tạp chí toán học mỹ do nhóm một các bạn yêu thích toán học tổng hợp lại Bài toán dãy số là gì ? Trong toán học, một dãy là một danh sách liệt kê các đối tượngsự kiện được sắp xếp có thứ tự; nghĩa là trong dãy có một phần tử đứng trước tất cả các phần tử, còn các phần tử khác đứng trước một phần tử và đứng sau một phần tử nào đó. Như vậy, từ dãy trong toán học có cùng nghĩa tương tự với từ dãy trong dãy núi, dãy cây,... Một dãy A được coi là khác dãy B nếu một trong các điều kiện sau đây xảy ra: A có lực lượng tập hợp hay có số lượng phần tử khác B A có phần tử không thuộc B hay ngược lại A có phần tử được xếp trong một thứ tự khác với B hay ngược lại.
M THPI D Tuyển tập số toán dãy số từ tạp chí tốn Mỹ Mathpiad - Tạp chí tư liệu tốn học Ngày 24 tháng năm 2021 Các toán Bài toán Cho {an }n dãy đơn điệu tăng, với an > 0, đồng thời lim an = n→∞ minh ∞ (a2k−1 + a2k ) · k=1 a2k+1 − a2k a2k+1 + a2k − Chứng a1 + a2 Spiros P Andriopoulos, Third High School of Amalianaa, Eleia, Greece Lời giải Paolo Perfetti, University of Rome Tor Vergata, Italy Từ điều kiện tốn, ta có a2k−1 + a2k 0< a2k+1 + a2k Suy n n a2k+1 − a2k (a2k−1 + a2k ) · a2k+1 + a2k k=1 (a2k+1 − a2k ) = a2n+1 − a2 k=1 Cho n → ∞ ta ∞ (a2k−1 + a2k ) k=1 − a2 − a2k+1 − a2k a2k+1 + a2k − a2 − a1 + a2 , a1 + a2 {an } dãy đơn điệu Bài toán Cho a b hai tập vô hạn số nguyên dương Xét dãy x dãy vô hạn số thực xác định ab11 · · · abnn xn = ,n b +···+bn a1 b + · · · + an b n b1 + · · · bn a, Chứng minh tồn lim xn n→∞ LAT EX by Mathpiad TUYỂN TẬP DÃY SỐ TRONG 10 NĂM TỪ CÁC TẠP CHÍ TỐN CỦA MỸ b, Tìm tất số thực c thỏa mãn, tồn hai dãy a and b cho lim xn = c n→∞ Vazgen Mikayelyan, Yerevan State University, Yerevan, Armenia Lời giải Omran Kouba, Higher Institute for Applied Sciences and Technology, Damascus, Syria a, Đầu tiên, chứng minh xn dãy không tăng Xét dãy sau Λ n = b1 + · · · + bn , Khi đó, xn = Gn An Λn n bn , λn = Λn abkk Gn = , k=1 An = Λn n bk ak , k=1 Λn Do vậy, λ n+1 n+1 an+1 An+1 = (1 − λn+1 ) An + λn+1 an+1 , Gn+1 = G1−λ n Dẫn đến λ n+1 n+1 G1−λ an+1 Gn+1 n = An+1 (1 − λn+1 ) An + λn+1 an+1 = Gn An 1−λn+1 λ n+1 An1−λn+1 an+1 , (1 − λn+1 ) An + λn+1 an+1 Từ suy xn+1 = xn λ n+1 n+1 A1−λ an+1 n (1 − λn+1 ) An + λn+1 an+1 Λn+1 Áp dụng bất đẳng thức AM − GM, với a > 0, A > 0, < λ < A1−λ aλ (1 − λ)A + λa, ta suy xn+1 xn Để ý x1 = xn > với n giới hạn nằm đoạn [0, 1] Do vậy, xn hội tụ đến b, Chúng ta chứng minh rằng, với c ∈ [0, 1], tồn dãy a b cho xn hội tụ đến c với c = 0, chọn bn = an = với n, n(n + 1) xn = (n + 1)n →0 n! · (n + 1)! Với c = 1, chọn bn = an = với n, xn = với n xn → Với < c < 1, chọn bn = với n, chọn √ √ 1+ 1−c 1− 1−c √ √ a1 = , a2 = , an = √ với n c c c Khi đó, xn = c với n LAT nên xn → c EX by Mathpiad TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Bài