Tuyển tập một số bài toán bất đẳng thức trong kì thi chuyên Toán

NGUYỄN NHẤT HUY TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Ð TU YỂ N TẬ P BẤ T Đ Ẳ N G TH Ứ C C H UY ÊN TO Á N Tuyển tập một số bài toán bất đẳng thức trong kì thi chuyên toán 2020 Nguyễn Nhất Huy, Chuyên Phan Bội C[.]

NGUYỄN NHẤT HUY TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Tuyển tập số toán bất đẳng thức kì thi chun tốn 2020 Ngày 15 tháng 10 năm 2020 Tóm tắt nội dung Vậy mùa tuyển sinh vào 10 lại qua với xuất nhiều tốn hay khó sở đưa Và năm, bất đẳng thức chủ đề quen thuộc với vấn đề tương đối khó cần bạn học sinh có kỹ phân tích biến đổi tốt để giải chúng Với danh nghĩa học sinh trải qua mùa thi vừa đỗ trường chuyên tiếng Chuyên KHTN Hà Nội Chuyên Phan Bội Châu, xin mạnh dạn viết lên chuyên đề "Tuyển tập số toán bất đẳng thức kì thi chun tốn 2020" với mục đích nhìn lại tốn qua giúp em khóa sau có tài liệu để ơn tập đạt kết cao Trong tài liệu có trình bày kiến thức lời giải toán thi mùa thi vừa rồi, tiếp chuyên đề giúp bạn nhập mơn với kỹ thuật khó Để hồn thành chuyên đề này, xin cảm ơn tới anh Nguyễn Minh Tuấn dạy kĩ sử dụng LATEX thiết kế lên tài liệu mà bạn đọc, bên cạnh anh người tư vấn giúp tơi vấn đề thiếu sót mặt kiến thức Vì cịn chưa có kinh nghiệm nhiều tuổi đời kiến thức nên chắn q trình biên soạn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, mong bạn đọc thầy góp ý bỏ qua Cuối xin cảm ơn người ủng hộ dõi theo Mục lục Các kiến thức bất đẳng thức 1.1 Một số kí hiệu sử dụng tài liệu 1.2 Bất đẳng thức AM – GM 1.3 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz 1.4 Điều kiện có nghiệm phương trình 2 Các tốn kì thi chun tốn Giới thiệu số phương pháp chứng minh bất đẳng thức khác 38 3.1 Tam thức bậc phương pháp miền giá trị 38 3.2 Phương pháp đổi biến PQR bất đẳng thức Schur 45 3.3 Phân tích tổng bình phương SOS phân tích Schus - SOS 51 Các toán luyện tập 59 Ð TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN TOÁN Nguyễn Nhất Huy, Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An Nguyễn Nhất Huy Š Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Các kiến thức bất đẳng thức 1.1 Một số kí hiệu sử dụng tài liệu X 1 1 = 2+ 2+ 2 ab ab bc ca cyc X 1 1 1 = 2+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2 ab ab ba ca ac bc cb sym Ở cyc viết tắt cyclic sử dụng LATEX BỞI TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC symetric 1.2 X để thay X , sym viết tắt cyc Bất đẳng thức AM – GM Tổng quát với số thực dương x1 , x2 , , xn ta có n X à n Y xi > n n i=1 xi i=1 Dấu "=" x1 = x2 = = xn Với n = n = ta hệ quen thuộc √ a + b > ab √ a + b + c > abc Ngồi bất đẳng thức AM − GM phát biểu dạng mẫu số n X n2 > n X x i=1 i xi i=1 1.3 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Cho số (x1 , x2 , , xn ) (y1 , y2 , , yn ) ta có n X i=1 xi ! n X yi i=1 ! n X > i=1 xi y i !2 Dấu "=" số lập thành số tỉ lệ Dạng cộng mẫu Engel tổng quát !2 n !