Luận văn bài toán chứng minh tính vuông góc, song song trong hình học

3 Chữỡng Kián thực côn bÊn 1.1 CĂc nh lỵ, mằnh à và tẵnh vuổng gõc, song song hẳnh hồc phng 1.1.1 Kián thực chuân b Trữợc tiản, s nhưc lÔi cĂc khĂi niằm cỡ bÊn  ữủc à cêp cĂc chữỡng trẳnh giĂo dửc phê thỉng v· hai ÷íng th¯ng song song, hai ÷íng thng vuổng gõc v cĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa chúng nh nghắa 1.1 Hai ữớng thng xx0, yy0 cưt v cĂc gõc tÔo thnh cõ mởt gõc vng ÷đc gåi l  hai ÷íng th¯ng vng gâc v  ữủc kỵ hiằu l xx0 yy0 ữớng thng vuổng gõc vợi mởt oÔn thng tÔi trung im cừa nõ ữủc gồi l ữớng trung trỹc cừa oÔn thng Đy nh nghắa 1.2 Hai ữớng thng song song l hai ữớng thng khổng cõ im chung Hai ữớng thng phƠn biằt thẳ hoc cưt hoc song song vợi Nhªn x²t 1.1 (i) Hai gâc A1 Tø hẳnh v dữợi Ơy xĂc nh cĂc cp gõc sau Ơy v B3 cụng nhữ hai gõc A4 v  B2 ÷đc gåi l  hai gâc so le (ii) C°p gâc A1 v  B1 ÷đc gåi l  c¡c cp gõc ỗng v Tữỡng tỹ ta cõ cĂc cp gõc ỗng v khĂc l A2 v B2 ; A3 v  B3 ; A4 v  B4 ành ngh¾a 1.3 Náu ữớng thng c cưt hai ữớng thng a, b v cĂc gõc tÔo thnh cõ mởt cp gõc so le bơng (hoc mởt cp gõc ỗng v bơng nhau) thẳ a v b song song vợi Ti¶n · 1.1 (Ti¶n · Euclide) Qua mët iºm ð ngo i mët ÷íng th¯ng ch¿ câ mët ÷íng th¯ng song song vợi ữớng thng õ Hai oÔn thng AB v CD gồi l t lằ vợi hai oÔn thng A0 B v  C 0D0 n¸u câ t¿ l» thùc AB A0 B = 0 CD CD ho°c AB CD = A0 B C 0D0 nh nghắa 1.4 Cho ữớng thng d Php bián hẳnh bián mội im M thuởc d thnh chẵnh nõ, bián méi iºm M khæng thuëc d th nh M cho d l ữớng trung trỹc cừa oÔn thng M M ÷đc gåi l  ph²p èi xùng qua ÷íng th¯ng d hay ph²p èi xùng tröc d Ph²p èi xựng trửc thữớng ữủc kẵ hiằu l d nh nghắa 1.5 Cho im I Php bián hẳnh bián im I thnh chẵnh nõ, bián mội im M khĂc I th nh M cho I l  trung iºm cõa oÔn thng ữủc gồi l php ối xựng tƠm I Php ối xựng tƠm thữớng ữủc kẵ hiằu l  I MM0 ành ngh¾a 1.6 Cho iºm O v  gõc lữủng giĂc Php bián hẳnh bián O thnh chẵnh nõ, bián mội im M khĂc O thnh im M cho OM = \ OM v  gâc l÷đng gi¡c (OM, OM ) = α ÷đc gåi l  ph²p quay t¥m O gâc α Ph²p quay tƠm O gõc thữớng ữủc kẵ hiằu l Q(O,) nh nghắa 1.7 Cho trữợc mởt im O vsốthỹc k6=0 Php bián hẳnh bián mồi im M thnh im M cho OM = kOM ÷đc gåi l  ph²p tü t¥m O t¿ sè k v  ữủc kẵ hiằu l V(O,k) im M ữủc gồi l Ênh cừa im M, M ữủc gồi l tÔo £nh cõa M 