Một số kinh nghiệm phát hiện và bồi dưỡng học sinh năng khiếu Toán ở Tiểu học

Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu toán Tiểu học Chương I KINH NGHIỆM PHÁT HIỆN HỌC SINH NĂNG KHIẾU TOÁN Ở TIỂU HỌC I Phát bồi dưỡng học sinh có khiếu tốn 1) Biểu học sinh có khiếu - Có khả thay đổi phương thức hành động để giải vấn đề phù hợp với thay đổi điều kiện Vd: “Xếp hình vng que diêm?” “ Xếp hình tam giác que diêm?” “ Xếp hình tam giác que diêm?” “ Xếp 10 hình tam giác que diêm?” - Có khả chuyển từ trừu tượng khái quát sang cụ thể từ cụ thể sang trừu tượng khái quát Vd: Cho dãy số 5, 8, 11, 14 Tính số hạng thứ 2007 dãy số? + Số hạng thứ hai : + × + Số hạng thứ ba : + × + Số hạng thứ tư : + × + Số hạng thứ năm: + × Hãy so sánh số hạng với số hạng đầu khoảng cách dãy số để tìm quy luật? - Có khả xác lập phụ thuộc kiện theo hai hướng xuôi ngược lại Vd: + Sự phụ thuộc tổng giá trị số hạng xác định phụ thuộc số hạng vào biến đổi tổng = 20 × (a + b + c) 19 × c 10 c=0 80 × a = 10 × b + 19 × c a = 1; b = + Điều kiện số chia hết cho 3, 5, 9, 4, 11 ngược lại? - Thích tìm lời giải tốn theo nhiều cách xem xét vấn đề nhiều khía cạnh khác Vd: Nói chung tích số tự nhiên số lớn thừa số Đặt vấn đề tìm thí dụ phủ định kết luận - Có quan sát tinh tế nhanh chóng phát dấu hiệu chung riêng, nhanh chóng phát chỗ nút làm cho việc giải vấn đề phát triển theo hướng hợp lý độc đáo - Có trí tưởng tượng hình học cách phát triển Các em có khả hình dung biến đổi hình để có hình cùng diện tích, thể tích Nguyễn Hoàng Nam sưu tầm biên soạn Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu tốn Tiểu học - Có khả suy luận có cứ, rõ ràng Có óc tị mị, khơng muốn dừng lại việc làm theo mẫu, có sẵn, hay cịn vướng mắc, hồi nghi Ln có ý thức tự kiểm tra lại việc làm 2) Biện pháp sư phạm: - Thường xuyên củng cố kiến thức vững cho học sinh hướng dẫn em đào sâu kiến thức học thông qua gợi ý hay câu hỏi hướng dẫn sâu vào kiến thức trọng tâm học: Yêu cầu học sinh tự tìm ví dụ minh họa, phản ví dụ dễ (nếu có), thí dụ cụ thể hóa tính chất chung, đặc biệt thông qua việc vận dụng thực hành, kiểm tra kiến thức tiếp thu, tập làm học sinh - Tăng cường số tập khó trình độ chung đòi hỏi vận dụng sâu khái niệm học vận dụng cách giải cách linh hoạt, sáng tạo phương pháp tổng hợp - Yêu cầu học sinh giải toán nhiều cách khác Phân tích so sánh tìm cách giải hay nhất, hợp lý Vd: Bài tốn cổ: “Vừa gà vừa chó Bó lại cho trịn Ba mươi sáu Một trăm chân chẵn Tính số gà? Số chó? ’’ - Tập cho học sinh thường xun tự lập đề tốn giải Vd: Lập đề tốn dạng tìm hai số biết tổng hiệu biết tổng tỷ số hai số - Sử dụng số tốn có chứng minh suy diễn (nhất tốn hình học) để hình thành bồi dưỡng cho học sinh phương pháp chứng minh toán học Vd: Cho ▲ABC có điểm E thuộc AB F thuộc BC cho EA = × EC, FB = × FC; Gọi I giao điểm AF BE; Tính tỷ số IF : IA IE : IB - Giới thiệu ngoại khóa tiểu sử số nhà toán học xuất sắc đặc biệt nhà toán học trẻ tuổi số phát minh toán học quan trọng; đặc biệt biệt gương nhà toán học nước, học sinh giỏi toán địa phương thành đạt sống để giáo dục tình cảm u thích mơn tốn kính trọng nhà tốn học - Tổ chức hội toán học, thi đố toán học có điều kiện tổ chức “ câu lạc học sinh yêu toán” - Bồi dưỡng cho em phương pháp học toán cách tự tổ chức tự học nhà gia đình - Kết hợp việc bồi dưỡng khả học toán với việc học tốt môn Tiếng Việt để phát triển dần khả sử dụng ngơn ngữ Nguyễn Hồng Nam sưu tầm biên soạn Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu toán Tiểu học II SUY LUẬN TỐN HỌC 1) Suy luận gì? Suy luận trình suy nghĩ từ hay nhiều mệnh đề cho trước rút mệnh đề Mỗi mệnh đề cho trước gọi tiền đề suy luận Mệnh đề rút gọi kết luận hay hệ Ký hiệu: X1, X2, , Xn Y Nếu X1, X2, , Xn Y ta gọi kết luận Y kết luận logic hay hệ logic Ký hiệu suy luận logic: 2) Suy diễn Suy diễn suy luận hợp logic từ chung đến kết luận cho riêng, từ tổng quát đến tổng quát Đặc trưng suy diễn việc rút mệnh đề từ mệnh đề có thực theo qui tắc logic - Quy tắc kết luận: - Quy tắc kết luận ngược: - Quy tắc bắc cầu: - Quy tắc đảo đề: - Quy tắc hoán vị tiền đề: - Quy tắc ghép tiền đề: 3) Suy luận quy nạp: Suy luận quy nạp phép suy luận từ riêng tới kết luận chung, từ tổng quát đến tổng quát Đặc trưng suy luận quy nạp khơng có quy tắc chung cho q trình suy luận, mà sở nhận xét kiểm tra để rút kết luận Do kết luận rút q trình suy luận quy nạp sai, có tính ước đốn Vd: 4=2+2 6=3+3 10 = + Kết luận: Mọi số tự nhiên chẵn lớn tổng số nguyên tố a) Quy nạp không hoàn toàn : Là phép suy luận quy nạp mà kết luận chung dựa vào số trường hợp cụ thể xet đến Kết luận phép suy luận khơng hồn tồn có tính chất ước đốn, tức đúng, sai có tác dụng gợi lên giả thuyết Nguyễn Hoàng Nam sưu tầm biên soạn Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu toán Tiểu học Sơ đồ: A1 , A2 , A3 , A4 , A5 An B A1 , A2 , A3 , A4 , A5 An số phần tử A Kết luận: Mọi phần tử A B Vd: + = + 4+1=1+4 Kết luận: Phép cộng hai số tự nhiên có tính chất giao hốn b) Phép tương tự: Là phép suy luận từ số thuộc tính giống hai đối tượng để rút kết luận thuộc tính giống khác hai đối tương Kết luận phép tương tự có tính chất ước đốn, tức đúng, sai có tác dụng gợi lên giả thuyết Sơ đồ : A có thuộc tính a, b, c, d B có thuộc tính a, b, c Kết luận : B có thuộc tính d Vd: + Tính tổng : S= + + Tương tự tính tổng: P = + + ………… Từ dễ dàng tính đươc P Nguyễn Hồng Nam sưu tầm biên soạn Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu toán Tiểu học c) Phép khái quát hóa: Là phép suy luận từ đối tượng sang nhóm đối tượng có chứa đối tượng Kết luận phép khái qt hóa có tính chất ước đốn, tức đúng, sai có tác dụng gợi lên giả thuyết Vd: Phép cộng hai phân số (Lớp 4) * Ta có : Suy quy tắc chung cộng hai phân số mẫu số * Ta có: Cộng hai phân số : Suy quy tắc chung cộng hai phân số khác mẫu số Vd: Chia tổng cho số ( Lớp 4) -Tính so sánh hai biểu thức : (35 + 21) : 35 : +21 : -Ta có: (35 + 21) : = 56 : = 35 : + 21 : = + = -Vậy suy ra: ( 35 + 21) : = 35 : + 21 : - Suy quy tắc chung chia tổng cho số c) Phép đặc biệt hóa: Là phép suy luận từ tập hợp đối tượng sang tập hợp đối tượng nhỏ chứa tập hợp ban đầu Kết luận phép đặc biệt hóa nói chung đúng, trừ trường hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến kết luận đúng, sai có tác dụng gợi lên giả thuyết Trong tốn học phép đặc biệt hóa xảy trường hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến: Điểm coi đường trịn có bán kính 0; Tam giác coi tứ giác cạnh có độ dài 0;Tiếp tuyến coi giới hạn cát tuyến đường cong giao điểm cố định giao điểm chuyển động đền III Hai phương pháp chứng minh toán học Tiểu học 1) Phương pháp chứng minh tổng hợp: Nội dung: Phương pháp chứng minh tổng hợp phương pháp chứng minh từ điều cho trước điều biết đến điều cần tìm, điều cần chứng minh Cơ sở: Quy tắc lơgíc kết luận Nguyễn Hoàng Nam sưu tầm biên soạn Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu toán Tiểu học Sơ đồ: A B C Y X Trong A mệnh đề biết cho trước; B hệ lơgíc A; C hệ lơgíc B; ; X hệ lơgíc Y Vai trò ý nghĩa: + Phương pháp chứng minh tổng hợp dễ gây khó khăn đột ngột, khơng tự nhiên mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát mệnh đề biết hồn tồn phụ thuộc vào lực học sinh + Phương pháp chứng minh tổng hợp ngắn gọn thường từ mệnh đề tiền đề ta dễ suy luận trực tiếp hệ logic + Phương pháp chứng minh tổng hợp sử dụng rộng rãi trình bày chứng minh tốn học, việc dạy học toán trường phổ thơng Ví dụ: Bài tốn “Hiện tuổi bố gấp lần tuổi tổng số tuổi hai bố 50 tuổi Hỏi sau năm tuổi bố gấp lần tuổi con?” “Cho tứ giác lồi ABCD