Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 667 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
667
Dung lượng
5,32 MB
Nội dung
Tailieumontoan.com Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CÁC CHUYÊN ĐỀ MÔN TỐN LỚP (Liệu hệ tài liệu word mơn tốn SĐT (zalo) : 039.373.2038 Tài liệu sưu tầm, ngày 10 tháng 10 năm 2022 BẢY HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ Website: tailieumontoan.com A Tóm tắt lý thuyết 1) Các đẳng thức đáng nhớ Hằng đẳng thức ( A + B) ( A − B) Tên gọi =A2 + AB + B Bình phương tổng =A2 − AB + B Bình phương tổng A2 − B = ( A + B )( A − B ) =A3 + A2 B + AB + B Lập phương tổng =A3 − A2 B + AB − B Lập phương hiệu ( A + B) ( A − B) Hiệu hai bình phương A3 + B = ( A + B ) ( A2 − AB + B ) Tổng hai lập phương A3 − B = ( A − B ) ( A2 + AB + B ) Hiệu hai lập phương 2) Bình phương tổng hạng tử a) ( A + B + C )2 = A2 + B + C + AB + BC + 2CA b) ( A + B − C )2 = A2 + B + C + AB − BC − 2CA c) ( A − B − C )2 = A2 + B + C − AB + BC − 2CA 3) Một số ứng dụng 2 a) Tính nhẩm: 99= (100 − 1)= 1002 − 2.100 +=1 9801 b) Sử dụng đánh giá A2 ≥ kết hợp với biến đổi đẳng thức để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Ví dụ: P = x − x + = ( x − 1)2 + ≥ B Bài tập dạng toán Bình phương tổng: ( A + B )2 =A2 + AB + B Ví du: ( x + 2)2 = x + x + Bình phương hiệu: ( A − B )2 =A2 − AB + B Ví du: ( x − 2)2 = x − x + Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Dạng 1: Thực phép tính Cách giải: Sử dụng trực tiếp đẳng thức học để khai triển biểu thức Bài 1: Thực phép tính a ( x + y )2 b (3x + y )2 c (3x − y )2 d (7 x − )2 Lời giải a) Ta có: ( x + y )2 =x + xy + y b) Ta có: (3x + y )2 =9 x + 15 x y + 25 y c) Ta có: (3x − y )2 =9 x − 24 xy + 16 y d) Ta có: (7 x − )2 = 49 x − 21 x + 16 Bài 2: Thực phép tính a (2 x + 3)2 x c + y 3 b (6 − 3u )2 1 3 d − x y 2 Lời giải a) Ta có: (2 x + 3)2 = x + 12 x + b) Ta có: (6 − 3u )2 =36 − 36u + 9u 2 x x2 c) Ta có: + y = + xy + 16 y 3 1 3 d) Ta có: − = − + x xy y x y Bài 3: Khai triển biểu thức sau −1 a 16 x + y 2 2 b x + x − 3 3 Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 2 Website: tailieumontoan.com −1 16 32 256 1 x+ y = 16 x − xy + y =x − xy + y 25 25 16 c) Ta có: 16 2 2 4 16 d) Ta có: x + x − = x4 − x + x + x + x − x + = 3 3 9 81 Bài 4: Viết biểu thức sau dạng bình phương tổng, hiệu a x2 + x +1 b −8 x + 16 + x d x + y − xy c x + + x Lời giải a) Ta có: x + + x = ( x + 1)2 b) Ta có: −8 x + 16 + x = ( x − 4)2 x2 c) Ta có: + x + 1= + 1 2 d) Ta có: x + y − xy = ( x − y )2 Bài 5: Viết biểu thức sau dạng bình phương tổng, hiệu x + 3x + 4 a x + + x b c x − 12 x + d x + x( y + 1) + y + y + Lời giải a) Ta có: x + + = x ( x + 1) b) Ta có: 2 x + x + 4= ( x + 