Bài giảng Hình học vi phân của Đường và Mặt

Bài giảng Hình học vi phân của Đường và Mặt nhằm cung cấp kiến thức cơ bản về hình học vi phân trên mặt hai chiều. Đây là những hiểu biết chung bổ ích cho bất kì ai học toán. Một số vấn đề trong môn học tương tác với các đề tài trong giải tích hàm nhiều biến, đại số tuyến tính, phương trình vi phân, phép tính biến phân, tôpô. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết!

Bài giảng Hình học vi phân Đường Mặt Huỳnh Quang Vũ Bản ngày 14 tháng 10 năm 2022 Bài giảng Hình học Vi phân Đường Mặt Huỳnh Quang Vũ Bản ngày 14 tháng 10 năm 2022 Địa chỉ: Khoa Toán - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Email: hqvu@hcmus.edu.vn Web: https://sites.google.com/view/hqvu/ Tóm tắt nội dung Đây giảng mơn MTH10480 Hình học Vi phân, môn học tự chọn chương trình đào tạo trình độ đại học ngành Tốn học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên ĐHQG-HCM, gồm 15 buổi học 15 tuần từ tháng tới tháng năm 2022 Vì phải học trực tuyến dịch COVID-19 nên lớp học dùng bảng điện tử, nhờ phần viết vẽ lưu lại được, sau phần lớn Hồ Nguyễn Huyền Thư (sinh viên khóa 2017) đánh máy dạng LATEX chèn hình vào tháng năm 2022 Mỗi mục ghi chép buổi học Mục lục Độ cong đường Tính tốn độ cong 2.1 Cơng thức tính độ cong 2.2 Dấu độ cong đường cong phẳng Đường cong với độ cong cho trước 3.1 Dấu độ cong đường cong phẳng: công thức tính 3.2 Hệ phương trình Frénet 10 Mặt quy 13 Ví dụ mặt quy 15 MỤC LỤC Mặt phẳng tiếp xúc, ánh xạ đạo hàm 20 6.1 Mặt phẳng tiếp xúc 20 6.2 Ánh xạ đạo hàm 21 Độ cong mặt 22 7.1 Mặt tròn xoay 23 7.2 Ánh xạ Gauss 24 Độ cong pháp tuyến, độ cong chính, tính tốn 27 8.1 Độ cong pháp tuyến 27 8.2 Độ cong 28 8.3 Tính tốn 29 Ví dụ độ cong 30 10 Đường trắc địa 31 11 Phương trình đường trắc địa 33 11.1 Tính hệ số Christoffel 35 11.2 Sự tồn nghiệm hệ phương trình đường trắc địa 36 12 Tính nội độ cong Gauss, đẳng cấu hình học 40 12.1 Độ cong Gauss tính theo mêtríc Riemann 40 12.2 Đẳng cấu hình học 41 13 Định lý Gauss–Bonnet 46 13.1 Độ cong trắc địa 48 13.2 Dạng địa phương 49 13.3 Dạng toàn cục 50 14 Sơ lược số phát triển 52 14.1 Tính chất tồn cục đường trắc địa 52 14.2 Mở rộng lên mặt 𝑛-chiều không gian (𝑛 + 1)-chiều 52 14.3 Mở rộng lên mặt trừu tượng 53 14.4 Mặt phẳng hyperbolic 54 15 Đề tài nhóm 58 15.1 Yêu cầu 58 15.2 Danh sách đề tài 58 Về môn học Môn học nhằm cung cấp kiến thức hình học vi phân mặt hai chiều Đây hiểu biết chung bổ ích cho học tốn Một số vấn đề môn học tương tác với đề tài giải tích hàm nhiều biến, đại số tuyến tính, phương trình vi phân, phép tính biến phân, tôpô Môn học giúp người học dễ dàng gặp tiếp cận trừu tượng vào số lĩnh vực giải tích tồn cục, giải tích hình học, phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi phân, tơpơ, hình học Phần cuối mơn học hướng tới cho người học tiếp xúc ban đầu với hình học vi phân nhiều chiều đa tạp Riemann Nội dung mơn học gồm Độ cong đường; Độ cong mặt; Định lý Gauss tính nội độ cong; Đường