0, O l  t¥m cõa ph²p tü, k l  t¿ sè tü Nhªn x²t 1.2 Php v tỹ t số k cõ cĂc tẵnh chĐt sau: (i) Bi¸n ba iºm th¯ng h ng th nh ba iºm th¯ng h ng v  b£o to n thù tü giúa c¡c iºm õ (ii) Bián ữớng thng thnh ữớng thng song song hoc trũng vợi nõ, bián tia thnh tia, bián oÔn thng thnh oÔn thng (iii) Bián tam giĂc thnh tam giĂc ỗng dÔng vợi nõ, bián gõc thnh gõc bơng nõ nh nghắa 1.8 Cho ữớng trỏn (O; R) v  iºm M cè ành, OM = d Mët ữớng thng thay ời qua M cưt ữớng trỏn tÔi hai iºm A v  B Khi â, M A.M B = M O2 − R2 = d2 − R2 Ôi lữủng khổng ời M A.M B = M O2 − R2 = d2 − R2 gåi l  ph÷ìng tẵch cừa im M ối vợi ữớng trỏn (O; R), kẵ hiằu PM/(O) Kát quÊ cừa cĂc nh lỵ sau Ơy thữớng ữủc dũng  chựng minh cĂc bi toĂn hẳnh hồc phng và tẵnh song song v vuổng gâc, chóng ta s³ bä qua ph¦n chùng minh ành lỵ 1.1 Cho tam giĂc ABC (Hằ thực lữủng tam giĂc vuổng) vuổng tÔi A, ữớng cao AH , ta câ AB = BC.BH, AC = BC.HC, AH = BH.CH, BC.AH = AC.AH, 1 = + AH AB AC nh lỵ 1.2 Khi M nơm ngoi ữớng trỏn (O) ta v ữủc tiáp tuyán M T tợi ữớng trỏn Khi â PM/(O) = M A.M B = M T nh nghắa 1.9 Tự giĂc nởi tiáp ữớng trỏn l tự giĂc cõ bốn nh nơm trản ữớng trỏn ữớng trỏn õ ữủc gồi l ữớng trỏn ngoÔi tiáp tự giĂc Nhên xt 1.3 Tự giĂc nởi tiáp cõ cĂc tẵnh chĐt sau: (i) Tự giĂc nởi tiáp cõ tờng hai gõc ối bơng 180 (ii) Tù gi¡c câ hai ¿nh k· cịng nh¼n xng mởt cÔnh cỏn lÔi dữợi mởt gõc bơng thẳ nëi ti¸p (iii) Tù gi¡c câ ¿nh c¡ch ·u mởt im cho trữợc thẳ nởi tiáp (iv) Gõc ngoi tÔi mởt nh cừa mởt tự giĂc bơng gõc ối diằn vợi nh õ cừa tự giĂc Đy thẳ nởi tiáp nh lỵ 1.3 Tự giĂc ABCD cõ hai cÔnh ối AB, CD cưt tÔi M iÃu kiằn cƯn v ừ  tự giĂc ABCD nởi tiáp ÷đc ÷íng trán l  M A.M B = M C.M D nh lỵ 1.4 Tự giĂc ABCD cõ hai ữớng cho AC, BD cưt tÔi N iÃu kiằn c¦n v  N A.N C = N B.N D õ  tự giĂc ABCD nởi tiáp ữủc ữớng trỏn l nh lỵ 1.5 Cho hai ữớng thng AB, M T phƠn biằt cưt tÔi M (M khổng trũng A, B, T ) Khi â n¸u M A.M B ti¸p tam giĂc ABT tiáp xúc vợi M T tÔi T = MT thẳ ữớng trỏn ngoÔi nh nghắa 1.10 Cho hai ữớng trỏn khổng ỗng tƠm (O1, R1); (O2, R2) Têp hủp cĂc im M cõ phữỡng tẵch ối vợi hai ữớng trỏn bơng l mởt ÷íng th¯ng ÷íng th¯ng n y gåi l  trưc ¯ng ph÷ìng cừa hai ữớng trỏn  cho Nhên xt 1.4 Trửc ng phữỡng cừa hai ữớng trỏn cõ cĂc tẵnh chĐt sau: (i) Trưc ¯ng ph÷ìng cõa hai ÷íng trán vng gõc vợi ữớng nối tƠm (ii) Náu hai