Phương pháp thế vị cho phương trình Parabolic với nguồn dạng lũy thừa chứa biến (Đề tài NCKH)

Phương pháp thế vị cho phương trình Parabolic với nguồn dạng lũy thừa chứa biến (Đề tài NCKH) Phương pháp thế vị cho phương trình Parabolic với nguồn dạng lũy thừa chứa biến (Đề tài NCKH) Phương pháp thế vị cho phương trình Parabolic với nguồn dạng lũy thừa chứa biến (Đề tài NCKH) Phương pháp thế vị cho phương trình Parabolic với nguồn dạng lũy thừa chứa biến (Đề tài NCKH) Phương pháp thế vị cho phương trình Parabolic với nguồn dạng lũy thừa chứa biến (Đề tài NCKH) Phương pháp thế vị cho phương trình Parabolic với nguồn dạng lũy thừa chứa biến (Đề tài NCKH) Phương pháp thế vị cho phương trình Parabolic với nguồn dạng lũy thừa chứa biến (Đề tài NCKH) Phương pháp thế vị cho phương trình Parabolic với nguồn dạng lũy thừa chứa biến (Đề tài NCKH) Phương pháp thế vị cho phương trình Parabolic với nguồn dạng lũy thừa chứa biến (Đề tài NCKH) Phương pháp thế vị cho phương trình Parabolic với nguồn dạng lũy thừa chứa biến (Đề tài NCKH) Phương pháp thế vị cho phương trình Parabolic với nguồn dạng lũy thừa chứa biến (Đề tài NCKH) Phương pháp thế vị cho phương trình Parabolic với nguồn dạng lũy thừa chứa biến (Đề tài NCKH) Phương pháp thế vị cho phương trình Parabolic với nguồn dạng lũy thừa chứa biến (Đề tài NCKH) Phương pháp thế vị cho phương trình Parabolic với nguồn dạng lũy thừa chứa biến (Đề tài NCKH) Phương pháp thế vị cho phương trình Parabolic với nguồn dạng lũy thừa chứa biến (Đề tài NCKH) Phương pháp thế vị cho phương trình Parabolic với nguồn dạng lũy thừa chứa biến (Đề tài NCKH) Phương pháp thế vị cho phương trình Parabolic với nguồn dạng lũy thừa chứa biến (Đề tài NCKH) Phương pháp thế vị cho phương trình Parabolic với nguồn dạng lũy thừa chứa biến (Đề tài NCKH) Phương pháp thế vị cho phương trình Parabolic với nguồn dạng lũy thừa chứa biến (Đề tài NCKH) Phương pháp thế vị cho phương trình Parabolic với nguồn dạng lũy thừa chứa biến (Đề tài NCKH)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP THẾ VỊ CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC VỚI NGUỒN DẠNG LŨY THỪA CHỨA BIẾN Mã số: T2020-68TĐ Chủ nhiệm đề tài: TS Lê Công Nhàn TP HCM, 12/2020 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP THẾ VỊ CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC VỚI NGUỒN DẠNG LŨY THỪA CHỨA BIẾN Mã số: T2020-68TĐ Chủ nhiệm đề tài: TS Lê Công Nhàn Thành viên đề tài: PGS TS Lê Xuân Trường TS Nguyễn Ngọc Trọng TP HCM, 12/2020 LỜI CẢM ƠN Lời xin gửi đến PGS TS Lê Xuân Trường TS Nguyễn Ngọc Trọng ý kiến đóng góp hữu ích q trình thảo luận thực đề tài Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám Hiệu, Phòng Khoa học Công nghệ Quan hệ Quốc tế Khoa Khoa học Ứng dụng Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành đề tài Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô Bộ mơn Tốn, Khoa Khoa học Ứng dụng giúp đỡ, trao đổi, thảo luận, đóng góp ý kiến tạo điều kiện thuận cho tơi suốt q trình thực đề tài TP HCM, tháng 12 năm 2020 Người thực Lê Công Nhàn i MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii DANH SÁCH KÝ HIỆU THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU INFORMATION ON RESEARCH RESULTS MỞ ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị 15 1.1 Không gian Sobolev 15 1.2 Toán tử đơn điệu 17 1.3 Không gian hàm với số mũ biến 19 1.4 Không gian hàm phụ thuộc thời gian 21 1.5 Một số bất đẳng thức 24 Chương Phương pháp vị cho phương trình p( x )-Laplace với nguồn dạng lũy thừa chứa biến 27 2.1 Giới thiệu 27 2.2 Tính chất tồn nghiệm địa phương 29 2.3 Năng lượng đầu nhỏ 30 2.3.1 Bài toán Elliptic 30 2.3.2 Tính chất khơng tồn tồn cục 35 2.3.3 Tính chất tồn tồn cục dáng điệu nghiệm 39 Năng lượng đầu cao 43 2.4 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 ii DANH SÁCH KÝ HIỆU X, X Không gian Banach X đối ngẫu X k · kX Chuẩn không gian X h·, ·i Tích đối ngẫu tích vơ hướng L2 (Ω) C0 (Ω) ≡ C (Ω) Không gian hàm số u : Ω → R liên tục Ω C m (Ω) Không gian hàm u ∈ C0 (Ω) cho Di u ∈ C0 (Ω) với i = 1, 2, , m C m (Ω) Không gian hàm u ∈ C m (Ω) cho Di u bị chặn liên tục Ω C ∞ (Ω) T∞ C0∞ (Ω) Không gian hàm u ∈ C ∞ (Ω) có giá compắc L p = L p (Ω) Không gian hàm đo Lebesgue u : Ω → R R
1/p : Ω h g(t), f (t)i X ,X dt ≤ k f (t)k L p (0,T;X ) k g(t)k L p0 (0,T;X ) Đặc biệt, un → u mạnh L p (0, T; X ) → v yếu L p (0, T; X ) ta có Z t hvn (s), un (s)i X ,X ds −→ Z t hv(s), u(s)i X ,X ds, 22 n → ∞ Tiếp theo, ta định nghĩa đạo hàm hàm không gian L p (0, T; X ) Ta ký hiệu D (0, T; X ) không gian phân bố giá trị X xác định (0, T ), tức là, D (0, T; X ) := L (D (0, T ) ; X ) Định nghĩa 1.21 (Đạo hàm phân bố) Cho f ∈ D (0, T; X ) Khi đạo hàm phân bố (đạo hàm tổng quát) f , Z T ∂f ∂t ∂f ∂t ∈ D (0, T; X ) xác định (t)φ(t)dt = − Z T f (t) ∂φ (t)dt, ∂t ∀φ ∈ Cc∞ (0, T ) Giả sử X không gian Banach, H không gian Hilbert cho phép nhúng sau liên tục X ,→ H ,→ X , phép nhúng X ,→ H compact Với < p < ∞, ta ký hiệu W 1,p (0, T; X, H ) sau W 1,p (0, T; X, H ) := n p f ∈ L (0, T; X ) : f ∈ L p0 0, T; X