−1 n n X X X > bi bi i=1 Trong dạng 1.4 x2 a + y2 b i=1 i=1 > (x + y) dạng ta hay gặp a+b Điều kiện có nghiệm phương trình Trong số toán đánh giá - max ta sử dụng tới điều kiện có nghiệm phương trình bậc Cho phương trình ax2 + bx + c = (a 6= 0) Khi ∆ = phương trình có nghiệm , đồng nghĩa vế trái không âm không dương ∆ > phương trình có nghiệm phân biệt Ứng dụng kiến thức áp dụng cho tìm điều kiện có nghiệm để suy min, max ® Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com h Tạp chí tư liệu toán học Nguyễn Nhất Huy Š Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Các toán kì thi chun tốn d Câu Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ T = (a − 1)3 + (b − 1)3 + (c − 1)3 Quảng Bình T = (a − 1)3 + (b − 1)3 + (c − 1)3 = a3 − 3a2 + 3a − + b3 − 3b2 + 3b − + c3 − 3c2 + 3c − Å ã Å ã Å ã 9 = a3 − 3a2 + a + b3 − 3b2 + b + c3 − 3c2 + c + (a + b + c) − 4 4 Å Å ã ã ã Å 3 3 +b b− +c c− + (a + b + c) − =a a− 2 Å Å ã2 ã2 ã2 Å 3 3 =a a− +b b− +c c− − 2 ã2 ã2 Å Å 3 Vì a > 0; a − > 0, ∀ a ∈ R nên a a − > 2 Å ã2 ã Å 3 > 0; c c − > 0, nên T > − Tương tự với b, c ta có b b − 2 Å ã 3 Vậy GTNN T = − (a, b, c) hoán vị , ,0 2  d Câu Cho nguyên dương x, y, z thỏa mãn 1 + + > 2020 x+y x+z y+z p p √ y + 2x2 z + 2y x2 + 2z Tìm giá trị nhỏ P = + + xy zy xz Gia Lai ✍ Lời giải Để giải toán ta sử dụng hai bất đẳng thức phụ sau i) Cho a, b số thực dương ta có 1 + > a b a+b Dấu xảy a = b ii) Cho a, b, c, d, e số thực ta có » p p p a2 + b2 + c2 + d2 + e2 + f > (a + c + e)2 + (b + d + f )2 Dấu xảy a c e = = Đây trường hợp nhỏ bất đẳng thức Mincopsky b d f Phần chứng minh hai bất đẳng thức phụ xin dành cho bạn đọc Áp dụng bất đẳng thức i) cho cặp (x, y); (y, z); (z, x) ta có Å ã Å ã Å ã 1 1 1 1 1 1 ; ; + + + x+y x y y+z y z x+z x z ® Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com h Tạp chí tư liệu tốn học Ð TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN TOÁN ✍ Lời giải Ta biến đổi giả thiết Nguyễn Nhất Huy Š Tuyển tập bất đẳng thức thi chun tốn LATEX BỞI TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Nên theo giả thiết suy 1 + + > 4040 Ta biến đổi biểu thức P , ta x y z p p √ y + 2x2 z + 2y x2 + 2z + + P = xy zy xz       y + 2x2 z + 2y x2 + 2z + + = x2 y z2y2 x2 z     … 1 2 = + 2+ + 2+ + 2 2 x y y z z x Áp dụng bất đẳng thức ii), bất đẳng thức vừa chứng minh ta có  Å Å ã ã √ 1 p 1 +2 > 40402 + 2.40402 = 4040 P > + + + + x y z x y z √ Vậy GTNN P = 4040 x = y = z = 4040  d Câu Cho x, y, z thỏa mãn x2 + y + z = Chứng minh x2 y2 z2 + + > + 2yz + 2xz + 2xy Điện Biên ✍ Lời giải Theo bất đẳng thức Cauchy − Schwarz ta có X
2 X x2 + y + z x4 x2 = > + 2yz x2 + 2x2 yz x + y + z + 2xyz (x + y + z) Mặt khác ta có đánh giá x2 + y + z Như ta suy
2 > (xy + yz + xz)2 > 3xyz (x + y + z) ⇒ xyz (x + y + z)
2 x2 + y + z > x2 + y + z + 2xyz (x + y + z) 1+ = 3 Bất đẳng thức chứng minh hoàn tất 

x3 + y − x2 + y > d Câu Cho x > 1, y > 1, chứng minh D = (x − 1) (y − 1) Trà Vinh ✍ Lời giải Biến đổi biểu thức ban đầu, ta

x3 + y − x2 + y x2 (x − 1) + y (y − 1) x2 y2 (x + y)2 D= = = + > (x − 1) (y − 1) (x − 1) (y − 1) y−1 x−1 x+y−2 Ta cần chứng minh bất đẳng thức (x + y)2 >8 x+y−2 ® Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com h Tạp chí tư liệu tốn học Nguyễn Nhất Huy Š Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Biến đổi tương đương ta đẳng thức đẹp (x + y − 4)2 > Bất đẳng thức ln nên ta có điều phải chứng minh Dấu xảy x = y > ! Nhận xét Đây toán cũ đề chuyên Hà Nội năm 2003-2004 a3 b3 + > a2 + b2 b a d Câu Cho a, b số thực âm Chứng minh Sóc Trăng ✍ Lời giải Theo bất đẳng thức AM − GM ta có   3 a3 a a b b2 b2 3 a a b = + + − >3 − = a2 − b 2b 2b 2 2b.2b.2 2   3 b3 b3 a2 a2 a2 b3 b b a = + + − >3 − = b2 − a 2a 2a 2 2a.2a.2 2 b2 a2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh d Câu Cho a > 2,  a 2a3 + > Chứng minh > 17 b b(a − b) Bắc Kạn ✍ Lời giải Với a > ta ln có Theo bất đẳng thức AM − GM ta có 2a3 +1 > b (a − b) 2a3 +1 a2
