Phi�u h�c t�p tu�n toán 7 Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ Thanh Hóa, tháng 9 năm 2019 Website tailieumontoan com Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 1 CHUYÊN ĐỀ SỐ NGUYÊN TỐ HỢP SỐ A Lý thuyết 1 Định[.]
Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ Thanh Hóa, tháng năm 2019 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ: SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ A Lý thuyết Định nghĩa số nguyên tố: Số nguyên tố số tự nhiên lớn chia hết cho P số ngun tố U ( p) 1, p Vd : 2, 3, 5, 7, < - Số nguyên tố nhỏ 2, số nguyên tố chẵn Tất số nguyên tố lại số lẻ Định nghĩa hợp số : Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều ước - Ước nguyên tố nhỏ hợp số a số không vượt a Các tính chất a Số 0, khơng phải số nguyên tố, hợp số b Số số nguyên tố nhỏ c Số số nguyên tố chẵn d Tập hợp số nguyên tố vô hạn e Mọi hợp số phân tích thừa số ngun tố kết phân tích f Mọi số nguyên tố lớn có dạng : 4k 1;6n g Tập hợp số tự nhiên bao gồm : Số 0, 1, số nguyên tố, hợp số h Nếu a.b chia hết cho p ( p số nguyên tố ) a chia hết cho p b chia hết cho p i Số ước số hợp số Giả sử n p1n1 p2n2 pknk (n1 , n2 , , nk N * ) p1 , p2 , , pk : Số nguyên tố n1 , n2 , , nk (k N * ) số ước số n : (n1 1)(n 1)( (nk 1) Vd : 100 2 52 100 có : (2 1)(2 1) ước Phân tích số thừa số nguyên tố - Là viết số dạng tích nhiều thừa số, thừa số số nguyên tố lũy thừa số nguyên tố - Dù phân tích thừa số thừa số nguyên tố cách cuối ta kết Số nguyên tố - Hai hay nhiều số gọi nguyên tố UCLN chúng - Hai số tự nhiên liên tiếp hai số nguyên tố Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com B Bài tập *) Phƣơng pháp kiểm tra số số nguyên tố hay hợp số Với n N * , n ta kiểm tra theo bước sau : - Tìm số nguyên tố k cho : k n (k 1)2 - Kiểm tra xem n có chia hết cho số nguyên tố nhỏ k khơng ? +) Nếu có chia hết n số hợp số +) Nếu khơng chia hết n hợp số Bài 1: Tìm số tự nhiên n, cho a (2n 5)(3n 1) số nguyên tố b (n 2)(n2 n 7) số nguyên tố c (n 1)(n2 n 7) số nguyên tố d n số nguyên tố Lời giải 2n (2n 5)(3n 1) hợp số 3n a Nếu n Nếu n (2n 5)(3n 1) số nguyên tố Vậy n = b n A 3(tm); n A 1(loai); n A 0(loai); n A 11(tm) n +) n lahopso hợp số n n n(n 1) Vậy n = n = c n 0(t / m); n 1(loai) n 3(loai) n 2(tm) d Ta có: n (n 1)(n 1) Bài 2: Nếu p số nguyên tố a p p số nguyên tố hay hợp số b p 200 số nguyên tố hay hợp số Lời giải a Ta có: p p p( p 1) số chắn lớn nên hợp số chan b - Với p p 200 số chẵn p 200 hợp số - Với p 2009 số chẵn p 200 hợp số - Với p Sưu tầm p : 3.du.1 2 p 2000 p 200 hợp số 2000 3.du.2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy p 200 hợp số Bài 3: Chứng minh số tự nhiên A có ước số phân biệt A bình phương số nguyên tố Lời giải Giả sử A p1n1 p2n2 pknk Trong đó: p1 , p2 , , pk số nguyên tố; n1 , n2 , , nk N * Số ước số A là: (n1 1)(n2 1) (nk 1) S ( A) - Nếu k S ( A) (n1 1)(n2 1) 2.2 3(loai) k S ( A) n1 n1 Vậy A p12 (dpcm) Bài 4: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số: a) 3.4.5 + 6.7 b) 