Một vấn đề về đường tròn23035

Một vấn đề đường tròn vanthekt@yahoo.com A Đề dẫn Trong hình học phổ thông, học sinh làm quen khái niệm đường tròn từ sớm Nhưng chương trình Hình học lớp 12 THPT, vấn đề giải theo phương pháp toạ độ Chính vậy, toán đường tròn giải kiến thức sơ cấp Quá trình giảng dạy, với kiến thức sơ cấp, thường sử dụng minh hoạ cách giải, tìm thêm cho phương pháp toạ độ nhận thức khác Từ toán có thêm ý nghĩa Cũng sở kết luận đường tròn, với khái niệm afin ( có thĨ lµ phÐp co theo hƯ trơc ) ta cã thể giải số toàn đường elip Qua tập sách giáo khoa ôn tập lớp 12 đà sâu theo hướng áp dụng giảng dạy nâng cao Kết đà trình bày xêmine tổ Toán Trường THPT Kim Thành Bài viết theo hướng - Đưa toán đơn giản, trình bày số cách giải - Chứng minh số vấn đề thuộc lý luận sách giáo khoa hành - Một số kết cần thiết - Tuyển tập tổng hợp Do ý định đơn giản vấn đề, không trình bày kết đối ngẫu ®­êng elip, cịng nh­ h¹n chÕ vỊ kiÕn thøc không nhìn tổng quát tranh đường bậc hai sai sót nhiều Rất mong đồng nghiệp góp ý Sau nội dung viết Một toán có nhiều cách giải Bài toán Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A, B hai điểm thuộc trục hoành có hoành độ nghiệm phương trình x2 - (m + 1)x + m = (*) 1/ Viết phương tình đường tròn đường kính AB 2/ Cho E (0; 1) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp AEB Bài giải: Câu1: Cách (Tìm tâm bán kính đường tròn) Gọi x1x2 hai nghiệm phân biệt phương trình (*) (chú ý phương trình (*) có nghiệm phân biệt) Theo đính lý Viét ta cã: x1 + x2 = 2(m + 1) (1) x1x2 = (2) Đường tròn đường kính AB có tâm I trung điểm đoạn AB , A (x1; 0) B (x2; 0) ThuVienDeThi.com Mét vÊn ®Ị vỊ ®­êng trßn I( x  x2 2 vanthekt@yahoo.com ; 0) hay I (m + 1; 0) B¸n kÝnh đường tròn R = 2R = AB = x1 - x2 4R2 = (x1 + x2) - 4x1x2 = (m + 1)2 - 4m = (m2 + m + 1) AB ,theo (1) vµ (2)  R = m2  m 1 VËy đường tròn đường kính AB có phương trình (AB) [x - (m + 1)] + y2 = m2 + m + hay x2 + y2 - (m + 1)x + m = Cách 2: (Viết phương trình đường tròn theo dạng đường kính) Bổ đề Nếu A (x1, y1); B (x2, y2) phương trình đường tròn đường kính AB là: (x - x1)(x - x2) + (y - y1)(y - y2) = ThËt vËy: Giả sử M (x; y) mặt phẳng Oxy thuộc đường tròn đường kính AB Nghĩa ta có: AM  BM  AM BM  (3) Thay vµo (3) ta cã (x - x1) (x - x2) + (y - y1) (y - y2) = (®pcm) AM ( x  x1 ; y  y1 ) BM ( x  x ; y  y ) áp dung vào với A(x1; 0); B(x2; 0) => (x - x1) (x - x2) + y2 = x2 - (x1 + x2) x + x1x2 + y2 = Theo (2) vµ (3) x2 + y2 - (m + 1) x + m = Cách 3: (Khôi phục từ vết đường tròn Ox Chùm eliptic) Đường tròn (AB) có phương trình: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = a2 + b2 > c với tâm I(a;b) Vì tâm thuộc Ox nên b = => x2 + y2 - 2ax + c = (4) ®k a2 > c Cho giao víi Ox (y = 0) => x2 - 2ax + c = ta nghiệm phân biệt x1, x2 Mà x1, x2 nghiệm phương trình x2 - 2(m + 1)x + m = nªn ThuVienDeThi.com Mét vấn đề đường