trắc địa; Định lý Gauss–Bonnet; Đa tạp Riemann; Hình học hyperbolic chiều Người học cần nắm vững phép tính vi phân hàm nhiều biến khái niệm ban đầu không gian mêtríc, sẵn sàng làm lý luận tính tốn tốn học, có hiểu biết tơpơ thuận lợi cho phần sau môn học Giáo trình mơn học sách Carmo [1] Độ cong đường Giống tích phân đường, để nói tính cong đường ta khởi đầu với đường (chuyển động) thay đường (tập điểm) Tính cong đường phản ánh thông qua thay đổi phương chuyển động đường (và tính thẳng phản ánh qua việc phương chuyển động khơng đổi) Tuy nhiên có nhiều chuyển động đường, thay đổi phương chuyển động cịn phụ thuộc vào cách chuyển động Vậy để tính cong túy phản ánh thuộc tính đường ta cần cách chuẩn hóa Ta chọn chuẩn hóa cách xét chuyển động với tốc độ Một đường (path) ánh xạ từ khoảng số thực 𝐼 vào không gian Euclid ℝ𝑛 : 𝛼 ∶ 𝐼 → ℝ𝑛 𝑡 ↦ 𝛼(𝑡) ĐỘ CONG CỦA ĐƯỜNG Vận tốc đường 𝛼 thời điểm 𝑡 𝛼′ (𝑡) = ( 𝑑 𝛼) (𝑡) 𝑑𝑡 hướng 𝛼 𝑡 Ta giả thiết ‖𝛼′ (𝑡)‖ = 1, ∀𝑡 ∈ 𝐼 để vectơ 𝛼′ (𝑡) túy hướng chuyển động Sự thay đổi hướng theo thời gian cho véctơ gia tốc 𝑑 ′ 𝛼 (𝑡) = 𝛼″ (𝑡) 𝑑𝑡 𝛼″ (𝑡0 ) = lim 𝑡→𝑡0 𝛼′ (𝑡) − 𝛼′ (𝑡0 ) 𝑡 − 𝑡0 Định nghĩa 1.1 Với giả thiết đường 𝛼 thỏa ∀𝑡, ‖𝛼′ (𝑡)‖ = độ cong vết đường 𝛼 điểm 𝛼(𝑡) số thực 𝑘(𝑡) = ‖𝛼″ (𝑡)‖ Ví dụ 1.2 Trên đường thẳng ta có chuyển động 𝛼 = 𝑎 + 𝑡𝑣, với 𝑎 𝑣 𝑣 vectơ đơn vị ℝ𝑛 Khi 𝛼′ (𝑡) = 𝑣 𝛼″ (𝑡) = 0, độ cong ln Ví dụ 1.3 Trên đường trịn tâm bán kính 𝑅 ℝ2 xét chuyển động 𝛼(𝑡) = 𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 (𝑅 cos , 𝑅 sin ) Ta có 𝛼′ (𝑡) = (− sin , cos ), ‖𝛼′ (𝑡)‖ = 1, 𝛼″ (𝑡) = (− cos , − sin ), ‖𝛼″ (𝑡)‖ = 𝑅 Vậy độ cong điểm 𝑅 Nhắc lại [mơn Giải tích 3], chiều dài đường cho tích phân theo thời gian tốc độ: 𝑡 𝑠(𝑡) = ∫ ‖𝛼′ (𝑢)‖ 𝑑𝑢 𝑎 Khi tốc độ chiều dài quãng đường 𝑠 thời gian 𝑡 Đường gọi quy (regular) vận tốc ln khác khơng [1, tr 17] Mệnh đề 1.4 Với đường quy tồn đường có vết mà có tốc độ Chứng minh Cho 𝛼 ∶ [𝑎, 𝑏] → ℝ𝑛 khả vi liên tục 𝛼′ (𝑡) ≠ 0, ∀𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] Ta có 𝑡 𝑑𝑠 𝑑 ∫ ‖𝛼′ (𝑢)‖ 𝑑𝑢 = ‖𝛼′ (𝑡)‖ > (𝑡) = 𝑠′ (𝑡) = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑎 Suy 𝑠 hàm tăng ngặt liên tục theo 𝑡, song ánh từ [𝑎, 𝑏] lên [0, 𝑙] với 𝑏 𝑙 = ∫𝑎 ‖𝛼′ (𝑢)‖ 𝑑𝑢 chiều dài đường 𝛼, có hàm ngược, khả vi theo Định lý hàm ngược: [0, 𝑙] → [𝑎, 𝑏] 𝑠 ↦ 𝑡 = 𝑡(𝑠) Xét đường 𝛽(𝑠) = 𝛼(𝑡(𝑠)) Ta tính vận tốc 𝛽: 𝑑 𝑑 𝑑𝑡 𝑑𝛼 𝛽) (𝑠) = (𝑡(𝑠)) ⋅ (𝑠) [𝛼(𝑡(𝑠))] = 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑠 1 = 𝛼′ (𝑡(𝑠)) ⋅ 𝑑𝑠 = 𝛼′ (𝑡(𝑠)) ⋅ ′ ‖𝛼 (𝑡(𝑠))‖ (𝑡(𝑠)) 𝛽′ (𝑠) = ( 𝑑𝑡 Trong tính tốn trên, nhớ lại Định lý hàm ngược nói 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 , 𝑑𝑦 𝑑𝑥 qua giới hạn từ đẳng thức 𝛥𝑦 𝛥𝑥 = 𝛥𝑦 𝛥𝑥 Rõ ràng ‖𝛽 ′ (𝑠)‖ = Đường có tốc độ gọi đường tham số hóa theo chiều dài (parametrized by arc-length) Với tham số hóa theo chiều dài biến thời gian 𝑡 biến chiều dài quảng đường 𝑠 Đường 𝛽 có tốc độ mà có vết với đường 𝛼 gọi đường tham số hóa lại theo chiều dài (reparametrized by arc-length) đường 𝛼 Vậy đường TÍNH TỐN ĐỘ CONG quy tham số hóa lại theo chiều dài Bài tốn 1.5 [1] 1.3: 2, , 4, 5, 6, 10 Tính tốn độ cong 2.1 Cơng thức tính độ cong Vấn đề đặt tính độ cong theo tham số hóa cho trước khơng thiết tham số hóa theo chiều dài Cho 𝛼 ∶ [𝑎, 𝑏] → ℝ𝑛 đường qui với tham số hóa Ta tham số hóa lại 𝛼 theo chiều dài Đặt 𝑡 𝑠(𝑡) = ∫ 𝑏 ‖𝛼′ (𝑢)‖ 𝑑𝑢, ≤ 𝑠 ≤ 𝑙 = ∫ ‖𝛼′ (𝑢)‖ 𝑑𝑢 𝑎 𝑎 Lấy hàm ngược 𝑡 = 𝑡(𝑠), đặt 𝛽(𝑠) = 𝛼(𝑡(𝑠)), ≤ 𝑠 ≤ 𝑙, 𝛽 tham số hóa lại theo chiều dài 𝛼 Ta có 𝛽 ′ (𝑠) = 𝑑𝛽 𝑑𝛼 𝑑𝑡 𝛼′ (𝑡(𝑠)) (𝑠) = (𝑡(𝑠)) (𝑠) = 𝛼′ (𝑡(𝑠)) 𝑑𝑠 = ′ 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑠 (𝑡(𝑠)) ‖𝛼 (𝑡(𝑠))‖ 𝑑𝑡 Tiếp theo 𝛽″ (𝑠) = 𝑑𝛽 ′ 𝑑 𝛼′ (𝑡(𝑠)) (𝑠) = ( ) 𝑑𝑠 𝑑𝑠 ‖𝛼′ (𝑡(𝑠))‖ 𝑑 = 𝑑𝑠 = 𝑑𝑡 (𝛼′ (𝑡(𝑠)) ‖𝛼′ (𝑡(𝑠))‖ − 𝛼′ (𝑡(𝑠)) 𝑑 ‖𝛼′ (𝑡(𝑠))‖ 𝑑𝑠 ‖𝛼′ (𝑡(𝑠))‖ 𝑑 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑠 𝑑𝑡 (𝛼′ (𝑡(𝑠)) (𝑡(𝑠)) ‖𝛼′ (𝑡(𝑠))‖ − 𝛼′ (𝑡(𝑠)) ‖𝛼′ (𝑡(𝑠))‖ ‖𝛼′ (𝑡(𝑠))‖ Ta dùng công thức sau cho hai hàm khả vi 𝑢, 𝑣 ∶ 𝐼 → ℝ𝑛 : (𝑢 ⋅ 𝑣)′ = 𝑢′ ⋅ 𝑣 + 𝑢 ⋅ 𝑣′ , 𝑑𝑡 𝑑𝑠 (𝑡(𝑠)) 2.1 Cơng thức tính độ cong suy ′ 1 𝑢′ ⋅ 𝑢 − ‖𝑢‖ = [(𝑢 ⋅ 𝑢) ] = (𝑢′ ⋅ 𝑢 + 𝑢 ⋅ 𝑢′ )(𝑢 ⋅ 𝑢) = ‖𝑢‖ 2 ′ Tiếp tục tính: ′ (𝑡(𝑠))‖ 𝛼 ‖ ‖ 𝛼″ (𝑡(𝑠)) ‖ ″ 𝛽 (𝑠) = ‖𝛼′ (𝑡(𝑠))‖ − 𝛼′ (𝑡(𝑠)) [𝛼′ (𝑡(𝑠)) ⋅ 𝛼″ (𝑡(𝑠))] 2 ‖𝛼′ (𝑡(𝑠))‖ 𝛼′ (𝑡(𝑠)) 𝛼″ (𝑡(𝑠)) − (𝛼″ (𝑡(𝑠)) ⋅ = ‖𝛼′ (𝑡(𝑠))‖ ‖ ‖ ∥𝛼′ (𝑡(𝑠))∥ ) 𝛼′ (𝑡(𝑠)) ∥𝛼′ (𝑡(𝑠))∥ ‖𝛼′ (𝑡(𝑠))‖ Gọi 𝑝 phép chiếu vng góc vectơ lên vectơ khác ta nhận thấy: 𝛽″ (𝑠) = 𝛼″ − 𝑝𝛼′ (𝛼″ ) (𝑡(𝑠)) ∥ 𝛼′ ∥2 Dùng công thức Pythagore, ta có 2 ‖𝛼″ − 𝑝𝛼′ (𝛼″ )‖ = ‖𝛼″ ‖ − ‖𝑝𝛼′ (𝛼″ )‖ Từ đó: 𝑘(𝑠) =∥ 𝛽 ′ (𝑠) ∥= = ‖𝛼′ ‖ ‖𝛼′ ‖ ‖𝛼″ − 𝑝𝛼′ (𝛼″ )(𝑡(𝑠))‖ [∥ 𝛼″ ∥2 − (𝛼″ ⋅ ′ 𝛼 ) ] (𝑡(𝑠)) ∥ 𝛼′ ∥ [∥ 𝛼″ ∥2 ∥ 𝛼′ ∥2 −(𝛼″ ⋅ 𝛼′ )2 ] = (𝑡(𝑠)) ∥ 𝛼 ′ ∥3 Vậy công thức độ cong ℝ𝑛 theo đường qui [∥ 𝛼″ ∥2 ∥ 𝛼′ ∥2 −(𝛼″ ⋅ 𝛼′ )2 ] (𝑡(𝑠)) 𝑘(𝑠) = ∥ 𝛼′ ∥3 TÍNH TỐN ĐỘ CONG Riêng 𝑛 = 3, dùng cơng thức cho tích có hướng 2 2 2 2 ‖𝑢 × 𝑣‖ = ‖𝑢‖ ‖𝑣‖ − (𝑢 ⋅ 𝑣)2 = ‖𝑢‖ ‖𝑣‖ − ‖𝑢‖ ‖𝑣‖ cos2 𝜃 = ‖𝑢‖ ‖𝑣‖ sin2 𝜃 ta 𝑘(𝑠) = ∥ 𝛼 ′ × 𝛼″ ∥ (𝑡(𝑠)) ∥ 𝛼′ ∥3 Riêng 𝑛 = 2, viết 𝛼(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)), cơng thức trở thành 𝑘(𝑠) = |𝑥′ 𝑦″ − 𝑥″ 𝑦′ | (𝑡(𝑠)) (𝑥′2 + 𝑦′2 )3/2 2.2 Dấu độ cong đường cong phẳng Giả sử đường cong phẳng 𝛼 tham số hóa theo chiều dài Ta có tính chất sau: ‖𝛼′ ‖ = ⟹ 𝛼′ ⋅ 𝛼′ = ⟹ (𝛼′ ⋅ 𝛼′ )′ = ⟹ 𝛼″ ⋅ 𝛼′ = ⟹ 𝛼″ ⟂ 𝛼′ Giả sử 𝑘(𝑠) ≠ 0, tức 𝛼″ (𝑠) ≠ 0, cặp (𝛼′ , 𝛼″ )(𝑠) tạo thành sở tuyến tính ℝ2 điểm 𝛼(𝑠) Ta qui ước dấu độ cong dương sở tuyến tính có chiều dương, dấu độ cong âm sở tuyến tính có chiều âm Tức là: sign(𝑘) = sign det(𝛼′ , 𝛼″ ) Bài toán 2.1 Nếu đổi chiều đường độ cong có dấu bị đổi dấu Bài toán 2.2 [1] 1.5: 1, 4, 6, 8a, 11 Đường cong với độ cong cho trước 3.1 Dấu độ cong đường cong phẳng: cơng thức tính Cho 𝛼 đường qui 𝛽 tham số hóa lại theo chiều dài 𝛼 Giả sử độ cong 𝑘(𝑠) ≠ Ta chứng tỏ hai cặp (𝛼′ , 𝛼″ ) (𝛽′ , 𝛽 ″ ) có dấu Theo tính tốn trước ta có 𝛽′ = 𝛽″ = 𝛼′ , ‖𝛼′ ‖ 𝛼″ − 𝑝𝛼′ (𝛼″ ) , ∥ 𝛼′ ∥2 suy sign det(𝛽 ′ , 𝛽 ″ ) = sign det(𝛼′ , 𝛼″ − 𝑝𝛼′ (𝛼″ )) = sign [det(𝛼′ , 𝛼″ ) − det(𝛼′ , 𝑝𝛼′ (𝛼″ ))] = sign det(𝛼′ , 𝛼″ ), với det(𝛼′ , 𝑝𝛼′ (𝛼″ ) = hai vectơ phương