5.7.9.11 - 2.3.4.7 c) 3.5.7 + 11.13.17 d) 16354 + 67541 Lời giải a) Ta có: 3.4.5 6.7 4.5 2.7 tổng hợp số b) Ta có: 5.7.9.11 2.3.4.7 5.9.11 2.3.4 tổng hợp số c) Ta có : 16354 67541 có chữ số tận nên chia hết cho 5, Vậy tổng hợp số Bài 5: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số: a) 5.6.7 + 8.9 b) 5.7.9.11.13 - 2.3.7 c) 5.7.11 + 13.17.19 d) 4253 + 1422 Lời giải a) Ta có : 5.6.7 8.9 5.2.7 8.3 tổng hợp số b) Ta có : 5.7.9.11.13 2.3.7 5.9.11.13 2.3 tổng hợp số c) Ta có : 5.7.11 số lẻ, 13.17.19 số lẻ, Nên tổng số chẵn 2=> Là hợp số d) Ta có : 4253 1422 có chữ số tận nên chia hết cho 5, Vậy tổng hợp số Bài 6: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số: a) 17.18.19.31 + 11.13.15.23 b) 41.43.45.47 + 19.23.29.31 c) 987654 + 54321 Lời giải a) Ta có: 17.18.19.31 11.13.15.23 17.6.19.31 11.13.5.23 hợp số b) Ta có: 41.43.45.47 số lẻ, 19.23.29.31 số lẻ, nên tổng số chẵn nên hợp số Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com c) Ta có : 987654 54321 có chữ số tận nên chia hết cho 5, hợp số Bài 7: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số: 1.2.3< n + Lời giải Xét n 1.2.3 số nguyên tố Xét n 1.2.3.4 25 hợp số Vậy không kết luận Bài 8: Cho a = 5 p / 3; p 10 / p p p Thử lại : p + = 5, p + 10 = 13 số nguyên tố b Xét dãy số : p 10; p 15; p 20 3 p 3 c p 10; p 12; p 14 d p 4; p 6; p d p 8; p 9; p 10 Bài 2: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp số nguyên tố Lời giải Gọi ba STN thỏa mãn toán : p; p 2; p ( p lẻ ) Trong ba số p, p + 2, p + có số chia hết cho Có số số nguyên tố chia hết cho Bài 3: Tìm số nguyên tố p, cho số sa đồng thời số nguyên tố a p 2; p 6; p 8; p 14 b p 6; p 8; p 12; p 14 mod : c p 4; p 6; p 10; p 16; p 22 Lời giải a Xét dãy số : p; p 2; p 4; p 6; p tồn số chia hết cho +) p p loai +) p p loai p 5 p 5 p5 p p 14 5(loai) +) p b p 6; p 8; p 10; p 12; p 14 c p; p 2; p 4; p 6; p 8; p 10; p 12 +) p = 2, 3, ( loại ) p p 16 7(loai) p thử lại p p 22 7(loai) +) p Bài 4: Tìm số nguyên tố p cho a p 4; p số nguyên tố b p 94; p 1994 số nguyên tố Lời giải Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a Vì p số nguyên tố nên p > +) Nếu p = thỏa mãn +) p > 3, xét dãy số : p 4; p; p có số chia hết cho p p p 3(voly) Bài 5: Chứng minh : 200 p 1;200 p đồng thời số nguyên tố Lời giải Giả sử số 200 p 1;200 p số nguyên tố Xét dãy số : 200 p 1;200 p ;200 p có số chia hết cho 200 p p 3 p 3 (200,3) +) p 200.32 1799 7(hopso) voly dpcm BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Bài 1: Tìm số nguyên tố p cho: a) p + 2, p + số nguyên tố b) p + 10, p + 14 số nguyên tố Lời giải a) Giả sử với p số nguyên tố p hợp số p loai - Với p số nguyên tố p 5, p số nguyên tố p t / m - Với p p 3k 1, p 3k 2, k N - Nếu p 3k giả sử số nguyên tố p 3k hợp số p 3k 1 loai - Nếu p 3k giả sử số nguyên tố p 3k hợp số p 3k loai Vậy p = số nguyên tố cần tìm b) Giả sử với p số nguyên tố p 10 12 hợp số p loai - Với p số nguyên tố p 10 13, p 14 17 số nguyê tố p t / m - Với p p 3k 1, p 3k 2, k N - Nếu p 3k giả sử số nguyên tố p 14 3k 14 hợp số p 3k 1 l - Nếu p 3k giả sử số nguyên tố p 10 3k 10 hợp số p 3k 1 l Vậy p = số nguyên tố cần tìm Bài 2: Tìm số nguyên tố p cho: a) p + 2, p + 6, p + 8, p + 14 số nguyên tố b) p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 số nguyên tố Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải Cách khác : a) Giả sử với p số nguyên tố => p hợp số=> p l - Với p số nguyên tố p hợp số=> p l - Với p số nguyên tố => p 7, p 11, p 13, p 14 19 số nguyên tố - Với p p 5k 1, p 5k 2, p 5k 3, p 5k 4, k N +) Nếu p 5k giả sử số nguyên tố p 14 5k 14 hợp số p 5k 1 l +) Nếu p 5k giả sử số nguyên tố p 5k 10 hợp số p 5k 1 l +) Nếu p 5k giả sử số nguyên tố p 5k hợp số p 5k l +) Nếu p 5k giả sử số nguyên tố p 5k hợp số p 5k l Vậy p = số nguyên tố cần tìm Bài 3: Tìm số nguyên tố p cho: a) p + 4, p + số nguyên tố b) p + 94, p + 1994 số nguyên tố Lời giải Cách khác : b, Giả sử với p số nguyên tố => p 94 96 hợp số p l - Với p số nguyên tố p 94 97, p 1994 1997 số nguyên tố=> p 3t / m - Với p p 3k 1, p 3k 2, k N +) Nếu p 3k giả sử số nguyên tố p 1994 3k 1994 hợp số => p 3k 1 l +) Nếu p 3k giả sử số nguyên tố => p 94 3k 94 hợp số=> p 3k l Vậy p = số nguyên tố cần tìm Bài 4: Tìm số nguyên tố p cho: a) 2p - 1, 4p - số nguyên tố b) 2p + 1, 4p + số nguyên tố Lời giải a) Giả sử với p số nguyên tố p 1 3, p 1 số nguyên tố p t / m - Với p số nguyên tố p 5, p 11 số nguyên tố p t / m - Với p p 3k 1, p 3k 2, k N Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com +) Nếu p 3k , giả sử số nguyên tố p 3k 1 12k 3 hợp số p 3k 1 l +) Nếu p 3k , giả sử số nguyên tố p 3k 6k 3 hợp số p 3k loai Vậy p = p = số nguyên tố cần tìm b) Giả sử với p số nguyên tố p hợp số p loai Với p số nguyên tố p 7, p 13 số nguyên tố p t / m Với p p 3k 1, p 3k 2, k N Nếu p 3k , giả sử số nguyên tố p 3k 1 6k 3 hợp số p 3k 1 l Nếu p 3k , giả sử số nguyên tố p 3k 12k hợp số p 3k l Vậy p = số nguyên tố cần tìm BÀI 3: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIA SỐ NGUYÊN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN SỐ NGUYÊN TỐ Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com A Kiến thức cần nhớ - Trong n số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n - Mọi số nguyên tố lớn có dạng 4n - Mọi số nguyên tố lớn có dạng 6n B Bài tập áp dụng Bài 1: Cho p số nguyên tố số 8p + 8p - số nguyên tố, hỏi số thứ (ngồi số ngun tố, số cịn lại) số nguyên tố hay hợp số? Lời giải - Với p = ta có 8p + = 25 hợp số, 8p - số nguyên tố - Với p ta có 8p - 1, 8p, 8p + số nguyên tố liên tiếp nên có số chia hết cho Do p nguyên tố khác nên 8p không chia hết cho 3,do 8p - 8p + có số chia hết cho Vậy số thứ hợp số Bài 2: Hai số 2n 2n (n > 2) đồng thời số ngun tố khơng? Tại sao? Lời giải Trong số nguyên liên tiếp 2n 1, 2n , 2n có số chia hết cho 3, 2n không chia hết cho 3, 2n 2n có số chia hết cho lớn Vậy 2n 1, 2n không đồng thời số nguyên tố Bài 3: Chứng minh p p + hai số nguyên tố lớn tổng chúng chia hết cho 12 Lời giải Ta có: p + (p + 2) = 2(p + 1) p số nguyên tố lớn nên p số nguyên tố lẻ p 2( p 1) (*) p, p + 1, p + số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho 3, mà p p + không chia hết cho nên: p 2( p 1) (**) Từ (*) (**) suy ra: 2( p 1) 12 (đpcm) Bài 4: a) Tìm số lẻ liên tiếp số nguyên tố b) Tìm số nguyên tố p cho p vừa tổng vừa hiệu hai số nguyên tố Lời giải a) Trong số lẻ liên tiếp có số chia hết cho Vậy số nguyên tố cho phải có số chia hết cho số nguyên tố lẻ liên tiếp 3, 5, b) Giả sử p p1 p2 p3 p4 với p1 , p2 , p3 , p4 số nguyên tố + Vì p1 , p2 số nguyên tố nên p , suy p lẻ Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 13 Website:tailieumontoan.com a d e d , e chan, le e2 a le d e : Có : Vậy a = b + = d – d b b, b 2, b số nguyên tố b a 5, d Vậy a = số nguyên tố cần tìm Bài 2: Cho a, k N * Chứng minh a, a k , a 2k số nguyên tố lớn k Lời giải Ta có số nguyên tố lớn số nguyên tố lẻ a, a k lẻ (a k ) a k chẵn k 2(1)( hiệu hai số lẻ số chẵn ) Ta có: a, a k , a 2k số nguyên tố lớn / số có số có số dư chia cho +) Nếu a, a k có số dư (a k ) a k +) Nếu a k , a 2k có số dư (a 2k ) (a k ) k 2k k (2,3) +) Nếu a, a 2k có số dư Vậy k 3(2) (1)(2) k Bài 3: Tìm ba số nguyên tố liên tiếp cho p q r số nguyên tố Lời giải +) Nếu p, q, r > p , q , r 1(mod3) p q r 0(mod3) h / so p, q, r 2,3,5 Vậy có số chia hết cho số p, q, r 3,5,7 Bài 4: Tìm tất ba số nguyên tố a, b, c cho : abc < ab + bc + ca Lời giải Vì a, b, c có vai trị nhau, khơng tính tổng quát : Giả sử a b c abc ab bc ca 3bc a a 2bc 2b bc 2c(1) bc 2(b c) 2.2c b bc 4c b b +) b (1) : 4c 4c(dung )c c c c b c +) b (1) : 6c 5c Vậy ba số : Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 14 Website:tailieumontoan.com +) (2,2,p) : Với p số nguyên tố +) (2,3,3) ( 2,3,5) Bài 5: Tìm tất số nguyên tố thỏa mãn a 3x 19 y b x 11y c x 12 y Lời giải a Nếu x chẵn x 13 19 y (loai) Nếu x lẻ 3x2 : le 3x2 1: chan 19 y : chan y : chan y x ( x, y) (5,2) b Nếu y lẻ 11y 1: chan x : chan x +) Nếu y chẵn y x ( x, y) (3,2) c Không xét tính chẵn lẻ +) Với y x tm +) Với y > x x : le Đặt x = 2k + 1, thay vào (1), : (2k 1)2 12 y 4k (k 1) 12 y k (k 1) y (2) chan Vì x > k 3, y : le le VT (2) : chan VT VP VP(2) : le Vậy x = 7, y = Bài 6: Tìm tất số nguyên tố p, q cho 7p + q pq + 11 số nguyên tố Lời giải - Nếu pq 11 số ngun tố phải số lẻ số ngun tố lớn pq số chẵn, số p q Giả sử : p p q 14 q số nguyên tố - Nếu q p q 7.2 16 l - Nếu q p.q 11 2.3 11 17 t / m p q 7.2 17 t / m - Nếu q q 3k 1, q 3k 2, k N +) Với q 3k p q 14 3k hợp số q 3k 1 l +) Với q 3k pq 11 2q 11 3k 11 k 15 hợp số q 3k l Vậy p 2, q Xét tiếp TH giả sử q ta p Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 15 Website:tailieumontoan.com Bài 7: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, chữ số hàng nghìn chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm chữ số hàng chục số viết dạng tích ba số nguyên tố liên tiếp Lời giải abba 1001a 110b 11 3: TH +) TH1 : abba 5.7.11 385 loai +) TH2 : abba 7.11.13 1001 tm +) TH3 : abba 11.13.17 2431 loai Bài 8: Tìm số nguyên tố x, y, z thỏa