M, N, P, Q điểm cạnh AB, BC, CD, DA Biết diện tích của MNPQ 100 cm2, tính diện tích rứ giác ABCD?” 2) Phương pháp chứng minh phân tích lên: Nội dung: Phương pháp chứng minh phân tich lên phương pháp chứng minh suy diễn ngược lên từ điều cần tìm, điều cần chứng minh đến điều cho trước biết Cơ sở: Quy tắc lơgíc kết luận Sơ đồ: X Y B A Trong đó: X mệnh đề cần chứng minh; Y tiền đề lơgíc X ; ; A tiền đề lơgíc B; A mệnh đề biết cho trước; Vai trò ý nghĩa: + Phương pháp chứng minh phân tích lên tự nhiên, thuận tiện mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát mệnh đề cần tìm, mệnh đề cần chứng minh, hay mệnh đề kết luận + Phương pháp chứng minh phân tích lên thường rát dài dịng thường từ mệnh đề chọn mệnh đề kết luận ta tìm nhiều mệnh đề khác làm tiền đề logic + Phương pháp chứng minh phân tích lên sử dụng rộng rãi phân tích tìm đường lối chứng minh toán học, việc dạy học tốn trường phổ thơng Ví dụ: Bài tốn “ Hai vịi nước chảy vào bể khơng chứa nước sau 12 đầy bể Biết lượng nước chảy vào bể vòi gấp 1, lần lượng nước vòi chảy vào bể Hỏi sau vịi chảy đầy bể?” Nguyễn Hoàng Nam sưu tầm biên soạn Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu toán Tiểu học Chương II: CÁC BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI § CẤU TẠO SỐ TỰ NHIÊN Bài 1: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết lấy chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị thương dư 2, chữ số hàng trăm chia cho chữ số hàng đơn vị thương dư Hd: + Gọi số cần tìm , (a, b, c chữ số từ đến 9, a khác 0) Ta có: b = c + Chữ số hàng đơn vị phải lớn ( số dư 2) Chữ số hàng đơn vị khơng thể lớn (vì chẳng hạn b = x + = 10) Vậy suy c = + Ta thấy: b = x + = Theo đề ta lại có: a = c x + = x + = Thử lại: = + 2; = + Bài 2: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết lấy số cộng với tổng chữ số 2000 Hd: + Giả sử số Theo đề ta có 2000 = a + b + c + d hay 2000 – (a + b + c + d) = Lập luận để có = 19 + Từ tìm c = d = Thử lại: 2000 – 1981 = + + + = 19 Vậy số cần tìm 1981 Bài 3: Tìm số tự nhiên A có chữ số, biết B tổng chữ số A C tổng chữ số B, đồng thời cho biết A = B + C + 51 Hd: + Giả sử A = , hay Lập luận để có C số có chữ số c nên Từ lập luận để có a = + Từ a = tìm c = Nên số phải tìm Xét 60, … , 69 ta thấy có 66 cho kết c = Thử lại: 12 + + 51 = 66 Vậy 66 số cần tìm Nguyễn Hồng Nam sưu tầm biên soạn Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu toán Tiểu học Bài 4: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chia số cho hiệu chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị thương 15 dư Hd: + Gọi số phải tìm Theo đầu ta có = (a – b) 15 +2 Hay b  16 = a  + Nếu a lớn a  + lớn 47 Khi b  16 lớn 47 nên b lớn (vì 47 : 16 = dư 15) + Vì a  + nên b b = a = 14 : (loại) b = a = Thử lại (6 – 2)  15 + = 62 Số phải tìm 62 Bài 5: Tìm số có chữ số, biết lấy số chia cho tổng chữ số thương dư 12 Hd: + Gọi số phải tìm , ( a, b < 10, a 0) Ta có =  (a + b) + 12, với a + b > 12 Sau biến đổi ta có:  a =  b + 12 + Vì  b + 12 chia hết :  a , suy a = a = 8, thay vào ta tìm a = Thử lại thấy thoả mãn Kết luận: Số phải tìm 87 Bài 6: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết lấy số chia cho tổng chữ số thương 11 Hd: + Gọi số cần tìm , (a, b, c chữ số từ đến 9, a khác 0) (theo ra) (cấu tạo số nhân số với tổng) (cùng bớt ) Nguyễn Hoàng Nam sưu tầm biên soạn Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu toán Tiểu học Bài 7: Tìm số chia thương phép chia có dư mà số bị chia 5544, số dư 10, 14 cuối Hd: 5544 -… … … - Lập luận để có thương số có chữ số, cịn số chia 104 số có chữ số -… - Mơ q trình chia: 144 - Tìm tích riêng tương ứng với lần chia có số dư -… 10, 14, 9 + Tích số chia chữ số hàng cao thương 55 – 10 = 45 + Tích số chia chữ số hàng cao thứ thương 104 – 14 = 90 + Tích số chia chữ số hàng cao thứ thương 114 – = 135 Trong tích riêng có số 45 số lẻ nhỏ nên số chia số lẻ, mà số 45 chia hết cho số có chữ số 45 Vậy số chia 45, thương 123 Bài 8: Khi nhân số tự nhiên với 2008, học sinh quên viết chữ số số 2008 nên tích bị giảm 221400 đơn vị Tìm thừa số chưa biết Hd: Thừa số biết 2008, viết sai thành 208 Thừa số bị giảm 2008 – 208 = 1800 (đvị) Thừa số chưa biết giữ nguyên, thừa số biết bị giảm 1800 đơn vị tích bị giảm 1800 lần thừa số chưa biết Theo đề số giảm 221400 Vậy thừa số chưa biết 221400 : 1800 = 123 Bài 9: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết lấy số chia cho hiệu chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị, ta thương 28 dư Hd: Gọi số phải tìm , ( a, b < 10, a = (a – b)  28 + Ta có Khi < a – b < khơng Nếu a – b = Nếu a – b = Nếu a – b = 0) khơng phải số có chữ số = 29 loại a khơng trừ cho b = 57 loại a khơng trừ cho b = 85 chọn a – b = – = Nguyễn Hoàng Nam sưu tầm biên soạn Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu tốn Tiểu học Bài 10: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết số gấp 20 lần tổng chữ số Hd: Gọi số phải tìm , ( a, b, c < 10, a 0) = (a + b + c)  20 Theo ta có: Vế trái có tận nên vế phải có tận 0, hay c = ta có:  a = b suy a = 1, b = Thử lại: 180 = (1 + + 0)  20 Bài 11: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết số gấp lần tích chữ số Hd: Gọi số phải tìm Theo ta có: , ( a, b, c < 10, a 0) =  a  b  c Điều chứng tỏ , tức c = c = Dễ thấy c = vô lý ( Loại) Vậy suy b = b = Với c = 5: Ta có Với b = vô lý (Loại) Với b = 7: Suy a = Số phải tìm 175 Bài 12: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết chuyển chữ số cuối lên trước chữ số đầu ta số số cho 765 đơn vị Hd: , ( a, b, c < 10, a 0) Gọi số phải tìm Theo ta có:  11  c = 85 + b + 10  a Vì 85 + b + 10  a  95  11  c  95  c =  14 = b + 10  a  a = 1, b = Vậy số phải tìm 149 Bài 13: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết ta xóa chữ số hàng trăm ta số giảm lần so với số ban đầu Nguyễn Hoàng Nam sưu tầm biên soạn Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu toán Tiểu học Hd: Ta có: Do suy Mà dễ thấy dt(COB) = dt(AOD) = x giả thiết cho dt(ODC) = cm2 , dt(OAB) = cm2 Suy có:  x=2 Vậy diện tích dt(ABCD) = + + + = cm2 Bài 27: Co tứ giác ABCD hình thang Điểm M AB cho MA = MB Gọi giao điểm AC DB = O; MO CD = N Hãy so sánh độ dài hai đoạn NC ND A M B O Hd: D C Ta có: dt (DMB) = dt(CMA) N S4 + S3 + S2 + S6 = S1 + S2 + S3 + S5 Mà S4 +S3 = S1 +S2 ( Vì ta biết : dt(OAM) = dt (OBM) ) S2 + S6 = S3 + S5  dt( DOM) = dt( COM) h = h2 dt(DOM) = dt(COM) NC = ND Bài 28: Một ruộng hình chữ nhật có diện tích 675 m tổng chiều dài chiều rộng gấp lần hiệu chúng Tính kích thước ruộng Hd: Theo ta có sơ đồ sau: Hiệu: Tổng: Do ta có chiều rộng mảnh đất là: (8 – 2) : = (Phần) Do ta có chiều dài mảnh đất là: (8 + 2) : = (Phần) Ta chia chiều dài thành phần nhau, chiều rộng thành phần đồng thời nối cặp điểm tương ứng chiều dài chiều rộng ta 15 ô vuông với cạnh ô vuông phần Nguyễn Hoàng Nam sưu tầm biên soạn Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu tốn Tiểu học Vậy diện tích ô vuông là: 675 : 15 = 25 (m2) Vậy kích thước mỗ vng m Kích thước chiều rộng ruộng là:  = 15 (m) Kích thước chiều rộng ruộng là:  = 25 (m) Bài 29: Chứng tỏ tất hình chữ nhật vng hình vng chu vi hình vng có diện tích lớn A B x P Hd: Theo ta có hình vẽ sau: M x D N Q C Bài 30: Cho tam giác vuông ABC vuông A, cạnh AC = cm, cạnh AB = cm Hãy tính độ dài cạnh huyền BC Hd: B - Cắt tam giác vuông ABC vuông A, A cạnh AC = cm, cạnh AB = cm toán cho - Ghép tam giác vng lại với N tạo thành hình vng ABCD có cạnh cạnh huyền chúng tạo hình vng MNPQ M P rỗng (theo hình vẽ bên) - Ta có diện tích hình vng ABCD Q là:  + = 25 - Suy cạnh hình