PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG “tailieumontoan com” Date Phản chứng là một trong các phương pháp chứng minh gián tiếp để chứng tỏ kết luận của bài toán là đúng, ta chứng minh rằng điều trái lại với nó là sai[.]
Date PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG “tailieumontoan.com” I Lý thuyêt II Bài tâp Phản chứng phương pháp chứng minh gián tiếp: để chứng tỏ kết luận toán đúng, ta chứng minh điều trái lại với sai Dạng 1: Từ giả sử suy mâu thuẫn với giải thiết cho Bài Chứng minh với số tự nhiên n, n3 chia hết cho n chia hết cho Như sơ đồ chứng minh phản chứng gồm ba bước: Lời giải Bước (phủ định kết luận): Giả sử có điều trái với kết luận toán Bước (đi đến mâu thuẫn): Từ điều giả sử từ giả thiết toán, ta suy điều mâu thuẫn với giả thiết hay với kiến thức học Bước (khẳng định kết luận): Vậy kết luận tốn Giả sử n khơng chia hết cho = n 3k + n =3k + 2, k ∈ Z TH1 : Với n = 3k + ta có : n3 = ( 3k + ) = 27k + 27k + 9k + (mâu thuẫn) TH2: Với n = 3k + ta có : n = ( 3k + ) = 27k + 54k + 36k + (mâu thuẫn) Vậy n chia hết cho ( ) Bài Chứng minh (a , b ) = a , a + b = Lời giải Giả sử a a + b khơng ngun tố a a + b chia hết cho số nguyên tố d Suy a d , b d Như a b chia hết cho số nguyên tố d , điều ( ) trái với giá thiết (a , b ) = Do a , a + b = Bài Chứng minh rằng: Nếu x , y ∈ R với x ≠ −1 y ≠ −1 x + y + xy ≠ −1 Lời giải Giả sử x , y ∈ R ta có x + y + xy =−1 ⇔ x + y + xy + =0 ⇔ x ( + y ) + + y = ⇔ ( + x )( + y ) = + x =0 x =−1 ⇔ ⇔ điều mâu thuẩn với giả thiết −1 1 + y = y = x ≠ −1 y ≠ −1 ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ với x ≠ −1 y ≠ −1 Vậy x , y ∈ R x + y + xy ≠ −1 Bài Chứng minh độ dài cạnh tam giác thỏa mãn bất đẳng thức a + b > 5c c độ dài cạnh nhỏ tam giác Lời giải Giả sử c cạnh nhỏ tam giác Không tính tổng quát, giả sử a ≤ c ⇒ a ≤ c ( ) Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: b < a + c ⇒ b < (a + c ) ( Do a ≤ c ⇒ a + c ) 2 ≤ 4c Từ (2) (3) suy b < 4c (2) (3 ) (4) Suy ra: a + b < 2bc ; b + c < 2ca ; c + a < 2ab ⇒ 2a + 2b + 2c < 2bc + 2ca + 2ab ⇒ (a − b ) + ( b − c ) + (c − a ) < (vô lý) 2 Vậy phải có ba bất đẳng thức a + b ≥ 2bc ; b + c ≥ 2ca ; c + a ≥ 2ab Bài Chứng minh rằng: Nếu bm = (c + n ) hai phương trình sau có nghiệm x + bx + c = x + mx + n = Lời giải Cộng hai vế (1) (4) ta a + b < 5c mâu thuẫn với giả thiết Vậy c cạnh nhỏ tam giác Bài Chứng minh tam giác có đường trung tuyến đường phân giác xuất phát từ đỉnh tam giác cân đỉnh Lời giải Giả sử tam giác ABC có AH vừa đường trung tuyến vừa đường phân giác khơng cân A Khơng tính tổng quát giả sử AC > AB Trên AC lấy D cho AD = AB Gọi L giao điểm AH BD Xét ∆ABL ∆ADL có : AB = AD b − 4c < Giả sử hai PT vơ nghiệm, m − 4n < Cộng vế theo vế ta có: b + m − (c + n ) < ⇒ (m − b ) < (vơ lý (b – m)2 ≥ ) Bài Chứng minh với số tự nhiên n A =n + 11n + 39 không chia hết cho 49 Lời giải Giả sử tồn số tự nhiên n để A =n + 11n + 39 chia hết cho 49 Suy 4A = 4n + 44n + 156 = ( 2n + 11 ) + 35 49 ⇒ ( 2n + 11 ) + 35 ⇒ ( 2n + 11 ) (do 35 chia hết cho 7) = DAL BAL AL cạnh chung ⇒ ∆ABL = ∆ADL (c − g − c ) ⇒ 2n + 11 (do số nguyên tố) Do