Chuyên đề Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG A BÀI GIẢNG 1 NHẮC LẠI VỀ THỨ TỰ TRÊN TẬP SỐ Trên tập số thực, với hai số a và b sẽ xảy ra một trong các trường hợp sau  Số a bằng số b, kí hiệu là a b=  Số a nhỏ hơ[.]

LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG A BÀI GIẢNG NHẮC LẠI VỀ THỨ TỰ TRÊN TẬP SỐ Trên tập số thực, với hai số a b xảy trường hợp sau:  Số a số b, kí hiệu a = b  Số a nhỏ số b, kí hiệu a < b  Số a lớn số b, kí hiệu a > b Từ đó, ta có thêm nhận xét:  Nếu a khơng nhỏ b a = b a > b , ta nói a lớn b, kí hiệu a≥ b  Nếu a khơng lớn b a = b a < b , ta nói a nhỏ b, kí hiệu a≤ b Ví dụ Điền dấu thích hợp (=, ) vào ô vuông: a 1,53  1,8 c b - 2,37  - 2,41 −2 12  −18 3 13  20 d Giải Ta có ngay: a 1,53 < 1,8 b - 2,37 > - 2,41 c −2 12 = −18 d 13 < 20 BẤT ĐẲNG THỨC Bất đẳng thức hệ thức có dạng: A > B, A ≥ B, A < B, A ≤ B LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG Ví dụ a Khi cộng -3 vào hai vế bất đẳng thức −4 < bất đẳng thức nào? b Dự đoán kết cộng số c vào hai vế bất đẳng thức −4 < bất đẳng thức nào? Giải Ta có ngay: −3 − < −3 + ⇔ −7 < −1 (đúng) dự đoán c − < c + Tính chất: Với ba số a, b c, ta có:  Nếu a > b a + c > b + c  Nếu a < b a + c < b + c  Nếu a ≥ b a + c ≥ b + c  Nếu a ≤ b a + c ≤ b + c Khi cộng số vào hai vế bất đẳng thức ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho Ví dụ So sánh −2004 + (−777) −2005 + (−777) mà khơng tính giá trị biểu thức Giải Ta có −2004 > −2005 nên cộng hai vế bất đẳng thức với -777, ta −2004 + (−777) > −2005 + (−777) Ví dụ Dựa vào thứ tự so sánh + Giải Ta có < nên cộng hai vế bất đẳng thức với 2, ta B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Ví dụ Mỗi khẳng định sau hay sai? Vì sao? a (−2) + ≥ b − = 2.(−3) c + (−8) < 15 + (−8) d x + ≥ Giải a Khẳng định (−2) + ≥ sai b Khẳng định −6 = 2.(−3) c Khẳng định + (−8) < 15 + (−8) d Khẳng định x + ≥ vì: x ≥ 0, ∀x ⇔ x + ≥ 1, ∀x Ví dụ Cho a < b , so sánh: a a + b + b a − b − Giải a Ta có: a < b ⇔ a +1 < b +1 b Ta có: a < b ⇔ a−2 < b−2 Ví dụ Hãy so sánh a b nếu: a a − ≥ b − b 15 + a ≤ 15 + b Giải a.Ta có: a−5 ≥ b−5 ⇔ a−5+5 ≥ b−5+5 ⇔ a ≥ b b Ta có: 15 + a ≤ 15 + b ⇔ 15 + a − 15 ≤ 15 + b − 15 ⇔ a ≤ b +2 1 b) − < − + 5 c) −4 + ≤ 7; d) − x − ≤ Bài 2: So sánh x y trường hợp sau: 5 a) x − ≤ y − ; 3 b) −5 − x > − y − Bài 3: Cho a  b so sánh a) a  26 b  26 b) a  b  c) a b  d) a  b  TRẮC NGHIỆM Hãy chọn chữ đứng trước câu trả lời ( trừ câu 2) Câu 1: Số a không lớn số b Khi ta kí hiệu A a  b B a  b C a  b D a  b Câu 2: Khi cộng số vào vế bất đẳng thức ta bất đẳng thức ………………với bất đẳng thức cho Câu 3: Biết bạn An nặng bạn huy Huy, gọi trọng lượng bạn An a(kg), trọng lượng bạn Huy b Khi ta có: B.a  b A a  b D a  b C a  b Câu 4: Các bất đẳng thức sau hay sai? Đ Nội dung A 3   B  7   13  7  C 3  1 D a2   S Câu 5: Một bạn giải toán sau: Cộng -2006 vào hai vế bất đẳng thức 2005  2006 ta suy 2005  2006 ฀ 2006  2006 phương án điền vào ô trống là: A ‘’ C ‘’ B ‘’ D ‘’ Câu 6: Cho bất đẳng thức 2007  2006  