Câu 1. (Mã 101 2018) Trong không gian Oxyz cho điểm A1;2;3 và đường thẳng 3 1 7 : 2 1 2 x y z d . Đường thẳng đi qua A , vuông góc với d và cắt trục Ox có phương trình là A. 1 2 2 x t y t z t B. 1 2 2 3 3 x t y t z t C. 1 2 2 3 x t y t z t D. 1 2 2 3 2 x t y t z t Lời giải Chọn C Gọi là đường thẳng cần tìm. Gọi M Ox . Suy ra M a ;0;0. AM a 1; 2; 3 . d có VTCP: ud 2;1; 2 . Vì d nên . 0 AM ud 2 2 2 6 0 a a 1. Vậy qua M 1;0;0 và có VTCP AM 2; 2; 3 2;2;3 nên có phương trình: 1 2 2 3 x t y t z t . M H P M d M M P H d I Tài Liệu Ôn Thi Group https:TaiLieuOnThi.Net TAILIEUONTHI.NET Trang 4 Câu 2. (Mã 102 2019) Trong không gian Oxyz, cho các điểm A B C 1;0;2 , 1;2;1 , 3;2;0 và D1;1;3 . Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng BCD có phương trình là A. 1 4 . 2 2 x t y t z t B. 1 4 . 2 2 x t y z t C. 2 4 4 . 4 2 x t y t z t D. 1 2 4 2 2 x t y t z t Lời giải Chọn C Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng BCD nhận vectơ pháp tuyến của BCDlà vectơ chỉ phương Ta có BC BD 2;0; 1 , 0; 1; 2 ; 1; 4; 2 d BCD u n BC BD Khi đó ta loại đáp án A và B Thay điểm A1;0;2 vào phương trình ở phương án C ta có 1 2 1 0 4 4 1 2 4 2 1 t t t t t t . Suy ra đường thẳng có phương trình tham số ở phương án C đi qua điểm A nên C là phương án đúng
Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 31 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng Xác định phương trình đường thẳng Dạng Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số dạng tắc (nếu có), biết d qua điểm M ( x ; y ; z ) có véctơ phương ud (a1 ; a2 ; a3 ) Qua M ( x ; y ; z ) Phương pháp Ta có: d : VTCP : ud ( a1 ; a2 ; a3 ) x x a1t Phương trình đường thẳng d dạng tham số d : y y a2t , (t ) z z a t Phương trình đường thẳng d dạng tắc d : x x y y z z , ( a1a2 a3 0) a1 a2 a3 Dạng Viết phương trình tham số tắc (nếu có) đường thẳng d qua A B Qua A ( hay B) d B Phương pháp Đường thẳng d : (dạng 1) A VTCP : u AB d Dạng Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số tắc (nếu có), biết d qua điểm M song song với đường thẳng u Qua M ( x ; y ; z ) (dạng 1) Phương pháp Ta có d : d M VTCP : ud u Dạng Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số tắc (nếu có), biết d qua điểm M vng góc với mặt phẳng ( P) : ax by cz d d u n d P Qua M M Phương pháp Ta có d : (dạng 1) VTCP : ud n( P ) (a; b; c) P Dạng Viết phương trình tham số tắc đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng ( P) (Q) cho trước Qua A ( P) (Q) A Phương pháp Ta có d : (dạng 1) d VTCP : u [ n , n ] d (P) (Q ) I N E T Dạng Viết phương trình tham số tắc (nếu có) đường thẳng d qua điểm M vng góc với hai đường thẳng d1 , d cho trước ud u d1 Qua M Phương pháp Ta có d : (dạng 1) d d1 VTCP : ud [ud1 , ud2 ] d2 T A IL IE U O N T H Dạng Viết phương trình đường thẳng d qua M song song với hai mặt phẳng ( P), (Q) Qua M Phương pháp Ta có d : (dạng 1) VTCP : ud [nP , nQ ] Dạng Viết phương trình đường thẳng d qua M , vng góc đường d song song mặt ( P ) Qua M Phương pháp Ta có d : (dạng 1) VTCP : ud [ud , nP ] Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Dạng Viết phương trình đường thẳng d nằm mặt ( P), song song mặt (Q ) qua M Qua M Phương pháp Ta có d : (dạng 1) VTCP : u d [nP , nQ ] 10 Dạng 10 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A, vng góc cắt đường thẳng d Phương pháp d Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua A, vng góc d Qua A d Nghĩa mặt phẳng ( P ) : A B P VTPT : n u P d Tìm B d ( P) Suy đường thẳng d qua A B (dạng 1) Lưu ý: Trường hợp d trục tọa độ d AB, với B hình chiếu A lên trục 11 Dạng 11 Viết phương trình tham số tắc (nếu có) đường thẳng d qua điểm M cắt đường thẳng d1 vng góc d cho trước Phương pháp Giả sử d d1 H , ( H d1 , H d ) H ( x1 a1t ; x2 a2t; x3 a2t ) d1 Vì MH d MH ud2 t H d1 d d2 M H Qua M u d2 Suy đường thẳng d : (dạng 1) VTCP : u MH d Dạng 12 d qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) cắt