Microsoft Word HH8 C1 CD3 HÌNH THANG CÂN docx 1 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ THCS TOANMATH com HÌNH THANG CÂN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Khái niệm Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau 2 Tính chất[.]
HÌNH THANG CÂN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Khái niệm Hình thang cân hình thang có A B hai góc kề đáy Tính chất - Trong hình thang cân, hai cạnh bên - Trong hình thang cân, hai đuờng chéo Dấu hiệu nhận biết - Hình thang có hai góc kề cạnh đáy hình thang cân - Hình thang có hai đường chéo hình thang cân Chú ý: Hình thang có hai cạnh bên khơng phải ln hình thang cân II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA Dạng Tính số đo góc, độ dài cạnh diện tích hình thang cân Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hình thang cân cạnh góc, đường chéo cơng thức tính diện tích hình thang để tính tốn Tính góc hình thang cân Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có A 2C Tính góc hình thang cân A 3D Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AH BK hai đường cao hình thang TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com a) Chứng minh DH = CD AB b) Biết AB = cm, CD = 14 cm, AD = cm, tính DH, AH diện tích hình thang cân ABCD 600 , AB = 4,5cm; AD = BC = cm Tính độ Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có A B dài đáy CD diện tích hình thang cân ABCD Dạng Chứng minh hình thang cân Phương pháp giải: Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thang cân Cho tam giác ABC cân A có BD CE hai đường trung tuyến tam giác Chứng minh BCDE hình thang cân Cho tam giác ABC cân A có BH CK hai đường cao tam giác Chứng minh BCHK hình thang cân Dạng Chứng minh cạnh nhau, góc hình thang cân Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD ) Gọi O giao điểm AD BC; Gọi E giao điểm AC BD Chứng minh: a) Tam giác AOB cân O; b) Các tam giác ABD BAC nhau; c) EC = ED; d) OE trung trực chung AB CD Cho tam giác ABC cân A điểm M tùy ý nằm tam giác Kẻ tia Mx song song 900 A vói BC cắt AB D, tia My song song với AC cắt BC ỏ E Chứng minh DME HƯỚNG DẪN 2D 1800 Ta có A D A 2C TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com D 600 , A B 1200 Suy C D 450 , 1350 AB Tương tự Ta có: C a) Chứng minh ADH = BCK (ch-gnh) DH = CK Vận dụng nhận xét hình thang ABKH (AB//KH) có AH//BK AB = HK b) Vậy DH CD AB c) DH = 4cm, AH = 3cm; SABCD = 30cm2 Hạ CH DK vng góc với AB Ta có: AK BH AD 1cm Từ đó: CD = 2,5cm CH 3cm S ABCD AB CD CD cm Sử dụng tính chất đường trung bình, ta chứng minh DE//BC Chứng minh BKC = CHB (ch-gnh) Suy CK = BH & AK = AH TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 1800 KAH Từ AKH ABC hay KH / / BC OBA a) OAB suy OAB cân O b) HS tự chứng minh , suy EDC ECD hay c) ADB BCA ECD cân E d) ta có: OA = OB, EA = EB, suy OE đường trung trực đoạn AB Tương tự có OE đường trung trực đoạn CD Vậy OE đường trung trực chung AB CD MEB 1800 Do MD / / BC DME 1800 MEB Suy DME A 1800 ACB 90 B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN PHIẾU SỐ PHIẾU BÀI TẬP HÌNH THANG CÂN – SỐ Câu 1: Trong hình vẽ sau, hình hình thang cân Giải thích R A D B AB //CD C H U G E EF//GH F I L J I J//KL TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com K M N Q P 58° S 122° T Câu 2: Cho hình thang cân ABCD AB //CD có A 1100 Tính góc