tốn Cho p số nguyên tố Đặt u Là dãy xác định un = n với n p − un = pun+1−p + un−p với n p Chứng minh với số nguyên dương n vp (n) = vp (un ) Bakir Farhi, University of Béjaia, Béjaia, Algeria Lời giải John H Lindsey II, Cambridge, Massachussetts Đầu tiên, chứng minh quy nạp rằng, với n vp (n!) n − đẳng thức không xảy với p > n > Khẳng định hiển nhiên với n < p Với n p, đặt n = j + ip với j < p i > Áp dụng giả thiết quy nạp, ta có vp ((j + ip)!) = vp (p(2p) · · · (ip)) = i + vp (i!) i+i−1 ip − Hiển nhiên, dấu không xảy với p > Bây giờ, ta chứng minh i i k p uj+k k uj+ip = k=0 với i j cách quy nạp theo i Khẳng định hiển nhiên với i = 0, với i 1, ta có uj+ip = uj+(i−1)p + puj+1+(i−1)p i−1 i−1 i−1 k i − 1+k p uj+k + p uj+1+k k k k=0 = k=0 i−1 i i−1 k i−1 k p uj+k + p uj+k k k−1 k=1 = k=0 i i k p uj+k k = k=0 Bây giờ, ta chứng minh vp (un ) = vp (n) với n Với j < p i 0, ta có i uj+ip = uj + k=1 i k p uj+k k Do uj = j, nên uj+ip không chia hết cho p Mà j + ip không chia hết cho p Do vp (uj+ip ) = = vp (j + ip) Với j = 0, u0 = u1 = 1, nên i u0+ip = k=0 i i k i k p uk = ip + p uk k k k=2 Giả sử p > Khi k > 1, vp i k p uk k vp (i) − vp (k!) + k > vp (i) − k + + k = vp (ip) Từ ta suy vp (uip ) = vp (ip) Bây ta xét p = LATEX by Mathpiad TUYỂN TẬP DÃY SỐ TRONG 10 NĂM TỪ CÁC TẠP CHÍ TỐN CỦA MỸ • Với k = 2, ta có i 2 u2 v2 v2 (i) − + + = v2 (2i) + • Với k > 2, sử dụng nhân tử i(i − 1)(i − 2) i k (với số i − 1, i − số chẵn) iik 2k uk v2 v2 (i) + v2 ((i − 1)(i − 2)) − v2 (k!) + k v2 (i) + − k + + k = v2 (2i) + Từ ta suy v2 (u2i ) = v2 (2i) Bài toán giải Bài toán Cho a ∈ R hàm số f : (−1, 1) → R khả vi Tính lim an − f n→∞ k n2 Dorin Andrica, Babes-Bolyai University, România Lời giải Daniel Lasaosa, Pamplona, Spain Nhận thấy, k n2 → n → ∞, ta có khai triển sau n f k n2 = f (0) + f k n2 f (0) = nf (0) + n k n2 = (a − f (0))n − k f (0) + O n2 n2 Do đó, n k=1 Do n k=1 k= n k+O n f (0) +O n k=1 n(n + 1) , nên n f k=1 Theo RHS, lim O n→∞ n f (0) số, ta có kết luận sau −∞ f (0) > a k f (0) < a lim an − f = ∞ n→∞ n2 f (0) f (0) = a = LATEX by Mathpiad TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Bài tốn √ Cho dãy số sau an = ( 65 − 4)−n , với n ∈ N∗ Chứng minh an ≡ 2, 3( mod 15) Vlad Matei, University of Wisconsin, USA Lời giải Daniel Lasaosa, Pamplona, Spain √ √ √ √ Đặt r = 65 u = ( 65 − 4)−1 = 65 + 4 65 + 16 = r2 + 4r + 16 Để ý u2 = 48r2 + 193r + 776, u3 = 2316r2 + 9312r + 37441 Do đó, u nghiệm phương trình x3 − 48x2 − 12x − = Gọi hai nghiệm lại phương trình v, w, ta có v + w = 48 − u = 32 − 4r − r2 = −12(r − 4) − (r − 4)2 vw = = r − Đầu tiên, ta có u r3 = 43 + = 43 + · 42 < 48 4+ 48 , suy > v + w > −1 > vw > 0, dẫn đến v, w < Và với số 48 nguyên dương n, ta có hay < r − < < |v n + wn | = |v n | + |wn | |v| + |w| < hay > v n + wn > với