ữớng trỏn cưt tÔi A v B thẳ AB chẵnh l trửc ng phữỡng (iii) Náu im qua M M cõ phữỡng tẵch vợi hai ữớng trỏn thẳ ữớng thng v vuổng gõc vợi ữớng nối tƠm l trửc ng phữỡng M, N M N l (iv) Náu hai im ữớng thng cõ phữỡng tẵch ối vợi hai ữớng trỏn thẳ trửc ng phữỡng (v) Náu ba im cõ phữỡng tẵch vợi hai ữớng trỏn thẳ chúng thng h ng (vi) N¸u (O1 ), (O2 ) O1 O2 c­t tÔi l trửc ng phữỡng A thẳ ữớng thng qua A vuổng gõc vợi 1.1.2 CĂc tẵnh chĐt và tẵnh vuổng gõc, song song hẳnh hồc phng Tẵnh chĐt 1.1 a0 O Cõ mởt v ch mởt ữớng thng gõc vợi ữớng thng Tẵnh chĐt 1.2 a i qua im v vuổng cho trữợc c Náu ữớng th¯ng c­t hai ÷íng th¯ng a, b v  c¡c gõc tÔo thnh cõ mởt cp gõc so le bơng thẳ (i) Hai gõc so le cỏn lÔi bơng nhau; (ii) Hai gõc ỗng v bơng Tẵnh chĐt 1.3 Náu mởt ữớng thng cưt hai ữớng th¯ng song song th¼ (i) Hai gâc so le bơng nhau; (ii) Hai gõc ỗng v bơng nhau; (iii) Hai gõc phẵa bũ Tẵnh chĐt 1.4 Hai ữớng thng phƠn biằt vuổng gõc vợi mởt ữớng thng thự ba thẳ chúng song song vợi Tẵnh chĐt 1.5 Mởt ữớng thng vuổng gõc vợi mởt hai ữớng thng song song thẳ nõ cụng vuổng gõc vợi ữớng thng Tẵnh chĐt 1.6 Hai ữớng thng phƠn biằt song song vợi mởt ữớng thng thự ba thẳ chúng song song vợi 1.1.3 CĂc nh lỵ, mằnh à và tẵnh song song v vuổng gõc hẳnh hồc phng nh lỵ 1.6 Náu mởt ữớng thng cưt (nh lỵ Thales tam giĂc) hai cÔnh cừa mởt tam giĂc v song song vợi cÔnh cỏn lÔi thẳ nõ nh trản hai cÔnh cỏn lÔi nhỳng oÔn thng t lằ Chựng minh Xt tam gi¡c ABC v  gi£ sû ÷íng th¯ng xx0 k BC , cưt cÔnh AB v AC tữỡng ựng tÔi D v  E Ta s³ chùng minh AE AD = DB EC (1.1) 10 DE k BC , n¶n diằn tẵch tam giĂc DEB Trong 4ABE k ữớng cao EF Khi õ Vẳ SADE SBDE bơng diằn tẵch tam gi¡c DEC AD.EF AD = = BD BD.EF (1.2) SADE AE = SCDE EC (1.3) T÷ìng tü ta câ Tø (1.2) v  (1.3) suy hằ thực (1.1) nh lỵ 1.7 Náu mởt ữớng thng cưt hai cÔnh cừa (nh lỵ Thales Êo) mởt tam giĂc v nh trản hai cÔnh Đy nhỳng oÔn thng tữỡng ựng t lằ thẳ ữớng thng õ song song vợi cÔnh cỏn lÔi cừa tam gi¡c Chùng minh Gi£ sû ÷íng th¯ng xx0 c­t c¡c cÔnh AB, AC cừa tam giĂc ABC theo thự tỹ tÔi D v E cho AB AC = DB EC Ta chùng minh Qua D DE k BC k ữớng thng song song vợi cÔnh BC cưt cÔnh AC tÔi im E Theo nh lỵ Thales thuên ta câ AD AE AE AE AE AE = ⇒ = ⇔ +1= +1 DB EC EC EC EC EC AE + E C AE + EC AC AC ⇔ = ⇔ = E 0C EC E 0C EC hay E C = EC , nh