tròn vanthekt@yahoo.com x2 - 2ax + c  x2 - 2(m+1)x + m (®ång nhÊt) => a = m + 1, c = m tho¶ mÃn a2 > c => từ (4), đường tròn (AB) có phương trình: x2 + y2 - 2(m + 1+x + m = Câu Cách (Dạng phương trình đường tròn qua điểmkhông thẳng hàng) Gọi x1, x2 nghiệm pt (*), x1 x2 Vì ®­êng trßn qua ®iĨm A(x1; 0) B(x2; 0); E(0; 1) nên đường tròn (ABE) có phương trình: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0; a2 + b2 > c qua điểm E; A; B nªn ta cãhƯ - 2b + c = (5) x12 - 2ax1 + c = (6) x22 - 2ax2 + c = (7) LÊy (6) trõ (7) > x12 - x22 - 2a(x1 - x2) = < > (x1 - x2) (x1 + x2 - 2a) = x1  x2 x1 + x2 - 2a = x1 + x2 = 2a mµ x1 + x2 = 2(m + 1) -> a = m + LÊy (6) céng (7) > (x12 + x22) - 2a(x1 + x2) + 2c = Do x1 + x2 = 2a < > (x1 + x2)2 - 2x1x2 - (x1 + x2)2 + 2c = < > c = x1x2 mµ x1x2 = m > c=m Thay vµo (5) 2b = c + 1, c = m > 2b = m + Vậy đường tròn (EAB) có phương trình x2 + y2 - (m + 1)x - (m + 1)y + m = C¸ch 2: (Kiểu chùm elíptíc) Bổ đề: Cho đường tròn (C1) x2 + y2 - 2ax - 2by + c = , a2 + b2 > c đường thẳng () kx + ly + m = 0, k + l2 cắt hai điểm phân biệt A, B, đường tròn (C) qua A, B có phương trình ThuVienDeThi.com Một vấn đề đường tròn vanthekt@yahoo.com (x2 + y2 - 2by + c) + n (kx + ly + m) = 0, (8) n - tuú ý ThËt vËy Ta sÏ chøng minh (6) lµ phương trình đường tròn, đường tròn qua điểm A, B đường tròn qua hai ®iĨm A, B ®Ịu cã d¹ng (6) Tõ ®iỊu kiƯn toán Vì đường tròn (C1) cắt () hai điểm phân biệt nên khoảng cách từ tâm I (a; b) (C1) tới () nhỏ bán kính R đường tròn (C1); R a b  c nªn ak  bl  m k l  a2  b2  c (ak + bl + m)2 < (k2 + l2)(a2 + b2 - c) (6) x2 + y2 - ( a  (9) nk nl ) x  2(b  ) y  c  mn  (10) 2 Để (8) phương trình đường tròn ta phải cã: (a  nk nl )  (b  )  c  mn 2 k n2 l n2  b  b ln   c  mn  n  k2  l2   n  ( ak  bl  m ) n  a  b  c  n      a  akn  theo ®Þnh lý vỊ dÊu cđa tam thøc bËc hai k2 l2 nên ta phải có   (ak  bl  m)  (k  l )(a  b  c)  hay (ak + bl + m)2 < (k2 + l2)(a2 + b2 - c) Theo (7) ®iỊu ®ã lu«n ®óng Gäi A (x1, y1) B (x2, y2) giao điểm (C1) ta chứng minh toạ độ A, B thoả mÃn phương trình (8) Thay ( x1; y1 ) vµo (8) ta cã (x12 + y12 – 2ax1 - 2by1 + c) + n (kx1 + ly1 + m) = (*) A  (C1); A   nªn x12 + y12 - – 2ax1 - 2by1 + c = kx1 + ly1 + m = từ thoả mÃn (*) Vậy toạ độ điểm A thảo mÃn phương trình (8) Tương tự với điểm B Vậy đường tròn có phương trình dạng (8) qua hai điểm A, B Ngược lại, giả sử có đường tròn (C / ) qua hai điểm A, B ta tìm tham số n để phương trình (8) phương trình đường tròn (C / ) Thật Lấy điểm M (x3, y3) khác với A B nằm (C /) Rõ ràng M thuộc đường tròn (C ) đường thẳng (  ) nªn mét hai biĨu thøc ThuVienDeThi.com Mét vấn đề đường tròn x33 + y32 - 2ax3 + c - 2by3 giá trị khác Giả sử kx3 + ly3 + m đặt vanthekt@yahoo.com kx3 + ly3 + m phải có biểu thøc cã 2 x  y3  2ax3  2by3  c n= kx3  ly3  m (cßn nÕu x33 + y32 - 2ax3 + c - 2by3 ta đặt nghịch đảo lại) lúc đường tròn có phương