vng cm, tức D C cạnh huyền cắt: cm - Cách + Lấy hai điểm M, N điểm A giữa31: AB, AC Bài + Hạ AH  MN = H Cho tam giác ABC Hãy cắt ghép tam giác tạo thành hình chữ nhật + Hạ BE  MN = E + Hạ CF  MN = F N M Hd: - Cách ghép: F E H + Ghép AHM vào BEM + Ghép AHN vào CFN Nguyễn Hoàng Nam sưu tầm biên soạn Ta có ABC cắt ghép thành hình B C chữ nhật BEFC Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu toán Tiểu học Bài 32: Khi tăng bán kính hình trịn thêm 20% diện tích hình trịn tăng thêm phần trăm? Hd: Bán kính hình trịn cũ R, diện tích hình trịn cũ là: 3,14  R  R Vậy bán kính hình trịn 120% R, diện tích hình trịn là: 3,14  120% R  120%R = 3,14  R  R  144% Do ta có diện tích hình trịn tăng lên là: 144% - 100% = 44% Bài 33: Dùng que diêm xếp thành 10 hình tam giác? Hd: Xếp theo hình ơng cánh hình bên Bài 34: Dùng que diêm xếp thành hình tam giác? Hd: Bài 35:Xếp theo hình tam giác lồng vào hình vẽ tam bên giác thành phần tương đương Hãy chia A đường thẳng qua điểm M cho trước nằm M cạnh tam giác đó? Hd: Cách dựng: + Lấy D điểm cạnh BC + Kẻ tia Ax // MD cắt BC N Nối MN làNguyễn Hoàng Nam sưu tầm biên soạn B đường thẳng cần dựng C N D Chứng minh: Dùng phương pháp diện tích Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu toán Tiểu học Bài 36: Hãy chia tứ giác lồi ABCD thành phần tương đương đường thẳng qua điểm M cho trước nằm cạnh AB tứ giác đó? Hd: Cách dựng: + Kẻ tia Ax // MD cắt CD kéo dài điểm E + Kẻ tia By // MC cắt DC kéo dài điểm F + Lấy N điểm cạnh EF Nối MN đường thẳng cần dựng Chứng minh: Dùng phương pháp diện tích A M B E D N C F Bài 37: Khi tăng chiều rộng hình chữ nhật thêm 10% phải giảm chiều dài phần trăm để diện tích hình chữ nhật khơng đổi? Hd: Hình chữ nhật cũ: Diện tích = chiều dài × chiều rộng Hình chữ nhật mới: + Chiều rộng = 1,1 × chiều rộng + Chiều dài = x × chiều dài + Diện tích = 1,1 × chiều rộng × x × chiều dài Để diện tích khơng đổi ta có: Chiều dài × chiều rộng = 1,1 × chiều rộng × x × chiều dài  1,1× x =  Vậy suy chiều dài phải giảm Bài 38: Hãy chia hình chữ nhật kích thước cm × cm thành phần tương đương có hình dạng đơi khác nhau? Hd: Nguyễn Hồng Nam sưu tầm biên soạn Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu toán Tiểu học + Cách 1: Dùng mắt lưới ô vuông Chia chiều rộng thành phần phần cm Chia chiều dài thành phần phần cm Nối điểm chia tương ứng cạnh tạo thành 24 ô vng vng cạnh cm Cắt hình chữ nhật thành hình hình vng có hình dạng đơi mặt khác + Cách khác: Không dùng mắt lưới ô vuông sử dụng điểm (12 cách) B A B A P M D N D C B A M N C B A P Q D N D C O N N C Tạo hình C B A O D M B A D Q M M Tạo hình C Bài 39: Nguyễn Hồng Nam sưu tầm biên soạn Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu toán Tiểu học Trong mặt phẳng cho 10 điểm thẳng hàng A 1, A2, …… , A10 điểm O ngồi đường thẳng nối 10 điểm Tính số tam giác giác tạo thành nối 11 điểm với nhau? O Hd: A1 A2 A3 A4 A6 A5 A7 A8 A9 A10 Ta thấy: Điểm A1 với điểm Ai lại sau A1 với điểm O tạo thành hình tam giác Điểm A2 với điểm Ai lại sau A2 với điểm O tạo thành hình tam giác ………… Điểm A9 với điểm A10 lại sau A9 với điểm O tạo thành hình tam giác Vậy số tam giác tạo thành là: + + + + + + + + = 45 Bài 40: Trong mặt phẳng cho 10 điểm thẳng hàng A 1, A2, …… , A10 hai điểm P, Q ngồi đường thẳng nối 10 điểm Tính số tam giác giác tạo thành nối 12 điểm với nhau? P Hd: Q A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 Ta áp dụng kết toán trên: Điểm P 10 điểm thẳng hàng ta 45 tam giác tạo thành; điểm Q 10 điểm thẳng hàng ta 45 tam giác tạo thành Nguyễn Hoàng Nam sưu tầm biên soạn Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu toán Tiểu học Xét điểm P, Q, với 10 điểm thẳng hàng khơng thẳng hàng ta có 10 tam giác tam giác Kết luận: Nếu P, Q không thẳng hàng với điểm 10 điểm ta có 45 + 45 + 10 = 100 (tam giác) Nếu P, Q thẳng hàng với điểm 10 điểm ta có 45 + 45 + = 99 (tam giác) Nguyễn Hoàng Nam sưu tầm biên soạn Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu tốn Tiểu học § MỘT SỐ DẠNG TỐN KHÁC Bài 1: Một cửa hàng gạo có tổng số gạo nếp gạo tẻ 1950 kg Sau bán nếp số gạo số gạo tẻ số gạo nếp gạo tẻ cịn lại Hỏi lúc đầu cửa hàng có kg gạo nếp; kg gạo tẻ? Hd: Ta có: số gạo nếp lúc đầu = số gạo tẻ lúc đầu Do số gạo nếp lúc đầu = số gạo tẻ lúc đầu Biểu thị số gạo nếp lúc đầu phần, số gạo tẻ lúc đầu phần, ta có sơ đồ: Gạo nếp: 1950 kg Gạo tẻ: Giá trị phần 1950 : (6 + 7) = 150 (kg) Số gạo nếp lúc đầu 150  = 900 (kg) Số gạo tẻ lúc đầu 150  = 1050 (kg) Bài 2: Một cửa hàng rau có rổ đựng cam chanh Sau bán số cam số chanh người bán hàng thấy cịn lại 150 hai loại, số cam số chanh Hỏi lúc đầu cửa hàng có loại? Hd: Phân số số cam lại Phân số số chanh lại Ta có sơ đồ: số cam: số cam: + 150 số cam lại cửa hàng 150 : (2 + 3)  = 60 (quả) Nguyễn Hoàng Nam sưu tầm biên soạn Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu tốn Tiểu học + số chanh cịn lại cửa hàng 150 – 60 = 90 (quả) Số cam lúc đầu cửa hàng có 60 :  = 160 (quả) Số chanh lúc đầu cửa hàng có 90 :  = 225 (quả) Bài 3: Dung dịch nước biển chứa 5% muối Hỏi cần đổ thêm gam nước tinh khiết vào 45 gam dung dịch nước biển để tỷ lệ muối cịn 3%? Hd: Lượng muối có 45 gam dung dịch nước biển để tỷ lệ muối 5% là: (5 × 45) : 100 = 2,25 (g) Lượng dung dịch nước biển với tỷ lệ muối 3% có chứa 2,25 gam muối là: (2,25 × 100) : = 75 (g) Lượng nước tinh khiết cần phải đổ thêm vào là: 75 - 45 = 30 (g) Bài 4: Dung dịch nước biển chứa 5% muối Hỏi cần đổ thêm gam muối vào 45 gam dung dịch nước biển để tỷ lệ muối tăng lên 9%? Hd: Lượng nước tinh khiết có 45 gam dung dịch nước biển để tỷ lệ muối 5% là: (95 × 45) : 100 = 42,75 (g) Lượng dung dịch nước biển với tỷ lệ muối 9% có chứa 42,75 gam nước tinh khiết là: (42,75 × 100) : = 47,5 (g) Lượng muối cần phải đổ thêm vào là: 47,5 - 45 = 2,5 (g) Bài 5: Hỏi có số tự nhiên gồm chữ số khác mà chia hết cho 5? Hd: Trường hợp 1: Chữ số hàng đơn vị chứa chữ số + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn  Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: × × × × Trường hợp 2: Chữ số hàng đơn vị chứa chữ số Nguyễn Hoàng Nam sưu tầm biên soạn Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu toán Tiểu học + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn  Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: × × × × Kết luận: Vậy số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: (5 × × × × 9) + (5 × × × × 8) Bài 6: Hỏi có số tự nhiên gồm chữ số khác mà chia hết cho 2? Hd: Số số tự nhiên gồm chữ số khác nhau: + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn  Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: × × × × × Mà tập số tự nhiên số số chẵn số lẻ nhau, nên suy số số tự nhiên gồm chữ số khác mà chia hết cho là: (5 × × × × × 9) : = × × × × × Bài 7: Hỏi có số tự nhiên gồm chữ số khác mà chia hết cho 4? Hd: Ta biết điều kiệncần đủ để số tự nhiên chia hết cho chữ số tận số chia hết cho Số số gồm chữ số hàng chục hàng đơn vị khác mà chia hết cho 4: {04, 08, 12, … , 92, 96 } \ {44, 88} [(96 – 04) : +1] – [2] = 22 Trong 22 số có 16 số khơng chứa chữ số không số chứa chữ số là: 04, 08, 20, 40, 60, 80 Trường hợp 1: Hai chữ số cuối chứa chữ số + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn  Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: × [5 × × × 8] Nguyễn Hoàng Nam sưu tầm biên soạn Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu toán Tiểu học Trường hợp 2: Hai chữ số cuối không chứa chữ số + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn  Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: 16 × [5 × × × 