cịn lại hinh thang ABCD Câu 3: Cho tam giác ABC cân A Đường thẳng song song với BC cắt hai cạnh AB; AC M ; N Chứng minh BCNM hình thang cân Câu 4: Cho hình thang cân ABCD AB //CD có đường cao AE ; BF Chứng minh DE CF Câu 5: Cho hình thang cân ABCD AB //CD có hai đường chéo cắt O Chứng minh OA OB; OC OD Câu 6: Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia AB lấy điểm D ; tia đối tia AC lấy điểm E cho AD AE Tứ giác BCDE hình gì? Vì sao? 700 Chứng minh rằng: A 1100 ; C Câu 7: Tứ giác ABCD có AB BC AD ; a) DB tia phân giác góc D b) ABCD hình thang cân Câu 8: Tính chiều cao hình thang cân ABCD biết cạnh bên BC 25cm ; cạnh đáy AB 10cm CD 24cm Câu 9: Cho tam giác ABC , điểm M nằm tam giác Qua M , kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC D , kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC E , kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB F Chứng minh rằng: EMF DMF a) DME b) Trong ba đoạn MA; MB; MC đoạn lớn nhỏ tổng hai đoạn Câu 10: Chứng minh hình thang cân, đường chéo ln lớn đường trung bình HƯỚNG DẪN Câu 1: TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com a) Xét tứ giác ABCD có AB //CD AC BD nên hình thang cân(hình thang có hai đường chéo nhau) G nên hình thang cân(hình thang có hai góc kề đáy b) Tứ giác EFGH có EF //GH H hình thang cân) c) Tứ giác I JKL hình thang có hai cạnh bên nên chưa thể khẳng định hình thang cân P 900 nên hình thang d) Tứ giác MNPQ có MN //PQ (cùng vng góc với MQ ) Q cân S nên hình thang e) Tứ giác RSTU có RS //UT (hai góc phía bù nhau) R cân Câu 2: A B D C A 1100 (hai góc kề đáy) Ta có ABCD hình thang cân nên B 1800 (hai góc phía) nên D 700 Mà AB //CD nên A D D 700 C Câu 3: A M B TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com N C C (tam giác ABC cân A ) nên Ta có MN //BC (gt) nên BCNM hình thang Mà B BCNM hình thang cân Câu 4: A D B E C F C ( ABCD hình thang cân) Xét hai tam giác vng AED BFC có: AD BC D nên AED BFC (ch-gn) DE FC Câu 5: A B O D C Xét hai tam giác BDC ACD có: cạnh DC chung; BCD ADC AD BC (tính chất hình thang cân) BDC ACD (c-g-c) BDC ACD ODC cân O OD OC Chứng minh tương tự ta có OB OC Câu 6: TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com E D A B C 1800 EAD Theo giá thiết ta có tam giác ABC ADE tam giác cân nên AED 1800 BAC ACB BAC (đối đỉnh) nên Mặt khác EAD AED ACB Mà hai góc vị trí so le nên DE //BC BCDE hình thang Lại có EC EA AC DA AB DB nên BCDE hình thang cân Câu 7: A E D B F C a) Kẻ BE vng góc với tia DA ; BF vng góc với tia DC BCF 700 AB BC nên chúng Khi hai tam giác vng BEA BFC có: BAE Do đó: BE BF B thuộc tia phân giác ADC hay DB tia phân giác ADC 1100 nên ADB 350 b) tam giác ADB cân A có DAB ADC 700 ( DB tia phân giác ADC ) TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 700 1100 1800 ADC DAB AB //DC C 700 nên ABCD hình thang cân Mà D Câu 8: A D B E F C Kẻ đường cao AE ; BF hình thang Khi hình thang ABFE có hai cạnh bên song song nên hai cạnh đáy EF AB 10cm Mặt khác theo câu DE CF nên DE CF 24 10 2cm Áp dụng định lí Pytago tam giác tính BF 69cm Câu 9: A E F M B D C a) Các tứ giác AEM F ; BDMF ; CDME có cặp cạnh đối song song có góc đáy 60 nên chúng hình thang cân EMD DMF A 600 Do đó: EMF TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com b) Vì tứ giác AEM F ; BDMF ; CDME hình thang cân nên MA EF ; MB FD; MC ED