Trên mặt phẳng, 𝑎 = (𝑎1 , 𝑎2 ) ∈ ℝ2 𝑏 = (𝑏1 , 𝑏2 ) ∈ ℝ2 ta tính 2 ‖𝑎‖ ‖𝑏‖ − (𝑎 ⋅ 𝑏)2 = det ( 𝑎⋅𝑎 𝑎⋅𝑏 𝑏⋅𝑎 𝑏⋅𝑏 ) = (𝑎21 + 𝑎22 )(𝑏21 + 𝑏22 ) − (𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 )2 = (𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 )2 = [det ( 𝑎1 𝑏 𝑎2 𝑏 2 )] = [det(𝑎, 𝑏)] Từ trước, trường hợp đường cong phẳng có dấu, ta viết tiếp ( ∥ 𝛼″ ∥2 ∥ 𝛼′ ∥2 −(𝛼″ ⋅ 𝛼′ )2 ) | det(𝛼′ , 𝛼″ )| = |𝑘| = ∥ 𝛼′ ∥3 ∥ 𝛼′ ∥3 Suy công thức độ cong có dấu 𝑘 = sign det(𝛽′ , 𝛽 ″ ) ′ ″ | det(𝛼′ , 𝛼″ )| det(𝛼′ , 𝛼″ ) ′ ″ | det(𝛼 , 𝛼 )| = sign det(𝛼 , 𝛼 ) = ∥ 𝛼 ′ ∥3 ∥ 𝛼′ ∥3 ∥ 𝛼′ ∥3 46 13 ĐỊNH LÝ GAUSS–BONNET 13 Định lý Gauss–Bonnet Đây trường hợp tiêu biểu công thức Gauss–Bonnet: Nếu cạnh tam giác 𝛥 đường trắc địa 𝛼, 𝛽, 𝛾 góc tam giác 𝛥 [1, tr 267] (𝛼 + 𝛽 + 𝛾) − 𝜋 = ∬ 𝐾 𝑑𝑆 (13.1) 𝛥 Ví dụ 13.2 Với mặt phẳng 𝐾 = nên theo định lý Gauss–Bonnet 𝛼+𝛽+𝛾 = 𝜋 Ví dụ 13.3 Với mặt cầu đơn vị 𝐾 = nên theo định lý Gauss–Bonnet 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 𝜋 + ∬ 𝑑𝑆 = 𝜋 + |𝛥| > 𝜋 𝛥 với |𝛥| diện tích 𝛥 Để so sánh, ta tính trực tiếp tổng ba góc tam giác mặt cầu sau Gọi 𝑆 𝑖 𝛥𝑗 phần mặt cầu hình vẽ Diện tích mặt cầu đơn vị 4𝜋 Diện tích phần mặt cầu chắn góc 𝛼 |𝑆 | + |𝛥1 | = 𝛼 4𝜋 = 2𝛼 2𝜋 47 Tương tự |𝑆 | + |𝛥1 | = 2𝛽 |𝑆 | + |𝛥1 | = 2𝛾 Cộng diện tích chắn ba góc góc đối đỉnh ta 2(2𝛼 + 2𝛽 + 2𝛾) = (|𝑆 | + |𝛥1 |) + (|𝑆 | + |𝛥2 |) + (|𝑆 | + |𝛥1 |)+ + (|𝑆 | + |𝛥2 |) + (|𝑆 | + |𝛥1 |) + (|𝑆 | + |𝛥2 |) = |𝑆 | + ⋯ + |𝑆 | + 6|𝛥| Ở |𝛥| = |𝛥1 | = |𝛥2 | hai tam giác ứng với 𝛥1 𝛥2 đối xứng qua tâm mặt cầu Mặt khác 𝑆 + ⋯ + 𝑆 + |𝛥1 | + |𝛥2 | = diện tích mặt cầu = 4𝜋 nên ta rút 4(𝛼 + 𝛽 + 𝛾) = 4𝜋 + 4|𝛥| 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 𝜋 + |𝛥| Ta xem trường hợp tam giác đặc biệt hình, đỉnh tam giác điểm cực bắc cạnh đối diện đỉnh nằm đường xích đạo, hai cạnh cịn lại hai đường kinh tuyến vng góc với xích đạo Diện tích tam giác |𝛥| = 2𝛼 = 𝛼, tổng góc tam giác 𝜋 + 𝜋 + 𝛼 = 𝜋 + 𝛼 Ví dụ 13.4 Với mặt giả cầu (pseudosphere) 𝐾 = −1 nên theo định lý Gauss– 48 13 ĐỊNH LÝ GAUSS–BONNET Bonnet 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 − 𝜋 = ∬(−1) 𝑑𝑆 = −|𝛥| < 𝛥 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 < 𝜋 13.1 Độ cong trắc địa Độ cong trắc địa thể tính cong tương đối đường nằm mặt so với mặt Ví dụ 13.5 Một chuyển động với tốc độ đường trịn lớn mặt cầu vectơ gia tốc hướng tâm, vng góc với mặt, nên cách tương đối so với mặt gia tốc chuyển động 0, nên “độ cong tương đối” đường so với mặt Xét đường 𝛼 mặt 𝑆 tham số hóa theo chiều dài Xem hình Lấy thành phần 𝛼″ nằm mặt, tức proj𝑇𝑆𝛼(𝑡) 𝛼″ (𝑡) Ta tìm cách rút số thực từ vectơ 13.2 Dạng địa phương 49 Chú ý proj𝑇𝑆𝛼(𝑡) 𝛼″ (𝑡)⊥𝛼′ 𝛼′ ⟂ 𝛼″ (đường 𝛼 tham số hóa theo chiều dài) 𝛼′ ⟂ 𝑁 Do proj𝑇𝑆𝛼(𝑡) 𝛼″ (𝑡)⊥𝑁 nên proj𝑇𝑆𝛼(𝑡) 𝛼″ (𝑡) ∥ (𝑁 × 𝛼′ ) Chọn chiều 𝑁 × 𝛼′ (một vectơ đơn vị) chiều dương Định nghĩa 13.6 Độ cong trắc địa (geodesic curvature) đường cong 𝛼 mặt 𝑆 tham số hóa theo chiều dài 𝑘𝑔 = (proj𝑇𝑆𝛼(𝑡) 𝛼″ (𝑡)) ⋅ (𝑁 × 𝛼′ ) Vậy độ cong trắc địa đường độ lớn