n chẵn > v n + wn > −1 với n lẻ Ta lại có, v + w2 = (v + w)2 − 2vw = 1552 − 193r − 48r2 v + w3 = (v + w)3 − 3vw(v + w) = 74882 − 9312r − 2316r2 nên u + v + w = 48 ≡ (mod 15), u + v + w2 = 2328 ≡ (mod 15), u3 + v + w3 = 112323 ≡ (mod 15) Bây giờ, ta xét dãy (bn )n xác định b1 = 48, b2 = 2328, b3 = 112323 bn+3 = 48bn+2 + 12bn+1 + bn với nghiệm phương trình u, v, w Do vậy, bn = un + v n + wn với n ∈ N∗ Dễ thấy bn với n ∈ N∗ Do b1 ≡ b2 ≡ b3 ≡ 3(mod15), bn+3 ≡ (bn+2 − bn+1 ) + bn (mod15) nên bn ≡ 3(mod15) với n ∈ N∗ Từ đây, ta kết luận rằng, với n ∈ N∗ , n chẵn, an = [un ] = un + v n + wn − ≡ (mod 15) với n ∈ N∗ , n lẻ, an = [un ] = un + v n + wn ≡ (mod 15) Vậy an ≡ 2, 3(mod15) LATEX by Mathpiad TUYỂN TẬP DÃY SỐ TRONG 10 NĂM TỪ CÁC TẠP CHÍ TỐN CỦA MỸ Bài tốn Xét dãy (an )n xác định a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3 = an+4 = 2an+3 + an+2 − 2an+1 − an , n Chứng minh tồn vô hạn số nguyên dương n thỏa mãn n2 | an Dorin Andrica, Babes-Bolyai University, Cluj Napoca, Romania Lời giải Li Zhou, Polk State College, USA Xét (Fn ) dãy Fibonacci F0 = 0, F1 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn với n Dễ thấy an = nFn với n = 0, 1, 2, Giả sử an = nFn với n = 0, 1, 2, , k với k 3, ta có ak+1 = 2kFk + (k − 1)Fk−1 − 2(k − 2)Fk−2 − (k − 3)Fk−3 = 2kFk + 2Fk−1 − (k − 1)Fk−2 = (k + 1)Fk + (k + 1)Fk−1 = (k + 1)Fk+1 Do an = nFn với n Bây giờ, ta cần có vơ hạn n để n | Fn Lại có với m Thật vậy, dễ dàng chứng minh 2m+2 | F3·2m với m m m m m 144 = F(12,3·2 ) = (F12 , F3·2 ) nên | F3·2 Do đó, n | Fn với n = · , m 2, điều phải chứng minh Bài toán Cho dãy (An ) xác định An = Tìm lim n n n→∞ n2 π − An − 4 n n n + + ··· + 2 +1 n +2 n + n2 Yong Xi Wang, China Lời giải Brian Bradie, Christopher Newport University, Newport News, VA, USA Xét f hàm số có đạo hàm cấp đoạn [0, 1] Gọi [a, b] ⊂ [0, 1] Sử dụng khai triển Taylor, ta có 1 f (x) = f (b) + f (b)(x − b) + f (b)(x − b)2 + f (ξ)(x − b)3 , với ξ nằm x b Suy b a 1 f (x)dx = f (b)(b − a) − f (b)(b − a)2 + f (b)(b − a)3 + O (b − a)4 Xét n số nguyên dương Với k = 0, 1, 2, , n − 1, ta có k/n f (x)dx = (k−1)/n f n k n − f 2n2 k n + f 6n3 k n +O n4 Cho k chạy từ đến n − lấy tổng n đẳng thức trên, ta 1 f (x)dx = n n f k=1 k n − 2n n f k=1 k n + 6n n f k=1 k n +O n3 LATEX by Mathpiad TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Điều tương đương với f (1) − f (0) = f (x)dx = n f (1) − f (0) = n k n f k=1 f (x)dx = n − 2n n n f k=1 k n f k=1 +O k n +O n n2 Kết hợp đẳng thức trên, ta f (x)dx = Xét f (x) = n n f k=1 k n − 1 [f (1) − f (0)] − [f (1) − f (0)] + O 2n 12n2 n3 Khi đó, + x2 f (x)dx = n n f k=1 k n π ; = n n k=1 = + (k/n)2 n k=1 n2 n = An ; + k2 1 f (1) − f (0) = − = − ; 2 1 f (1) − f (0) = − − = − 2 Do vậy, π 1 = An + + +O 4n 24n2 n3 Suy lim n n n→∞ π − An − 4 = 24 