= 7a3 > 14a2 ⇔ a2 (7a − 14) a3 a √ 3 + + + 7a3 +4 a a3 + 14a2 2 = > = 17 a2 a2 a2 8a3 Vậy toán chứng minh  d Câu Cho số thực dương a, b Tìm giá trị nhỏ biểu thức … a2 M= + 2+ b … b2 + a2 Kon Tum ✍ Lời giải Theo bất đẳng thức AM − GM ta có … a2 + + b … b2 + > a s   a2 b2 + s   Dấu "=" xảy a = b = ® Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com √ b2 = a2 Ç… a + b … å √ b >2 a  h Tạp chí tư liệu toán học Ð TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN TOÁN  Nguyễn Nhất Huy Š Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán d Câu Cho a, b, c số thực thỏa mãn abc = Chứng minh a2 + b2 + c2 + + 2 + 2 > a(b + 1) + b(c + 1) + c(a + 1) c2 a2 a b b c Kiên Giang ✍ Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz ta có X a2 + LATEX BỞI TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC a2 c Như ta cần chứng minh ã X Å a2 b2 (ab + bc + ca)2 a2 + b2 + c2 = + > + c a b2 a c 1 (ab + bc + ca)2 + a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca + (a + b + c) ⇔ (ab + bc + ca)2 + (a + b + c)2 − (ab + bc + ca) > ab + bc + ca + (a + b + c) ⇔ (ab + bc + ca)2 + (a + b + c)2 − (ab + bc + ca) − (a + b + c) > Mặt khác ta lại có (ab + bc + ca) > 3abc (a + b + c) ⇒ (ab + bc + ca)2 > a + b + c 2 (a + b + c) > (ab + bc + ca) Như bất đẳng thức cần chứng minh ln đúng, ta có điều phải chứng minh  d Câu Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá tri nhỏ biểu thức T =1+ xy + yz + xz Hậu Giang ✍ Lời giải Một toán tương đối đơn giản, theo bất đẳng thức Cauchy − Schwarz ta có = (x + y + z)2 > (xy + yz + xz) ⇒ xy + yz + xz Khi biểu thức T =1+ 3 >1+ =2 xy + yz + xz Vậy toán giải  d Câu 10 Cho a, b hai số dương Chứng minh 1 + > a b a+b √ (b) a2 − ab + 3b2 + > (a + 5b + 2) (a) ® Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com h Tạp chí tư liệu toán học Nguyễn Nhất Huy Š Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn P =√ a2 1 + + Tìm giá trị lớn biểu thức a b c 1 +√ +√ 2 2 − ab + 3b + b − bc + 3c + c − ac + 3a2 + Bình Phước ✍ Lời giải (a) Ta cần chứng minh Ð TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN TOÁN Ý thứ 1 + > Biến đổi biểu thức ta a b a+b a+b 1 + > ⇔ > a b a+b ab a+b ⇔ (a + b)2 > 4ab ⇔ a2 + 2ab + b2 > 4ab ⇔ (a − b)2 > Bất đẳng thức ∀ a, b ∈ R+ nên bất đẳng thức chứng minh √ (b) Ta cần chứng minh a2 − ab + 3b2 + > (a + 5b + 2) Ta biến đổi biểu thức (a + 5b + 2)2 16 ⇔ 16a2 − 16ab + 48b2 + 16 > a2 + 25b2 + + 10ab + 20b + 4a ⇔ a2 − ab + 3b2 + > ⇔ 15a2 − 26ab + 23b2 − 4a − 20b + 12 > ⇔ 13(a − b)2 + 2(a − 1)2 + 10(b − 1)2 > Luôn ∀ a, b ∈ R+ nên bất đẳng thức chứng minh Áp dụng bất đẳng thức (b) ta có P 4 + + a + 5b + b + 5c + c + 5a + Áp dụng bất đẳng thức i) nhiều lần ta Å ã 1 1 1 + + + + a + 5b + a + 3b 2b + a + b 2b 2b Å ã 1 1 1 = + + + + + + 4a 4b 2b 2b 16a 16b Tương tự với hai phân thức lại kết hợp với giả thiết ta suy Å ã 3 1 + + + P a b c a = b = c = Mở rộng đoạn ta dùng ngược bất đẳng a + 5b + thức Cauchy − Schwarz dạng phân thức sau Å ã 64 (1 + + 2)2 1 5 = = + +2 = + + a + 5b + 16 (a + 5b + 2) 16 (a + 5b + 2) 16 a b 16a 16b Vậy GTNN P = Bài tốn chứng minh ® Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com  h Tạp chí tư liệu toán học Nguyễn Nhất Huy Š Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán d Câu 11 Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x2 z + y z + 3z