trình (x2 + y2 2 x  y3  2ax3  2by3  c - 2ax - 2by + c) + (kx + ly + m) = (11) kx3  ly3 m thoả mÃn toạ độ điểm M (x3, y3) Vậy phương trình (11) phương trình đường tròn ®i qua ®iĨm A, B, M vµ lµ ®­êng tròn (C / ) áp dụng vào bài: Đường tròn (EAB) qua điểm A, B giao ®­êng trßn (AB) x2 + y2 - (m + 1) x + m = (Ox) y=0 Nên (EAB) có phương trình x2 + y2 - (m + 1) x + m + ny = víi n Vì qua E (0; 1) ta có + m + n =  n = - (m + 1) VËy (EAB) cã pt x2 + y2 - 2(m + 1)x - (m + 1)y + m = C¸ch 3: (Sư dơng kh¸i niƯm trơc đẳng phương hai đường tròn) Rõ ràng đường tròn đường kính (AB) đường tròn (EAB) nhận đường thẳng AB trục đẳng phương mà (AB) x2 + y2 - 2(m + 1)x + m = Gi¶ sư (EAB) x2 + y2 - 2ax - 2by + c = , a2 + b2 > c Th× trơc đẳng phương trình chúng có phương trình x2 + y2 - (m+1)x + m = x2 + y2 - 2ax - 2by + c  2(a – m - 1)x + 2by + m - c = (12) mà trục đẳng phương AB y = (13) đồng (10 ) (11) sai khác hệ sè k a-m-1=0 a=m+1 < > 2b = k < > 2b = k với k m-c=0 c=m Vậy đường tròn (EAB) có phương trình dạng ThuVienDeThi.com Một vấn đề đường tròn vanthekt@yahoo.com x2 + y2 - (m + 1)x - ky + m = Nh­ng (EAB) chøa E(0;1) nªn - k + m = k = m + (EAB) x2 + y2 - 2(m + 1)x - (m+1)y + m = B Những vấn đề có giải toán I) Một số phương pháp lập phương trình tròn biết điều kiện a/ Tâm I (x0 - y0), b¸n kÝnh R (x - x0)2 + (y - y0)2 = R2 (dạng tắc) b/ Biết ®­êng kÝnh AB; A(x1;y1) B (x2,y2) (x - x1)(x - x2) + (y-y1)(y - y2) = (dạng tích vô hướng) c/ Biết toạ độ ba điểm A(x1y1); B(x2y2); C(x3 ;y3) Xuất phát từ phương trình tổng quát x2 + y2 - 2ax - 2by + c = a2 + b2 > c Gi¶i hƯ pt bËc nhÊt, Èn a, b, c x12 + y12 - 2ax1 - 2by1 + c = x22 + y22 - 2ax2 - 2by2 + c = x32 + y32 - 2ax3 - 2by3 + c = d/ §i qua giao điểm hai đường tròn đường tròn đường thẳng (chùm eliptic) Dạng tổng quát : (x2 + y2 - 2ax - 2by + c) + n (kx + ly + m) = Riêng trường hợp đường tròn qua hai điểm giao điểm đường thẳng đường tròn ta làm theo quan điểm trục đẳng phương) e/ Hai đường tròn tiếp xúc điều kiện cần đủ chúng tiếp xúc với trục đẳng phương (chùm farabolic) VD Tìm giá trị m để đường tròn (Cm) x2 + y2 - 2mx + (1 - m)y - = tiếp xúc với đường tròn (C) x2 + y2 = HD : Lập phương trình trục đẳng phương (Cm) (C) Cho (C) tiếp xúc với trục đẳng phương Chú ý Trong trình đồng phương trình ý hệ sè tû lƯ (hay sai kh¸c hƯ sè k đó) ThuVienDeThi.com Một vấn đề đường tròn vanthekt@yahoo.com II) Lập phương trình đường tròn theo phương pháp tìm tập hợp điểm VD: Tìm quý tích điểm M cho MA2 + MB2 = 25 BiÕt A(-1; 4) B(2; 8) C số toán tổng hợp đường tròn 1) Lập phương trình đường tròn qua A(1; -2) giao điểm đường thẳng x - 7y + 10 = với đường tròn x2 + y2 - 2x + 4y - 20 = HD: Kiểu Trục đẳng phương 2) Cho A(a; 0) B (0; a) (a > 0) a/ Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc Ox A , tâm C cã tung ®é yc = m (m - tham số) Xác định giao điểm P thứ hai đường tròn (C) đường thẳng AB b/ Viết phương trình đường tròn (C / ) tiếp xúc với Oy B qua P c/ hai đường tròn (C) ( C' ) cắt tai P, Q Chứng minh đường thẳng PQ qua điểm cố định m thay đổi 3)Cho điểm A (0; a) B(b; 0) C (-b; 0) víi a>0, b>0 a/ Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với AB B; AC C b/ Gọi M điểm nằm đường tròn trên, d1, d2, d3 khoảng cách từ M tới AB, AC, BC, BC Chøng minh: d1.d2 = d32 4/ Cho hä ®­êng cong phụ thuộc tham số m có phương trình : F (x, y): = x2 + y2 - 2m ( x - a) = (với a>0 không đổi cho trước ) a/ Với giá trị m phương trình phương trình đường tròn Ký hiệu (Cm) đường tròn ứng với giá trị m b/ Chứng tỏ đoạn thẳng nối O (gốc toạ độ) với A (2a; 0) cắt đường tròn (Cm) c/ Chứng minh tồn đường thẳng trục đẳng phương tất đường tròn (Cm) 5/ Cho (Cm) x2 + y2 + 2my - = a/ Tìm quỹ tích tâm (Cm) b/ Chứng minh (Cm) qua hai điểm cố định c/ Chứng minh họ (Cm) nhận đường thẳng cố định làm trục đẳng phương ThuVienDeThi.com Một vấn đề đường tròn d/ Viết phương trình tiếp tuyến ®­êng trßn Ctun ®i qua ®iĨm A (0; -1) vanthekt@yahoo.com , biết tiếp 6/ Viết phương trình đường tròn qua điểm: a) A (-1; 3) B (1; 1) C (2; 4) b) M (1; 2) N (5; 2) P ( 1; -3) 7/ Cho F (3; 0) đường thẳng (d) có phương trình 3x - 4y + 16 = Viết phương trình đường tròn tâm F, tiếp xúc với (d) 8/ Cho đường thẳng: (d1): 3x + 4y - = (d2): 4x + 3y - = (d3): y=0 (d1) c¾t (d2), (d2) c¾t (d3), (d3) c¾t (d1) theo thø tù A, B, C a/ Viết phương trình đường phân giác cđa gãc A cđa  ABC TÝnh diƯn tÝch tam giác b/ Viết phương trình đường tròn nội tiếp ABC 9/ Cho đường tròn (C1) x2 + y2 - 4x + 2y - = cã t©m I đường tròn (C2) x2 + y2 - 10x - 6y + 30 = cã t©m J a/ Chứng minh (C1) (C2) tiếp xúc ngoài, tìm toạ ®é tiÕp ®iĨm H b/ Gäi (d ) lµ tiÕp tun chung cđa (C1) ,( C2); (d) kh«ng qua H Tìm toạ độ giao điểm K (d) đường thẳng IJ Viết phương trình đường tròn (C) qua K vµ tiÕp xóc víi (C1), ( C2) 10/ Cho họ đường tròn có pt: (Cm) x2 + y2 - 2mx - (m + 1)y - = (Cm) x2 + y2 - x - (m - 1)y + = Tìm trục đẳng phương đường tròn Chứng minh trục đẳng phương qua điểm cố định 11/ Cho đường tròn x2 + y2 = R2 điểm M (x0, y0) đường tròn Từ M kẻ hai tiếp tuyến MT1, MT2 tới đường tròn; T1, T2 tiếp điểm a/ Viết phương trình đường thẳng T1T2 b/ Giả sử M chạy đường thẳng (d) , không cắt ®­êng trßn ®· cho Chøng minh r»ng ®ã ®­êng thẳng T1T2 qua điểm cố định 12/ Cho (C): (x - 1)2 + (y - 2)2 = Viết phương trình đường thẳng qua A(2; 1), cắt (C) E, F cho A trung điểm EF ThuVienDeThi.com Một vấn đề đường tròn vanthekt@yahoo.com 13/ Cho (C): x2 + y2 - 6x - 8y + 21 = hai điểm A(4; 5) B(5; 1) a/ Chứng minh đường thẳng AB cắt đường tròn b/ Giả sử đường thẳng AB cắt đ tròn E, F Tính độ dài đoạn EF 14/ Cho đường tròn x2 + y2 - 2x - 6y + = M(2; 4) a) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt đường tròn tròn điểm A, B cho M trung điểm AB b/ Viết phgương trình tiếp tuyến ®­êng trßn cã hƯ sè gãc k=1 15/ XÐt hä ®­êng trßn (Cm) x2 + y2 - 2(m + 1)x - 2(m + 2)y + 6m + = (m - tham số) a/ Tìm quỹ tích tâm họ (Cm) b/ Xác định tâm đường tròn ®· cho tiÕp xóc víi Oy 16/ Cho (C) x2 + y2 = họ đường tròn (Cm) x2 + y2 - 2(m + 1)x + 4my - = a/ Tìm quỹ tích tâm họ (Cm) b/ Chứng minh có đường tròn họ (Cm) tiếp xúc với (C) Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn đó: Cách 1: R1 - R2 = OI C¸ch 2: Cho (C) tiÕp xóc víi trục đẳng phương Lúc hai đường tròn tìm cắt nên có hai tiếp tuyến chung 17/ Cho họ đường tròn (Cm) x2 + y2 - 2mx - 2(m + 1)y + 2m - = a/ Chứng minh họ (Cm) qua điểm cố định b/ Chứng minh họ (Cm) cắt trục trung hai điểm phân biệt 18/ Trong mặt phẳng toạ độ Đêcác vuông góc với Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (C): (x - 1)2 +(y- )2 = điểm A (1; 0); B (0; 2) Đường tròn đường kính (AB) cắt đường tròn (C) hai điểm P, Q Lập đường thẳng PQ (đề thi ĐH 2002) 19/ Cho họ ®­êng th¼ng phơ thc tham sè: (D ) (x - 1) cos + (y - 1) sin - = a/ Tìm điểm mặt phẳng không thuộc đường thẳng ThuVienDeThi.com Một vấn đề đường tròn vanthekt@yahoo.com 10 b/ Chứng minh đường thẳng tiếp xúc với đường tròn cố định 20/ Cho họ đường thẳng phụ thuộc tham số: (D ): x cos + y sin + cos + = a/ Chøng minh hä (Dx) lu«n tiếp xúc với đường tròn cố định b/ Cho I (-2; 1) kẻ IH (Dx) Trên tia IH lấy N cho HN = 2IH Tìm toạ độ điểm N 21/ Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn x2 + y2 - 10x + 24y = 56 x2 + y2 - 2x + 4y = 20 22/ Viết phương trìng tiếp tuyến đường tròn x2 + y2 + 8x - 4y + = BiÕt r»ng tiÕp tuyÕn ®i qua A (0; -1) 23/ Qua điểm A (1; 0), hÃy viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn x2 + y2 - 2x - 4y - = TÝnh gãc gi÷a hai tiếp tuyến 24/ Cho họ đường tròn (Ca ) x2 + y2 - 2(a + 1)x - (a - 1)y + - a = a/ Tìm đk a để đ tròn (Ca) đ tròn b/ Tìm a để (Ca ) tiếp xúc với đt y = x 25/ Viết phương trình tiếp tuyến chung đường tròn ( C1 ) x2 + y2 - = ( C2 ) (x - 8) + (y - 6) = 16 26) Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 = đường thẳng ( ) có phương trình y = m ( m tham số ) Tìm giá trị m để đường thẳng ( ) có điểm mà từ kẻ tiếp tuyến tới đường tròn tạo với góc 45 Kim Thµnh, ngµy 28/08/ 2002 Ng­êi viÕt ThuVienDeThi.com Mét vấn đề đường tròn vanthekt@yahoo.com 11 ThuVienDeThi.com ... điểm mặt phẳng không thuộc đường thẳng ThuVienDeThi.com Một vấn đề đường tròn vanthekt@yahoo.com 10 b/ Chứng minh đường thẳng tiếp xúc với đường tròn cố định 20/ Cho họ đường thẳng phô thuéc tham... cho đường tròn (C) có phương tr×nh (C): (x - 1)2 +(y- )2 = điểm A (1; 0); B (0; 2) Đường tròn đường kính (AB) cắt đường tròn (C) hai điểm P, Q Lập đường thẳng PQ (đề thi ĐH 2002) 19/ Cho họ đường. .. ThuVienDeThi.com Một vấn đề đường tròn vanthekt@yahoo.com 13/ Cho (C): x2 + y2 - 6x - 8y + 21 = vµ hai ®iĨm A(4; 5) B(5; 1) a/ Chøng minh r»ng đường thẳng AB cắt đường tròn b/ Giả sử đường thẳng AB