đó: BL = DL (cạnh tương ứng) Nên LH đường trung bình tam giác BDC Suy LH / /DC điều mâu thuẫn LH DC cắt Từ (1) (2) suy 35 chia hết cho 49 (vô lý) ⇒ ( 2n + 11 ) 49 A Vậy tam giác ABC cân A, Dạng 2: Từ giả sử suy mâu thuẫn với tính chất biết Bài Cho a , b , c ∈ R Chứng minh có ba bất đẳng thức a + b ≥ 2bc ; b + c ≥ 2ca ; c + a ≥ 2ab Lời giải Giả sử khơng có bất đẳng thức bất đẳng thức sau đúng, nghĩa là: a + b ≥ 2bc ; ( 1) b + c ≥ 2ca ; c + a ≥ 2ab (2) Vậy số tự nhiên n A =n + 11n + 39 không chia hết cho 49 Bài Cho a, b, c số thực dương thuộc khoảng (0;1) Chứng minh BĐT sau 1 a ( − b ) ≤ ; b ( − c ) ≤ ; c ( − a ) ≤ 4 Lời giải a ( − b ) > Giả sử BĐT sai đó: b ( − c ) > c a − > ( ) ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Nhân theo vế ba BĐT ta được: ( 1) 64 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: a ( − b ) b ( − c ) c ( − a ) > a + −a < a (1 − a ) ≤ = b + 1−b < b (1 − b ) ≤ = c + −c < c (1 − c ) ≤ = Nhân theo vế bất đẳng thức ta được: (mâu thuẫn với (1)) 64 Vậy điều phản chứng sai bất đẳng thức (đpcm) a ( − b ) b ( − c ) c ( − a ) ≤ Bài Trên mặt phẳng xếp đoạn thẳng cho đoạn thẳng cắt đoạn thẳng khác không? Bài Chứng minh tam giác có hai đường phân giác tam giác cân Bài Chứng minh số vô tỉ Bài Chứng minh n số nguyên dương số 2010n − khơng chia hết cho 1000n − Bài 10 Chứng minh với số ngun a, b, c, ta ln tìm số nguyên dương n cho số f ( n ) = n3 + an + bn + c khơng phải số phương Bài 11 Chứng minh: a1 , a2 , , an hoán vị tùy ý số 1, 2, , n với n số lẻ, tích ( a1 − 1)( a2 − ) ( an − n ) số chẵn Bài 12 Chứng minh không tồn số nguyên dương x, y, z , t đồng thời thỏa mãn đồng thời đẳng thức sau: Bài Cho tam thức bậc hai f ( x ) = ax + bx + c với x + xyzt = 1987 a ≠ , Chứng minh tồn số thực α y + xyzt = 987 cho af (α ) < phương trình ax + bx + c = có nghiệm Bài Chứng minh phương pháp phản chứng: Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = vơ nghiệm a c dấu Bài Chứng minh tam giác có góc z + xyzt = 87 t + xyzt = (1) ( 2) ( 3) ( 4) Bài 13 Chứng minh tồn vô hạn số nguyên tố Bài 14 Cho a, b hai số nguyên dương nguyên tố Chứng minh không tồn số nguyên dương x, y để ax + by = ab 30 cạnh đối diện với góc nửa cạnh khác tam giác tam giác vng Bài Tam giác BAC có ba góc nhọn, đường cao HA , đường trung tuyến BI , đường phân giác CK cắt ba điểm phân biệt D, E , F Chứng minh tam giác DEF tam giác Bài Qua điểm O mặt phẳng, vẽ đường thẳng phân biệt a) Có góc đỉnh O tạo thành hình vẽ? b) Chứng minh góc đó, có góc khơng vượt q 360 ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ HƯỚNG DẪN GIẢI ( 1) Bài Giả sử phương trình ax + bx + c = vơ nghiệm ⇒ ∆= b − 4ac < b b − 4ac f ( x )= ax + bx + c = a x + − 2a 4a 2 ⇒ af = ( x ) a x + 2ba − 4∆a > 0, ∀x ∈ R (do ∆ < ) , điều mâu thuẫn với giả thiết tồn số thực α cho af (α ) < Vậy phương trình ax + bx + c = có nghiệm Bài Giả sử phương trình vơ nghiệm a, c trái dấu Với điều kiện a, c trái dấu có a c < suy ∆= b − 4ac= b + ( −ac ) > Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều mâu thuẫn với giả thiết phương trình vơ nghiệm, Vậy phương trình vơ nghiệm a, c phải dấu B = 30 , AC = BC Ta chứng minh rằng: A = 90 Bài Xét ∆ABC có B ≠ 90 Thật giả sử BAC Qua C ta vẽ CH ⊥ AB H khơng trùng A , CH < CA (1) = 30 nên CH = BC , mà CA = BC (gt), đó: Tam giác vng HBC có B 2 CH = CA (2) mâu thuẫn với (1) phải 90 Vậy BAC Bài Giả sử ∆ DEF tam giác (h103) Ta có = 300 ACD = 600 Ta = 600 nên DCH CDH C H Hình 19 A = 900 lại có nên FIC ∆ABC có trung tuyến BI đường cao nên = 600 nên tam giác ∆ABC cân tại, lại có ACB Do AH , BI , CK đồng quy tức ba điểm D, E, F trùng nhau, trái với giả thiết Vậy ∆ DEF tam giác A I K D F E B H C Hình 103 Bài a) đường thẳng cắt O tạo thành 10 tia chung gốc O Mỗi tia 10 tia tạo với tia lại thành góc, có 10 tia nên có 9.10 = 90 góc Nhưng góc tính lần nên có tất 90 : = 45 góc đỉnh O tạo thành b) Trong 45 góc đỉnh O có 10 góc khơng có điểm chung O có tổng số đo 3600 Giả sử tất góc lớn 360 10 góc vừa nêu có tổng số đo lớn 10.360 = 3600 , mâu thuẫn Vậy phải có góc khơng vượt q 360 ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ Bài Câu trả lời không Thật vậy, giả sử xếp đoạn thẳng cho đoạn thẳng cắt đoạn thẳng khác Ta lập bảng gồm hàng, cột đánh dấu ô: hai đoạn thẳng cắt ta đánh dấu X, không cắt ta đánh dấu i Chẳng hạn đoạn thẳng thứ I cắt đoạn thẳng thứ j ta đánh dấu X vào giao dòng i cột j, dịng j cột i Khi j dịng có dấu X i j X 0 X 0 Mặt khác bảng có dấu xếp theo đường chéo hình vng Như nói giao dịng I cột j có dấu X giao dịng j cột I có dấu X, hai ô đối xứng qua đường chéo gồm có dấu Vì đánh dấu X bảng phải số chẵn Mâu thuẫn có 21 có dấu X theo giả thiết Bài Xét ∆ABC có hai đường phân giác BM = CN Ta chứng minh ∆ABC cân A Giả sử ∆ABC không cân A >C ⇒B >C (1) Qua M kẻ đường thẳng Xét B 1 A D N song song AB , qua N kẻ đường thẳng song song BM cắt D = Theo Khi ∆BNM = ∆DMN ⇒ BM = DN , B D giả thiết BM = CN ⇒ ND = NC Vậy ∆NCD cân ( 2) = N ⇒ NCD NDC ⇒D >C >C =D B Vì B 2 2 Từ M B 2 C ( 3) B = CN BM , BN > CM ⇒ C 1 pn nên A hợp số, A có ước nguyên tố p Khi p1 , p2 , , pn tất số nguyên tố nên tồn i ∈ {1, 2, , n} cho p = pi Như A p ; ( p1 p2 pn ) p nên 1 p , mâu thuẫn Do giả sử có hữu hạn số nguyên tố sai Vậy có vơ hạn số ngun tố Bài 14 Giả sử tồn số nguyên dương xo , yo thỏa mãn đẳng thức cho, tức là: axo + byo = ab (1) Ta có: axo =ab − byo =b(a − yo ) b Vì (a, b) = nên xo b Do đó, tồn x1 ∈ * cho xo = bx1 Tương tự, tồn y1 ∈ * cho yo = ay1 Thay vào đẳng thức (1) ta abx1 + aby1 = ab hay x1 + y1 = Điều vơ lí x1 y1 ≥ Vậy điều giả sử sai Ta có điều phải chứng minh ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗ ... + bx + c với x + xyzt = 1987 a ≠ , Chứng minh tồn số thực α y + xyzt = 987 cho af (α ) < phương trình ax + bx + c = có nghiệm Bài Chứng minh phương pháp phản chứng: Nếu phương trình bậc hai ax... tam giác có hai đường phân giác tam giác cân Bài Chứng minh số vô tỉ Bài Chứng minh n số nguyên dương số 2010n − không chia hết cho 1000n − Bài 10 Chứng minh với số nguyên a, b, c, ta ln tìm số... với (1)) 64 Vậy điều phản chứng sai bất đẳng thức (đpcm) a ( − b ) b ( − c ) c ( − a ) ≤ Bài Trên mặt phẳng xếp đoạn thẳng cho đoạn thẳng cắt đoạn thẳng khác không? Bài Chứng minh tam giác có