2) c) Ta có: x − 12 x + 4= (3x − 2)2 d) Ta có: x + x( y + 1) + y + y + = ( x + y + 1)2 Bài 6: Viết biểu thức sau dạng bình phương tổng, hiệu a x + 12 x + + 6(3x + 2) + b x + y + x + y + 2( x + 1)( y + 1) + c (4 x − x + 1) − y (−1 + x) + y Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com a) Ta có: x + 12 x + + 6(3x + 2) + 9= (3x + 5) 2 b) Ta có: x + y + x + y + 2( x + 1)( y + 1) + = ( x + y + 2)2 c) Ta có: (4 x − x + 1) − y (−1 + x) + y = (2 x − − y ) d) Ta có: x + x( y + 1) + y + y + = ( x + y + 1)2 Dạng 2: Chứng minh đẳng thức Cách giải: Áp dụng đẳng thức linh hoạt, lựa chọn vế đẳng thức áp dụng đẳng thức dễ dàng Bài 1: Chứng minh đẳng thức sau a ( a + b) − ( a − b) = ab b 2( x + y ) = ( x + y )2 + ( x − y )2 Lời giải a) Ta có: VT= (a + b + a − b)(a + b − a + b) 2a.2b = = 4= VP ⇒ đpcm 4 b) Ta có: VP = x + xy + y + x − xy + y = 2( x + y ) = VT ⇒ đpcm Bài 2: Chứng minh đẳng thức sau a x + y = ( x + y )2 − xy b (a + b)2 − (a − b)(a + b)= 2b(a + b) Lời giải a) Ta có: VP =( x + y )2 − xy =x + xy + y − xy =x + y =VT ⇒ đpcm b) Ta có: VT = (a + b)2 − (a − b)(a + b) = a + 2ab + b − (a − b ) = 2b(a + b) = VP ⇒ đpcm Bài 3: Rút gọn biểu thức sau a A = (2a + b)2 − (b − 2a)2 b B = (3a + 2)2 + 2(2 + 3a)(1 − 2b) + (2b − 1)2 c C = (m − n)2 + 4mn d D = (6n − 2)2 + 4(3n − 1)(2 + t ) + (t + 2)2 Lời giải a) Ta có: A = (2a + b)2 − (b − 2a)2 = 4a + 4ab + b − b + 4ab − 4a ⇒ A = 8ab b) Ta có: B = [ (3a + 2) + (1 − 2b)]2 = (3a − 2b + 3)2 c) Ta có: C = (m − n)2 + 4mn ⇒ C = m − 2mn + n + 4mn ⇒ C = m + 2mn + n = (m + n) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com d) Ta có: D = (6n − 2) + 4(3n − 1)(2 + t ) + (t + 2) ⇒ D = (6n + t ) 2 Bài 4: Rút gọn biểu thức sau a A = (5a + 5)2 + 10(a − 3)(1 + a) + a − 6a + b = B ( x − 1) + x − + ( x + 1) Lời giải a) Ta có: A= 25a + 50a + 25 + 10a + 10a − 30 − 30a + a − 6a + 9= (6a + 2)2 b) Ta có: B= x2 − 2x + ( x − 1) 2 + x − + ( x + 1) ⇒ B= + x − + x + x + ⇒ B= ( 3x + 1) 4 Bài 5: Chứng minh biểu thức sau viết dạng tổng bình phương hai biểu thức A =x + 2( x + 1) + 3( x + 2) + 4( x + 3) Lời giải Ta có: A = x + 2( x + x + 1) + 3( x + x + 4) + 4( x + x + 9) = 10 x + 40 x + 25 + 25 =( x + 10 x + 25) + (9 x + 30 x + 25) =( x + 5) + (3 x + 5) (đpcm) Bài 6: Chứng minh rằng: (a + b )(c + d ) = (ac + bd )2 + (ad − bc)2 Lời giải Ta có: VP = (ac + bd )2 + (ad − bc)2 = (ac) +2abcd + (bd )2 + (ad )2 − 2abcd + (bc)2 = (a + b )(c + d ) = (a + b )(c + d ) =VT ⇒ đpcm Bài 7: Gọi a, b, c, d độ dài ba cạnh ∆ABC , p nửa chu vi Chứng minh rằng: ( p − a ) + ( p − b) + ( p − c ) + p = a + b + c Lời giải Theo giả thiết: a+b+c = p hay a + b + c = 2p VT = p − p (a + b + c) + a + b + c + p = a + b + c = VP (đpcm) Bài 8: Rút gọn biểu