Tìm giá trị nhỏ biểu thức 4z P = + + (x + 1) (y + 3) (1 + 2z)2 Hà Tĩnh ✍ Lời giải 1 + > với ∀a, b > a b (a + b)2 Ta có theo bất đẳng thức AM − GM ta có + > a b ab (a + b)2 Mặt khác ab ⇒ > ab (a + b)2 1 Nên suy + > với ∀a, b > Khi áp dụng bổ đề a b (a + b)2 LATEX BỞI TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Để giải tốn ta chứng minh bổ đề sau P = 8 64 ã2 + ã2 + ã2 + Å > Å > Å 1 (x + 1) (y + 3) (y + 3) x+ x+y+ +1 +2 +5 2z 2z 2z Từ giả thiết suy số dương x2 z + y z + 3z ⇔ x2 + y + z z Đặt = t suy x2 + y + t2 3t Ta có z 256 64 P =Å ã2 = (2x + 2y + t + 10)2 x+y+ +5 2z   2x x + Ta có 2y y + ⇒ 2x + 2y + 4t x2 + y + t2 + 6 3t +   4t t2 + 256 Suy 2x + 2y + t 6 Suy P > = 1, dấu ” = ” xảy x = y = 1, z = (6 + 10) Vậy giá trị nhỏ P  √ √ √ √ d Câu 12 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + a2 + c2 + b2 + c2 = 2021 Chứng minh … b2 c2 2021 a2 + + > b+c a+c a+b 2 Ninh Bình ✍ Lời giải √ √ √ √ Đặt x = b2 + c2 , y = c2 + a2 , z = a2 + b2 với x, y, z > 0; x + y + z = 2021, suy a2 = y + z − x2 x2 + z − y 2 x + y − z , b = ,c = 2 Khi áp dụng bất đẳng thức phụ » » » √ √ √ b + c (b2 + c2 ) = 2x, c + a (c2 + a2 ) = 2y, a + b (a2 + b2 ) = 2z ® Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com h Tạp chí tư liệu tốn học Nguyễn Nhất Huy Š Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Suy y + z − x2 z + x2 − y x + y − z √ √ √ + + 2x 2y 2z đÇ å Ç å Ç åô (y + z)2 (z + x)2 (x + y)2 > √ −x + −y + −z 2x 2y 2z 2 å Ç å Ç åơ đÇ (z + x)2 (x + y)2 (y + z)2 + 2x − 3x + + 2y − 3y + + 2z − 3z = √ 2x 2y 2z 2 > √ [(2(y + z) − 3x) + (2(z + x) − 3y) + (2(x + y − 3z)] 2 … 2021 Suy V T > √ (x + y + z) = 2 2  d Câu 13 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh a b c + + (a2 + b2 + c2 ) ca + ab + bc + 16 Hà Nam ✍ Lời giải Vì a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = nên tồn số thực dương x, y, z cho a= 2x 2y 2z ;b = ;c = y z x Bất đẳng thức trở thành 2y 2z x2 y z2 2x + + + + > 2 y z x y+z z+x x+y Ta có x2 y z2 + 2+ y z x Å Mặt khác ta lại có ã Å > x y z + + y z x ã2 Å x y z >3 + + y z x ã ⇒ x2 y z z2 x y + + > + + 2 y z x y z x x2 y z x x y z z2 x y y z + 2+ > + + = + + y z x y z z x x y z x y (2) (3) Từ (2) (3) có z2 x2 y 2 + 2+ y z x Å ã > x y z x y z + + + + + y z x z x y Lại có ã Å ã Å ã Å 1 1 z x y z 1 x y +y +z + + + + + =x + + + y z x z x y y z x z x y 4x 4y 4z > + + y+z z+x x+y Đẳng thức xảy a = b = c =  d Câu 14 Cho x, y số thực dương thỏa mãn x3 − y > 2x Chứng minh x3 > 2y Khánh Hịa ✍ Lời giải ® Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com h Tạp chí tư liệu tốn học Ð TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN TOÁN VT > ... TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN TOÁN VT > Nguyễn Nhất Huy Š Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Biến đổi giả thi? ??t, ta x3 − y > 2x ⇔ x3 − 2x > y ⇔ 8x3 − 16x > 8y Từ ta cần chứng minh bất đẳng thức. .. liệu tốn học Ð TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN TOÁN bc 3b + 4c + 5a 72 Nguyễn Nhất Huy Š Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Dấu ” = ” xảy a = b = c = Cách Áp dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz... nhathuya1k49c3pbc@gmail.com 11  h Tạp chí tư liệu toán học Ð TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN TOÁN Bến Tre Nguyễn Nhất Huy Š Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán d Câu 19 Với a, b, c số thực không âm thỏa mãn a2