lỵ 1.8 tực l E ≡ E Do â DE k BC Trong mởt tam giĂc vuổng, bẳnh phữỡng (nh lỵ Pythagoras) ở di cÔnh huyÃn bơng tờng bẳnh phữỡng ở di hai cÔnh gõc vuổng 11 Chựng minh Trản BC lĐy hai iºm M, N thäa m¢n BM = BN = AB Khi â, Do \ \ = 90◦ − ABC, \ N \ \ = ABC, \ BN A = BAN AC = 90◦ − BAN 2 1\ \ AM B = ABC â, 4M CA ∼ 4ACN (g.g) n¶n ta câ MC CA AB + BC AC = ⇒ = AC CN AC BC − AB Do vªy BC = AB + AC nh lỵ 1.9 Náu bẳnh phữỡng ở di mởt cÔnh (nh lỵ Pythagoras Êo) cừa tam giĂc bơng tờng bẳnh phữỡng ở di cừa hai cÔnh kia, thẳ gõc nơm giỳa hai cÔnh cừa tam giĂc â b¬ng gâc vng Chùng minh Gi£ sû 4ABC khỉng ph£i l  tam gi¡c vng, tø B k´ ÷íng th¯ng vuổng gõc vợi AC cưt AC tÔi D Theo nh lỵ Pythagoras ta cõ BC = DB + DC Theo gi£ thi¸t BC = AB + AC Suy AB − DB = DC − AC ⇒ AD2 = AD(DC + AC) Do â AD = DC + AC nh lỵ 1.10 (mƠu thuăn) Cho tam giĂc ABC , cĂc im D, E, F lƯn (nh lỵ Ceva) lữủt nơm trản BC, AC, AB Chựng minh AD, BE, CF ỗng quy hoc ổi mởt song song v  ch¿ DB EC F A · · = −1 DC EA F B (1.4) 12 Chùng minh i·u kiằn cƯn: GiÊ sỷ AD, BE, CF ỗng quy Tứ A v ữớng thng song song vợi BC cưt BE, CF tÔi I v H Theo nh lỵ Thales ta câ DB IA EC BC F A AH = ; = ; = DC HA EA IA F B BC DB EC F A · · = −1 Do õ DC EA F B Vợi trữớng hủp AD k BE k CF , Ăp dửng nh lỵ Thales ta cơng câ k¸t qu£ DB EC F A · · = −1 DC EA F B i·u ki»n õ: Gi£ sû ta câ Gåi H, I G v  F0 l¦n l÷đt l  DB EC F A · · = −1 DC EA F B giao iºm cõa AD c­t BE , GC (1.5) c­t AB C¡c iºm nh÷ ph¦n chùng minh i·u ki»n c¦n Suy Tø (1.5) v (1.6) suy nh lỵ 1.11 DB EC F A · · = −1 DC EA F B F F (nh lỵ Menelaus tam gi¡c) (1.6) Cho tam gi¡c ABC , tr¶n c¡c ữớng thng chựa cĂc cÔnh BC, CA, AB lĐy cĂc iºm P, Q, R t÷ìng ùng cho méi iºm khỉng trịng vỵi ¿nh tam gi¡c Khi â, ba iºm P, Q, R th¯ng h ng v  ch¿ RB P C QA · · = RA P B QC (1.7) 67 0N C = O CN (v¼ 4OBC cƠn tÔi O ) v OBC \ \ \ = OCB \ (v¼ O N C , hai gõc ny lÔi ỗng v, õ \=O \ 4OBC cƠn tÔi O) Suy OBC AB k M N Khi â B i to¡n 3.7 Tø iºm M nơm ngoi ữớng trỏn tƠm O, v án hai tiáp tuyán (Tuyn sinh lợp 10 chuyản ToĂn  ỗng Nai n«m håc 2016  2017) M A, M B v cĂt tuyán M CD (C nơm giỳa M v D) Gåi H l  giao iºm M O v  AB ữớng thng CH cưt () tÔi im thự hai E kh¡c C Chùng minh AB k DE Chùng minh Theo gi£ thi¸t M A, M B l  tiáp tuyán cừa () nản AH M O v M A2 = M C.M D Do â, AH l  ÷íng cao cõa tam gi¡c