hai đường thẳng d1 , d : Cách 1: Gọi M1 d1 , M d Từ điều kiện M, M1 , M thẳng hàng ta tìm M1 , M Từ suy phương trình đường thẳng d Cách 2: Gọi P ( M , d1 ) , Q ( M , d ) Khi d P Q , đó, VTCP d chọn a nP , nQ Dạng 13 d nằm mặt phẳng P cắt hai đường thẳng d1 , d : Tìm giao điểm A d1 P , B d P Khi d đường thẳng AB Dạng 14 d song song với cắt hai đường thẳng d1 , d : Viết phương trình mặt phẳng P chứa d1 , mặt phẳng Q chứa d Khi d P Q Dạng 15 d đường vng góc chung hai đường thẳng d1 , d chéo nhau: MN d1 Cách 1: Gọi M d1 , N d Từ điều kiện , ta tìm M , N MN d Khi đó, d đường thẳng MN Cách 2: – Vì d d1 d d nên VTCP d là: a ad1 , ad2 – Lập phương trình mặt phẳng P chứa d d1 , cách: T + Lấy điểm A d1 T H I N E + Một VTPT P là: nP a , ad1 – Tương tự lập phương trình mặt phẳng Q chứa d d1 T A IL IE U O N Khi d P Q Dạng 16 Viết phương trình đường thẳng d hình chiếu vng góc đường thẳng lên mặt ( P ) Phương pháp: Xét vị trí tương đối đường thẳng ( P ) M Nếu ( P ) Chọn điểm M H d P Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Tìm H hình chiếu M lên ( P ) Qua H Hình chiếu d : VTCP : ud u Nếu ( P) I Chọn điểm M I Tìm H hình chiếu M lên ( P ) Hình chiếu vng góc lên ( P) d IH Dạng 17 Viết đường thẳng d đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua mặt phẳng ( P ) M Phương pháp: Xét vị trí tương đối đường thẳng ( P ) Nếu ( P ) Chọn điểm M H Tìm H hình chiếu M lên ( P ) P Tìm M đối xứng với M qua ( P ) d M Qua M Đường thẳng đối xứng d : VTCP : ud u Nếu ( P) I Chọn điểm M M Tìm H hình chiếu M lên ( P ) Tìm M đối xứng với M qua ( P ) H I Qua M P Đường thẳng đối xứng d : VTCP : ud IM M d Dạng 1.1 Xác định phương trình đường thẳng biết yếu tố vng góc (Mã 101 2018) Trong không gian d: Oxyz cho điểm A 1; 2;3 đường thẳng x y 1 z Đường thẳng qua A , vng góc với d cắt trục Ox có phương trình 2 x 1 t B y 2t z 3t x 1 2t C y 2t z 3t Lời giải x 1 t D y 2t z 2t N T H I N E Chọn C Gọi đường thẳng cần tìm Gọi M Ox Suy M a;0;0 AM a 1; 2; 3 d có VTCP: ud 2;1; 2 Vì d nên AM ud 2a a 1 Vậy qua M 1;0;0 có VTCP AM 2; 2; 3 2; 2;3 nên có phương trình: T x 1 2t A y 2t z t A IL IE U O x 1 2t y 2t z 3t T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Câu (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz, cho điểm A1; 0; 2 , B 1;2;1 , C 3; 2; 0 D 1;1;3 Đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng BCD có phương trình x 1 t A y 4t z 2t x t B y z 2t x t C y 4t z 2t Lời giải x 1 t D y 4t z 2t Chọn C Đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng BCD nhận vectơ pháp tuyến BCD vectơ phương Ta có BC 2; 0; 1 , BD 0; 1; 2 ud nBCD BC ; BD 1; 4; 2 Khi ta loại đáp án A B 1 t t 1 Thay điểm A1;0; 2 vào phương trình phương án C ta có 0 4t t 1 2 2t t 1 Suy đường thẳng có phương trình tham số phương án C qua điểm A nên C phương án Câu (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : x 3 y 3 z ; 1 2 x y 1 z mặt phẳng P : x y 3z Đường thẳng vng góc với P , 3 cắt d1 d2 có phương trình d2 : x 1 y z x y z 1 B 1 x 3 y 3 z x 1 y 1 z C D 3 Lời giải Chọn D x t1 x 3t2 Phương trình d1 : y 2t1 d2 : y 1 2t2 z 2 t z t A T Gọi đường thẳng cần tìm Giả sử đường thẳng cắt đường thẳng d1 d2 A , B I N H T N O U 3t2 t1 4 2t2 2t1 t2 t1 IE T A IL Do AB n phương nên E Gọi A t1;3 2t1; 2 t1 , B 3t2 ; 1 2t2 ;2 t2 AB 3t2 t1 ; 4 2t2 2t1 ; t2 t1 Vectơ pháp tuyến P n 1;2;3 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 3t2 t1 4 2t2 2t1 t1 2 Do A 1; 1;0 , B 2; 1;3 t2 4 2t2 2t1 t2 t1 Phương trình đường thẳng qua A 1; 1;0 có vectơ phương n 1; 2;3 x 1 y z Câu (Mã 101 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1;2;0 , B 2;0;2 , C 2; 1;3 , D 1;1;3 Đường thẳng qua C vng góc với mặt phẳng ABD có phương trình x 2 4t A y 4 3t z t x 2t B y t z 3t x 2 4t C y 2 3t z t x 4t D y 1 3t z t Lời giải Chọn A AB 1; 2;2 AD 0; 1;3 AB AD 4; 3; 1 Đường thẳng qua C 2; 1;3 vng góc với mặt phẳng ABD có phương trình x 4t y 1 3t z t Điểm E 2; 4;2 