thức sau: Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com a) A = ( x − y + z ) − 2( x − y + z )( z − y ) + ( z − y ) 2 b) B =( x + y )2 + 4( x − y )2 − 4( x − y )( x + y ) Lời giải a) Ta có: A = ( x − y + z )2 − 2( x − y + z )( z − y ) + ( z − y )2 = x b) Ta có: B =( x + y )2 + 4( x − y )2 − 4( x − y )( x + y ) =( x + y )2 + 4( x − y )2 − 2( x − y )( x + y ).2 B =( x + y ) + 4( x − y ) − 4( x − y )( x + y ) =( x + y ) + 4( x − y ) − 2( x − y )( x + y ).2 ⇒ B = [ ( x + y ) − 2( x − y ) ] = (3 y − x) 2 Bài 9: Tìm x, y biết a) ( x + 2)2 + ( x − 3)2 − 2( x − 1)( x + 1) = b) x + y − x + y + = c) x + y + xy − y + =0 d) x − x + + y + y =0 e) x + y + z = xy + yz + xz Lời giải a) Ta có: ( x + 2)2 + ( x − 3)2 − 2( x − 1)( x + 1) = ⇒ x = Vậy x = x = −1 b) Ta có: x + y − x + y + = ⇔ ( x − 1) + (2 y + 1) = ⇔ −1 ⇒ ( x; y ) = (1; ) y = 2 2 −1 Vậy ( x; y ) = 1; c) Ta có: x + y + xy − y + = ⇔ ( x + y )2 + ( y − 1)2 = ⇒ ( x; y ) = (−1;1) Vậy ( x; y ) = ( −1;1) d) Ta có: x − x + + y + y = ⇔ ( x − 2)2 + ( y + 1)2 = ⇒ ( x; y ) = (2; −1) Vậy ( x; y=) ( 2; −1) e) Ta có: x + y + z = xy + yz + xz ⇔ 2( x + y + z ) = 2( xy + yz + zx) ⇔ ( x − y )2 + ( y − z )2 + ( z − x)2 = ⇔x= y= z Dạng 3: Tính nhanh Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Cách giải: Áp dụng đẳng thức cách linh hoạt hợp lý cho số tự nhiên Bài 1: Tính nhanh a) 212 b) 4992 Lời giải a) Ta có: 212= (20 + 1)2= 400 + 41 + 1= 442 2 b) Ta có: 499= (500 − 1)= 502+1 − 250 += 2500 − 250 += 2251 Bài 2: Tính nhanh a) 10012 b) 992 + + 198 c) 992 d) 982 Lời giải a) Ta có: 1001 = (1000 + 1) 2 b) Ta có: 992 + + 198 = 100= 10000 c) Ta có: 99 = (100 − 1) 2 d) Ta có: 98 = (100 − 2) Bài 3: Tính giá trị biểu thức sau a) A = ( x + y )2 − ( x − y )2 với xy = b) B = x − xy + y − x + y + với x − y = c) C = ( x + xy + y ) − 2.( x + y )( y − 1) + ( y − y + 1) với x + y = 10 Lời giải a) Ta có: A= ( x + y )2 − ( x − y )2 ⇒ A= xy ⇒ A= ⇒ A= b) Ta có: B = x − xy + y − x + y + ⇒ B = ( x − y )2 − 5( x − y ) + ⇒ B = − 35 + ⇒ B = 20 c) Ta có: C = ( x + xy + y ) − 2.( x + y )( y − 1) + ( y − y + 1) ⇒ C = ( x + y − 1)2 = 81 Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Cách giải: Sử dụng đẳng thức ý A2 ≥ 0; − A2 ≤ với A biểu thức Bài 1: Chứng minh Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com a) A= 9c − 6c + > 0, ∀c b) B= 14m − 6m − 13 < 0, ∀m Lời giải a) Ta có: A= 9c − 6c + 3= (3c − 1)2 + > 0, ∀c b) Ta có: B = 14m − 6m − 13 = −6(m − ) − 29 < 0, ∀m Bài 2: Chứng tỏ b) B = 6b − b − 10 < 0, ∀b a) A = a − 2a + > Lời giải a) Ta có: A = a − 2a + ⇒ A = (a − 1)2 + > ⇒ A > 0, ∀a b) Ta có: B =6b − b − 10 ⇒ B =−(b − 3)2 − < 0, ∀b Bài 3: Tìm GTNN biểu thức sau a) A = x − x + 10 b) B = y + y + 15 c) C = u + v − 2u + 3v + 15 d) D = x + y + xy + x − y − 100 Lời giải a) Ta có: A = x − x + 10 = ( x − 3)2 + ≥ ⇔ x = b) Ta có: B = y + y + 15 = ( y + 4)2 − ≥ −1 ⇒ Bmin = −1 ⇔ y = −4 u = 47 47 47 c) Ta có: C = u + v − 2u + 3v + 15 ⇒ C = (u − 1) + v + + ≥ ⇒ Cmin = ⇔ −3 2 4 v = 2 2 Bài 4: Tìm GTNN biểu thức sau a) A = x − x + 19 b) B = 3x − x + c) C = x + y − x + y + d) D = x + x + e) E = x + y + xy + x − y − 100 Lời giải a) Ta có: A =x − x + 19 =( x − 4)2 + ≥ ⇒ Amin =3 ⇔ x =4 b) Ta có: B = 3x − x + = 3( x − 1)2 + ≥ ⇒ Bmin = ⇔ x = c) Ta có: C = x + y − x + y + = ( x − 4)2 + ( y + 2)2 − 15 ≥ −15 ⇒ Cmin = −15 ⇔ x = 4; y = −2 d) Ta có: D =2 x + x + =2( x + 2)2 + ≥ ⇒ Dmin =1 ⇔ x =−2 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com e) Ta có: x + y + xy + x − y − 100= ( x + y ) + ( y − 2) + ( x + 4) − 120 ≥ −120 2 2 ⇒ N = −120 ⇔ x = −4; y = Bài 5: Tìm GTLN biểu thức sau a) A = − x2 + x − b) B = 12a − 4a + c) C =2 x − xy − x − y d) D = 4t − 8v − v − t + 2017 e) E= m − m2 Lời giải a) Ta có: A = − x + x − ⇒ A = −( x − 2)2 + (−1) ≤ −1 ⇒ Amax = −1 ⇔ x = b) Ta có: B = 12a − 4a + = 12 − (2a − 3)2 ≤ 12∀a ⇒ Amax = 12 ⇔ a = x = y = −1 c) Ta có: C =2 x − xy − x − y =1 − ( x + y )2 − ( x − 1)2 ≤ ⇒ Cmax =1 ⇔ d) Ta có: D =4t − 8v − v − t + 2017 ⇒ Dmax =2037 ⇔ v =−4; t =2 e) Ta có: E =m − m2 4m − m − m + 4m − + (m − 2) →E= →E= ⇒ E =1 − ⇒ Emax =1 ⇔ m =2 4 4 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Rút gọn biểu thức sau ( x − 1) b) = B + x − + ( x + 1) a) A = (5a + 5) + 10(a − 3)(1 + a) + a − 6a + 2 Lời giải a) Ta có: A= (5a + 5)2 + 10(a − 3)(1 + a) + a − 6a + ⇒ A= (6a + 2)2 b) Ta có: = B ( x − 1) + x − + ( x + 1) ⇒= B (3 x + 1) 4 Bài 2: Tính giá trị biểu thức sau a) A= 100 x − 20 x + x = 10 b) B =25c − 10cd + d tại= c 5,= d Lời giải a) Ta có: = A 100 x − 20 x + ⇒ = A (10 x − 1) ⇒ A(10) = 9801 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Bài 5: Cho hình thang vng ABCD, A B = 900 ; BC= AB + CD M trung điểm A= D H I AD, I thuộc cạnh BC cho BI = BA a Chứng minh ∆AID vuông b ∆AMB”∆CMD N M c AD = AB.CD K d AI cắt BM H, DI cắt CM K Chứng minh MI = HK Lời giải D 1800 − C 1800 − B a AID = 900 ⇐ I1 + I2 = 900 ⇐ + = 900 2 N hoac M b ∆AMB”∆CMD = ⇐C = :B 1( 2) AB + CD BC ⇒ ∆BMC vuông M = Gọi N trung điểm BC ⇒ ⇒ MN AB + CD ma : BC = MN = +M = M 900 M (đpcm) Vậy: ⇒ C1 = +M = co : C 90 AD AB.CD ⇐ c)= AD AD = AB.CD ⇐ AM = AD AB.CD ⇐ ∆AMB”∆MCD(cau.b) 2 d) MI = HK ⇐ ◊MHIK : hinh.chu.nhat ⇐ MKI = 900 ⇐ MC trung trực DI = MD = AD(∆AID) MI Có: IC = ID(∆ICD) C Bài 6: Cho ∆ABC cân A ( A < 900 ) Kẻ Cx vuông D góc với BC C , Cx cắt tia BA D a Chứng minh A trung điểm BD BH ⊥ AC H , Cy / / BH= , Cy ∩ BA K b Kẻ= Chứng minh rằng: AB = AH AK A c Kẻ BE phân giác góc