mãn: x y z Lời giải +) Nếu x lẻ x y : le x y 1: chan z loai z > z x y x : chan x y z mà y z +) Nếu y lẻ y 2k z 22 k 1 4k.2 Ta có: 4k : 3du1 2.4k : 3du 4k.2 z 3, z khôngz y:chan y = z = Bài 9: Tìm ba số nguyên tố p, q, r cho : p q q p r Lời giải +) Có : r 22 22 r : le Nếu p, q lẻ p q q p : chan r loai p, q khác tính chẵn lẻ Giả sử p chẵn, q lẻ p 2q q r +) Nếu q q : le q 2k 2q 4k.2chia3du q > nên q không chia hết q2 chia dư 2q q r loai.do.r Vậy q q r 17(tm) Vậy p = 2, q = 3, r = 17 p = 3, q= 2, r = 17 Hoặc cách khác p p p (2 p 1) ( p 1) hop.so 3 Bài 10: Tìm tất số x, y cho b x y a x y Lời giải a x y x, y khác tính chẵn lẻ Sưu tầm TÀI LIỆU TỐN HỌC 16 Website:tailieumontoan.com +) x y 3(tm); y loai b x y x : le +) x y loai +) x x / x2 : 3du1 y 1: 3du1 y y y x Bài 11: Tìm tất số tự nhiên n để a) n 12n số nguyên tố b) 3n số nguyên tố Lời giải a) Ta có : n 12n n n 12 , n 12 n n 12 có thêm ước n n + Để n n 12 số nguyên tố n n2 12n 13 ( thỏa mãn ) b) Nếu n 3n số nguyên tố Nếu n 3n hợp số Bài 12: Tìm số nguyên tố p cho p 23 có ước dương Lời giải Đặt A p2 23 p 2 A 27 , để A có ước = A a x b y x 1 y 1 Với x y - Nếu A chứa thừa số nguyên tố x + = => x = 5, Chọn thừa số nguyên tố bé A 25 32 - Nếu A chứa hai thừa số nguyên tố thì: x = 2, y = ngược lại, để A nhỏ ta chọn thừa số nguyên tố bé có số mũ lớn thừa số lớn có số mũ bé A 22.31 ước: Đối chiếu đề ta thấy A > 27 32 thỏa mãn: p 32 23 32 số nguyên tố Bài 13: Cho số nguyên tố lớn thỏa mãn số sau lớn số trước k đơn vị CMR: k Lời giải Gọi số nguyên tố thỏa mãn là: p, p + k p + 2k => k số chẵn => k chia hết cho 2, Giả sử k không chia hết cho k 3m 1, k 3m TH1: k 3m Với p chia dư thì: p=3n+1=> p+2k=3n+1+6m+2 chia hết cho ( loại) Với p chia dư thì: p=3n+2=> p+k = 3n+2+3m+1 chia hết cho 3(loại) TH2: k=3m+2 Với p chia dư thì: p=3n+1=>p+k=3n+1+3m+2 chia hết cho (loại) Với p chia dư thì: p=3n+2=> p+2k=3n+2+6m+4 chia hết cho 3(loại) Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 17 Website:tailieumontoan.com nên k phải chia hết k chia hết cho 3=> k chia hết cho Bài 14: Tìm số nguyên tố thỏa mãn: x y Lời giải Từ gỉa thiết => x y , x chia hết cho x nguyên tố nên x = 3, lúc y = nguyên tố Nếu x khơng chia hết cho x chia hết cho y chia hết cho 3, mà (2, 3) =1 Nên y chia hết cho => y = x 19 khơng thỏa mãn, Bài 15: Tìm n N * để: b) n2003 n2002 số nguyên tố a) n4 số nguyên tố Lời giải a) Ta có: n4 (n4 4n2 4) 4n2 (n2 2)2 (2n)2 (n2 2n)(n2 2n) Nếu n4 số nguyên tố n2 2n n Thử lại: Với n n4 số nguyên tố Vậy, với n = n4 số nguyên tố b) Ta có: n2003 n2002 n2 (n2001 1) n(n2001 1) n2 n Với n ta có: n2001 n3 n2 n => n2003 n2002 n3 n n2 n nên n2003 n2002 hợp số Với n = n2003 n2002 số nguyên tố Bài 16: a) Tìm số nguyên số p để 2p + lập phương số tự nhiên b) Tìm số nguyên tố p để 13p + lập phương số tự nhên Lời giải a) Giả sử p n3 (với n N ); n số lẻ nên n 2m ( m N ), p (2m 1)3 p m(4m2 6m 3) Vì p số nguyên tố nên m , suy p 13 Thử lại: p 2.13 27 33 Vậy p 13 b) Giả sử 13 p n3 (n N ); p suy n 13 p n3 13 p (n 1)(n2 n 1) 