MA; MB; MC độ dài ba cạnh tam giác nên suy đpcm Câu 10: A D E B F Xét hình thang cân ABCD có hai cạnh đáy AB CD C AB CD , kẻ đường cao AE BF Ta có hình thang ABFE có hai cạnh bên song song(cùng vng góc với DC ) nên suy hai cạnh đáy Dó EF AB DE CF Ta có EC EF FC AB CD AB CD AB AB CD 2 EC độ dài đường trung bình hình thang ABCD Lại xét tam giác vuông AEC vuông E ta có: EC AC Vậy, hình thang cân, độ dài đường trung bình ln bé đường chéo PHIẾU SỐ Bài 1: Hai đoạn thẳng AB CD cắt O, biết OA=OC, OB=OD Tứ giác ACBD hình ? Bài 2: Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD) 10 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ACD BDC a) Chứng minh: b) Gọi E giao điểm AC BD Chứng minh EA = EB Bài 3: Hình thang cân ABCD ( AB// CD) , có góc C = 600, DB tia phân giác góc D; chu vi hình thang 20cm a)Tính cạnh hình thang b) Tính diện tích tam giác BDC Bài : Cho hình thang MNPQ (MN đáy nhỏ) có đường chéo MP NQ cắt O Qua O vẽ đường thẳng EF//QP ( E MQ, F NP ) CMR tứ giác MNPQ, MNFE, FEQP hình thang cân 600 , đáy nhỏ AD cạnh bên hình thang Bài Cho hình thang cân ABCD có C Biết chu vi hình thang 20cm a) Tính cạnh hình thang b) Tính chiều cao hình thang D 900 AD = BC tứ giác hình thang cân Bài CMR tứ giác ABCD có C Bài 7* Cho ABC Lấy điểm O nằm tam giác Kẻ OI//AB (I thuộc AC), OM//BC (M thuộc AB), OK//AC (K thuộc BC) Chứng minh rằng: Chu vi IMK tổng khoảng cách từ O đến đỉnh ABC Bài 8*: Cho tam giác ABC cân A, M điểm nằm hai điểm A B Trên tia đối tia CA lấy điểm N cho CN = BM Vẽ ME NF vng góc với đường thẳng BC Gọi I giao điểm MN BC a) Chứng minh: IE = IF b) Trên cạnh AC lấy điểm D cho CD = CN Chứng minh tứ giác BMDC hình thang cân 11 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài 9* Cho ABC đều, điểm M nằm tam giác Qua M, kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC E, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC F, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB D CMR: a) AFMD, BDME, CEMF hình thang cân FME DMF b) DME c) Điểm M phải vị trí để DEF tam giác đều? Trong trường hợp này, tính chu vi DEF theo chiều cao AH ABC 1800 CMR: AC Bài 10*: Cho tứ giác ABCD có AD = AB = BC a) Tia DB phân giác góc D b) Tứ giác ABCD hình thang cân 12 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com HƯỚNG DẪN Bài 1: A C O D B Vì OA=OC, OB=OD nên AB = CD (1); OA = OC; OB = OD nên O OBA OAC OBD cân 1800 AOC 1800 DOC (hai góc đối đỉnh) ; ODC AOC DOC mà 2 ODC mà hai góc so le nên AC // BD (2) OBA Từ (1) (2) suy tứ giác ACBD hình thang cân Bài 2: A B E D C ADC BCD a/ ABCD hình thang cân nên AD = BC; ACD BDC Dễ chứng minh: ADC BCD(c.g.c) suy ACD BDC b/ Theo câu a ta có CED cân E => ED = EC mà AC = BD (do ABCD hình thang cân) => EA = EB Bài 3: 13 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com A B C D C 600 60 300 a/ Ta có : ABCD hình thang cân nên D ADB CDB 900 ; Tam giác CBD vng B có CDB 300 => BC = DC hay 2AD = DC ; DBC 300 ABD BDC ABD ADB 300 => ∆ADB cân A nên AD = AB AB // CD nên Từ suy chu vi hình thang 5AD => 5.AD = 20cm => AD = 4cm Vậy AD = AB = BC = 4cm, CD = 8cm BCD vuông B Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆BDC: b/ Vì BD2 = DC2 – BC2 hay DB2 = 82 - 42 = 48 => BD = cm Diện tích tam giác BDC là: 4.4 cm2 Bài 4: M E Q 1 O N F P P M 1 Q Q P => Các Vì MN // QP nên: N 1 M1 N1 OMN OPQ cân O => OM = ON, OP = OQ => MP = NQ mà MNPQ hình thang => MNPQ hình thang cân Do EF // QP (gt), mà QP // MN nên EF // QP // MN => Tứ giác MNEF FEQP hình thang 14 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com PNM => MNEF FEQP hình QMN Do MNPQ hình thang cân nên: thang cân Bài A B D 600 H K C a/ Đặt AD = AB = DC = x; Kẻ AH BC , DK BC ; ( H ; K BC ) => AH // DK => Hình thang ADKH có hai cạnh bên song song nên AD = HK = x; AH = DK Có AHB DKC (ch - gn) => BH = KC 600 BH AB x x BH Xét ABH có : B 2 => Chu vi hình thang 5x = 20 => x = => AD = DC = AB = 4cm; BC = 8cm b/ Từ câu a ta có BH = 2cm; Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABH vng H ta có: đường cao AH = Bài 15 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com A 1 B O2 D 1 C 1 D OCD cân tạị O Ta chứng minh ADC BCD (c g c) AC = BD C 2 1800 O (1) C1 OBA cân tạị O A1 B Từ ta chứng minh ABD BAC (c c c ) 1 1800 O (2) A1 1 O suy A1 C Mà góc vị trí so le nên AB //CD Từ (1), (2) O D => ABCD hình thang cân Suy ABCD hình thang mà C Bài 7* A M B I O K C C 600 Do OI // AB; OM // BC; OK // AB (gt) A B Có ABC => tứ giác OIAM, OMBK, OKCI hình thang MBK ACB 600 (đồng vị, OK // AC) mà ABC ACB 600 OKB Ta có: OKB => Hình thang OMBK hình thang cân 16 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com CM tương tự ta có OKCI, OIAM hình thang cân, đó: OC = IK, OA = IM, OB = MK => CIMK = IK + IM + MK = OA+ OB + OC Bài 8* a) MBE = NCF (ch-gn) => ME = NF Từ cm b) Do => MIE = NIF (cgv-gnk)=> IE = IF ABC tam giác cân nên AB = AC, mà MB = DC ( = CN) nên AM = AD 180 AMD cân A=> AMD A 1800 A ABC Xét ABC có: => Do => MD // BC => MDCB hình thang ( ABC cân A) => BMDC hình thang cân (đpcm) Bài 9* 17 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com A F D B M H E C ABC Mà FM//AD ADM ABC (đồng vị) BAC ADM a) Có ABC BAC Xét tứ giác AFMD có AD / / FM ( gt ) => AFMD hình thang cân ADM BAC (cmt ) Chứng minh tương tự ta BDME, CEMF hình thang cân FME DMF = 600 b) DME c) DEF tam giác DE = DF = FE AM = BM = CM M phải cách đỉnh tam giác ABC Vậy M giao ba đường trung trực ABC Do ABC nên M đồng thời trọng tâm AH đường cao đồng thời đường trung tuyến nên AM 2 AH a DE DF FE a 3 Vậy chu vi tam giác DEF DE + DF + EF = 2a 18 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài 10* E a) Trên tia DA lấy điểm E cho AE = CD 1800 (gt) suy BAE BCD (cùng bù với BAD ) AC Do Từ ta BAE BCD (c g c) D ; BE BD BDE cân B E A B D 1 D 1 D 2 E Vậy tia DB phân giác góc D b) Có AB = AD ABD cân A D 1 2 D ABD D ABD mà góc vị trí so le nên AB//DC 1800 ABC BCD BCD 1800 ( gt ) BAD ABC Vậy ABCD hình thang cân Mà BAD ========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ========== 19 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com C ... MNPQ, MNFE, FEQP hình thang cân 600 , đáy nhỏ AD cạnh bên hình thang Bài Cho hình thang cân ABCD có C Biết chu vi hình thang 20cm a) Tính cạnh hình thang b) Tính chiều cao hình thang D ... nên hình thang cân (hình thang có hai góc kề đáy b) Tứ giác EFGH có EF //GH H hình thang cân) c) Tứ giác I JKL hình thang có hai cạnh bên nên chưa thể khẳng định hình thang cân P 900 nên hình. .. AH diện tích hình thang cân ABCD 600 , AB = 4,5cm; AD = BC = cm Tính độ Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có A B dài đáy CD diện tích hình thang cân ABCD Dạng Chứng minh hình thang cân Phương