AM O, ¡p dưng h» thùc l÷đng, ta câ AM = M H.M O M C.M D = M H.M O Vªy tù gi¡c CDOH nởi tiáp Dạ thĐy M O AB Do vêy viằc chựng minh AB k DE tữỡng ữỡng vỵi chùng minh M O ⊥ DE Theo h» thùc l÷đng tam gi¡c M AO , ta câ Do â AH = AH.HB = M H.HO M  tự giĂc ACBE cõ AB giao CE tÔi H nản AH.HB = CH.HE M H.HO = CH.HE \ \ M OE = M CE hay Tø (3.3) v  (3.4) suy ti¸p, suy (3.4) Do â tù gi¡c \ \ M OE = M CH V¼ tù gi¡c CDOH (3.3) M COE nởi (3.5) nởi tiáp nản ta câ \ =M \ HOD CH hay \ \ M OD = M CH (3.6) 68 \ \ M OD = M OE Kát hủp vợi OD = OE chóng M D = M E Vªy, M O l trung trỹc oÔn CE nản M O DE Tø (3.5) v  (3.6) suy suy ta Bi toĂn 3.8 Cho ữớng trỏn (O) ữớng kẵnh AB, dƠy CD vuổng gõc vợi AB tÔi _ (Tuyn sinh vo lợp 10 Chuyản QuÊng Nam nôm hồc 2016  2017) nơm giỳa O v A LĐy im E bĐt kẳ trản cung nhọ BD, gồi M l hẳnh chiáu cừa B lản CE Chựng minh rơng HM k AE H \ \ = 90◦ n¶n CHM B l  tù Chùng minh Theo gi£ thi¸t, ta câ CM B = CHB gi¡c nëi ti¸p Suy \ = BCM \ = BCE \ BHM \ = BAE \ Kát hủp ACBE l tự giĂc nởi tiáp nản BCE \ = BAE \ tứ õ dăn án HM k AE H ∈ BA suy BHM M°t kh¡c, v  B i to¡n 3.9 (3.7) vỵi (2.5) Cho (Chồn ởi tuyn Kiản Giang nôm hồc 2012  2013) hẳnh thang ABCD cõ Ăy lợn l CD Qua A v³ AK k BC (K ∈ CD) v  qua B k´ BI k AD (I ∈ CD; BI c­t AC tÔi F, AK cưt BD tÔi E Chựng minh KD = CI v  EF k AB Chùng minh Theo gi£ thi¸t AK k BC, BI k AD v  ABCD l  h¼nh thang AB k CD, suy c¡c tù gi¡c ABCK, ABID l  h¼nh b¼nh h nh Do â DI = CK (cịng b¬ng AB ), suy DI + IK = CK + IK Vªy DK = CI nản 69 Vẳ 4AEB 4KED (g.g) nản AE AB = EK KD V¼ 4AF B ∼ 4CF I (g.g) n¶n AF AB = FC CI M°t kh¡c, KD = CI n¶n AF AE = ⇒ EF k KC EK FC (nh lỵ Thales Êo) Bi toĂn 3.10 Cho (Chån håc sinh giäi An Giang n«m hồc 2013  2014) ữớng trỏn tƠm O ữớng kẵnh AB LĐy mởt im M trản ữớng trỏn \ = 30 Tiáp tuyán vợi ữớng trỏn tÔi im A v im M cưt cho BAM tÔi C CM cưt AB tÔi D Chựng minh rơng BM k OC \ = 30◦ , tam gi¡c AM B vuổng tÔi M Chựng minh Theo à bi ta cõ BAM (gõc nởi tiáp chưn nỷa ữớng trỏn) suy \ M BO = 60◦ (3.8) \ M OB cƠn cõ M BO = 60 nản tam giĂc M OB l  tam gi¡c ·u, \ = 120◦ suy AOM Ta câ CA, Cm l  hai ti¸p tuy¸n xuĐt phĂt tứ im C nản CO l \ , hay CO l  ph¥n gi¡c cõa gâc AOM \ nản ữớng phƠn giĂc cừa gõc ACM Tam giĂc \ = 60◦ COA Tø (3.8) v  (3.9) suy B i toĂn 3.11 BM k OC (3.9) (hai gõc ỗng v) (Câm Thừy  