13 p số nguyên tố, mà n n2 n => n 13 n p + Với n 13 n 14 , 13 p n3 2743 p 211 số nguyên tố + Với n p n2 n 13 n , p số nguyên tố Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 18 Website:tailieumontoan.com Vậy với p=2, p=211 13p+1 lập phương số tự nhiên Bài 17: Tìm tất số nguyên x, y thỏa x y Lời giải Giả sử x, y số nguyên tố thỏa: x y Khi x y , suy x số lẻ, đặt x 2n 1(n N *) Ta có: (2n 1)2 y 4n2 4n y y 2(n2 n) y , mà y số nguyên tố nên suy y = Với y = 2, ta có x Thử lại với x , y x y Bài 18: Tìm số nguyên tố x, y, z thỏa x y z Lời giải Vì x, y số nguyên tố nên x 2, y suy z z số nguyên tố lẻ nên x y số chẵn suy x=2, z y Nếu y lẻ y , suy z , vơ lí Vậy y chẵn, suy y=2, z 22 Vậy số nguyên tố cần tìm x y 2; z Bài 19: Chứng minh 2n 4n (n N*) số nguyên tố n 3k với k N Lời giải Đặt n 3k.m với (m, 3)=1 Giả sử m>1, xét hai trường hợp: i) m 3l 1(l N *) Ta có: 2n 4n 23 (3l 1) 43 (3l 1) a(3l 1) a(6l 2) , (với a 23 ), suy k k k 2n 4n a(a3l 1) a (a6l 1) a a a a n 4n hợp số ii) m 3l 2,(l N *) Ta có: 2n 4n 23 (3l 2) 43 (3l 2) a3l 2 a6l 4 a(a6l 3 1) a2 (a3l 1) a2 a a2 a k k (với a 23 ) k Suy 2n 4n hợp số Vậy m = tức n = 3k Bài 20: Cho a, b, c, d N * thỏa mãn ab cd Chứng minh rằng: A a n bn cn d n hợp số với n N Lời giải Giả sử (a, b) = t, đó: a ta1 , c tc1 với ( (a1 , c1 ) Từ ab cd a1b c1d b c1 Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 19 Website:tailieumontoan.com Đặt: b kc1 c1d a1.kc1 d ka1 Khi đó: A a n bn c n d n t n a1n k nc1n t nc1n k n a1n (k n t n )(a1n c1n ) Vì k , t , a1 , c1 N * nên A hợp số Bài 21: Tìm tất số nguyên tố p dạng n(n 1) ( n 1) Lời giải Ta có: p n(n 1) n2 n (n 1)(n 2) 1 2 Với n = ta có p = Với n = ta có p = Với n > n1 n+2 >1 nên p hợp số Vậy với n = 2, n = p số ngun tố có dạng n(n 1) 1 Bài 22: Tìm tất số có hai chữ số ab cho ab số ngun tố a b Lời giải Vì a,b có vai trị nên giả sử a > b Giả sử ab p với p số nguyên tố.* a b Suy ab p a p b p p 2,3,5,7 a p p a p p Từ * ta có ab=ap-bp (a p)( p b) p p b 1 b p Với p = ta có ab 21 ab 12 Với p = ta có ab 62 ab 26 Với p = p = ta có a có chữ số (loại) Vậy số ab cần tìm 12, 21, 26, 62 Bài 23: Cho số p bc a, q ab c, r c a b số nguyên tố ( a, b, c N * ) Chứng minh ba số p, q, r có hai số Lời giải Ba số a, b, c có hai số có tính chẵn lẻ Giả sử a,b chẵn lẻ, p bc a số nguyên tố chẵn, p = Từ suy a = b = 1; q = c +1 r = c+ nên q = r Bài 24: Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... hợp số: a) 3.4.5 + 6 .7 b) 5 .7. 9.11 - 2.3.4 .7 c) 3.5 .7 + 11.13. 17 d) 16354 + 675 41 Lời giải a) Ta có: 3.4.5 6 .7 4.5 2 .7 tổng hợp số b) Ta có: 5 .7. 9.11 2.3.4 .7 5.9.11 2.3.4... c) Ta có : 16354 675 41 có chữ số tận nên chia hết cho 5, Vậy tổng hợp số Bài 5: Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số: a) 5.6 .7 + 8.9 b) 5 .7. 9.11.13 - 2.3 .7 c) 5 .7. 11 + 13. 17. 19 d) 4253 + 1422... 1422 Lời giải a) Ta có : 5.6 .7 8.9 5.2 .7 8.3 tổng hợp số b) Ta có : 5 .7. 9.11.13 2.3 .7 5.9.11.13 2.3 tổng hợp số c) Ta có : 5 .7. 11 số lẻ, 13. 17. 19 số lẻ, Nên tổng số chẵn