Bài toán Cho x > 1, xét dãy (an )n thỏa mãn an = [xn ] với n ∈ Z+ Chứng minh rằng, (an )n cấp số nhân x số nguyên Marius Cavachi, Constanta, Romania Lời giải Robert Bosch, Archimedean Academy, Florida, USA Gọi k công bội cấp số nhân Ta có [xn ] = k n−1 [x] Chia hai vế cho xn , ta [xn ] = xn k x n−1 [x] x xn − [xn ] [xn ] < nên lim lim = Lấy giới hạn hai vế n → ∞, ta x→∞ xn xn xn k = x, x = [x] Hay x số nguyên, điều phải chứng minh Nhận thấy, LATEX by Mathpiad TUYỂN TẬP DÃY SỐ TRONG 10 NĂM TỪ CÁC TẠP CHÍ TỐN CỦA MỸ Bài tốn Cho a0 an+1 = a0 · · an + với n an − với n Chứng minh (an+1 + 1) (a2n + 1) − = 1 Titu Andreescu, University of Texas at Dallas Lời giải AN-anduud Problem Solving Group, Ulaanbaatar, Mongolia Ta có an+1 = a0 · · an−1 an + ⇒ an+1 = (an − 4) an + ⇒ an+1 + = a2n − 4an + ⇒ (an+1 + 1) a2n + − = a2n − 4an + a2n + − ⇒ (an+1 + 1) a2n + − = a4n − 4a3n + 6a2n − 4an + ⇒ (an+1 + 1) a2n + − = (an − 1)4 ⇒ (an+1 + 1) (a2n + 1) − = an − ⇒ an − (an+1 + 1) (a2n + 1) − = 1, Điều phải chứng minh Bài toán 10 Cho (an )n dãy số thực thỏa mãn a0 = an+1 = n2 a an n + an + Tìm lim n3 an x→∞ Khakimboy Egamberganov, Tashkent, Uzbekistan Lời giải Alessandro Ventullo, Milan, Italy ∞ an Nhận thấy an+1 < = , an hội tụ theo Tiêu chuẩn so sánh Đặt n an n n=0 ∞ an = c ∈ R n=0 Ta có an+1 = n2 + an + an LATEX by Mathpiad TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Nên = 02 + a0 + a1 = 12 + a1 + a2 a0 a1 1 = (n − 1)2 + an−1 + an an−1 Cộng vế theo vế đẳng thức trên, ta n−1 (n − 1)n(2n − 1) = + ak + an k=0 1 = (n − 1)2 + an−1 + an an−1 Suy ra, n−1 (n − 1)n(2n − 1) = + n an 6n3 Vì ak + k=0 n3 n−1 ak + lim lim n→∞ n3 a = lim n3 n→∞ Nên c+1 =0 n→∞ n3 k=0 = lim n n→∞ (n − 1)n(2n − 1) = 6n Do vậy, lim n3 an = n→∞ Bài toán 11 Cho (an )n (an+1 − an )n dãy số thực dương đơn điệu tăng thỏa mãn lim an = ∞ dãy n→∞ đơn điệu Tính a1 + + an √ n→∞ n an lim Mihai Piticari and Sorin Rădulescu, Romania Lời giải Paolo Perfetti, Universitá degli studi di Tor Vergata Roma, Roma, Italy Dãy (an+1 − an )n đơn điệu nên hội tụ đến L Ta xét L > hữu hạn Sử dụng định lý Trung bình Cesaro an L = lim (an+1 − an ) =⇒ L = lim n→∞ n→∞ n Và √ an+1 − an L √ lim ( an+1 − an ) = lim √ =0 √ = n→∞ n→∞ an+1 + an ∞ LATEX by Mathpiad .. .Tuyển tập số toán dãy số từ tạp chí tốn Mỹ Mathpiad - Tạp chí tư liệu toán học Ngày 24 tháng năm 2021 Các toán Bài toán Cho {an }n dãy đơn điệu tăng, với an > 0,... hay π lim n→∞ √ sin x dx = + cos2 nx LATEX by Mathpiad 49 TUYỂN TẬP DÃY SỐ TRONG 10 NĂM TỪ CÁC TẠP CHÍ TỐN CỦA MỸ Bài toán 56 Cho dãy (an )n định nghĩa 1+ n (i) Chứng minh (an )n =1+ 1 + ··· +... lý quy nạp toán học mệnh đề chứng minh Tiếp theo ta có nα − nα n→∞ < −→ n n Từ ta thu nα n→∞ −→ 0, n LATEX by Mathpiad 57 TUYỂN TẬP DÃY SỐ TRONG 10 NĂM TỪ CÁC TẠP CHÍ TỐN CỦA MỸ 1± 1 ± ··· ±