Thanh Hõa nôm 2012) Cho tam gi¡c ABC , ÷íng th¯ng d c­t AB , AC v trung tuyán AM theo thự tỹ tÔi E, F, N Gi£ sû ÷íng th¯ng d k BC Trản tia ối cừa tia F B lĐy im K , ữớng thng KN cưt AB tÔi P , ữớng thng KM cưt AC tÔi Q Chựng minh rơng P Q k BC 70 Chùng minh Khi d k BC ⇒ EF k BC â N l  trung iºm cõa EF Tø F k´ ÷íng th¯ng song song vợi AB cưt KP tÔi L Ta cõ 4N F P = 4N F L (c.g.c) ⇒ EP = LF Do â EP LF KF = = (3.10) PB PB KB Tø B k´ ÷íng th¯ng song song vợi AC cưt KM tÔi H Ta cõ 4BM H = 4CM Q (c.g.c) ⇒ BH = QC Do â FQ KF FQ = = (3.11) QC BH KB EP FQ Tø (3.10) v  (3.11) suy = ⇒ P Q k BC PB QC B i to¡n 3.12 Cho hai (Chån ëi tuyºn Háa B¼nh nôm hồc 2016 - 2017) ữớng trỏn (O1) v (O2) cưt tÔi A, B CD l tiáp tuyán chung cừa hai ữớng trỏn (O1) v (O2); vợi C thc (O1), D thc (O2) v  B g¦n CD hìn A Gåi E l  giao iºm cõa BC v  AD, F l  giao iºm cõa DB v  AC Chùng minh r¬ng EF k CD \ = CAB \ v  BCD \ = BAD \ M°t kh¡c, Chùng minh  ỵ rơng BCD \ + BDC \ + CBD \ = 180◦ ⇒ EAF \ + EBF \ = 180◦ BCD \ \ = BCD \ Suy tù gi¡c AEBF nëi ti¸p, â EF B = BAE EF k CD Do vªy, 71 B i to¡n 3.13 (Trung hồc phờ thổng Chuyản Ôi hồc Sữ phÔm H Nởi Cho tam gi¡c ABC ÷íng trán (I) nëi tiáp tam nôm hồc 2016 - 2016) giĂc ABC tiáp xúc vợi BC, CA, AB tÔi D, E, F ữớng thng DI cưt ữớng trỏn tƠm A bĂn kẵnh AE tÔi M, N (N nơm giỳa M v D) CĂc ữớng thng AD, EF cưt tÔi P CĂc ữớng thng M A, N P cưt tÔi Q Gåi H l  giao iºm thù hai cõa AD v  (I) ÷íng th¯ng qua trung iºm cõa DH, DE cưt AC tÔi L Chựng minh rơng DL k EF Chựng minh Gồi J, G lƯn lữủt l trung iºm cõa HD, ED th¼ HE k JG k \ = JLD [ Thªt vªy AEH \ = ALJ [ = ADE \ suy JL Ta c¦n chùng minh HEF tù gi¡c JDLE l  tù gi¡c nëi ti¸p n¶n [ = JED [ JLD (3.12) Ngo i ra, [ = AJE [ = AF \ \ \ 180◦ − EJD E=F DE = 180◦ − EF H [ = EHF \ ⇒ EJD M°t kh¡c \ \ ⇒ HEF \ = JDE [ HF E = HDE Tø (3.12) v  (3.13) ta suy B i to¡n 3.14 (3.13) DL k EF (Chuyản Lam Sỡn  Thanh Hõa nôm hồc 2015  2016) Cho tam giĂc ABC vuổng tÔi A v (C) l ữớng trỏn tƠm C bĂn kẵnh CA LĐy im D thuởc ữớng trỏn (C) v nơm tam gi¡c ABC Gåi M l  \ = ACD \ ; N l  giao iºm cõa ÷íng im trản cÔnh AB cho BDM thng M D vợi ữớng cao AH cừa tam giĂc ABC ; E l  giao iºm thù hai cõa ÷íng th¯ng BD vợi ữớng trỏn (C) Chựng minh rơng M N k AE 72 Chùng minh X²t ÷íng trán (C) ta câ \ = ACD \ AED _ (gâc nởi tiáp bơng nỷa gõc