Đang tải... (xem toàn văn)
Véctơ Cái nhìn mới cho một vấn đề cũ —Đinh Ngọc Thái— CÁI NHÌN MỚI CHO MỘT BÀI TOÁN CŨ **************** Khi học về phần ứng dụng của véctơ trong việc giải toán bất đẳng thức , tôi đã được gặp một bài[.]
CÁI NHÌN MỚI CHO MỘT BÀI TỐN CŨ **************** Khi học phần ứng dụng véctơ việc giải tốn bất đẳng thức , tơi gặp tốn vơ lý thú Nhìn nhận tốn nhiều góc độ khác , tơi thu bất đẳng thức tam giác tương đối hay lạ mắt Đó nội dung mà muốn giới thiệu viết Trước hết xin mời bạn tham khảo tốn mà tơi vừa đề cập: Bài tốn 1: Cho điểm M nằm tam giác ABC Đặt: , , Khi với điểm N ta có: Đẳng thức xảy N trùng với M Chứng minh: Ta có: NA = = = Tương tự ta có BĐT với NB NC Cộng BĐT chiều lại với ta được: = ( Do Ta có (đfcm) Dễ thấy đẳng thức xảy N trùng với M Lời bình: Như tốn giải hoàn toàn Dựa vào kết tốn ta suy BĐT hay khó cách thay M N điểm đặc biệt Nhưng trước hết tìm hiểu vài điểm đặc biệt tam giác kết lý thú nó: 1, Điểm Toricelly: Xét tam giác ABC khơng có góc vượt 120 Điểm Toricelly điểm nhìn ba cạnh tam giác với góc : Dễ thấy việc dựng điểm Toricelly hồn tồn khơng q khó toán quen thuộc ( Dựng cung chứa góc cạnh AB,BC,CA tam giác chứng minh ba cung đồng quy với điều kiện tam giác khơng có góc vượt q 1200 ) Mặt khác: (TA+TB+TC)2 = TA2 + TB2 + TC2 + 2.TA.TB + 2.TB.TC + 2.TC.TA Áp dụng định lý hàm số Cos ta có: a2 = BC2 = TA2 + TB2 + TA.TB Tương tự ta có đẳng thức với b2 = CA2 c2 = AB2 Cộng đẳng thức lại ta được: Lại có: Do 2, Điểm Broca: Xét tam giác ABC Hai điểm Broca định nghĩa hai điểm M, N bên tam giác cho: ( Lưu ý, ta CM ) Ta chứng minh tồn hai điểm hệ thức lí thú nó: Trước tiên ta dựng cung chứa góc đoạn thẳng AC AB Gọi giao điểm chúng M Dễ thấy Ta chứng minh M điểm cần dựng Thật MAB + MBA = Chứng minh tương tự ta suy Vậy ta chứng minh tồn điểm M tam giác ABC Mặt khác, áp dụng định lí hàm số Sin ta có: ; ; ; ( AB = c , BC = a , CA = b) Áp dụng định lý hàm Cos ta có: MA2 + MB2 +2.MA.MB.CosB = c2 Một cách hồn toàn tương tự ta chứng minh tồn điểm N tam giác ABC và: 3, Điểm đối trung: Xét tam giác ABC (BC = a , CA = b , AB = c) Điểm đối trung L tam giác định nghĩa giao điểm ba đường thẳng đối xứng với ba trung tuyến qua ba đường phân giác tương ứng tam giác Đây khái niệm vô quen thuộc việc chứng minh tồn điểm L hệ thức liên quan với D,E,F giao điểm AL,BL,CL với BC,CA,AB thì: vấn đề khơng q khó để giải xin phép khơng nhắc lại Từ ta rút hệ thức lý thú: Ta có: suy ra: (Với Áp dụng định lý hàm số Cos cho ta Mặt khác theo định lý Menelauyt ta có: ; độ dài đường trung tuyến xuất phát từ A;B;C ) Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được: Lời bình: Kết thúc vấn đề liên quan đến điểm đối trung , trở lại với toán ứng dụng Xin mời bạn tham khảo số tốn bất đẳng thức hình học sau: Bài tốn 2: Cho tam giác ABC khơng có góc vượt 1200 Chứng minh với điểm N tam giác ta có: Chứng minh: Xét toán trường hợp điểm N tam giác ta có bất đẳng thức: ( T điểm Toricelly tam giác ABC) , với (đfcm) Đẳng thức xảy Lời bình: Các bạn dễ dàng nhận bất đẳng thức quen thuộc: bất đẳng thức Torricelly Sau xin giới thiệu tốn lạ khó hơn: Bài toán 3: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác CMR: ( IMO 1983 ) Chứng minh: Xét toán trường hợp M,N điểm Broca tam giác ABC có độ dài cạnh: AB = c , BC = a , CA = b , bán kính đường trịn ngoại tiếp R ta có: Thay kết vừa tìm phần vào , ta có: Nhân hai vế bất đẳng thức vừa tìm với ta có (đfcm) Bài toán 4: Xét tam giác ABC với BC = a , CA = b , AB = c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Bài giải: Xét toán trường hợp M điểm Broca tâm đường tròn nội tiếp I tam giác ABC , ta có: Gọi N trùng với độ dài đường phân giác hạ từ A,B,C tam giác ABC Ta có: Tương tự: Kết hợp với kết điểm Broca chứng minh phần ta suy ra: (1) Chia vế (1) cho abc ta có: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: Do đó: Vậy Bài toán 5: Cho đạt : thoả mãn CMR: Chứng minh: Gọi ,R độ dài đường trung tuyến hạ từ A,B,C bán kính đường trịn ngoại tiếp Xét toán trường hợp M điểm Broca N điểm đối trung tam giác ABC với kết vừa tìm ta có: (2) Nhân hai vế (2) với Theo giả thiết: ta có: Nên từ bất đẳng thức vừa tìm ta suy ra: (đfcm) Đẳng thức xảy có cạnh Lời bình: Những vấn tốn cịn rộng mong bạn tiếp tục tìm hiểu Cuối để thay cho lời kết xin mời bạn thử sức với tập tự luyện sau: Bài toán 6: Cho CMR: Bài toán 7: Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác.CMR: Ý kiến thẩm định giáo viên dạy toán: Xác nhận hiệu trưởng ... có cạnh Lời bình: Những vấn tốn cịn rộng mong bạn tiếp tục tìm hiểu Cuối để thay cho lời kết xin mời bạn thử sức với tập tự luyện sau: Bài toán 6: Cho CMR: Bài toán 7: Cho a,b,c độ dài cạnh tam... minh được: Lời bình: Kết thúc vấn đề liên quan đến điểm đối trung , trở lại với toán ứng dụng Xin mời bạn tham khảo số tốn bất đẳng thức hình học sau: Bài tốn 2: Cho tam giác ABC khơng có góc... giao điểm AL,BL,CL với BC,CA,AB thì: vấn đề khơng q khó để giải xin phép khơng nhắc lại Từ ta rút hệ thức lý thú: Ta có: suy ra: (Với Áp dụng định lý hàm số Cos cho ta Mặt khác theo định lý Menelauyt