7] Kết luận: Vậy số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: (6 × [5 × × × 8]) + (16 × [5 × × × 7]) Bài 8: Hỏi có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho cấu tạo từ chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}? Hd: Trường hợp 1: Chữ số hàng đơn vị chứa chữ số + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn  Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: × × × Trường hợp 2: Chữ số hàng đơn vị chứa chữ số + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn  Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: × × × Kết luận: Vậy số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: (4 × × × ) + (4 × × × ) Bài 9: Cho chữ số 0, 1, 2, 3, Hỏi lập số tự nhiên từ chữ số trên, chữ số có mặt lần, cịn chữ số cịn lại có mặt lần? Hd: Theo ta thấy số tự nhiên có chữ số có mặt lần, cịn chữ số cịn lại có mặt lần số tự nhiên có chữ số Do chữ số có vị trí để chọn Chữ số có mặt lần, tức chiếm vị trí cịn lại vị trí cịn lại: Chữ số có C = 20 cách chọn Với vị trí cịn lại chữ số 1, 2, chữ số chiếm một, nên có 3! =1 × × cách chọn  Số số tự nhiên chữ số có mặt lần, cịn chữ số cịn lại có mặt lần là: × 20 × = 120 số Nguyễn Hoàng Nam sưu tầm biên soạn Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu toán Tiểu học Bài 10: Hỏi có số tự nhiên có chữ số cho khơng có chữ số lặp lại lần? Hd: Ta có: + Số số tự nhiên gồm chữ số là: × 10 × 10 × 10 + Số số tự nhiên gồm chữ số, có chữ số lặp lại lần là: Chữ số lặp lại lần là: Chữ số lặp lại lần là: Vị trí thứ có cách chọn chữ số số Vị trí thứ có cách chọn chữ số ngồi số Vị trí thứ có cách chọn chữ số ngồi số Vị trí thứ có cách chọn chữ số ngồi số  Số số tự nhiên có chữ số chữ số lặp lại lần là: × × × = 35 ……………… Chữ số lặp lại lần là: Vị trí thứ có cách chọn chữ số ngồi số Vị trí thứ có cách chọn chữ số số Vị trí thứ có cách chọn chữ số ngồi số Vị trí thứ có cách chọn chữ số số  Số số tự nhiên có chữ số chữ số lặp lại lần là: × × × = 35 Vậy số số tự nhiên gồm chữ số, có chữ số lặp lại lần + × 35 = 324 Suy ra: Số số tự nhiên có chữ số cho khơng có chữ số lặp lại lần là: [9 × 10 × 10 × 10] – [324] = 8676 Bài 11: Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, Hỏi có số tự nhiên có chữ số khác thiết phải có mặt chữ số 5? Hd: Trường hợp 1: Số tự nhiên tạo thành chứa chữ số - Có vị trí chọn chữ số 0, sau cịn vị trí chọn chữ số - Ta thấy vị trí cịn lại chọn chữ số {1, 2, 3, 4, 6}, tức có × × cách chọn Do số số tự nhiên trường hợp là: × × [5 × × 3] Trường hợp 2: Số tự nhiên tạo thành không chứa chữ số Nguyễn Hoàng Nam sưu tầm biên soạn Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu toán Tiểu học - Có cách chọn vị trí chọn chữ số 5, sau cịn vị trí cịn lại chọn chữ số {1, 2, 3, 4, 6}, tức có × × × cách chọn Do số số tự nhiên trường hợp là: × [5 × × × 2] Tóm lại: Số số tự nhiên có chữ số khác thiết phải có mặt chữ số là: {4 × × [5 × × 3]} + {5 × [5 × × × 2]} Bài 12: Một đồn vận động viên tham gia thi đấu thể thao gồm mơn bắn súng bơi lội Trong đồn số vận động viên nam có 10 người, số vận động viên bắn súng có 14 người.Tính số người tồn đồn, biết số nữ thi bơi số nam bắn súng Hd: Ta có: Số người tồn đồn = Số nam + Số nữ Số nữ toàn đoàn = Số nữ bơi + Số nữ bắn súng Mà theo ta có số nữ thi bơi số nam bắn súng, nên suy ra: Số nữ toàn đoàn = Số nam bắn súng + Số nữ bắn súng = Số người bắn súng = 14 người Vậy số người toàn đoàn là: 10 + 14 = 24 (người) Bài 13: Một nhóm học sinh gồm 10 học sinh, có nam nữ Hỏi có cách xếp 10 người thành hàng dọc cho học sinh nam đứng cạnh nhau? Hd: Để học sinh nam đứng cạnh ta có số cách 7! = × × × × × × Khi học sinh nam đứng cạnh ta coi vị trí với học sinh nữ xếp vào vị trí Ta có 4! = × × × cách Do số cách xếp 10 học sinh cho thành hàng dọc cho học sinh nam đứng cạnh là: 4! × 7! Bài 14: Hỏi có cách xếp người A, B, C, D, E thành hàng ngang cho hai người A, B không đứng cạnh nhau? Hd: Số cách xếp người A, B, C, D, E thành hàng ngang là: (1 × × × × 5) Hai người A, B đứng cạnh ta coi người hàng cịn người có trường hợp xảy Mà số cách xếp người thành hàng ngang là: × × × Nguyễn Hồng Nam sưu tầm biên soạn Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu toán Tiểu học Do số cách xếp người A, B, C, D, E thành hàng ngang cho hai người A, B đứng cạnh là: (1 × × × 4) × Vậy số cách xếp người A, B, C, D, E thành hàng ngang cho hai người A, B không đứng cạnh là: (1 × × × × 5) - (1 × × × 4) × Bài 15: Trong tháng có ngày thứ năm ngày chẵn Hỏi ngày 26 tháng ngày thứ mấy? Hd: Vì tháng có ngày thứ năm ngày chẵn tháng tối đa chứa ngày thứ, nên suy ra: Tháng có ngày thứ năm (2 ngày thứ năm lẻ xen kẽ ngày thứ năm ngày chẵn.) Các ngày thứ năm tháng là: a, a + 7, a + 14, a + 21, a + 28 Nếu a số lẻ a + a + 21 phải số chẵn Điều mâu thuẫn với giả thiết tháng có ngày thứ năm ngày chẵn Vậy suy a phải só chẵn Vì số ngày tháng từ tới 31, nên ta có a + 28  31  a  Từ suy a = Do suy ra: Ngày 23 = + × thứ năm ngày 26 ngày chủ nhât Bài 16: Một nhóm bạn thân bao gồm nam nữ Tính số người nhóm người biết rằng: - Mỗi bạn nam nhóm có số bạn nam thân số bạn nữ thân - Mỗi bạn nữ nhóm có số bạn nữ thân nửa số bạn nam thân Hd: Theo ta có: Mỗi bạn nam nhóm có số bạn nam thân số bạn nữ thân mình, tức là: Số nam nhiều số nữ người (Số nam = Số nữ + 1) Suy ra: lần số nam lần số nữ thêm vào người Mỗi bạn nữ nhóm có số bạn nữ thân nửa số bạn nam thân mình, tức là: Số nam lần số nữ bớt người (Số nam = × Số nữ - 2) Do suy ra: lần số nữ bớt số nữ thêm vào người Vậy suy ra: Số nữ người Từ suy số nam người Vậy ta có số người nhóm người Bài 17: Giá hoa ngày 8/3 tăng 10% so với trước ngày 8/3, giá hoa sau ngày 8/3 giảm 10% so với ngày 8/3 Hãy so sánh giá hoa trước ngày 8/3 sau ngày 8/3? Hd: Nguyễn Hoàng Nam sưu tầm biên soạn Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu toán Tiểu học Gọi giá hoa trước ngày 8/3 100% ta có giá hoa ngày 8/3 110% giá hoa sau ngày 8/3 là: Vậy giá hoa sau ngày 8/3 rẻ giá hoa sau ngày 8/3 1% Bài 18: Nguyên tắc Điriclê tổng quát Cho tập hợp A gồm n phần tử riên biệt Chứng minh rằng: Với cách phân hoạch tập hợp A thành m tập rời nhau: A 1, A2, … , Am ln ln tồn tập phần tử chứa Hd: Theo phân hoạch tập hợp A phân hoạch thành m tập rời A 1, A2, … , Am , nên ta có:  với I ≠ j Nếu tất Ai có số phần tử số phần tử A Do suy phải tồn tập Ai cho chứa phần tử Bài 19: Trong lớp học có 32 em học sinh Hãy chứng tỏ có em có ngày sinh có em có tháng sinh? Hd: - Áp dụng nguyên tắc Điriclê tổng quát với n = 32 m = 31 (Vì tháng có tối đa 31 ngày) Ta có kết là: học sinh ngày sinh - Áp dụng nguyên tắc Điriclê tổng quát với n = 32 m = 12 (Vì có 12 tháng) Ta suy kết là: học sinh tháng sinh Bài 20: Trong trường học có 740 em học sinh Hãy chứng tỏ có em có ngày sinh tháng sinh? Hd: Áp dụng nguyên tắc Điriclê tổng quát với n = 740 m = 366 (Vì năm có 365 ngày 366 ngày) Ta suy kết là: học sinh ngày sinh tháng sinh Nguyễn Hoàng Nam sưu tầm biên soạn ... soạn Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu tốn Tiểu học Chương II: CÁC BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI § CẤU TẠO SỐ TỰ NHIÊN Bài 1: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết lấy chữ số. .. dãy số 100, 102, …, 138 Nguyễn Hoàng Nam sưu tầm biên soạn Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu toán Tiểu học Số hạng thứ dãy số1 00, 102, …, 138 108 Vậy chữ số cần tìm b) Số số hạng... chữ số thứ 135 thuộc dãy số có ba chữ số 101, 104, …, 998 Nguyễn Hoàng Nam sưu tầm biên soạn Một số kinh nghiệm phát bồi dưỡng học sinh khiếu toán Tiểu học Chữ số thứ 135 dãy số cho chữ số thứ