ABC , Ct / / BE , Ct giao với tia BA I Chứng minh rằng: AE.BI = AB.EC E H 1 B K I Lời giải 900 C += = C ABC 900 + C2 ⇒ a) → C1 = D1 ⇒ AD = AC = AB = ABC C2 D1 += ABC 90 b) AB = AH AK ⇐ AB AB = AH AK ⇐ AB AC = AH AK ⇐ ∆ABH # ∆ACK BE / /CK c) AE.BI= AB.EC ⇐ AE AB AB = = ⇐ BC= BI ⇐ ∆BIC cân EC BI BC giải: = BE / / CI ⇒ B I ( slt ) ⇒ ∆BIC cân B Ta có: EBC I1 BCI = BCI ⇒= = EBC ( BE phan.giac) B +) Có BE phân giác góc B ⇒ AE AB = ⇒ AE.BC = AB.EC ⇒ AE.BI = AB.EC (do : BC = BI ) EC BC Cách khác: Hoặc dùng Talet Ct / / BE ⇒ đpcm C Bài 7: Cho tam giác ABC vuông A, AB = B 6cm, AC = 8cm, đường cao AH, đường H phân giác AD 10 a Tính AD, CD I b Gọi I giao điểm AH BD Chứng minh rằng: AB.BI = BD.BH A c Chứng minh: ∆AID cân D C Lời giải AD DC AB BC AD AD = = ⇒ AD + DC CD = = ⇒ 10; a BC == b ∆ABD# ∆HBI ( gg ) ⇒ c ∆ABD# ∆HBI ⇒ AB BD = ⇒ AB.BI = BH BD HB BI I1 = D ⇒ ∆AID cân A D ⇒ I= ma : I1 = I Bài 3: Cho tam giác ABC vuông cân A Trên B cạnh AB lấy điểm M, kẻ BD ⊥ CM , BD cắt CA E Chứng minh rằng: H D a EB.ED = EA.EC M BC b BD.BE + CA.CE = c ADE = 450 E A C Lời giải AE.CE a ∆ABE ”∆DCE ( gg ) ⇒ EB.ED = b Ta có: M trực tâm tam giác BEC ⇒ EM ⊥ BC = H BH BC +) ∆EBH ”∆CBD( gg ) ⇒ BE.BD = HC.BC ⇒ BE.BD + CE.CA +) ∆EHC ”∆BAC ( gg ) ⇒ CE.CA = = BC ( BH + HC= ) BC ⇐ ∆EAD”∆ECB ( gg ) c Ta chứng minh: EDA = ECB EA EM EA ED = = EH EC EB EC ⇒ ∆EAD”∆EBC (cgc) ⇒ ⇒ = FA EC ED EB Ta có: ED EM : chung ∆EDM ”∆EHB( gg ) ⇒ = E EH EB ∆EAM ”∆EHC ( gg ) ⇒ = ECB = 450 ⇒ EDA Bài 3: Cho hình vng ABCD Gọi E điểm B E C cạnh BC Qua A kẻ tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đường I K thẳng kẻ qua E song song với AB cắt AI G CMR: G A D a AE = EF tứ giác EGKF hình thoi b ∆AKF ”∆CAF ; AF = KF FC F c Khi E thay đổi BC Chứng minh EK = BE + DK chu vi tam giác EKC không đổi Lời giải ∆ADF ( gcg ) ⇒ EA = FA a ∆ABE = +) ∆FEA vuông cân A ⇒ AI ⊥ FE ∆IFK ( gcg ) ⇒ IG = IK vuông cân A ⇒ AI ⊥ FE +) ∆IEG = Tứ giác có hai đường chéo vng góc với trung điểm đường nên hình thoi : chung F FA FK ⇒ ∆AKF ”∆CAF ( gg ) ⇒ = ⇒ FA = FK FC b Có: FC FA ACF = KAF = 45 c Ta có tứ giác EGFK hình thoi ⇒ KE = KF = KD + DF = KD + BE Chu vi ∆EKC = KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = BC ( không đổi ) Bài 3: Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi M, E N trung điểm BC, AC Gọi O giao điểm đường trung trực tam giác Chứng minh rằng: a ∆OMN ”∆HAB tìm tỉ số đồng dạng b So sánh AH OM c Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh: ∆HAG”∆OMG d H, G, O thẳng hàng GH = 2GO A N H G O B Lời giải a Ta có: MN / / AB; OM / / AD D M C Tỉ số đồng dạng là: MN = AB b ∆OMN ”∆HAB ⇒ AH = 2.OM = OMG ( slt ) HAG c) ∆HAG, ∆OMG, co : AH AG ⇒ ∆HAG”∆OMG (cgc) = = 2(tinh.chat.duong.trung.tuyen) OM