thuộc đường thẳng trên, suy đường thẳng cần tìm trùng với đường thẳng x 2 4t có phương trình y 4 3t z t Chọn đáp án đáp án C N T x t D y t z 2t O x t C y t z 1 2t U x 1 t B y t z 3 2t IE x 1 t A y t z 2 3t H I N D 1;1; 3 Đường thẳng qua D vng góc với mặt phẳng ABC có phương trình là: E T (Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2; 1;0 , B 1;2;1 , C 3; 2;0 , A IL Lời giải Chọn C T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Ta có AB 1;3;1 ; AC 1; 1;0 ; n ABC AB, AC 1;1; 2 Đường thẳng qua D vng góc với mặt phẳng ABC nên có véc tơ phương x 1 t n ABC 1;1; 2 , phương trình tham số là: y t z 3 2t Câu (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2;1;3 đường thẳng x 1 y 1 z Đường thẳng qua A , vng góc với d cắt trục Oy có phương 2 trình d: x 2t A y 3 4t z 3t x 2t B y t z 3t x 2t C y 3t z 2t x 2t D y 3 3t z 2t Lời giải Chọn A Gọi đường thẳng cần tìm x 1 y 1 z có VTCP u 1; 2; d: 2 Gọi M 0; m;0 Oy , ta có AM 2; m 1; 3 Do d AM u 2 m 1 m 3 x 2t Ta có có VTCP AM 2; 4; 3 nên có phương trình y 3 4t z 3t Câu (Mã 103 - 2019) Trong không gian Oxyz cho A 0;0;2 , B 2;1;0 , C 1; 2; 1 D 2;0; 2 Đường thẳng qua A vng góc với BCD có phương trình x A y z 1 2t x 3t B y 2t z 1 t x 3t C y 2t z t x 3t D y 2 2t z 1 t Lời giải Chọn B IE U O N T H I N E T Gọi d đường thẳng qua A vng góc với BCD Ta có BC 1;1; 1 ; BD 0; 1; Mặt phẳng BCD có vec tơ pháp tuyến n BCD BD , BC 3; 2; 1 Gọi u d vec tơ phương đường thẳng d Vì d BCD nên ud n BCD 3; 2; 1 Đáp A C có VTCP ud 3; 2; 1 nên loại B A T Ta thấy điểm A 0;0; thuộc đáp án C nên loại A IL D Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Đề Minh Họa 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 1;0; đường thẳng d có phương trình: cắt d x 1 y z A 2 Chọn D Cách 1: Đường thẳng d : x 1 y z 1 Viết phương trình đường thẳng qua A , vng góc 1 B x 1 y z2 x 1 y z C 3 1 1 Lời giải x 1 y z 1 1 D x 1 y z 1 có véc tơ phương u 1;1; 1 Gọi P mặt phẳng qua điểm A vng góc với đường thẳng d , nên nhận véc tơ phương d vecto pháp tuyến P :1 x 1 y z x y z Gọi B giao điểm mặt phẳng P đường thẳng d B 1 t ;t ; 2t Vì B P 1 t t 1 2t t B 2;1;1 Ta có đường thẳng qua A nhận vecto AB 1;1; 1 véc tơ phương có dạng : x 1 y z 1 1 Cách 2: Gọi d B B 1 t; t; 1 2t AB t ; t ; 3 2t , Đường thẳng d có VTCP ud 1;1; Vì d nên AB ud AB.ud t t 3 2t t Suy AB 1;1; 1 Ta có đường thẳng qua A 1;0; nhận véc tơ AB 1;1; 1 véc tơ phương có dạng : 8 (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; 2;1), B ( ; ; ) Đường 3 thẳng qua tâm đường trịn nội tiếp tam giác OAB vng góc với mặt phẳng (OAB) có phương B x 1 y z 2 x 1 y z 1 2 Lời giải E T D I N trình là: 2 x y z 9 A 2 11 x y z 3 C 2 H Chọn D N T Ta có: OA; OB 4; 8;8 IE U O Gọi d đường thẳng thỏa mãn d có VTCP u 1; 2; A IL Ta có OA 3, OB 4, AB Gọi I ( x; y; z) tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB Áp dụng hệ thức OB.IA OA.IB AB.IO T Câu x 1 y z 1 1 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group 4.(OA OI ) 3.(OB OI ) 5.IO OI 4OA 3OB I 0;1;1 12 x t Suy d : y 2t cho t d qua điểm M (1;3; 1) z 2t Do d qua M (1;3; 1) có VTCP u (1; 2;2) nên đường thẳng có phương trình x 1 y z 1 2 Câu 10 x 1 y z mặt phẳng 1 ( P ) : x y z Đường thẳng nằm mặt phẳng ( P ) đồng thời cắt vng góc với d có (Mã 103 2018) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : phương trình là: x 1 t A y 4t z 3t x t B y 2 4t z t x t C y 2 4t z 3t x 2t D y 2 6t z t Lời giải Chọn C x 1 2t d : y t z 2 2t Gọi đường thẳng nằm ( P ) vng góc với d u ud ; nP (1;4;3) Gọi A giao điểm d ( P ) Tọa độ A nghiệm phương trình: ( 1 2t ) ( t) ( 2 t) t A(3; 2; 2) x t Phương trình qua A(3; 2; 2) có vtcp u (1;4;3) có dạng: y 2 4t z 3t Câu 11 (Mã 123 2017) Trong không gian Oxyz cho điểm M 1; 1; hai đường thẳng x 1 y z 1 x1 y z , : Phương trình phương trình đường 1 2 thẳng qua M vng góc với : T x 1 t D y t z t E x 1 t C y t z t Lời giải I N x t B y t z t H x 1 t A y t z 3t T Chọn D T A IL IE U O N +) VTCP , u 3; 2;1 v 1; 3; 2 ; u , v 7; 7; +) Vì d vng góc với nên ud 1; 1; 1 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x 1 t +) d qua M 1; 1; nên d : y t z t Câu 12 (Mã 104 2018) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng : P : x y z Đường thẳng nằm phương trình là: x 2t A y t z x 3 B y t z 2t P x y 1 z 1 mặt phẳng đồng thời cắt vng góc với có x t C y 2t z 3t x D y t z 2t Lời giải Chọn D x t x y 1 z 1 : y 1 2t Ta có : z t Gọi M P M M t; 2t 1; t 1 M P t 2t 1 t 1 4t t M 1;1; Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng P n 1; 2; 1 Véc tơ phương đường thẳng u 1; 2;1 Đường thẳng d nằm mặt phẳng P đồng thời cắt vng góc với Đường thẳng d nhận n, u 0; 1; làm véc tơ phương M 1;1; d x Phương trình đường thẳng d : y t z 2t d2 : x 1 y z mặt phẳng P : x y z Phương trình phương 1 trình mặt phẳng qua giao điểm d1 P , đồng thời vng góc với d2 ? T A 2x y 2z 13 B 2x y 2z 22 I N E C x y z 13 D x y z 22 H Lời giải: N T Chọn C A x y 2z 13 U nhận u2 2; 1; làm VTCP có phương trình IE A IL Mặt phẳng cần tìm qua O Tọa độ giao điểm d1 P A 4; 1; T Câu 13 x 3t (Mã 123 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : y 2 t , z Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Câu 14 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho x y z 1 x y 1 z 1 , d2 : Phương 2 1 trình đường thẳng qua A , vng góc với d1 cắt d A1; 1; 3 hai đường thẳng d1 : x 1 y 1 z x 1 B x 1 y 1 z x 1 C D 1 A y 1 z y 1 z 1 1 Lời giải Gọi d đường thẳng qua A d cắt d K Khi K 2 t ; 1 t ; t Ta có AK 1 t ; t ; t 2 Đường AK d1 AK u1 , với u1 1; 4; 2 vectơ phương d1 Do 1 t 4t 2t t , suy AK 2; 1; 1 x 1 y z 1 1 Vậy phương trình đường thẳng d : Câu 15 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1;0;1 đường thẳng d : x 1 y z Đường thẳng qua M , vng góc với d cắt Oz có phương trình x 3t A y z 1 t x 3t B y z 1 t x 3t C y t z 1 t x 3t D y z 1 t Lời giải Đường thẳng d có vectơ phương u 1; 2;3 Gọi đường thẳng qua M , vng góc với d cắt Oz Gọi N 0;0; t Oz MN 1; 0; t 1 1 d MN u t MN 1;0; Khi MN phương với u1 3;0;1 3 Đường thẳng qua điểm M 1;0;1 có vectơ phương 3;0;1 nên có phương Câu 16 (Kinh Mơn - Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A 1; 1;3 x y z 1 x y 1 z 1 , d2 : Phương trình đường thẳng d 3 1 1 qua A , vng góc với đường thẳng d1 cắt thẳng d T H I N E z 3 z 3 Lời giải N y 1 2 y 1 1 O z 3 x 1 B z 3 x 1 D U y 1 4 y 1 5 IE x 1 x 1 C A Trang 10 https://TaiLieuOnThi.Net T A IL Chọn C Gọi M t ; t ;1 t d d với t T hai đường thẳng d1 : Tài Liệu Ôn Thi Group 10 10 15 13 M ; ; AM ; ; AM 3 3 3 3 3 IAM 900 trường hợp d ; 900 ( loại) Khi cos IAM 10 10 15 13 7 Với t ' N ; ; AN ; ; AN 3 3 3 Với t ' 90 trường hợp d ; 900 (thỏa mãn) IAM 14 2 Gọi H trung điểm NI H ; ; AH 2;11; 5 3 3 Khi cos IAN 14 2 Khi đường phân giác góc nhọn tạo d qua H ; ; A 1;1;1 3 3 x 1 2t nhận làm u 2;11; 5 VTCP phương trình phân giác y 10 11t z 5t x 3t Câu 62 (Mã 104 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 4t Gọi đường thẳng z qua điểm A 1;1;1 có vectơ phương u 2;1; Đường phân giác góc nhọn tạo d có phương trình x 27t A y t z 1 t x 18 19t B y 6 7t z 11 10t x 18 19t C y 6 7t z 11 10t x 1 t D y 17t z 10t Lời giải Chọn B A d x 2t Phương trình tham số đường thẳng : y 1t z 2t Chọn điểm B 1; 2;3 , AB T A IL T N O U IE x 19t u 19;7; 10 có phương trình y 7t Tọa độ điểm đáp án B thuộc AI z 10t H I N Trung điểm BC I ; ; Đường phân giác cần tìm AI có vectơ phương 10 10 E T 14 17 Gọi C d thỏa mãn AC AB C ; ;1 C ; ;1 5 5 Kiểm tra điểm C ; ;1 thỏa mãn BAC góc nhọn 5 Trang 36 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 63 x 1 t (Mã 103 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y t Gọi đường thẳng z qua điểm A(1;2;3) có vectơ phương u (0; 7; 1) Đường phân giác góc nhọn tạo d có phương trình x 5t x 6t A y 2t B y 11t z t z 8t x 4 5t C y 10 12t z t x 4 5t D y 10 12t z 2 t Lời giải Chọn C Đường thẳng d qua A(1; 2;3) có VTCP a (1;1;0) Ta có a.u 1.0 1.( 7) 0.( 1) 7 (a , u ) 90 Đường phân giác góc u a b 5;12;1 // 5;12;1 u a nhọn tạo d có VTCP: x 4 5t Phương trình đường thẳng cần tìm y 10 12t z t Câu 64 (THPT An Lão Hải Phịng 2019) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A 1;3; , B 2;0;5 , C 0; 2;1 Viết phương trình đường trung tuyến AM tam giác ABC x 1 y z 4 x 1 y z C AM : 1 x 1 y z 4 x y z 1 D AM : 1 A AM : B AM : Lời giải Chọn A Gọi M x; y; z trung điểm BC Khi M 1; 1;3 Ta có AM vtcpu 2; 4;1 PTĐT AM : (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019) Trong không gian Oxyz , cho A 2;0;0 , đường thẳng d qua A cắt chiều âm trục Oy điểm B cho diện tích tam giác OAB Phương trình E I N H x 2t D y t z T x 2t C y t z N x 2t B y t z O x 2t A y t z T tham số đường thẳng d IE U Lời giải A IL Gọi B 0; b;0 giao điểm d với trục Oy (Điều kiện b ) T Câu 65 x 1 y z 4 Trang 37 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Ta có OA tam giác OAB vng O nên SOAB OA.OB OB Suy B 0; 1;0 Ta có AB 2; 1;0 vec tơ phương d x 2t Và đường thẳng d qua điểm A 2;0;0 nên y t z Câu 66 Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(2; 2;1), B ( OAB có phương trình x A y t B z t x 4t y t z t 8 ; ; ) Đường phân giác tam giác 3 x 14t C y 2t z 5t Lời giải x 2t D y 14t z 13t Chọn A Ta có: OA EA EB EB EB BE OB 4 64 16 64 9 T A IL IE U O N T H I N E T 3 8 2 x x x 3 4 12 2 y y y 4 3 12 3 8 1 z z z 12 12 OE 0; ; u (0;1;1) 7 x qua O :y t : VTCP u z t Trang 38 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 67 (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng x t x y 11 z Đường thẳng d qua A 5; 3;5 cắt d1 ; d d1 y 4 t ; d : z 2t B, C Tính tỉ sô A AB AC B Lời giải C D x 2s B d1 B t; 4 t ;6 2t PT tham số d : y 11 s z 2s C d C s;11 s;5 s Khi đó: AB (1 t; 1 t;2t 1); AC (2s;4s 14;2s) Do A, B , C thẳng hàng AB, AC phương k : AB k AC t 2 t 2ks AB t 4ks 14k s 3 Do đó: AB AC AC 2t 2ks k Câu 68 (THPT Gang Thép Thái Nguyên -2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M 1;2;3 , A 2;4; hai mặt phẳng P : x y z , Q : x y z Viết phương trình đường thẳng qua M , cắt ( P), (Q ) B, C cho tam giác ABC cân A nhận AM làm đường trung tuyến x 1 y z x 1 y z A B 1 1 1 x 1 y z x 1 y z C D 1 1 1 Lời giải Điểm B thuộc mặt ( P) nên B 2c b 1; b; c M 1; 2; 3 trung điểm BC nên C c b ; b;6 c Do C thuộc mặt (Q) nên 3c c c 3b Khi B(5b 15; b;3b 7) , C( 5b 17;4 b;13 3b) BC (10b 32; 2b 4; 6b 20) ABC cân A nên BC AM 20b 60 b B(0;3;2) Đường thẳng qua M (1;2;3) Lời giải T E U x t D y z t IE x t C y z 0 IL x B y z t A x2 A y t z0 O N T H (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết A(2;1; 0), B (3; 0; 2), C (4;3; 4) Viết phương trình đường phân giác góc A T Câu 69 x 1 y z 1 I N B(0;3;2) có phương trình Trang 39 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Chọn C A M C B K Ta có AB 1; 1; AC 2; 2; Gọi M trung điểm AC , ta có M 3; 2; , AM 1; 1; Do ABM cân A Gọi K điểm thỏa mãn AK AM AB 2; 0; Khi AK tia phân giác góc BAC x t y , t Vậy phương trình đường phân giác góc BAC z0 Câu 70 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường x 1 y z , mặt phẳng P : x y z A 1; 1; Đường thẳng cắt 1 d P M N cho A trung điểm đoạn thẳng MN Một vectơ thẳng d : phương A u 4; 5; 13 B u 2; 3; C u 1; 1; D u 3; 5; 1 Lời giải d M A N P I N E T x 1 2t x 1 y z y t Ta có d : Do M d M 1 2t ; t ; t 1 z t H Vì A 1; 1; trung điểm MN N 2t ; t ; t O N T Mặt khác N P 2t t t t M 3; 2; AM 2;3; IE (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - 2018) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình IL Câu 71 U vectơ phương T A vuông ABCD biết A 1; 0;1 , B 1;0; 3 điểm D có hồnh độ âm Mặt phẳng ABCD qua Trang 40 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 gốc tọa độ O Khi đường thẳng d trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD có phương trình x 1 x x 1 x t A d : y t B d : y t C d : y t D d : y z 1 z 1 z z t Lời giải Ta có AB 0;0; 4 4 0;0;1 Hay AB có véc-tơ phương k 0; 0;1 Mặt phẳng ABCD có véc-tơ pháp tuyến: OA; OB 0; 4; 0;1;0 , hay j 0;1;0 véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng ABCD AD k AD AB Vì nên Đường thẳng AD có véc-tơ phương j; k 1;0;0 AD ABCD AD j x 1 t Phương trình đường thẳng AD là: y z Do D 1 t ;0;1 t Mặt khác AD AB t 02 1 1 t 4 Vì điểm D có hồnh độ âm nên D 3; 0;1 Vì tâm I hình vng ABCD trung điểm BD , nên I 1; 0; 1 Đường thẳng d trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD có véc-tơ pháp tuyến x 1 j 0;1; , nên phương trình đường thẳng d là: d : y t z 1 (THPT Nghen - Hà Tĩnh - 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 : x 1 y z 1 x 1 y z 1 : cắt nằm mặt phẳng P 3 Lập phương trình đường phân giác d góc nhọn tạo 1 , nằm mặt phẳng P x 1 t , t B d : y z 1 2t x 1 t C d : y 2t , t z 1 t x 1 t D d : y 2t , t z 1 I N E T x 1 , t A d : y z 1 t T N O U IE IL A Nhận thấy A 1;2; 1 giao điểm 1 1 có VTCP u1 1; 2;3 có VTCP u2 1; 2; 3 u1 ; u2 12;6;0 6 2; 1; H Lời giải T Câu 72 Trang 41 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Phương trình mặt phẳng P : x y Gọi u a; b; c VTCP d cần tìm Ta có d nằm mặt phẳng P chứa hai đường thẳng 1 , u u1; u2 2a b b a Lại có d phân giác 1 , cos d , 1 cos d , a 2b 3c a b c 14 2 c a 2b 3c a 2b 3c a 2b 3c a 2b 3c a 2b a 2b 3c a b c 14 1 2 x 1 t Xét 1 , c , b 2a u a, 2a, 1; 2; d : y 2t , t z 1 cos 1 ; d 1.1 2.2 14 70 1 ; d 5318' 14 x 1 a 2b ,t Xét : a b u 0;0; c c 0; 0;1 d : y b a z 1 t cos 1 , d 3 14.1 1 , d 3642 ' 14 Do d đường phân giác góc nhọn nên 1 , d 45 x 1 ,t Vậy đường thẳng d cần tìm d : y z 1 t Nhận xét: Có thể làm đơn giản cách: ta thấy u1 1; 2;3 ; u2 1; 2; 3 hai véc tơ có độ dài u1.u2 u1 , u2 90 Vậy u1 u2 véc tơ phương d Câu 73 (Quảng Xương - Thanh Hóa - 2018) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC biết A 1; 0; 1 , B 2;3; 1 , C 2;1;1 Phương trình đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với mặt phẳng ABC là: x y 1 z x y2 z B 1 5 x 1 y z x3 y 2 z 5 C D 2 1 Lời giải Ta có: AB 1;3;0 ; BC 4; 2; , AC 3;1; O N T H I N E T A T A IL IE U AB 10 , BC 24 , AC 14 ABC vuông A Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác trung điểm BC I 0; 2; Trang 42 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Đường thẳng d cần tìm qua I 0; 2;0 nhận vectơ u AB, AC 3; 1;5 làm véc tơ x y 1 z phương Phương trình tắc đường thẳng d là: 1 (SGD Bắc Giang - 2018) Trong không gian Oxyz , cho tam giác nhọn ABC có H 2; 2;1 , 8 K ; ; , O hình chiếu vng góc A , B , C cạnh BC , AC , AB 3 3 Đường thẳng d qua A vng góc với mặt phẳng ABC có phương trình x y z 1 A d : 2 17 19 x y z 9 C d : 2 2 y z 3 3 B d : 2 x D d : x y 6 z 6 2 Lời giải I N E T Ta có tứ giác BOKC tứ giác nội tiếp đường trịn ( có hai góc vng K , O nhìn BC OCB 1 góc vng) suy OKB N T H Ta có tứ giác KDHC tứ giác nội tiếp đường trịn ( có hai góc vng K , H nhìn DC OCB 2 góc vng) suy DKH U O AC OKB BK đường phân giác góc OKH Từ 1 suy DKH IL IE đường phân giác ngồi góc OKH A AB đường Tương tự ta chứng minh OC đường phân giác góc KOH phân giác ngồi góc KOH T Câu 74 Trang 43 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Ta có OK ; OH ; KH KOH Gọi I , J chân đường phân giác góc OKH IO KO Ta có I AC HO ta có IO IH I 8; 8; IH KH 5 JK OK 4 Ta có J AB KH ta có JK JH J 16; 4; JH OH 3 16 28 20 Đường thẳng IK qua I nhận IK ; ; 4; 7;5 làm vec tơ phương có phương 3 x 8 4t trình IK : y 8 7t z 4 5t Đường thẳng OJ qua O nhận OJ 16; 4; 4;1; 1 làm vec tơ phương có phương x 4t trình OJ : y t z t Khi A IK OJ , giải hệ ta tìm A 4; 1;1 Ta có IA 4;7;5 IJ 24;12;0 , ta tính IA, IJ 60;120; 120 60 1; 2; Khi đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng ABC có véc tơ phương x y 1 z 1 u 1; 2; nên có phương trình 2 Nhận xét: Mấu chốt toán chứng minh trực tâm D tam giác ABC tâm đường tròn nội tiếp tam giác OHK Khi đó, ta tìm tọa độ điểm D dựa vào tính