Microsoft Word �S8 C3 CD1 MÞ �¦U VÀ PH¯€NG TRÌNH (Chç �Á d¡y nhà Toán HÍc S¡ �Ó) doc MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH A BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN 1 PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Ví dụ 1 Ta gọi các hệ thức 2 3 2x[.]
MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH A BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Ví dụ 1: Ta gọi hệ thức: x x phương trình với ẩn số x y y phương trình với ẩn số y … từ ta có định nghĩa phương trình ẩn: Một biểu thức x có dạng: A x B x vế trái A x vế phải B x hai biểu thức biến x, gọi phương trình ẩn Chú ý: Hệ thức x m (với m số đó) phương trình Phương trình rõ m nghiệm Một phương trình có nghiệm, hai nghiệm,…, khơng có nghiệm có vơ số nghiệm Phương trình khơng có nghiệm gọi phương trình vơ nghiệm Ví dụ 2: Hãy cho ví dụ về: a) Phương trình với ẩn y b) Phương trình với ẩn u Giải Ta có: Phương trình với ẩn y y Phương trình với ẩn u 4u u Ví dụ 3: Khi x , tính giá trị vế phương trình: x x 1 Giải Với x thì: VT x 2.6 17; VP x 1 1 17 Nhận xét: Ta thấy hai vế phương trình nhận giá trị x Ta nói x nghiệm phương trình Ví dụ 4: Cho phương trình x 1 x a x 2 có thỏa mãn phương trình khơng? b x có nghiệm phương trình khơng? Giải a Thay x 2 vào phương trình, ta được: 2 1 2 2 9 5, sai Vậy x 2 không thỏa mãn phương trình b Thay x vào phương trình, ta được: 1 1 1, sai Vậy x khơng nghiệm phương trình GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Tập hợp tất nghiệm phương trình gọi tập nghiệm phương trình thường kí hiệu S Ví dụ 5: Hãy điền vào chỗ trống ( ): a Phương trình x có tập nghiệm S = b Phương trình vơ nghiệm có tập nghiệm S = Giải Ta có: Phương trình x có tập nghiệm S 2 Phương trình vơ nghiệm có tập nghiệm S Khi toán yêu cầu giải phương trình, ta phải tìm tất nghiệm (hay tìm tập nghiệm) phương trình PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG Định nghĩa: Hai phương trình có tập nghiệm hai phương trình tương đương Ví dụ 6: Hai phương trình sau có tương đương khơng? Vì sao? x 0, (1) x (2) Giải Giải phương trình (1), ta được: x S1 2 Giải phương trình (2), ta được: x S2 2 Vậy, ta thấy S1 S2 , hai phương trình cho tương đương với Nhận xét: Như vậy, để xét tính tương đương hai phương trình cho, lời giải giải phương trình thực phép so sánh hai tập nghiệm, S1 S2 nên kết luận “Hai phương trình tương đương” 2 Nếu S1 S2 hai phương trình tương đương, “Hai phương trình vơ nghiệm tương đương với nhau” Ví dụ 7: Hai phương trình sau có tương đương khơng? Vì sao? x 2, (1) x x 15 (2) Giải Ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Giải phương trình (1), ta được: x S1 1 Giải phương trình (1), ta được: x x 15 x x 16 x x 1 x 1 x x 3 x x S2 5,3 Vậy, ta thấy S1 S2 hai phương trình khơng tương đương Cách 2: Giải phương trình (1), ta được: x S1 1 Thay x vào phương trình (2), ta được: 12 8.1 15 , mâu thuẫn tức là, x nghiệm (2) Vậy, hai phương trình khơng tương đương Nhận xét: Như vậy, để xét tính tương đương hai phương trình cho, lời giải giải phương trình (1) nhận xét x khơng phải nghiệm phương trình (2), từ kết luận “Hai phương trình tương đương” Sở dĩ lựa chọn hướng làm việc giải phương trình (2) khó khăn Như vậy, để chứng tỏ hai phương trình khơng tương đương, ta lựa chọn hai cách: Cách 1: Tìm tập hợp nghiệm phương trình, đưa nhận xét hai tập hợp Cách 2: Chỉ giá trị ẩn nghiệm phương trình khơng nghiệm phương trình B BÀI TẬP MINH HỌA CƠ BẢN Dạng tốn 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÍ DỤ 1: Với phương trình sau, xét xem x 1 có nghiệm khơng? a x 3x b) x x 3 c) x 1 x Hướng dẫn: Kiểm nghiệm cách thay x 1 vào phương trình đó: Nếu đẳng thức kết luận x 1 nghiệm phương trình Nếu đẳng thức sai kết luận x 1 khơng nghiệm phương trình Giải a Thay x 1 vào phương trình ta được: 1 1 5 5 (luôn đúng) Vậy, ta thấy x 1 nghiệm phương trình b Thay x 1 vào phương trình ta được: 1 1 3 8 (mâu thuẫn) Vậy, ta thấy x 1 khơng phải nghiệm phương trình c Thay x 1 vào phương trình ta được: 1 1 1 (luôn đúng) Vậy, ta thấy x 1 nghiệm phương trình VÍ DỤ 2: Trong giá trị t 1, t t , giá trị nghiệm phương trình? t 2 3t Hướng dẫn: Thay giá trị t vào phương trình Giải Ta lần lượt: Với t 1 phương trình có dạng: 1 1 12 3 1, Vậy, ta thấy t 1 nghiệm phương trình Với t phương trình có dạng: 22 3.0 , Vậy, ta thấy t nghiệm phương trình Với t phương trình có dạng: 1 3.1 32 , sai Vậy, t khơng nghiệm phương trình VÍ DỤ 3: Xét phương trình x x Ta thấy số nghiệm Người ta cịn nói “Phương trình nghiệm với x” Hãy cho biết tập nghiệm phương trình Hướng dẫn: Hãy nhớ xét toán tập số nào? Giải Tập nghiệm phương trình S S x x VÍ DỤ 4: giải phương trình: x Hướng dẫn: Thực phương pháp chuyển vế chuyển vế dạng tích Giải Ta lựa chọn hai cách trình bày sau: Cách 1: Biến đổi phương trình sau: x x 32 x x 3 Vậy, phương trình có hai nghiệm x x 3 Cách 2: Biến đổi phương trình sau: x x x 3 x 3 x x x 3 x Vậy, phương trình có hai nghiệm x x 3 Nhận xét: Qua lời giải ta nhận thấy: Phương trình: x a x a Phương trình: A A.B A B viết B VÍ DỤ 5: Tìm tập hợp nghiệm phương trình sau: a x x x b x 1 c x d x x Hướng dẫn: Sử dụng phép đánh giá khác cho phương trình Giải a Biến đổi tương đương phương trình dạng: x x x x x , với x Vậy, phương trình có tập hợp nghiệm S b Nhận xét rằng: VT , với x phương trình vơ nghiệm Vậy, phương trình có tập hợp nghiệm S c Nhận xét rằng: VT x , với x; VP , ln âm, phương trình vơ nghiệm Vậy, phương trình có tập hợp nghiệm S d Nhận xét rằng: VT x x VP , phương trình vơ nghiệm Vậy, phương trình có tập hợp nghiệm S Nhận xét: Qua ví dụ trên, nhận thấy: Ở câu a), việc đánh giá VT VP với x, đưa kết luận “Phương trình có tập hợp nghiệm S ” Tuy nhiên, nhiều trường hợp dù có VT VP lại kết luận vậy, thí dụ: x 1 x 1 x 1 Ta có: VT x 1 x 1 VP x x 1 x 1 x Và trường hợp ta lại kết luận “Phương trình có tập hợp nghiệm S \ 1;1 ” – Các em học sinh thử lí giải sao? Ở câu b), việc đánh giá VT với x , đưa kết luận “Phương trình có tập hợp nghiệm S ” Ở câu c), việc đánh giá VT VP với x, đưa kết luận “Phương trình có tập hợp nghiệm S ” Ở câu d), việc đánh giá VT VP với x, đưa kết luận “Phương trình có tập hợp nghiệm S ” Cả câu a), b), c), d) cho làm quen với việc “Sử dụng phương pháp đánh giá để giải phương trình” VÍ DỤ 6: Chứng minh phương trình x x nghiệm với x Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối số Giải Nhận xét rằng, với x ta ln có: x x Do đó: x x x x Vậy, phương trình cho nghiệm với x VÍ DỤ 7: Cho phương trình: mx 2m x Chứng tỏ phương trình ln nhận x làm nghiệm, dù m lấy giá trị Giải Với x , ta được: VT m.2 m 3; VP 2m 2m 3, suy ra: VT VP Vậy, phương trình ln nhận x làm nghiệm, dù m lấy giá trị VÍ DỤ 8: Cho phương trình: m 3m x m , với m tham số Chứng minh rằng: a Với m , phương trình nghiệm với x b Với m , phương trình vơ nghiệm c Với m , phương trình nhận x x 1 làm nghiệm Giải a Với m , phương trình có dạng: 1 3.1 x x đó, phương trình có nghiệm với x b Với m , phương trình có dạng: 0 3.0 x x 1 Nhận xét rằng: VT 0; VP 1 nên phương rình vơ nghiệm c Với m , phương trình có dạng: 3 3.3 x x x x 1 đó, phương trình nhận x x 1 làm nghiệm Dạng tốn 2: HAI PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÍ DỤ 1: Hai phương trình x x x 1 có tương đương khơng? Vì sao? Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa hai phương trình tương đương Giải Hai phương trình cho không tương đương, bởi: Tập nghiệm phương trình x S1 0 Tập nghiệm phương trình x x 1 S 0;1 Suy S1 S VÍ DỤ 2: Chứng tỏ cặp phương trình sau tương đương: x2 0, x2 (1) (2) x Giải Nghiệm phương trình (1) giá trị x thỏa mãn: x x x2 x20 x x phương trình (2) Vậy, hai phương trình cho tương đương Nhận xét: Như vậy, lời giải để chứng tỏ hai phương trình tương đương với sử dụng cách biến đổi tương đương phương trình phương trình cịn lại VÍ DỤ 3: Cho hai phương trình: x 3x (1) x2 5x (2) a Chứng minh hai phương trình có nghiệm chung x b Chứng minh x nghiệm (1) không nghiệm (2) c Chứng minh x nghiệm (2) không nghiệm (1) d Hai phương trình cho có tương đương với hay khơng? Vì sao? Giải a Với x , ta được: 12 3.1 , x nghiệm (1) 2.12 5.1 , x nghiệm (2) Vậy, hai phương trình có nghiệm chung x b Với x , ta được: 2 3.2 , x nghiệm (1) 2.22 5.2 , x không nghiệm (2) Vậy, x nghiệm (1) không nghiệm (2) c Thực tương tự câu b) d Ta có kết luận hai phương trình khơng tương đương “ x nghiệm (1) không nghiêm (2)” C.BÀI TẬP NÂNG CAO TỔNG HỢP Ví dụ 1: Cho phương trình x y 3x y ; 2,5 x 10 x x x 108 Trong phương trình trên: a) Phương trình phương trình ẩn? b) Phương trình phương trình bậc ẩn? c) Số tập S {4; 0; 4} nghiệm phương trình ẩn? Giải a) Các phương trình 2,5 x 10 x x x 108 phương trình ẩn b) Phương trình 2,5 x 10 phương trình bậc ẩn c) Lần lượt thay giá trị x 4;0; vào phương trình ẩn ta có: ⁕ Với x 2,5.4 10 nên x nghiệm phương trình 2,5 x 10 ⁕ Với x 4 x x 4.( 4) 6.(4) 64 24 88 Và x 108 5.(4) 108 88 Vậy x 4 nghiệm phương trình x x x 108 Nhận xét: Muốn xem số có phải nghiệm phương trình ta xét xem giá trị ẩn thoả mãn (hay nghiệm đúng) phương trình cho cách thay vào vế phương trình Nếu hai vế có giá trị số nghiệm phương trình Ví dụ 2: Cho bốn phương trình: 2x (1) x2 x (2) ( x 1)( x 5) x 15 x 47 (3) (5 x 15)(x 1) (4) a) Chứng tỏ x nghiệm chung bốn phương trình b) Chứng tỏ x 1 nghiệm phương trình (2) khơng nghiệm phương trình (1) (3) c) Hai phương trình (1) (2) có tương đương khơng Tại sao? Giải a) Với x - Thay vào phương trình (1) ta có 2.3 - Thay vào phương trình (2) ta có 32 2.3 - Thay vào phương trình (3) ta có: Vế trái (3 1)(3 5) 2.32 2.8 2.9 16 18 2 Vế phải 15.3 47 45 47 2 - Thay vào phương trình (4) ta có (5.3 15)(32 1) (15 15).10 0.10 x nghiệm bốn phương trình nên nghiệm chung bốn phương trình b) Với x 1 - Thay vào phương trình (1) ta có 2.(1) 2 8 - Thay vào phương trình (2) ta có: (1) 2.(1) - Thay vào phương trình (3): ( x 1)( x 5) x 15 x 47 ta có: Vế trái (1 1)(1 5) 2.(1) (2).4 10 Vế phải 15.( 1) 47 15 47 62 Vậy x 1 nghiệm phương trình (2) khơng nghiệm phương trình (1) (3) nên nghiệm phương trình (2) khơng nghiệm phương trình (1) (3) c) Hai phương trình (1) (2) khơng tương đương khơng tập nghiệm Nhận xét: Ta thay số cho vào vế phương trình để xét xem số có phải nghiệm phương trình Từ xác định tập nghiệm phương trình b) x 1 nghiệm phương trình (2) thay vào làm vế có giá trị Nhưng khơng nghiệm phương trình (1) (3) thay vào phương trình làm hai vế có giá trị khác c) Tương tự cách Ví dụ 3: Cho phương trình với a tham số: (a 3a 10) x a (1) Chứng minh rằng: a) Với a phương trình (1) nghiệm với giá trị x b) Với a 5 phương trình (1) vơ nghiệm c) Với a 5 phương trình (1) tương đương với phương trình (2) ( a 5) x 2016 ⁕ Tìm cách giải: Với giá trị ẩn x: - Nếu hai vế phương trình ln có giá trị phương trình nghiệm với giá trị x(x) Tập nghiệm R - Nếu hai vế phương trình ln có giá trị khác phương trình vơ nghiệm Tập nghiệm - Hai phương trình vơ nghiệm coi hai phương trình tương đương Giải a) Với a phương trình (1) có dạng (22 3.2 10) x hay x Phương trình (1) nghiệm x b) Với a 5 phương trình (1) có dạng (25 15 10) x 5 hay x 7 Phương trình vơ nghiệm hai vế phương trình ln có giá trị khác x Tập nghiệm phương trình c) Với a 5 phương trình (2) trở thành ( 5 5) x 2016 hay x 2016 Phương trình vơ nghiệm vế trái khác 0, x Tập nghiệm phương trình tập nghiệm với phương trình x 7 Do hai phương trình x 2016 x 7 tương đương Ví dụ 4: Bằng quy tắc chuyển vế quy tắc nhân giải phương trình: ⁕ a) ( x 2) (2 x 4) (3 x 6) (50 x 100) 2550 (1) b) x x (2) Tìm cách giải: Câu a) lưu ý sử dụng cơng thức tính tổng số hạng dãy số cộng (từ số thứ hai, số số liền trước cộng với số): Tổng (số hạng đầu + số hạng cuối) x Số số hạng A neu A Câu b) sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối: A A neu A