Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M đồng thời cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác OMA gấp đôi diện tích tam giác OMB.. 1
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN KHÁNH HÒA NĂM HỌC: 2013 – 2014
MÔN THI: TOÁN (KHÔNG CHUYÊN)
Ngày thi: 21/06/2013
(Đề thi có 01 trang) (Thời gian: 120 phút - không kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 2,00 điểm) (Không dùng máy tính cầm tay)
1) Chứng minh: 22 3 2 10 3 11 2
2) Cho biểu thức P = ( 1)
1
với a > 0 và a ≠ 1
Rút gọn rồi tính giá trị của P tại a = 20142
Bài 2: (2,00 điểm)
1) Tìm x biết 3 2x 3 8x 12 1 2
2) Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
Bài 3: (2,00 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parapol (P): 1 2
4
1) Vẽ đồ thị (P)
2) Gọi M là điểm thuộc (P) có hoành độ x = 2 Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M đồng thời cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác OMA gấp đôi diện tích tam giác OMB
Bài 4: (4,00 điểm)
Cho đường tròn (O; 3cm) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau Gọi M là điểm tùy ý thuộc đoạn OC ( M khác O và C) Tia BM cắt cắt đường tròn (O) tại N
1) Chứng minh AOMN là một tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh ND là phân giác của ANB
3) Tính: BM BN
4) Gọi E và F lần lượt là hai điểm thuộc các đường thẳng AC và AD sao cho M là trung điểm của EF Nếu cách xác định các điểm E, F và chứng minh rằng tổng (AE + AF) không phụ thuộc vào vị trí của điểm M
- HẾT -Giám thị không giải thích gì thêm
Họ tên thí sinh: ……… SBD:………/ Phòng: ……… Giám thị 1: ……… Giám thị 2: ………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI
(GV Lê Quốc Dũng, THCS Trần Hưng Đạo, Nha Trang)
Bài 1: ( 2,00 điểm)
1) Chứng minh: 22 3 2 10 3 11 2
Ta có: 22 3 2 10 3 11
2
2( 11 3) 10 3 11
( 11 3) 20 6 11 ( 11 3) ( 11 3)
( 11 3)( 11 3) 11 9 2
2) P = ( 1)
1
(ĐK : a > 0 và a ≠ 1)
Với a = 20142, ta có : P = 20142 1 2014 1 2013
Bài 2: (2,00 điểm)
1) Tìm x biết 3 2x 3 8x 12 1 2 (ĐK: x ≥ -3/2)
3 2x 3 2 2x 3 1 2
2x 3 1 2
( 2x 3) 2 (1 2)2 3 2 2
2x 3 3 2 2
x 2 (thỏa đk)
2) Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2
2 2
3x 4 6x 4 11 (1)
Lấy (1) trừ (2), ta có: 11y2 + 11y = 22 y2 +y – 2= 0 y = 1 hoặc y = -2
* Với y = 1, thay vào (1), ta có pt: 3x2 +6x + 3=0 3(x+1)2 = 0 x = -1
* Với y = -2, thay vào (1), ta có pt: 3x2 +6x + 3=0 3(x+1)2 = 0 x = -1 Vậy hpt có nghiệm (x ;y) { (-1 ;1), (-1 ;-2)}
Bài 3: (2,00 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parapol (P): 1 2
4
Trang 31) Vẽ đồ thị (P) ( các em tự vẽ)
2) Gọi M là điểm thuộc (P) có hoành độ x = 2 Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M đồng thời cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác OMA gấp đôi diện tích tam giác OMB
Gọi A(x ; 0) và B(0 ; y)
Vì M thuộc (P) có x = 2 nên: y = -1 Vậy M (2 ; -1)
Ta có : SOMA = 1
2 .1.OA ; SOMB = 1
2.2.OB
và từ: SOMA= 2SOMB OA = 4.OB hay : x = 4.y x = 4y 1
4
y
x = k
(Với k là hệ số góc của đường thẳng (d) qua M và thỏa điều kiện đề bài)
Đường thẳng qua M(2 ; -1) có hệ số góc k và thỏa điều kiện đề bài là :
(d1) : 1 3
y x và (d2) : y = 1 1
4x 2
Bài 4: (4,00 điểm)
1) Chứng minh AOMN là một tứ giác nội tiếp
Ta có : ANB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa (O))
Suy ra: ANB+ AOM= 1800
tứ giác AOMN nội tiếp
2) Chứng minh : ND là phân giác của ANB
Ta có : AB, CD là đường kính của (O)
AB CD (gt) ADBD ANDBN D ND là phân giác của góc ANB
3) Tính: BM BN
Do BOM BNA (gg)
BN BA BM.BN = BO.BA=3.6=18 BN BM . 18 3 2 cm
M
1
2
-1
A
B
O
E
F N
B
A
D O
C
M
Trang 44) Ta có: EAF vuông tại A (CA D 900, E AC, F AD) có M là trung điểm của EF MA
= ME = MF M là tâm của đường tròn qua M có bán kính MA Điểm E, F là giao điểm của đường tròn (M; MA) với AC và AD
Ta có: AM = BM ( vì M nằm trên CD là trung trực của AB)
MA = MB = ME = MF tứ giác AEBF nội tiếp BF DA BE
Ta lại có: BDF BCE = 900,
suy ra: DBF CBE
Xét tam giác BDF và tam giác BCE, ta có: BC = BD ; DBF CBE ; BDF BCE = 900 nên
BDF = BCE(gcg) DF = CE
Vậy : AE + AF = (AC + CE) + AF=AC+(CE+AF) = AC + (DF+AF) = AC+ AD=2AD
Mà OAD vuông cân tại O nên AD = OA2OD2 3 32 2 3 2
AE + AF = 3 2
Vậy tổng AE + AF không phụ thuộc vào vị trí điểm M