MG ⇒ MGO + MGH = 1800 ⇒ H , G, O thẳng hàng d ∆HAG”∆OMG ⇒ AGH = OGM Ta có GH GA = =⇒ GH = 2.GO GO GM Bài 3: Cho tam giác ABC vuông cân A, M B điểm tùy ý AC, kẻ Cx vng góc với BM H Cx cắt tia BA E, gọi F trung điểm BC Chứng minh: F I a ∆AFH cân b EA.EB = EH FC M A C c Khi M di chuyển AC, chứng minh số đo góc AHE khơng đổi d Biết AB =5cm H E Tính = T CA.CM + BM BH Lời giải = FH = a FA EA EH b = BC ∆EAH ”∆ECB EC ⇐ EB ∆EAC ”∆EHB( gg ) 10 EA EC = = 450 (khong doi ) AHE = EBC c EH EB ⇒ : chung E d CM CA + BM BH =CI CB + BI BC giải: Xét ∆BEC , có M trực tâm tam giác BEC ⇒ EM ⊥ BC = I BH BM +) ∆BMI ”∆BHC ( gg ) ⇒ BI BC = T BC = CI CB ⇒= +) Tương tự: CM CA Bài 3: Cho hình chữ nhật MNPQ M H ( MN > NP ) ; MH ⊥ QN = N 1 a Chứng minh: ∆MNH # ∆NQP F E b Chứng minh: MN = QN NH c Lấy E , F trung điểm H NH , MH Chứng minh ∆MNE# ∆QMF Q d MH cắt PQ I Tính diện tích tam giác MNI , biết QI = IP diện tích ∆QHI = 3cm Lời giải c) ∆MNE# ∆QMF ( cgc ) d) ∆QHI # ∆NHM ( g − g ) ⇒ HN = 3QH ; MH = 3HI ⇒ MI = HI 1 ⇒ S MNI = MI NH = 4.3.HI QH =12.SQHI =12.3 =36cm 2 11 I P Bài 3: Thanh Oai, năm học 2017 - 2018 Cho tam giác ABC có AB < AC , D nằm A A C cho ABD = ACB D a Chứng minh ∆ADB# ∆ABC từ suy AB = AC AD F b Biết= S ABC 16cm , AB 6= cm, AC 8cm = M Tính S ABD ? B c Phân giác góc A cắt BC E, cắt BD F Chứng minh FD EB = FB EC d Qua A kẻ đường thẳng vng góc với AE cắt BC M Chứng minh MB.EC = MC.EB Lời giải a) Ta có: ∆ADB# ∆ABC ( gg ) ⇒ AB = AC AD b) Ta có: S ABD = 9cm = ⇒ S ABD = S ABC 16 c) Chứng minh FD AD EB AB FD EB = = ⇒ = ; FB AB EC AC FB EC d) Có AM ⊥ AE ⇒ AM phân giác ngồi ∆ABC ⇒ Có EB AB MB EB = ⇒ = ⇒ MB.EC =MC.EB (đpcm) EC AC MC EC 12 MB AB = MC AC E C Bài 3: Lê Q Đơn, năm học 2017 - 2018 Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB lấy D C điểm E cho BE = AB Đường thẳng DE cắt CB kéo dài K H a Chứng minh ∆ADE# ∆BKE b Gọi H hình chiếu C DE Chứng minh: AD.HD = HC AE A c Tính diện tích tam giác CDK AB = 6cm E B KD CD + CB.KB d Chứng minh: CH = K Lời giải ADE = BKE ⇒ ∆ADE ”∆BKE ( gg ) = EBK = 900 DAE a) Xét ∆ADE , ∆BKE có: b) Xét ∆HDC ∆AED , có: ( slt ) AED = HDC ⇒ ∆DHC ”∆EAD( gg ) ⇒ HD AD = HC.EA = CHD = 900 DAE c) Xét ∆CDK ∆AED , có: ( slt ) AED = EDC ⇒ ∆CDK # ∆AED( gg ) DAE = DCK = 900 2 9 S 9 CD AB AB AB ⇒ SCDK= 6.6 = 27(cm ) ⇒ CDK = = =⇒ SCDK =.S AED = AE AD= 8 S AED AE AE 4 d) Xét ∆KCH ∆KDC , có: KHC = KCD = 900 KC HC ⇒ ∆KCH # ∆KDC ( gg ) ⇒ = ⇒ CH KD = KC.DC : chung KD DC CKD ⇒ CH KD − CB.KB = KC.DC − DC.KB = DC ( KC − KB) ⇒ CH KD − CB.KB = DC.BC = BC (đpcm) 13 Bài 3: Nam Từ Liêm, năm học 2017 - 2018 Cho ∆ABC= có A 900 ( AB < AC ) Kẻ AH ⊥ BC B ( H ∈ BC ) Kẻ HD cho = AHD 450 ( D ∈ AC ) H a Chứng minh ∆AHB# ∆CAB b Chứng minh: AC = CH BC c Chứng minh: AD AB = DC BC A D C 15cm , chu vi ∆AHC = 20cm d Biết chu vi ∆AHB = Tính chu vi ∆ABC Lời giải a) ∆AHB# ∆CAB( gg ) b ∆AHC# ∆BAC ( gg ) ⇒ AC = CH BC c Chứng minh: AD AB = DC BC AH AD AHC ⇒ = Vì AHD = 450 ⇒ HD phân giác HC mà ∆AHC# ∆BAC ( gg ) ⇒ CD AH AB AD AB = ⇒ = (dpcm) HC BC DC AC 15cm , chu vi ∆AHC = 20cm Tính chu vi ∆ABC d Biết chu vi ∆AHB = Ta có ∆AHB”∆CHA(# ∆CAB) ⇒ Áp dụng định lý AB = x PAHB AB 15 AB AC = = = ⇒ = = x⇒ PCHA AC 20 AC = x Pytago cho tam giác vuông ABC, tính 12 x - Chu vi ∆ABC = - Lại có: AC = CH BC (cmt ) ⇒ CH = (4 x) = 3, x; AH = 5x PACH = AC + CH + AH = 20 ⇔ 2, x + 3, x + x = 20 ⇔ x = 14 (4 x) − (3, x) = 2, x 25 ⇒ PABC = 12 x = 25(cm) 12 BC = x Bài 3: Lương Thế Vinh, năm học 2017 - 2018 Cho ∆ABC có Aˆ = 900 , đường cao AH A a Chứng minh: ∆ABC ∆HBA E = BH 4= cm, BC 13cm Tính AH , BH b Cho F c Gọi E điểm tỳ ý AB , đường thẳng qua H vng góc với HE cắt cạnh AC F B H C Chứng minh rằng: AE.CH = AH FC d Xác định vị trí E AB để đoạn thẳng EF có độ dài ngắn Lời giải a ∆ABC# ∆HBA( gg ) b ∆ABC# ∆HBA( gg ) ⇒ AB BC AC AB 13 = = ⇒ = ⇒ AB =4.13 =52 ⇒ AB =2 13(cm) HB BA HA AB 6(cm) Dùng pytago ⇒ AH = = c ∆ABC# ∆HBA ⇒ HAB ACB = + EH ⊥ HF ⇒ EHF 900 ⇒ EHA AHF = 900 =90 ⇒ EHA =FHC ( phu. - AHC =900 ⇒ AHF + FHC AHF ) HAB = ACB(cmt ) AE AH ⇒ ∆AHE# ∆CHF ( gg ) ⇒ = ⇒ AE.CH = AH CF CF CH EHA = FHC (cmt ) - Xét ∆AHE , ∆CHF có: AHB AHC = = 900 AH BH (1) ⇒ ∆ABH # ∆CAH ( gg ) ⇒ = CH AH ABH = HAC ( phu.BAH ) d Xét ∆ABH , ∆CHA, co : Ta có ∆AEH ”∆CFH (c) ⇒ AH EH BH EH = (2) ⇒ = CH FH AH FH EHF = Xét ∆HEF , ∆HBA, co : BH = AH = 900 AHB EH FH ⇒ ∆HEF # ∆HBA ⇒ EF HE = BA HB Mà AB, HB không đổi nên để đoạn EF ngắn đoạn HE ngắn HE ngắn ⇔ HE ⊥ AB 15 Bài 3: Cho ∆ABC nhọn ( AB < AC ), đường A cao BD CE cắt H a Chứng minh: AE AB = AD AC D b Chứng minh: ∆ADE# ∆ABC M E c Giả sử A = 450 ; So sánh diện tích H tam giác ADE diện tích tứ giác BEDC B N F C d Gọi M , N giao điểm DE với AH BC Chứng minh rằng: MD.NE = ME.ND Lời giải AD AC a ∆AEC# ∆ADB( gg ) ⇒ AE AB = b ∆ADE# ∆ABC (cgc) c = A 450 ⇒ ∆ADB vuông cân D Áp dụng pytago AD ⇒ AD + BD = AB ⇒ AD = AB ⇒ = AB 2 2 2 S AD Mà ∆ADE# ∆ABC ⇒ ADE = =⇒ S ADE =S ABC S ABC AB 2 Lại có: S ADE + S BEDC = S ABC ⇒ S ADE = S BEDC = S ABC ⇒ S ADE = S BDEC d Gọi giao điểm AH BC F ⇒ AF đường cao ∆ABC - Tương tự câu b, chứng minh ∆BEF # ∆BCA; ∆CDF # ∆CBA ⇒ = BAC = CFD BFE = DFM ⇒ FM ⇒ EFM = 90 ; CFD + DFM = 90 ma : BFE + EFM đường phân giác ∆FED , mà FM ⊥ FN ⇒ FN đường phân giác ngồi ∆FED - Áp dụng tính chất đường phân giác tam giác FED có phân giác FM phân giác ngồi FN nên ta có: FD MD ND = = ⇒ MD.NE = ME.ND ⇒ đpcm FE ME NE 16 Bài 3: Cho ∆ABC nhọn , AD trung tuyến, M trung A điểm AD Tia BM cắt cạnh AC