2006 Khi 2007  2006 gọi A Đẳng thức B Biểu thức C.Vế trái D Vế phải Câu 7: Phương án bất đẳng thức A 2a  b B 2a  b C 2a  b 2a+b D 2a : b Câu 8: Cho hình vẽ , coi a,b,c khối lượng vật nặng.khi ta biểu diễn: A a  b  c B b  c  a C b  c  a b +c=a D Tất trường hợp sai a c b LỜI GIẢI PHIẾU BÀI LUYỆN Bài 1: a) Đúng  (8)  3  b) Đúng (3)  (7)  21  (5)  (4)  20 c) Đúng (7)2   40  (10)  (4)  40 d) Đúng x   x    x     (  x   )(cùng cộng với số) Bài 2: HD:Ta có a  b a) a  < b  (cùng cộng với 3) b) a   b  (cùng cộng với 2 c) a  < b  (cùng cộng với 1) Vậy a  a   b   a  b  (tính chất bắc cầu) d) Tương tự có: a   a   b  Bài 3: HD: a) a   b   a  b (cùng cộng với 4) b)  a   b  a  b ( cộng với 5 c) a   b   a  b (cùng cộng với 9 ) d) a  17  b  17  a  b (cùng cộng với 17) Bài 4: HD: a) Thứ tự xếp: 8; 3; 0; -1; -5; -7; -8 (tự biểu diễn) b) Thứ tự xếp: 5; 2;1;0; − ; − Bài 5: HD: x    x   11  11   x   20 Bài 6: HD: x   15  x   7   15  7   x   Bài 7: HD: a) x − ≤ −8 ⇔ x − + ≤ ( −8 ) + ⇔ x ≤ b) x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  Bài 8: HD: Tính tổng:     18  20  20  2 : 20  2 :  1  11.10  110   a  b  108  a  108  b  110  a  108  b ========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ========== LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN A BÀI GIẢNG LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN VỚI SỐ LƯỢNG Ví dụ a Nhân hai vế bất đẳng thức −2 < với 5091 bất đẳng thức nào? b Dự đoán kết nhân hai vế bất đẳng thức −2 < với số c dương bất đẳng thức nào? Giải Ta có ngay: −2.5091 < 3.5091 ⇔ −10182 < 15273 (đúng) dự đốn −2c < 3c với c dương Tính chất 1: Với ba số a, b c > , ta có:  Nếu a > b a.c > b.c a b > c c  Nếu a ≥ b a.c ≥ b.c a b ≥ c c  Nếu a < b a.c < b.c a b < c c  Nếu a ≤ b a.c ≤ b.c a b ≤ c c Khi nhân chia hai vế bất đăng thức với số dương ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho Ví dụ Điền dấu thích hợp () vào vuông: a (−15,2).3,5 b 4,15.2,2 □ (-15,08).3,5 □ (-5,3).2,2 Giải a Ta có cách điền: (−15,2).3,5 < (-15,08).3,5 Vì ln có −15,2 < −15,08 bất đẳng thức hình thành nhân hai vế với 3,5 > b Ta có cách điền: 4,15.2,2 > (-5,3).2,2 Vì ln có 4,15 > −5,3 bất đẳng thức hình thành nhân hai vế với 2,2 > LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN SỐ ÂM Ví dụ a Nhân hai vế bất đẳng thức −2 < với -345 bất đẳng thức nào? b Dự đoán kết nhân hai vế bất đẳng thức −2 < với số c âm bất đẳng thức nào? Giải Ta có ngay: −2.(−345) < 3.(−345) ⇔ 690 < −1035, sai Tức dấu bất đẳng thức cần đổi chiều dạng 690 > −1035 dự đoán −2c > 3c với c âm Tính chất 2.: Với ba số a, b c < , ta có:  Nếu a > b a.c < b.c a b < c c  Nếu a ≥ b a.c ≤ b.c a b ≤ c c  Nếu a < b a.c > b.c a b > c c  Nếu a ≤ b a.c ≥ b.c a b ≥ c c Khi nhân chia hai vế bất đẳng thức với số âm ta bất đẳng thức ngược chiều với bất đẳng thức cho Ví dụ Cho −4a > −4b , so sánh a b Giải Bằng cách chia hai bất đẳng thức với -4, ta a < b Ví dụ Khi chia hai vế bất đẳng thức cho số khác sao? Giải Khi chia hai vế bất đẳng thức cho số khác thì:  Dấu bất đẳng thức khơng thay đổi a >  Dấu bất đẳng thức đổi chiều a < TÍNH CHẤT BẮC CẦU CỦA THỨ TỰ Tính chất: Với ba số a, b c, a > b b > c a > c B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Ví dụ Mỗi khẳng định sau hay sai? Vì sao? a (−6).5 < (−5).5 b (−6).(−3) < (−5).(−3) c (−2003).(−2005) ≤ (−2005).2004 d -3 x ≤ Hướng dẫn: Sử dụng liên hệ thứ tự với phép nhân Giải a Ta có bất đẳng thức (−6).5 < (−5).5 Là tạo thành nhân hai vế bất đẳng thức −6 < −5 với > b Ta có bất đẳng thức (−6).(−3) < (−5).(−3) Là sai tạo thành nhân hai vế bất đẳng thức −6 < −5 với −3 < c Ta có bất đẳng thức (−2003).(−2005) ≤ (−2005).2004 Là sai tạo thành nhân hai vế bất đẳng thức −2003 ≤ 2004 với −2005 < d Ta có bất đẳng thức −3 x ≤ Là tạo thành nhân hai vế bất đẳng thức x ≥ với −3 < Ví dụ a So sánh (−2).3 -4,5 b Từ kết câu a), suy bất đẳng thức sau: (−2).30 < −45; (−2).3 + 4,5 < Hướng dẫn: Lựa chọn bất đẳng thức sở để biến đổi Giải a Ta ln có −2 < −1,5 nên cách nhân hai vế với 3, ta được: (−2).3 < −4,5 (1) b Ta xây dựng:  Bất đẳng thức (−2).30 < −45 hình thành cách nhân hai vế (1) với 10  Bất đẳng thức (−2).3 + 4,5 < hình thành cách cộng hai vế (1) với 4,5 Ví dụ Cho a < b , so sánh: 2a 2b; 2a a + b ; -a –b Hướng dẫn: Sử dụng phép biến đổi tương đương cho bất đẳng thức ban đầu Giải Ta thấy: a < b ⇔ 2a < 2b , cách nhân hai vế với a < b ⇔ 2a < a + b , cách cộng hai vế với a a < b ⇔ −a > −b , cách nhân hai vế với -1 Ví dụ Số a số âm hay dương nếu: 12a < 15a ? 4a < 3a ? −3a > −5a ? Hướng dẫn: Sử dụng phép so sánh hai bất đẳng thức đầu cuối Giải Ta có: 12 < 15 ⇒a>0  12a < 15a 4 > ⇒a −5 ⇒a>0  −3a > −5a Ví dụ Hãy xác định dấu số a, biết: b a ≤ a 6a > 3a a Giải a Ta viết lại: 6a > 3a ⇔ 6.a > 3.a Tức là, bất đẳng thức có sau nhân hai vế bất đẳng thức > với a Vậy, từ chiều hai bất đẳng thức suy a > b Ta viết lại: a≤ a ⇔ 1.a ≤ a 2 Tức là, bất đẳng thức có sau nhân hai vế bất đẳng thức > với a Vậy, từ ngược chiều hai bất đẳng thức suy a ≤ Ví dụ Cho a < b , chứng tỏ: b − 2a − > −2b − a 3a + < 3b + Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thức sở để biến đổi Giải Ta có: a < b ⇔ 3a < 3b ⇔ 3a + < 3b + a < b ⇔ −2a > −2b ⇔ −2a − > −2b − Ví dụ Cho bất đẳng thức m > Nhân hai vế bất đẳng thức với số bất đẳng thức > m Giải Với bất đẳng thức giả thiết: m > nhân hai vế bất đẳng thức với m , ta được: m2 1 > ⇔ > m m m Ví dụ Cho a < b , chứng tỏ: a 2a − < 2b − b 2a − < 2b + Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thức sở để biến đổi Giải Ta có: a < b ⇔ 2a < 2b ⇔ 2a − < 2b − (1) −3 < ⇔ 2b − < 2b + (2) Từ (1) (2) theo tính chất bắc cầu suy 2a − < 2b + Ví dụ Cho a < b , chứng minh 2a − < 2b + Giải Với bất đẳng thức giả thiết: a 1800 a  A+ B  < 1800 b  A+ B  +C  ≤ 1800 c B   ≥ 1800 A+ B   +C  1800 , A, B ,C  >0 Hướng dẫn: Sử dụng đẳng thức = A+ B Giải b Đúng a Sai c Sai khơng thể có dấu “=” Ví dụ 11 Chứng minh: a 4.(−2) + 14 < 4(−1) + 14 b (−3).2 + < (−3).(−5) + Hướng dẫn: Cần lựa chọn bất đẳng thức sở để biến đổi Giải a Từ bất đẳng thức: −2 < −1 ⇔ 4.