o Khi W 1,p (0, T; X, H ) không gian Banach với chuẩn k f k := k f k L p (0,T;X ) + f L p0 (0,T;X ) Hơn nữa, phép nhúng sau liên tục W 1,p (0, T; X, H ) ,→ C ([0, T ]; H ) , < p < ∞ Bổ đề 1.22 (Lions) Cho Q miền bị chặn Rnx × R+ t , gm g hàm thuộc Lq (Q), < q < ∞ thỏa k gm k Lq (Q) ≤ C gm ( x, t) → g ( x, t) h.h ( x, t) ∈ Q Khi gm * g yếu Lq (Q) Bổ đề 1.23 (Aubin–Lions) Giả sử X0 , X X1 ba không gian Banach cho phép nhúng X0 ,→ X ,→ X1 liên tục phép nhúng X0 ,→ X compact Với ≤ p, q ≤ ∞, đặt  W = u ∈ L p (0, T; X0 ) : u0 ∈ Lq (0, T; X1 ) Khi đó, ta có: 23 (i) Nếu p < ∞ phép nhúng W ,→ L p (0, T; X ) compact (ii) Nếu p = ∞ q > phép nhúng W ,→ C ([0, T ]; X ) compact Để kết thúc phần chúng tơi trình bày khơng gian hàm phụ thuộc thời gian với số mũ biến W ( Q T ) (chi tiết xem [8]) Trước hết ta ký hiệu V (Ω) n o 1,1 p( x ) V (Ω) = u( x ) : u ∈ L (Ω) ∩ W0 (Ω) , |∇u| ∈ L (Ω) Khi V (Ω) khơng gian Banach với chuẩn kukV = kuk2 + k∇uk p(·) , ký hiệu V0 đối ngẫu Khơng gian V (Ω) không gian phản xạ 1,p− khả ly khơng gian đóng W0 ( Ω ) ∩ L2 ( Ω ) Cuối ta ký hiệu W ( Q T ) không gian Banach n o W ( Q T ) := u : [0, T ] → V (Ω) |u ∈ L2 ( Q T ) , |∇u| ∈ L p(·) ( Q T ) , u = Γ T trang bị chuẩn kukW(QT ) := kuk L2 (QT ) + k∇uk L p(·) (QT ) Và ký hiệu W0 ( Q T ) không gian đối ngẫu W ( Q T ) tương ứng với tích vơ hướng L2 ( Q T ) 1.5 Một số bất đẳng thức Bất đẳng thức Cauchy ab ≤ εa2 + b2 , ∀ a, b > 0, ε > 4ε Bất đẳng thức Young Cho p, q ∈ (1, ∞) thỏa p−1 + q−1 = Khi ε p p ε−q q ab ≤ a + b , ∀ a, b > 0, ε > p q 24 Bất đẳng thức vi phân tích phân Bất đẳng thức tích phân sau c gi l bt ng thc Gronwall ă BellmanBihari ([3], p.53) Bổ đề 1.24 Giả sử S(t) hàm số liên tục không âm thỏa S(t) ≤ C1 + C2 Z t Sκ (s)ds, ∀t ≥ 0, (1.5.3) C1 , C2 số dương κ > Khi ta có: h i 1−κ 1−κ (i) S(t) ≤ C1 + (1 − κ )C2 t < κ < 1; (ii) S(t) ≤ C1 exp{C2 t} κ = 1; h i− κ −1 κ −1 κ > (iii) S(t) ≤ C1 − (κ − 1)C2 C1 t Để chứng minh tính chất tắt dần nghiệm, sử dụng bổ đề sau (xem Haraux [44, 45], Komornik [55]) Bổ đề 1.25 ([55]) Giả sử E : R+ → R+ hàm không tăng thỏa bất đẳng thức tích phân Z ∞ t E1+σ (s) ds ≤ σ E (0) E ( t ), C for all t ≥ 0, σ ≥ C > số dương Khi E thỏa đánh giá sau: (i) Nếu σ = E(t) ≤ E(0)e1−Ct với t ≥ 0;  1/σ 1+ σ (ii) Nếu σ > E(t) ≤ E(0) 1+ với t ≥ σCt Để chứng minh tính chất bùng nổ thời gian hữu hạn, cần bổ đề phụ trợ sau, xem [25] Bổ đề 1.26 Giả sử ψ : R+ → R+ hàm khả vi thỏa dψ (t) ≥ Cψσ (t) dt với t ≥ 0, (1.5.4) σ > C > số Khi tồn T∗ > cho lim ψ(t) = ∞ Hơn nữa, ta có đánh giá   σ −1 ψ(t) ≥ , ψ 1− σ (0 ) − C ( σ − ) t Trong T∗ = ψ1−σ (0)/C (σ − 1) 25 t→ T∗− t ∈ [0, T∗ ) (1.5.5) Bổ đề 1.27 Giả sử Φ : R+ → R+ hàm khả vi cấp hai tồn t0 > thỏa Φ(t0 ) > Φ0 (t0 ) > Giả sử thêm Φ thỏa bất đẳng thức Φ(t)Φ00 (t) − α(Φ0 (t))2 ≥ (1.5.6) với t ≥ t0 , α > số Khi tồn T∗ > cho lim Φ(t) = t→ T∗− ∞ Cụ thể ta có đánh giá Φ(t) ≥  Φ 1− α ( t ) − Φ ( t − t ) 1/(α−1) (1.5.7) với t ∈ [t0 , T∗ ), Φ0 = (α − 1)Φ0 (t0 )/Φ(t0 ) > số T∗ = t0 + Φ ( t0 ) ( α − 1) Φ ( t0 ) Chứng minh Đặt Ψ(t) = Φ1−α (t) Tính tốn trực tiếp ta Φ0 (t) Ψ ( t ) = (1 − α ) α Φ (t) Φ00 (t)Φ(t) − α (Φ0 (t)) Ψ ( t ) = (1 − α ) Φ α +1 ( t ) 