P, đường thẳng song song với AC kẻ từ D cắt BP I P Q AP a Chứng minh PA = DI , tính tỉ số PC M N I b Tia CM cắt AB Q Chứng minh PQ // BC c Từ D kẻ đưởng thẳng song sog với AB cắt CM N Chứng minh PQ.MB = BC.MP B D d Tính tỉ số diện tích hai tam giác AQP ABC Lời giải ∆DMI ( gcg ) ⇒ PA = DI a ∆APM = +) Xét ∆BPC , DI / / PC ⇒ Mà BI BD DI = = ( HQTL) BP BC CP BD BI BD DI =⇒ = = = (*) BC BP BC CP Mà DI =BP ⇒ AP AP = ⇔ CP =2 AP ⇔ AC − AP = AP ⇔ AC = AP ⇒ = CP AC b Tia CM cắt AB Q Chứng minh PQ // BC ∆DNM ( gcg ) ⇒ QA = DN Ta có ∆AQM = +) Xét ∆CQB, DN / / BQ( DN / AB) ⇒ Mà CN CD DN (HQTL) = = CQ CB BQ CD CN CD DN DN =⇒ = = =⇒ = BC CQ CB BQ BQ Mà AQ = DN ⇒ Ta lại có AQ AQ = ⇒ BQ = AQ ⇔ AB − AQ = AQ ⇔ AB = AQ ⇒ = BQ AB AP AQ AP =⇒ = ⇒ PQ / / BC (Ta Lét đảo) AC AB AC c Từ D kẻ đưởng thẳng song sog với AB cắt CM N Chứng minh PQ.MB = BC.MP 17 C Vì PQ / / BC ⇒ AQ QP = = (1) , AB BC lại BI = ⇒ BP =2 BI ⇔ MB + MP =2( BM − MI ) BP có ⇔ MB = MP + MI ⇔ MB = MP + MP( MI = MP) ⇔ MB = 3MP ⇒ MP QP MP = (2) ⇒ = ⇒ PQ.MB = BC.MP MB BC MB d Tính tỉ số diện tích hai tam giác AQP ABC Ta có ∆APQ”∆ACB( PQ / / BC ) ⇒ S AQP S ABC 2 S AQP QA = = = =⇒ S ABC AB Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB > BC Gọi H K A chân đường vng góc kẻ từ B xuống AC, gọi M B giao điểm BH CD a Chứng minh ∆AHB# ∆CAD b Chứng minh BC.DA = CM CD Tính diện tích H I tam giác BMC biết BC = 6cm, AB = D C M c Kẻ MK ⊥ AB( K ∈ AB) MK cắt AC I Chứng minh MI BM = KB.IC = d Chứng minh BIM AMC Lời giải a) Chứng minh được: ∆AHB ∆CAD( gg ) +C = C 900 = B ⇒ ∆BMC# ∆CAD( gg ) ⇒ BC = MC ⇒ BC AD = CD.MC (1) ⇒C b) Ta có: 1 +C = CD AC 90 B = AB ⇒ CM = Từ (1) CD c) Tứ giác MKBC BC AD BC AD 6.6 MC.BC = = = 4,5(cm) ⇒ S BMC = = 13,5(cm ) CD AB hình chữ nhật có ba góc vng ⇒ KB = MC (2) IC C (cmt ) ⇒ ∆IMC# ∆MCB( gg ) ⇒ MI B = ⇒ MI MB = IC.MC = IC.BK (do.2) Lại có = 1 MC MB 18 M = d) Ta có: C = = M 900 =C ⇔ IMB =MCA (3) ⇒M 1 = M 90 Theo câu c, ta có: ∆IMC# ∆MCB( gg ) ⇒ IC MC = ⇔ IC.BC = MB.MC (4) MB MB Trong ∆ADC có MI / / AD nên theo định lý TaLet, ta có: MI IC IC MI = ⇒ = ⇒ IC.BC = MI AC (5) AD AC AC BC = MB.MC ⇒ Từ (4)(5) ta được: MI AC MI MB = (6) MC AC = Từ (3)(6) ta được: ∆MAC# ∆IBM (cgc) ⇒ MBI AMC 19 ...BẢY HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ Website: tailieumontoan.com A Tóm tắt lý thuyết 1) Các đẳng thức đáng nhớ Hằng đẳng thức ( A + B) ( A − B) Tên gọi... Ví du: ( x − 2)2 = x − x + Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Dạng 1: Thực phép tính Cách giải: Sử dụng trực tiếp đẳng thức học để khai triển biểu... − 3 3 Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 2 Website: tailieumontoan.com −1 16 32 256 1 x+ y = 16 x − xy + y =x − xy + y 25 25 16 c) Ta có: