J Opt Soc Am B 26, 1289 [93] W Leoński, R Tanaś (1994), Possibility of producing the one-photon state in a kicked cavity with a nonlinear Kerr medium, Phys Rev A 49, R20 luan an 115 [94] W Leoński, S Dyrting, R Tanaś (1997), Fock states generation in a kicked cavity with a nonlinear medium, J Mod Opt 44, 2105 [95] W Leoński (1996), Fock states in a Kerr medium with parametric pumping, Phys Rev A 54, 3369 [96] S.Ya Kilin, D.B Horoshko (1995), Fock state generation by the methods of nonlinear optics, Phys Rev Lett 74, 5206 [97] W Leoński, A Miranowicz (2004), Kerr nonlinear coupler and entanglement, J Opt B: Quantum and Semiclass Opt 6, S37 [98] A Kowalewska-Kudłaszyk, W Leoński (2010), The phase of the coupling effect on entanglement decay in nonlinear coupler system, Phys Scr T140, 014050 [99] A Kowalewska-Kudłaszyk, W Leoński (2010), Squeezed vacuum reservoir effect for entanglement decay in the nonlinear quantum scissors system, J Phys B: At Mol Opt Phys 43, 205503 [100] A Kowalewska-Kudłaszyk, W Leoński (2010), Sudden death of entanglement and its rebirth in a system of two nonlinear oscillators, Phys Scr T140, 014051 [101] A Kowalewska-Kudłaszyk, W Leoński, J Peřina Jr (2011), Photonnumber entangled states generated in Kerr media with optical parametric pumping, Phys Rev A 83, 052326 [102] Nguyễn Thị Thanh Tâm (2011), “Giao thoa kế Mach-Zehnder sợi quang phi tuyến hai cổng”, Luận án tiến sĩ vật lý, Trường Đại học Vinh [103] A Miranowicz, W Leoński (2004), Dissipasion in systems of linear and nonlinear quantum scissors, J Opt B: Quantum Semiclass Opt 6, S43 [104] A Chefles, S.M Barnett, (1996), Quantum theory of two-mode nonlinear directional couplers, J Mod Opt 43, 709 luan an 116 [105] F.A.A El-Orany, M Sebawe Abdalla, J Peřina (2005), Quantum properties of the codirectional three-mode Kerr nonlinear couple, Eur Phys J D 33, 453 [106] V Vedral (2002), The role of relative entropy in quantum information theory, Rev Mod Phys 74, 197 [107] L Allen, J.H Eberly (1975), Optical Resonance and Two-Level Atoms, Wiley, New York [108] W Leoński (1997), Finite-dimensional coherent-state generation and quantum-optical nonlinear oscillator models, Phys Rev A, 55, 3874 [109] V Le Duc, V Cao Long (2016), Entangled state creation by a nonlinear coupler pumped in two modes, Comput Meth Sci Technol 22, 245 [110] K Wódkiewicz (1979), Exact solutions of some multiplicative stochastic processes, J Math Phys 20, 45 [111] K Wódkiewicz (1979), Stochastic incoherences of optical Bloch equations, Phys Rev A 19, 1686 luan an PL PHỤ LỤC Tìm các ma trận các biểu thức (3.6) và (3.7) Từ hệ bốn phương trình: d c00 (t )   *c10 (t ) , dt d i c01 (t )   *c10 (t )   *c11 (t ) , dt i (P1) (P2) i d c10 (t )  c01 (t )  c00 (t ) , dt (P3) i d c11 (t )  c01 (t ) dt (P4) Khi có nhiễu:          (t ), thay vào hệ bốn phương trình ta được: i d c00 (t )   0*c10 (t )   *  t  c10  t  , dt (P5) i d c01 (t )   0*c10 (t )   * (t )c10 (t )   0*c11 (t )   *  t  c11 (t ) , dt (P6) d c10 (t )   0c00 (t )    t  c00 (t )   0c01 (t )   (t )c01 (t ) , dt d i c11 (t )   0c01 (t )    t  c01 (t ) dt i (P7) (P8) Trong trường hợp này, tập hợp phương trình chuyển động ((P5) - (P8)) có dạng phương trình vi phân ngẫu nhiên sau: dQ   M   (t ) M   * (t ) M  Q , dt  (P9) đó V hàm véctơ theo thời gian M1, M2, M3 ma trận có dạng luan an PL  a11 a12 c00  a a c  21 22 01   M1   Q ,  a31 a32 c10     c11   a41 a42 b11 b12     , M  b21 b22 b31 b32    b41 b42  a13 a 14 a23 a24 a33 a34 a43 a44 b13 b 14 b23 b24 b33 b 34 b43 b44 c11 c12 c13 c14       , M  c21 c22 c23 c24  c31 c32 c33 c34      c41 c42 c43 c44   Thay vào phương trình (P9), ta tìm dc00 (t )  a11c00 (t )  a12c01 (t )  a13c10 (t )  a14c11 (t ) dt   (t )b11c00 (t )   (t )b12c01 (t )   (t )b13c10 (t )   (t )b14c11 (t )   * (t )c11c00 (t )   * (t )c12c01 (t )   * (t )c13c10 (t )   * (t )c14c11 (t ) Đồng nhất với (P5) ta thu được: a11  0, a12  0, a13   0* , a14  b11  0, b12  0, b13  0, b14  c11  0, c12  0, c13  1, c14  dc01 (t )  a21c00 (t )  a22c01 (t )  a23c10 (t )  a24c11 (t ) dt   (t )b21c00 (t )   (t )b22c01 (t )   (t )b23c10 (t )   (t )b24c11 (t )   * (t )c21c00 (t )   * (t )c22c01 (t )   * (t )c23c10 (t )   * (t )c24c11 (t ) Đồng nhất với (P6) ta thu được: a21  0, a22  0, a23   0* , a24   0* b21  0, b22  0, b23  0, b24  c21  0, c22  0, c23  1, c24  dc10 (t )  a31c00 (t )  a32c01 (t )  a33c10 (t )  a34c11 (t ) dt   (t )b31c00 (t )   (t )b32c01 (t )   (t )b33c10 (t )   (t )b34c11 (t )   * (t )c31c00 (t )   * (t )c32c01 (t )   * (t )c33c10 (t )   * (t )c34c11 (t ) Đồng nhất với (P7) ta thu được: a31   , a32   , a33  0, a34  b31  1, b32  1, b33  0, b34  c31  0, c32  0, c33  0, c34  luan an PL dc11 (t )  a41c00 (t )  a42c01 (t )  a43c10 (t )  a44c11 (t ) dt   (t )b41c00 (t )   (t )b42c01 (t )   (t )b43c10 (t )   (t )b44c11 (t )   * (t )c41c00 (t )   * (t )c42c01 (t )   * (t )c43c10 (t )   * (t )c44c11 (t ) Đồng nhất với (P8) ta thu được: a41  0, a42   , a43  0, a44  b41  0, b42  1, b43  0, b44  c41  0, c42  0, c43  0, c44  Từ đó, ta tìm ma trận M1, M2, M3 có dạng sau:  0  0*    0  0*  0*   M1  ,   0      0  0 0 M2   1  0 0 1 0 0 0 0 0  0 , M      0 0 0 0 1 0 0  0  0 Từ lý thuyết về trình ngẫu nhiên hàm Q thỏa mãn phương trình: d Q   M1  a0 M , M  / 2 Q , dt (P10) đó 1 1 M , M   M M  M M    0 c00    0  0*  1 c   1 * * d  01    0      a0      0 dt c10    0       0  c11     0  0 0  1  1 0   c00   0    c01  / 2    c10     1    c11  Từ đó ta rút hệ phương trình trung bình ngẫu nhiên biến: i a a d c00 (t )  c00  t   c01 (t )   0*c10 (t ) , dt 2 i a d c01 (t )  c00 (t )  a0c01 (t )   0*c10 (t )   0*c11 (t ) , dt luan an PL a d c10 (t )   0c00 (t )   0c01 (t )  a0c10 (t )  c11 (t ) , dt a a d i c11 (t )   0c01 (t )  c10 (t )  c11 (t ) dt 2 i luan an PL Tìm các ma trận các biểu thức (3.14) (3.15) Từ hệ bốn phương trình: d c00 (t )   * c10 (t )   * c01 (t ), dt d i c01 (t )   * c10 (t )   * c11 (t )   c00 (t ), dt d i c10 (t )   c01 (t )   c00 (t )   *c11 (t ), dt d i c11 (t )   c01 (t )   c10 (t ) dt i (P11) Khi có nhiễu:          (t ), thay vào hệ phương trình ta được: i i d c00 (t )   0*c10 (t )   *  t  c10 t   0*c01 (t )   * t  c01 t  , dt (P12) d c01 (t )   0*c10 (t )   * (t )c10 (t )   0*c11 (t )   * t  c11 (t )   c00 (t )   (t )c00 (t ), dt d c10 (t )   0c01 (t )    t  c01 (t )   0c00 (t )   t  c00 (t )   0*c11 (t )   * (t )c11 (t ) , dt d i c11 (t )   0c01 (t )    t  c01 (t )   0c10 (t )    t  c10 (t ) dt i (P13) (P14) (P15) Trong trường hợp này, tập hợp phương trình chuyển động ((P12) - (P15)) có dạng phương trình vi phân ngẫu nhiên sau: i dQ   M   (t ) M   * (t ) M  Q , dt (P16) đó Q hàm véctơ theo thời gian M1, M2, M3 ma trận hằng, với dạng sau:  a11 a12 c00  a a c  21 22 01   Q M1   ,  a31 a32 c10     c11   a41 a42 a13 a 14 a23 a24 a33 a34 a43 a44 b11 b12     , M  b21 b22 b31 b32    b41 b42  Thay vào phương trình (P16) luan an b13 b 14 b23 b24 b33 b 34 b43 b44  c11 c12 c13 c14      , M  c21 c22 c23 c24   c31 c32 c33 c34      c41 c42 c43 c44  PL i dc00 (t )  a11c00 (t )  a12c01 (t )  a13c10 (t )  a14c11 (t ) dt   (t )b11c00 (t )   (t )b12c01 (t )   (t )b13c10 (t )   (t )b14c11 (t )   * (t )c11c00 (t )   * (t )c12c01 (t )   * (t )c13c10 (t )   * (t )c14c11 (t ) Đồng nhất với (P12): a11  0, a12   0* , a13   0* , a14  b11  0, b12  0, b13  0, b14  c11  0, c12  1, c13  1, c14  i dc01 (t )  a21c00 (t )  a22c01 (t )  a23c10 (t )  a24c11 (t ) dt   (t )b21c00 (t )   (t )b22c01 (t )   (t )b23c10 (t )   (t )b24c11 (t )   * (t )c21c00 (t )   * (t )c22c01 (t )   * (t )c23c10 (t )   * (t )c24c11 (t ) Đồng nhất với (P13): a21   , a22  0, a23   0* , a24   0* b21  1, b22  0, b23  0, b24  c21  0, c22  0, c23  1, c24  i dc10 (t )  a31c00 (t )  a32c01 (t )  a33c10 (t )  a34c11 (t ) dt   (t )b31c00 (t )   (t )b32c01 (t )   (t )b33c10 (t )   (t )b34c11 (t )   * (t )c31c00 (t )   * (t )c32c01 (t )   * (t )c33c10 (t )   * (t )c34c11 (t ) Đồng nhất với (P14): a31   , a32   , a33  0, a34   0* b31  1, b32  1, b33  0, b34  c31  0, c32  0, c33  0, c34  i dc11 (t )  a41c00 (t )  a42c01 (t )  a43c10 (t )  a44c11 (t ) dt   (t )b41c00 (t )   (t )b42c01 (t )   (t )b43c10 (t )   (t )b44c11 (t )   * (t )c41c00 (t )   * (t )c42c01 (t )   * (t )c43c10 (t )   * (t )c44c11 (t ) Đồng nhất với (P15): a41  0, a42   , a43   , a44  b41  0, b42  1, b43  1, b44  c41  0, c42  0, c43  0, c44  luan an PL Từ đó, ta tìm ma trận M1, M2, M3:   0*  0*     0  0*  0*   M1  ,   0  0*       0  0 1 M2   1  0 0 1 0 0 0 M3   0  0 0  , 0  0 0 1 0 0  0  0 Từ lý thuyết trình ngẫu nhiên hàm Q thỏa mãn phương trình: d Q   M1  a0 M , M  / 2 Q dt 2 1 M , M   M M  M M    0 c00      d  c01   i  dt  c10       c11    0* 0 0  0*  0* 0 0 1  1  0*   a0  0  0*     0 (P17) 0 1 0 0 0  1  2 (P18) 0 c00   0  c01  / 2 1  c10     1   c11  (P19) Từ đó ta rút hệ phương trình trung bình ngẫu nhiên biến: a d  kl   kl  c00 (t )  a0 c00  t     0*   c01 kl   t    0*c10 kl  (t ), dt 2  a   kl  3a d  kl   i c01 (t )      c00  t   c01 kl   t    0*  a0  c10 kl  (t )   0*c11 