(−2) < 4.(−1) ⇔ 4(−2) + 14 < 4.(−1) + 14 , đpcm b Từ bất đẳng thức: > −5 ⇔ (−3).2 < (−3).(−5) ⇔ (−3).2 + < (−3).(−5) + , đpcm Ví dụ 12 So sánh a b nếu: a a + < b + b − 3a > −3b c 5a − ≥ 5b − d − 2a + ≤ −2b + d Sai Giải a Ta có biến đổi: a+5< b+5⇔ a< b b Ta có biến đổi: −3a > −3b ⇔ a < b c Ta có biến đổi: 5a − ≥ 5b − ⇔ 5a ≥ 5b ⇔ a ≥ b d Ta có biến đổi: −2a + ≤ −2b + ⇔ −2a ≤ −2b ⇔ a ≥ b Ví dụ 13 Cho a < b , so sánh: a 2a + 2b + b 2a + 2b + Giải a Ta có biến đổi: a < b ⇔ 2a < 2b ⇔ 2a + < 2b + (1) b Ta có: < ⇔ 2b + < 2b + (2) Từ (1), (2) theo tính chất bắc cầu suy 2a + < 2b + Ví dụ 14 Cho a > b > , chứng tỏ rằng: a a2 > ab b a3 > b3 Giải a Với bất đẳng thức giả thiết: a>b Nhân hai vế bất đẳng thức với a > , ta được: a2 > ab , đpcm (1) b Với bất đẳng thức giả thiết: a>b (*) Nhân hai vế bất đẳng thức (*) với a2 > , ta được: a3 > a b (2) Nhân hai vế bất đẳng thức (*) với b > , ta được: ab > b2 Từ (1) (3) suy ra: a2 > b2 (3) (4) Nhân hai vế bất đẳng thức (4) với b > , ta được: a b > b3 Từ (2) (5) suy a3 > b3 , đpcm (5) Chú ý: Bất đẳng thức a2 > ab với điều kiện: a > b a > (hoặc a < b a < ) Bất đẳng thức a3 > b3 với điều kiện a > b Ví dụ 15 Cho a > b > , chứng tỏ 1 < a b Giải Từ giả thiết a, b > suy ra: ab > ⇔ >0 ab Với bất đẳng thức giả thiết: a > b nhân hai vế bất đẳng thức với a , ta được: ab 1 1 1 > b ⇔ > ⇔ < , đpcm ab ab b a a b Nhận xét: Ta có kết tổng quát “Nếu a > b 1  a < b nÕu a, b > ”   > nÕu a, b <  a b Ví dụ 16 Cho a < b c < d , chứng tỏ a + c < b + d Giải Với bất đẳng thức giả thiết: a b 3) a > b Bài 4: Cho x < y so sánh : a) x + y + b) − 3x − 3y c) x y + + 3 Bài 5: Cho a > b chứng minh : a) 2a − > 2b − c) − 3a < ( − b ) b) 2a − > 2b − Bài 6: Cho a, b bất kỳ, chứng minh : a + b2 ≥ ab 2) 1) a + b − 2ab ≥ 2 3) a + b − ab ≥ LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN Bài 1: a) Khẳng định 65  26 c) Khẳng định 5 b) Khẳng định x  x   d) Khẳng định sai 8  22 Bài 2: a) a  b  3a  3b  3a   3b  b) a  b  3a  3b  3a   3b  c) a  b  2a  2b  2a   2b  d) 2a   2b   2b  Bài 3: HD:a) 8   8a  4a a  b) a  c) a  Bài 4: a) a  b b) a  b d) a  c) a  b d) a  b 3 Bài 5: a) (a  )2    0, a 4 b) a  1a  2a  3a  4   (a  5a  4).(a  5a  5)  1 Đặt a  5a   t , ta t t  1   t  t   (t  )2   0, t c) (a  b)2  2(a  b ) Áp dụng BĐT Bunhia ta có: (a  b)2  (1.a  1.b)2  (12  12 )(a  b )  2(a  b ) Dấu “=” xảy a  b d) a  b  c  2 a  b  c  Ta có : a  2a   a – 1   a   2a Tương tự: b   2b; c   2c Nên: a  b  c   2a  2b  2c  a  b  c  Dấu “=” xảy a  b  c  Bài 6: HD: a  b  (a  b)2 (a  b)2 a  b a  b    ab     0;   0 a)      4 b) ⇔ (a  b)(a  b)2  c) ⇔ (a  b )(a  b)  d) ⇔ (a  1)2 (a  2a  3)  Bài 7: HD: a b Ta có cách điền: 4,15.2,2 > (-5,3).2,2 Vì ln có 4,15 > −5,3 bất đẳng thức hình thành nhân hai vế với 2,2 > LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN... bất đẳng thức, việc sử dụng tính chất thứ tự với phép cộng phép nhân cịn sử dụng phép biến đổi tương đương để biến đổi bất đẳng thức ban đầu bất đẳng thức ngược lại (xuất phát từ bất đẳng thức biến