00 Do (1.5.6) nên Ψ00 (t) ≤ với t ≥ t0 Từ ta suy Ψ ( t ) ≤ Ψ ( t0 ) + Ψ ( t0 ) ( t − t0 ) , t ≥ t0 , hay Φ 1− α ( t ) ≤ Φ 1− α ( t ) − Φ ( t − t ) , t ≥ t0 , Φ0 = (α − 1) Φ0 (t0 )/Φα (t0 ) số dương Vì ta có Φ(t) ≥  1 − α Φ ( t0 ) − Φ0 ( t − t0 ) 1/(α−1) , t ∈ [t0 , T∗ ) T∗ = t0 + Φ(t0 )/(α − 1)Φ0 (t0 ) Do lim Φ(t) = ∞ Bổ đề chứng t→ T∗− minh xong ———-oOo———26 C HƯƠNG PHƯƠNG PHÁP THẾ VỊ CHO PHƯƠNG TRÌNH p( x )-L APLACE VỚI NGUỒN DẠNG LŨY THỪA CHỨA BIẾN 2.1 Giới thiệu Trong chương này, chúng tơi xét tốn biên giá trị đầu sau:    u − ∆ p( x) u = |u|q( x)−2 u, ( x, t) ∈ Q T ,   t ( x, t) ∈ Γ T , u( x, t) = 0,     u( x, 0) = u ( x ), (2.1.1) x ∈ Ω, Ω ⊂ R N miền bị chặn với biên trơn ∂Ω, Q T := Ω × (0, T ), Γ T := 1,p(·) ∂Ω × (0, T ), u0 ∈ W0 (Ω) p, q hàm thỏa p ∈ Plog (Ω), q ∈ P (Ω) với < p− ≤ p+ < ∞, < q− ≤ q+ < ∞, ess inf ( p∗ ( x ) − q( x )) > x ∈Ω (H) Mục đích chúng tơi chương mở rộng phương pháp vị (potential well method) Payne Sattinger [67] (cũng xem Sattinger [73]) để nghiên cứu khơng tính chất khơng tồn tồn cục mà cịn điều kiện để nghiệm toán tồn tồn cục dáng điệu nghiệm nghiên cứu Một khó khăn nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng với điều kiện tăng trưởng khơng chuẩn ta tính chất tốn khoảng trống modular chuẩn không gian hàm với số mũ 27 biến Chính khó khăn nên kỹ thuật biết trước với số mũ khơng thể áp dụng vào tốn mà đề tài nghiên cứu Để vượt qua khó khăn chúng tơi phải sử dụng nhiều kỹ thuật đánh giá tinh vi hơn, cụ thể trình bày Phần 2.3 Phần 2.4 Bây chúng tơi định nghĩa nghiệm yếu tốn (2.1.1) thời gian tồn cực đại (maximal existence time) Tmax nghiệm sau: Định nghĩa 2.1 (Nghiệm yếu) Một hàm số u( x, t) ∈ W ( Q T ) ∩ L∞ 0, T; L2 (Ω)
gọi nghiệm yếu toán (2.1.1) với t1 , t2 ∈ [0, T ], ta có Z t2 Z  Ω t1 t2 uϕt − |∇u| p( x)−2 ∇u · ∇ ϕ + |u|q( x)−2 uϕ dx dt = uϕ dx , Ω Z  t1 (2.1.2)
với hàm thử ϕ ∈ W ( Q T ) ∩ L∞ 0, T; L2 (Ω) thỏa ϕt ∈ W0 ( Q T ) Chú ý 2.2 Cho p ∈ Plog (Ω) thỏa < p− ≤ p+ < ∞ Khi với u, ϕ ∈ W ( Q T ) thỏa ut , ϕt ∈ W0 ( Q T ) ta có cơng thức tích phân phần sau (xem [8, Mệnh đề 2.5]) Z t2 Z t1 t2 uv dx ... cứu đề tài với tên gọi: Phương pháp vị cho phương trình parabolic với nguồn dạng lũy thừa chứa biến Để thu kết đề tài kết hợp sử dụng phương pháp giải tích hàm phi tuyến với phương pháp vị giới... KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP THẾ VỊ CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC VỚI NGUỒN DẠNG LŨY THỪA CHỨA BIẾN Mã số: T2020-68TĐ Chủ nhiệm đề tài: TS Lê Công Nhàn Thành viên đề tài: PGS... hạn cho nghiệm phương trình sóng phương trình nhiệt có dạng (8) Phương pháp sau nghiên cứu mở rộng cho nhiều lớp phương trình khác phương trình sóng nhiệt [16, 25, 37, 38, 39, 46, 76], phương trình