có dấu chiếu vng góc gia tốc đường lên mặt phẳng tiếp xúc mặt Ví dụ 13.7 Nếu 𝛼 đường trắc địa proj𝑇𝑆𝛼(𝑡) 𝛼″ (𝑡) = 𝑘𝑔 (𝛼) = [1, tr 252] Ví dụ 13.8 Trên mặt phẳng 𝑥𝑂𝑦 ⊂ ℝ3 với định hướng thông thường cho 𝑁 = (0, 0, 1) độ cong trắc địa 𝑘𝑔 có độ lớn |𝛼″ | có dấu dấu (𝑁, 𝛼′ , 𝛼″ ) Trong độ cong có dấu 𝑘 đường cong phẳng 𝛼 có độ lớn |𝛼″ | có dấu (𝛼′ , 𝛼″ , 𝑁) (xem 2.2) Vậy 𝑘𝑔 = 𝑘 13.2 Dạng địa phương Mệnh đề 13.9 Cho 𝑅 phần mặt 𝑆 định hướng có biên đường 𝐶 trơn định hướng theo chiều dương (không thiết đường trắc địa), nằm lân cận được tham số hóa, [1, tr 272] ∬ 𝐾 𝑑𝑆 + ∬ 𝑘𝑔 𝑑𝑠 = 2𝜋 𝑅 (13.10) 𝐶 Ví dụ 13.11 Trên mặt phẳng, 𝐾 = 0, (13.10) Ví dụ (13.8) cho ∫ 𝑘𝑔 𝑑𝑠 = ∫ 𝑘 𝑑𝑠 = 2𝜋 𝜕𝑅 (13.12) 𝜕𝑅 Chẳng hạn 𝜕𝑅 đường trịn bán kính 𝑟 𝐶 tham số hóa theo chiều dài 𝐶 ″ ∥ (𝑁 × 𝐶 ′ ), 𝑘𝑔 = ‖𝐶 ″ ‖ = , ∫𝐶 𝑘𝑔 𝑑𝑠 = 2𝜋 𝑟 Công thức 13.12 định lý tổng độ cong có dấu đường cong phẳng đơn kín, kết nói nói số vịng xoay đường cong phẳng đơn kín theo chiều dương 1, xem [1, tr 39, tr 402] 50 13 ĐỊNH LÝ GAUSS–BONNET Sơ lược cơng thức 13.10 chứng minh cách viết công thức độ cong Gauss độ cong trắc địa hệ tọa độ địa phương, sau áp dụng cơng thức Green liên hệ tích phân miền phẳng với tích phân biên miền Tổng quát hơn, xét trường hợp biên phần mặt 𝑅 không trơn mà trơn khúc Đặt 𝜃𝑖 góc ngồi đỉnh thứ 𝑖 𝜕𝑅, xem hình, có cơng thức [1, tr 272] ∬ 𝐾 𝑑𝑆 + ∫ 𝑘𝑔 𝑑𝑠 + ∑ 𝜃𝑖 = 2𝜋 𝑅 𝜕𝑅 (13.13) 𝑖 Chứng minh công thức dùng kết tinh vi so với kết số vịng xoay đường cong phẳng, tổng góc xoay phương tiếp tuyến đường cong phẳng (turning tangents) [1, tr 270] Công thức (13.1) trường hợp riêng cơng thức (13.13) 13.3 Dạng tồn cục Cho 𝑆 mặt compắc định hướng Giả sử mặt 𝑆 chia thành hữu hạn mảnh tam giác Ta áp dụng Gauss–Bonnet địa phương (13.13) cho mảnh cộng lại Trên phần biên chung, tức cạnh chung hai mảnh, ta có tình phần biên chung định hướng trái chiều mảnh hình, hai tích phân đường 𝑘𝑔 khử Gọi 𝑣 số đỉnh 𝑣, 𝑒 số cạnh, 𝑓 số mảnh mặt 𝑆 13.3 Dạng toàn cục 51 Lấy tổng công thức 13.13 tất mảnh mặt ta ∬ 𝐾 𝑑𝑆 + + ∑ 𝜃 = ∑ 2𝜋 = 2𝜋𝑓 𝑆 Tại góc ngồi 𝜃 mảnh gọi 𝛼 góc tương ứng, 𝛼 = 𝜋 − 𝜃 Tại đỉnh tổng góc 𝛼 2𝜋, tổng tất góc tất mảnh ∑ 𝜃 = ∑(𝜋 − 𝛼) = 𝜋𝑓 − 2𝜋𝑣 Ta rút ∬ 𝐾 𝑑𝑆 = 2𝜋𝑓 − 𝜋𝑓 + 2𝜋𝑣 = 2𝜋 (𝑣 − 𝑆 𝑓 ) Đếm tổng số cạnh từ mặt, ta để ý mảnh gồm ba cạnh cạnh thuộc hai mảnh nên đếm hai lần, 2𝑒 = 3𝑓 Thế vào ta ∬ 𝐾 𝑑𝑆 = 2𝜋 (𝑣 − 𝑒 + 𝑓) 𝑆 Đến xuất đặc trưng Euler (Euler characteristic) 𝑆, số đỉnh trừ số cạnh cộng số mảnh 𝑆, kí hiệu 𝜒(𝑆) = 𝑣 − 𝑒 + 𝑓 (𝜒 chữ Hy Lạp, đọc “khi”) Lý luận sơ lược dẫn tới [1, tr 280]: Định lý 13.14 Nếu 𝑆 mặt compắc định hướng ∬ 𝐾 𝑑𝑆 = 2𝜋𝜒(𝑆) (13.15) 𝑆 Trong môn Tôpô người ta biết đặc trưng Euler bất biến tôpô mặt, tức không đổi qua phép đồng phơi mặt Ví dụ 13.16 Mặt cầu 𝑆 đồng phôi với khối tứ diện Khối tứ diện có đỉnh, cạnh, mảnh tam giác Đặc trưng Euler khối tứ diện 4−6+4 = Vậy đặc trưng Euler mặt cầu 𝜒(𝑆2 ) = Dưới kết minh họa ứng dụng công thức (13.15): Hệ 13.17 Một mặt compắc định hướng mà độ cong Gauss dương điểm phải đồng phơi với mặt cầu Chứng minh Công thức (13.15) dẫn tới đặc trưng Euler mặt phải dương, mà môn Tôpô người ta biết có mặt cầu có đặc trưng Euler dương [10] 52 14 SƠ LƯỢC MỘT SỐ PHÁT TRIỂN TIẾP THEO 14 Sơ lược số phát triển 14.1 Tính chất tồn cục đường trắc địa Cho 𝑆 mặt liên thông Với hai điểm 𝑝 𝑞 𝑆 đặt 𝑑(𝑝, 𝑞) = inf{𝑙(𝛾) | 𝛾 trơn khúc từ 𝑝 tới 𝑞} Mệnh đề 14.1 𝑑 mêtríc 𝑆, sinh tôpô 𝑆 Mặt 𝑆 gọi mặt đầy đủ (complete) (𝑆, 𝑑) không gian mêtríc đầy đủ Ví dụ mặt compắc đầy đủ (do khơng gian mêtríc compắc đầy đủ) Ta có kết sau [1, tr 336]: Định lý 14.2 (Định lý Hopf–Rinow) Hai điểm mặt đầy đủ có đường trắc địa nối hai điểm có chiều dài khoảng cách hai điểm Chứng minh sử dụng khái niệm ánh xạ mũ (exponential map), vi đồng phôi từ lân cận mặt phẳng tiếp xúc điểm lên lân cận điểm mặt 14.2 Mở rộng lên mặt 𝑛-chiều không gian (𝑛 + 1)-chiều Một số nội dung mặt hai chiều khơng gian ba chiều mà ta khảo sát tổng qt hóa lên mặt 𝑛-chiều khơng gian (𝑛 + 1)-chiều (có gọi siêu mặt – hypersurface) 14.3 Mở rộng lên mặt trừu tượng 53 Cho 𝑀 “mặt 𝑛-chiều” ℝ𝑛+1 , với định nghĩa tương tự mặt quy ℝ3 Với tham số hóa lân cận điểm 𝑝 = 𝜑(𝑢) không gian tiếp xúc 𝑀 𝑝 𝑇𝑀𝑝 = ⟨{ 𝜕𝜑 (𝑢) || ≤ 𝑖 ≤ 𝑛}⟩ 𝜕𝑢𝑖 dim 𝑇𝑀𝑝 = 𝑛 Chọn chiều pháp tuyến đơn vị 𝑁(𝑝) cho sở ( 𝜕𝜑 𝜕𝜑 (𝑢), … , (𝑢), 𝑁(𝑝)) 𝜕𝑢1 𝜕𝑢𝑛 có chiều dương ℝ𝑛+1 Giống trường hợp hai chiều, ta ánh xạ tuyến tính 𝑑𝑁(𝑝) ∶ 𝑇𝑀𝑝 → 𝑇𝑀𝑝 Vậy ta đặt 𝐾 = det(𝑑𝑁(𝑝)) độ cong 𝑀 𝑝 14.3 Mở rộng lên mặt trừu tượng Theo Định lý Gauss tính nội độ cong Gauss 12.3, độ cong Gauss tính theo mêtríc Riemann Như dùng mêtríc Riemann để định nghĩa độ cong Gauss Các hệ số mêtríc Riemann (8.7) cho 𝑔𝑖𝑗 = ⟨ 𝜕𝜑 𝜕𝜑 , ⟩ 𝜕𝑢𝑖 𝜑𝑢𝑗 𝜑 tham số hóa địa phương Để có hệ số có tích không gian tiếp xúc đủ Nếu mặt nằm khơng gian Euclid mặt thừa hưởng tích Euclid, người ta nghĩ tới việc xét mặt tổng quát hơn, không thiết nằm không gian Euclid, mà có sẵn tích khơng gian tiếp xúc Các khơng gian vậy, tổng qt hóa khái niệm mặt, không cần đặt không gian Euclid, gọi “đa tạp” (manifold) 54 14 SƠ LƯỢC MỘT SỐ PHÁT TRIỂN TIẾP THEO Một mêtríc Riemann đa tạp tích trơn không gian tiếp xúc điểm mặt Ở tích trơn có nghĩa hàm 𝑔𝑖𝑗 ∶= ⟨ 𝜕𝜑 𝜕𝜑 , ⟩ 𝜕𝑢𝑖 𝜑𝑢𝑗 hàm trơn Tiếp theo: • Các hệ số Christoffel định nghĩa qua mêtríc Riemann (thơng qua 𝑔𝑖𝑗 đạo hàm chúng) theo công thức trước (11.6), (11.7) • Độ cong Gauss định nghĩa thơng qua hệ số Christoffel theo công thức trước (12.1), (12.2) • Đường trắc địa định nghĩa qua phương trình đường trắc địa (chỉ phụ thuộc vào hệ số Christoffel) trước (11.3) Lĩnh vực gọi Hình học Riemann (Riemannian Geometry) [2] 14.4 Mặt phẳng hyperbolic Đặt ℍ2 = ℝ2+ = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 | 𝑦 > 0} Có thể coi ℍ2 mặt quy ℝ3 với tham số hóa 𝜑 ∶ ℝ2+ → ℍ2 (𝑥, 𝑦) ↦ (𝑥, 𝑦, 0) Ta có 𝜕𝜑 𝜕𝑥 sinh (𝑥, 𝑦) = (1, 0, 0) 𝜕𝜑 𝜕𝑥 𝜕𝜑 𝜕𝑦 𝜕𝜑 𝜕𝑦 (𝑥, 𝑦) = (0, 1, 0) Trên không gian tiếp xúc ℍ2 ta khơng dùng tích Euclid mà dùng tích khác, tức mêtríc Riemann khác, xác định [1, tr 433]: ⟨ ⟨ 𝜕𝜑 𝜕𝜑 , ⟩ (𝑥, 𝑦) = = 𝐸 = 𝑔11 𝜕𝑥 𝜕𝑥 ℍ 𝑦 𝜕𝜑 𝜕𝜑 , ⟩ (𝑥, 𝑦) = = 𝐹 = 𝑔12 = 𝑔21 𝜕𝑥 𝜕𝑦 ℍ2 14.4 Mặt phẳng hyperbolic ⟨ 55 𝜕𝜑 𝜕𝜑 , ⟩ (𝑥, 𝑦) = = 𝐺 = 𝑔22 𝜕𝑦 𝜕𝑦 ℍ2 𝑦 hàm trơn Độ cong Gauss tính theo cơng thức [1, tr 240]: 𝐾=− 2√𝐸𝐺 [( 𝐸𝑦 √𝐸𝐺 ) +( 𝑦 𝐺𝑥 √𝐸𝐺 ) ] = −1 𝑥 Vậy ℍ2 có độ cong Gauss −1 Ta khảo sát đường trắc địa Xét phương trình đường trắc địa (11.3) với hệ số Christoffel cho phương trình (11.6), (11.7) Tính hệ số Christoffel, ta hệ phương trình đường trắc địa { 𝑥″ − 𝑥′ 𝑦 ′ =0 𝑦″ + (𝑥′2 − 𝑦′2 ) = 𝑦 𝑦 (14.3) Ta giải hệ Xét đường thẳng đứng 𝑥 = hằng, phương trình thứ hệ (14.3) thỏa, cịn phương trình thứ hai trở thành 𝑦″ − 𝑦′2 = 𝑦 Lấy đường tham số hóa theo chiều dài, lên 𝛾(𝑠) = (𝑥(𝑠), 𝑦(𝑠)) 𝑥′ = 0, 𝑦′ > 0, 𝛾′ = (𝑥′ , 𝑦′ ) = 𝑥′ 𝜕𝜑 𝜕𝜑 + 𝑦′ , 𝜕𝑥 𝜕𝑦 ∥ 𝛾′ ∥2ℍ2 = ⟨𝛾′ , 𝛾′ ⟩ℍ2 = 𝐸𝑥′2 + 2𝐹𝑥′ 𝑦′ + 𝐺𝑦′2 = Do 𝑦′2 𝑥′2 + 𝑦′2 = = 𝑦2 𝑦2 ′ 𝑦′ ( ) =0 𝑦 hay 𝑦″ 𝑦 − 𝑦′2 =0 𝑦2 phương trình đường trắc địa Vậy 𝛾 đường trắc địa, có vết đường thẳng thẳng đứng 56 14 SƠ LƯỢC MỘT SỐ PHÁT TRIỂN TIẾP THEO Tiếp theo, xét nửa đường trịn có tâm trục 𝑥 Một đường có tham số hóa 𝛾(𝑡) = (𝑥0 + 𝑅 cos 𝑡, 𝑅 sin 𝑡), < 𝑡 < 𝜋 Như tính: ∥ 𝛾′ ∥2ℍ2 = ⟨𝛾′ , 𝛾′ ⟩ℍ2 = 𝐸𝑥′2 + 2𝐹𝑥′ 𝑦′ + 𝐺𝑦′2 = 𝑥′2 + 𝑦′2 = 2 𝑦 sin 𝑡 Tham số hóa lại 𝛾 theo chiều dài: 𝑡 𝑡 𝑠(𝑡) = ∫ ∥ 𝛾′ (𝜃) ∥ℍ2 𝑑𝜃 = ∫ 𝑎 𝑎 𝑑𝜃 sin 𝜃 𝑑𝑠 (𝑡) = 𝑑𝑡 sin 𝑡 Ta tính đạo hàm hàm hợp: 𝑥′ (𝑠) = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑥 (𝑠) = (𝑡(𝑠)) (𝑠) = (𝑡(𝑠)) 𝑑𝑠 = −𝑅 sin 𝑡(𝑠) sin 𝑡(𝑠), 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑡 (𝑡(𝑠)) 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ( ) (𝑠) = ( ) (𝑡(𝑠)) (𝑠) 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑 = (−𝑅 sin 𝑡2 )(𝑡(𝑠)) sin 𝑡(𝑠) = −2𝑅 sin 𝑡(𝑠) cos 𝑡(𝑠) sin 𝑡(𝑠), 𝑑𝑡 𝑥″ (𝑠) = 𝑦′ (𝑠) = 𝑦″ (𝑠) = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 (𝑡(𝑠)) (𝑠) = 𝑅 cos 𝑡(𝑠) sin 𝑡(𝑠), 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑦 ( ) (𝑡(𝑠)) (𝑠) = 𝑅 cos 2𝑡(𝑠) sin 𝑡(𝑠) 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑠 Khi phương trình thứ hệ phương trình (14.3) −2𝑅 sin 𝑡 cos 𝑡 − 2 (−𝑅 sin 𝑡)𝑅 sin 𝑡 cos 𝑡 = 𝑅 sin 𝑡 14.4 Mặt phẳng hyperbolic 57 thỏa Thế vào phương trình thứ hai hệ (14.3) 𝑅 cos 2𝑡 sin 𝑡 + ((−𝑅 sin 𝑡)2 − (𝑅 cos 𝑡 sin 𝑡)2 ) = 𝑅 sin 𝑡 tức 𝑅 cos 2𝑡 sin 𝑡 − 𝑅2 sin 𝑡 cos 2𝑡 = 𝑅 sin 𝑡 thỏa Vậy 𝛾 tham số hóa lại theo chiều dài đường trắc địa, có vết nửa đường trịn tâm nằm trục 𝑥 Qua điểm ℍ2 theo hướng ta có đường trắc địa trên, xem hình Do theo kết địa phương đường trắc địa, Định lý 11.13, ta tìm vết tất đường trắc địa ℍ2 Đó đường thẳng đứng vng góc trục 𝑥 nửa đường tròn tâm nằm trục 𝑥 Nhận xét thêm qua hai điểm ℍ2 có đường trắc địa, xem hình Mặt khác qua điểm không nằm đường trắc địa có vơ hạn đường trắc địa khơng cắt đường trắc địa cho, xem hình Người ta gọi ℍ2 mặt phẳng hyperbolic (trong tiếng Anh từ parabolic, elliptic, hyperbolic có nghĩa sơ lược ít, vừa, nhiều) Như ta coi đường trắc địa có vai trị đường thẳng Hình học Euclid mặt phẳng hyperbolic ℍ2 thỏa tiên đề từ tới (về tồn đường thẳng, đường tròn, góc vng) khơng thỏa tiên đề (về tồn đường thẳng song song) Hình học Euclid Trong hình ta cho đỉnh 𝐵 𝐶 di chuyển góc 𝐵 𝐶 tam giác 𝐴𝐵𝐶 gần tùy ý, tổng ba góc 𝐴, 𝐵, 𝐶 gần 58 15 ĐỀ TÀI NHĨM góc 𝐴 tùy ý Vậy tổng ba góc tam giác mặt phẳng hyperbolic nhỏ 𝜋 Điều khớp với công thức Gauss–Bonnet (13.1) Ta coi mặt phẳng hyperbolic ℍ2 mơ hình Hình học phi Euclid 15 Đề tài nhóm 15.1 u cầu (a) Đề tài làm theo nhóm Mỗi nhóm có khơng q người (b) Sản phẩm đề tài gồm viết phần trình bày khoảng 20–30 phút Mỗi viết gồm: giới thiệu, khái niệm kết chính, chứng minh có thể, ví dụ, ứng dụng, tài liệu tham khảo, … Bài viết dài khoảng 4–8 trang giấy A4 15.2 Danh sách đề tài Sinh viên đề xuất đề tài khác phải giảng viên chấp thuận (a) Mặt kẻ (ruled surface): Mặt hợp đường thẳng Loại mặt làm mơ hình thực hay thấy mơ hình kiến trúc Tìm minh họa [1, tr 191–196], [6, tr 85–89] (b) Đường trắc địa qua phương pháp biến phân: Thu phương trình đường trắc địa (trùng với phương trình cho gia tốc mặt 0) thơng qua cực tiểu hóa phiếm hàm chiều dài đường phương pháp biến phân [9, p 133 – p 140] (c) Mặt cực tiểu qua phương pháp biến phân: Thu định nghĩa mặt cực tiểu (độ cong trung bình 0) thơng qua tìm cực tiểu phiếm hàm diện tích mặt phương pháp biến phân [1, tr 200–203], [5, tr 305–311] (d) Mặt cực tiểu hàm biến phức: Trình bày điều kiện cho mặt cực tiểu ngôn ngữ hàm chỉnh hình [1, tr 209–211], [6, tr 103–114] 15.2 Danh sách đề tài 59 (e) Ánh xạ bảo giác (conformal map): Tính bảo giác (bảo tồn góc) ánh xạ hai mặt [6, tr 101–102], [1, tr 229–230], [5, tr 322–324] (f) Công thức tường minh cho độ cong Gauss theo dạng thứ nhất: [6, tr 158–160], [1, Exercise 1, tr 240], [5, tr 252–253] (g) Độ cong Gauss mặt compact: Giải Bài tập mục 4.5 [1, tr 286] (h) Chương trình máy tính tính độ cong: Cài đặt minh họa [8, tr 310–312, tr 438–439] (i) Chương trình máy tính vẽ đường trắc địa: Cài đặt minh họa [8, tr 312– 314], [7, tr 241] (j) Vẽ đường trắc địa mặt xuyến: Trình bày giải thích [http://www.rdrop.com/∼half/math/torus/index.xhtml] 60 TÀI LIỆU Tài liệu [1] Manfredo Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, 2nd edition, 2016 [2] Manfredo Carmo, Riemannian geometry, 1992 [3] Morris W Hirsch and Stephen Smale, Differential equations, dynamical systems, and linear algebra, Academic Press, 1974 [4] Serge Lang, Linear Algebra, Addison-Wesley, 1971 [5] A Pressley, Elementary differential geometry, Springer, 2010 [6] Wolfgang Kuhnel, Differential Geometry: Curves, Surfaces, Manifolds, 2nd ed., AMS, 2006 [7] John Oprea, Differential geometry and its applications, volume 59, Mathematical Association of America, 2007 [8] V Rovenski, Modeling of curves and surfaces with Matlab, Springer, 2010 [9] M Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry, vol 1, vol 2, Publish or Perish, 1999 [10] Huỳnh Quang Vũ, Lecture notes on Topology, https://sites.google.com/view/hqvu/teaching [11] P Wilson, Curved Spaces: From Classical Geometries to Elementary Differential Geometry, Cambrige University Press, 2008 ... tích Vậy