kl  (t ), dt 2  i i 3a  kl  a d  kl   kl   kl  c10 (t )   c00 (t )    a0  c01 (t )  c10  t     0*  dt 2  i a d  kl    kl  c11 (t )   c01 (t )     dt    kl   c11 (t ),    kl   kl   c10 (t )  a0 c11 (t )  Tìm các ma trận các biểu thức (3.22) (3.23) Từ hệ ba phương trình: d c20 (t )  2 c02 (t ), dt d i c12 (t )   c02 (t ), dt d i c02 (t )  2 *c20 (t )   *c12 (t ) dt i luan an (P20) PL Khi có nhiễu:          (t ), thay vào hệ ba phương trình ta được: d c20 (t )      t   c02 (t ), dt d i c12 (t )      t   c02 (t ), dt d i c02 (t )   0*   *  t   c20 (t )   0*   *  t   c12 (t ) dt i (P21) (P22) (P23) Trong trường hợp này, tập hợp phương trình chuyển động ((P21) - (P23)) có dạng phương trình vi phân ngẫu nhiên sau: dQ  M    t  M   *  t  M  Q , dt (P24) đó Q hàm véctơ theo thời gian M1, M2, M3 ma trận có dạng c11 c12 c13  b11 b12 b13   a11 a12 a13  c20        Q  c12  , M1   a21 a22 a23  , M  b21 b22 b23  , M  c21 c22 c23  c31 c32 c33  b31 b32 b33   a31 a32 a33  c02  Thay vào phương trình (P24), ta được: i dc20 (t )  a11c20 (t )  a12c12 (t )  a13c02 (t ) dt   (t )b11c20 (t )   (t )b12c12 (t )   (t )b13c02 (t )   * (t )c11c20 (t )   * (t )c12c12 (t )   * (t )c13c02 (t ) Đồng nhất với (P21), ta thu a11  0, a12  0, a13  2 b11  0, b12  0, b13  c11  0, c12  0, c13  i dc12 (t )  a21c20 (t )  a22c12 (t )  a23c02 (t ) dt   (t )b21c20 (t )   (t )b22c12 (t )   (t )b23c02 (t )   * (t )c21c20 (t )   * (t )c22c12 (t )   * (t )c23c02 (t ) Đồng nhất với (P22), ta thu luan an PL a21  0, a22  0, a23   b21  0, b22  0, b23  c21  0, c22  0, c23  i dc02 (t )  a31c20 (t )  a32c12 (t )  a33c02 (t ) dt   (t )b31c20 (t )   (t )b32c12 (t )   (t )b33c02 (t )   * (t )c31c20 (t )   * (t )c32c12 (t )   * (t )c33c02 (t ) Đồng nhất với (P23), ta thu a31  2 0* , a32   0* , a33  b31  0, b32  0, b33  c31  2, c32  1, c33  Từ đó, ta tìm ma trận M1, M2, M3: 2   M1   0   , 2 0*  0*  0  M  0 1 , 0 0  0 0 M  0 0 2 0 Từ lý thuyết về trình ngẫu nhiên hàm Q thỏa mãn phương trình: d Q   M1  a0 M , M  / 2 Q dt đó 4 M , M 3  M M  M M  2 0     đó ta được: c20   0 2  d i c12    0  dt c02    2 0*  0*    a0    4 2  0   c20    c     12    c02   Từ đó ta rút hệ phương trình trung bình ngẫu nhiên biến có dạng sau: luan an PL 10 d c20 (t )  2a0 c20  t   a0 c12  t   2 c02 (t ), dt a d i c12 (t )  a0 c20  t   c12  t    c02 (t ), dt 5a d i c02 (t )  2 0*c20 (t )   0*c12 (t )  c02 (t ) dt i luan an ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯƠNG THỊ TÚ OANH ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ĐỂ NGHIÊN CỨU THĂNG GIÁNG LƯỢNG TỬ TRONG CÁC BỘ NỐI PHI TUYẾN KIỂU KERR LUẬN ÁN TIẾN... nhiên, vấn đề chưa nghiên cứu cách đầy đủ Với tính cấp thiết vấn đề nghiên cứu, chúng chọn ? ?Ứng dụng lý thuyết trình ngẫu nhiên để nghiên cứu thăng giáng lượng tử nối phi tuyến kiểu Kerr? ??... Bố cục luận án Chương LÝ THUYẾT CƠ SỞ CỦA QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ MƠ HÌNH KÉO LƯỢNG TỬ PHI TUYẾN 1.1 Các mơ hình ngẫu nhiên ánh sáng laser 1.1.1 Thăng giáng biên độ pha