chất quen thuộc sau: “Cho tam giác ABC với I tâm đường tròn nội tiếp, ta có a.IA b.IB c.IC , với a BC , b CA , c AB ” Sau tìm D , ta tìm A với ý A DH OA DA Ta tìm tọa độ điểm A cách chứng minh A tâm đường trịn bàng tiếp góc H tam giác OHK Khi đó, ta tìm tọa độ điểm D dựa vào tính chất quen thuộc sau: “Cho tam giác ABC với J tâm đường trịn bàng tiếp góc A , ta có a.JA b.JB c.JC , với a BC , b CA , c AB ” Câu 75 (Chuyên Vinh - 2018) Trong khơng gian Oxyz , cho tam giác ABC có A 2;3;3 , phương trình đường trung tuyến kẻ từ B x3 y 3 z 2 , phương trình đường phân giác góc 1 1 H I N E T x2 y4 z2 Đường thẳng AB có véc-tơ phương C 1 1 A u 2;1; 1 B u 1; 1; C u 0;1; 1 D u1 1; 2;1 N T Lời giải T A IL IE U O x 2t Phương trình tham số đường phân giác góc C CD : y t z t Trang 44 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 t 5t Gọi C 2t ; t ; t , suy tọa độ trung điểm M AC M t ; ; Vì 2 M BM nên: 7t 5t 3 2 t t t t t 1 1 1 2 Do C 4;3;1 Phương trình mặt phẳng P qua A vng góc CD x y 3 z 3 hay x y z Tọa độ giao điểm H P CD nghiệm x; y; z hệ x 2t x 2t x y 4t y 4t y H 2; 4; z t z t z 2 x y z 2 2t t t t Gọi A điểm đối xứng với A qua đường phân giác CD , suy H trung điểm AA , vậy: x A xH x A 2.2 y A yH y A 2.4 A 2;5;1 x z z 2.2 A H A Do A BC nên đường thẳng BC có véc-tơ phương CA 2; 2;0 1;1; , nên x t phương trình đường thẳng BC y t z Vì B BM BC nên tọa độ B nghiệm x; y; z hệ x t x y 3t y B 2;5;1 A z z x y t 1 Đường thẳng AB có véc-tơ phương AB 0; 2; 2 0;1; 1 ; hay u 0;1; 1 véc-tơ phương đường thẳng AB Câu 76 (Chuyên Quang Trung- Bình Phước 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng x y 1 z 1 2 y 1 z E x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z D 2 Lời giải + d khơng vng góc với P T N O U IE IL A Chọn A H B T x 1 x 1 C A I N qua mặt phẳng P có phương trình y 1 z Đường thẳng d ' đối xứng với d 1 T P : x y z đường thẳng d : Trang 45 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group x t Phương trình tham số đường thẳng d : y 1 2t z t Tọa độ giao điểm I d mặt phẳng P nghiệm hệ phương x t x y 1 2t trình y I 1;1;1 z t z x y z + Lấy điểm M 0; 1; 2 d x t Đường thẳng qua M vuông góc với P có phương trình y 1 t z t 8 P H H ; ; 3 10 M ' đối xứng với M qua P H trung điểm MM ' M ' ; ; 3 + Đường thẳng d ' đối xứng với d qua mặt phẳng P 10 d ' qua I 1;1;1 M ' ; ; có vectơ phương IM ' ; ; 1; 2;7 , 3 3 x 1 y 1 z 1 phương trình d ' 2 x 3t Câu 77 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : y 3 Gọi đường thẳng qua điểm z 4t A 1; 3;5 có vectơ phương u 1; 2; 2 Đường phân giác góc nhọn tạo d có phương trình x 1 2t A y 5t z 11t x 1 2t B y 5t z 6 11t x 7t C y 3 5t z t x 1 t D y 3 z 7t Lời giải Chọn B T A U IE IL 4 v1 v 3;0; 4 ;0; 5 v Nhận thấy u1.v1 , nên góc tạo hai vectơ u1 , v1 góc nhọn tạo d Trang 46 https://TaiLieuOnThi.Net E I N O N T H 1 2 u1 u 1; 2; 2 ; ; ; 3 3 u T Ta có điểm A 1; 3;5 thuộc đường thẳng d , nên A 1; 3;5 giao điểm d Một vectơ phương đường thẳng d v 3;0; 4 Ta xét: Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 10 22 15 Ta có w u1 v1 ; ; 2; 5;11 vectơ phương đường phân giác 15 15 15 góc nhọn tạo d hay đường phân giác góc nhọn tạo d có vectơ x 1 2t phương w1 2; 5;11 Do có phương trình: y 5t z 6 11t Câu 78 (THPT Ninh Bình-Bạc P : x y z 10 , Liêu-2019) điểm A 1;3; Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng x 2 2t đường thẳng d : y t Tìm phương trình z 1 t đường thẳng cắt P d hai điểm M N cho A trung điểm đoạn MN x6 x6 C A y 1 y 1 4 z 3 x y 1 z B 1 1 z3 x y 1 z D 1 4 1 Lời giải Chọn A Theo giả thiết: N d N 2t 2; t 1;1 t Mà A trung điểm MN M 2t ;5 t ;3 t Mặt khác, M P 2t t t 10 t 2 N 6; 1;3 NA ; 4; 1 Đường thẳng qua N 6; 1;3 có VTCP u NA 7; 4; 1 nên có phương trình tắc là: x y 1 z 1 Câu 79 (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng : x y z , : x y z x2 y z3 3 7 x y z 10 C 2 3 A x2 y x2 y D 2 B z 3 7 z 3 Lời giải E I N H T N O U IE IL A T x z 1 x Với y A 2;0;3 d 2 x z z x z 10 x Với y B 0;3;10 d 2 x z 10 z 10 T Chọn D Tọa độ điểm thuộc giao tuyến d hai mặt phẳng thỏa mãn hệ phương trình: x 3y z 1 2 x y z Trang 47 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Vậy đường thẳng d qua A 2;0;3 nhận AB 2;3; làm vecto phương có phương trình tắc là: Câu 80 x2 y z 3 2 Đường thẳng giao tuyến mặt phẳng: x z x y z có phương trình x2 A x2 C y 1 z x2 B 1 y 1 z x2 D 1 Chọn C y 1 z 1 y 1 z 1 Lời giải P : x z có vtpt n1 1;0;1 Q : x y z có vtpt n2 1; 2; 1 Gọi giao tuyến mặt phẳng có vtcp u n1 , n2 2; 2; 2 Câu 81 (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi mặt phẳng chứa đường x2 y 3 z vng góc với mặt phẳng : x y 2z Hỏi giao tuyến 1 qua điểm nào? thẳng ( d ) : A 0;1;3 B 2;3;3 ud (1;1; 2) VTCP đường thẳng d n (1;1; 2) VTPT n ud ; n (4; 4; 0) C 5; 6;8 D 1; 2; Lời giải A(2;3;0) d A Phương trình mặt phẳng ( ) : 4( x 2) 4( y 3) 0( z 0) 4x y x y x-y Giả sử M ( x; y; z ) Khi tọa độ M thỏa mãn hệ x y 2z Thay đáp án vào hệ ta thấy M (2;3;3) thỏa mãn Chọn đáp án B (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Đường thẳng giao hai mặt phẳng x z x y z có phương trình Trang 48 https://TaiLieuOnThi.Net E I N H T N O U IE IL z x y 1 z B 1 1 z3 x y 1 z D 1 1 Lời giải P : x z có vectơ pháp tuyến n1 1; 0;1 Q : x y z có vectơ pháp tuyến n2 1; 2; 1 Ta có: n1 , n2 2; 2; T y 1 y 1 A x2 x2 C A T Câu 82 Tài Liệu Ôn Thi Group Gọi u vectơ phương , Suy u phương với n1 , n2 Chọn u n1 u n2 u 1;1; 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lấy M 2;1;3 thuộc mặt phẳng P Q Đường thẳng qua M 2;1;3 có véctơ phương u 1;1; 1 Vậy phương trình là: Câu 83 x y 1 z 1 1 x 3t (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d : y 3 t z 2t x4 y 1 z Phương trình phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng 2 chứa d d , đồng thời cách hai đường thẳng x3 y2 z2 x3 y2 z2 A B 2 2 x3 y2 z2 x3 y2 z2 C D 2 2 Lời giải Chọn D Ta thấy hai đường thẳng d d có véctơ phương hay d / / d Vậy đường thẳng cần tìm có véctơ phương u 3;1; 2 qua trung điểm I 3; 2; d : AB với A 2; 3; d B 4; 1; d Vậy phương trình đường thẳng cần tìm (THPT Nghen - Hà Tĩnh - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng x t x y 1 z Phương trình phương trình đường thẳng d : y 2t d : 2 z 2t A IL IE U O N T H I N E T thuộc mặt phẳng chứa d d đồng thời cách hai đường thẳng x3 y 2 z 2 x y 1 z A B 2 2 x3 y z 2 x3 y2 z 2 C D 2 1 2 Lời giải d qua A 2;1; có véc tơ phương u1 1; 2; 2 d qua B 4; 1; có véc tơ phương u2 1; 2; 11 Ta có u1 u2 nên d //d 2 T Câu 84 x3 y2 z2 2 Trang 49 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa d d đồng thời cách hai đường thẳng //d //d hay qua trung điểm I 3; 0; có véc tơ phương d , d d , d x3 y z 2 u 1; 2; Khi phương trình : 2 Câu 85 (Tốn Học Tuổi Trẻ 2019) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d mặt phẳng x 1 y z x y z , điểm P có phương trình 1 A 2; 1;3 Phương trình đường thẳng cắt d P M N cho A trung điểm đoạn thẳng MN là: x 1 y z A x 5 y 3 z 5 C x y 1 z x 5 y 3 z 5 D Lời giải x 1 2t Đường thẳng d có phương trình tham số: y t z t B Điểm M thuộc đường thẳng d nên M 1 2t; t; t Điểm A trung điểm MN nên: A 2; 1;3 xN x A xM 2t yN y A yM 2 t N 5 2t; 2 t ; t z N z A zM t Mặt khác điểm N P nên: 2t t 2t t Suy ra: M 5;3;5 Đường thẳng có véc tơ phương AM 3; 4; 2 qua điểm M 5;3;5 nên có phương x 5 y 3 z 5 T A IL IE U O N T H I N E T trình: Trang 50 https://TaiLieuOnThi.Net ... 18 Cho hai đường thẳng d1 : y t d : Đường thẳng đường vuông 1 z 1 t góc chung d1 d Phương trình sau đâu phương trình Vậy phương trình đường thẳng... Thay điểm A1;0; 2 vào phương trình phương án C ta có 0 4t t 1 2 2t t 1 Suy đường thẳng có phương trình tham số phương án C qua điểm A nên C phương án Câu (Đề Tham... t1 Phương trình đường thẳng chứa đoạn vng góc chung 1 là: y 1 t1 z 3t Chỉ có điểm Q 3;1; 4 có tọa độ thỏa mãn phương trình Dạng 1.2 Xác định phương trình đường thẳng