tƠm chưn cung AD) (3.14) Tø (3.14) v  (3.15) suy \ \ = ACD BDM \ = BDM \ AED (3.15) â M N k AE (v¼ câ hai gõc ỗng v bơng nhau) Bi toĂn 3.15 (à thi hồc sinh giọi tnh QuÊng NgÂi nôm 2010) Cho tam giĂc ABC cƠn tÔi A, ữớng trỏn (O) tiáp xúc vợi AB, AC tÔi B, C Trản _ cung BC nơm tam giĂc ABC lĐy mởt im M (M 6= B, C) Gåi I, K, H l¦n lữủt l hẳnh chiáu cừa M trản BC, AB, CA v  P l  giao iºm cõa M B vỵi IK, Q l  giao iºm cõa M C vỵi IH Chùng minh P Q k BC Chùng minh Do tù giĂc BIM K v CIM H nởi tiáp nản \ = KBM \ , HIM \ = HCM \ ,P [ \ + HIM \ = KBM \ + HCM \ KIM IG = KIM _ \ = ICM \ (cịng b¬ng s BM ), HCM \ = IBM \ (cịng b¬ng M°t kh¡c KBM _ \ \ + IBM \ = 180◦ n¶n P\ [ s P M ) Hìn núa, P M Q + ICM MQ + P IG = \ \ 180◦ Do õ tự giĂc M P IQ nởi tiáp nản ta câ M QP = M IK (cịng b¬ng _ \ \ \ ) n¶n M \ \ s P M ) M  M IK = M IC (còng b¬ng KBM QP = M CI Suy P Q k BC 73 B i to¡n 3.16 (· thi hồc sinh giọi tnh LƠm ỗng nôm hồc 2014  2015) Cho ữớng trỏn (C1) tƠm I LĐy im O trản (C1), dỹng ữớng trỏn (C2) tƠm O cho (C2) cưt (C1) tÔi C v D Tiáp tuyán vợi (C2) tÔi C cưt (C1 ) tÔi A v tiáp tuyán vợi (C1 ) tÔi C cưt (C2 ) tÔi B ữớng thng AB cưt (C1 ) tÔi F (F 6= A) v cưt (C2 ) tÔi E (E 6= B) ữớng thng CE cưt (C1 ) tÔi G (G 6= C), ữớng thng CF cưt ữớng thng GD tÔi H Chựng minh CG k F D \ = 90◦ Do â AC, AD Chựng minh Vẳ tự giĂc OCAD nởi tiáp nản OAD l  c¡c ti¸p tuy¸n cõa ( (C2 ) Suy AC = AD Ta câ \ = CAE \ BCF \ = BCF \ ⇒ CEF \ = CF \ ⇒ ACE E \ = ACE \ CBF 74 M°t kh¡c ( \ = CEF \ = CF \ \ AEG E = ACD \ = AGE \ = ADC \ = ACD \ ⇒ AEG \ \ AEG = ADC Do â Tù gi¡c CF DG B i to¡n 3.17 nëi \ = GAE \ ⇒ CGD \ = GCF \ CAD \ \ = GCF \ ti¸p â HF D = CGD Vªy F D k GC (· thi håc sinh giäi Long An B£ng B n«m 2016) Cho tam gi¡c ABC câ ba gâc nhån (AB < AC), düng v· ph½a ngo i tam gi¡c ABC c¡c tam giĂc ABD vuổng cƠn tÔi A, tam giĂc ACE vuổng cƠn tÔi A Gồi I l giao im cừa BE v CD Gồi M, N lƯn lữủt l trung iºm cõa BC v  DE Chùng minh r¬ng AI k M N Chùng minh Ta câ ( Gåi F, K thoi (vẳ lƯn lữủt l trung im BAD Do õ F vuổng tÔi BD  CD = BE CDBE CE Khi â tù gi¡c M F N K M F = F N = N K = KM = CD) suy M N ⊥ F K Tam gi¡c BD Q(A,900 ) (D) = B ⇒ Q(A,900 ) (DC) = BE ⇒ Q(A,900 ) (C) = E A v  tam v  gi¡c thuëc trung trỹc cÔnh BID vuổng tÔi I nản l hẳnh (3.16) FA = FI = AI CAE vuổng tÔi A v tam giĂc CIE vuổng tÔi I nản KA = KI = CE Do â K thuëc trung trüc cÔnh AI Vêy F K thuởc trung trỹc cÔnh AI nản AI F K (3.17) Tam giĂc Tø (3.16) v  (3.17) suy AI k M N 75 B i to¡n 3.18 (· thi håc sinh giäi T¿nh ­c L­c n«m håc 2016  2017) Cho ữớng trỏn (O) DƠy AB cố nh khổng phÊi ữớng kẵnh Gồi I l trung [ im cừa oÔn AB Trản cung nhọ AB lĐy hai im C, E cho gâc CIA [ l  gâc nhån CI c­t ữớng trỏn (O) tÔi im D khĂc C EI cưt v EIB ữớng trỏn (O) tÔi im F khĂc E CĂc tiáp tuyán vợi ữớng trỏn (O) tÔi C v D cưt tÔi M , cĂc tiáp tuyán vợi ữớng trỏn (O) tÔi E v F cưt tÔi N Nối OM cưt CD tÔi P v ON cưt EF tÔi Q Chựng minh rơng M N k AB Chùng minh Ta câ OC = OD M C = M D (v¼ trüc cõa CD , õ (vẳ l bĂn kẵnh), M C, M D l tiáp tuyán cưt nhau) nản OM l trung OM ⊥ DP \ = 90◦ (v¼ M D l tiáp tuyán cừa (O) tÔi D), Xt 4ODM cõ ODM OM ⊥ DP suy OD2 = OP.OM Chùng minh t÷ìng tü ta ÷đc OF = OQ.ON v  OD = OF Do â OP.OM = OQ.ON ⇒ X²t 4OP Q v  4ON M câ b O chung, OP ON = OQ OM OP ON = OQ OM n¶n 4OP Q ∼ 4ON M n¶n \ \ OP Q = ON M Theo chùng minh tr¶n tù gi¡c OP IQ (3.18) [I = OQI [ = 90◦ Vêy OM DP, ON F Q nản OP nởi tiáp nản [ = QP [I QOI Tứ (3.18) v  (3.19) suy (3.19) 76 Do â MN, 4ON T vuổng tÔi mt khĂc Bi toĂn 3.19 T (T OI ⊥ AB (v¼ l  giao iºm cõa OI IA = IB = AB ) v  Vªy M N ) Suy OI ⊥ M N k BC Cho tam giĂc (Vỏng loÔi Sharygin nôm 2016, lợp 8, [2]) nhån ABC, ÷íng cao BD v  CE P l hẳnh chiáu cừa D trản AB, Q l hẳnh chiáu cừa P trản BC P Q cưt BD tÔi K Chựng minh rơng EK k AC Chùng minh Gåi H l  trüc t¥m tam gi¡c ABC Q l hẳnh chiáu cừa P trản BC v AH ⊥ BC â AH k P Q DP AB nản DP k CE Theo nh lẵ Thales ta BH BE = Ta câ ¯ng thùc BD BP BK BK BH BP BE BE = = = BD BH BD BA BP BA Ta câ, Theo ành l½ Thales £o ta câ B i to¡n 3.20 EK k AC câ BK BP = BH BA v  Cho tam gi¡c nhån ABC câ (IMO Shortlist nôm 2012, [1]) cĂc ữớng cao AD, BE, CF Gồi M, N l tƠm ữớng trỏn nởi tiáp tam giĂc BF D, CDE v P, Q l tƠm ữớng trỏn ngoÔi tiáp tam giĂc ABM, ACN Chựng minh rơng M N k P Q \ v  Chùng minh V¼ AD, BE, CF l cĂc ữớng cao nản F\ BD = DEC \ \ BF D = ECD â 4BF D 4ECD Theo giÊ thiát ữớng trỏn nởi tiáp hai tam giĂc õ nản FD DM \ \ = , M DN = F DC CD DN Do â 4DM N ∼ 4DF C , suy \ \ \ DM N = DF C = DAC M, N l  t¥m 77 M°t kh¡c, 1\ \ \ \ \ D + DF C BM N = BM D + DM N = 90◦ + BF 1\ \ = 180◦ − ACB \ = 90◦ + ACB + 90◦ − ACB 2 \ = 180◦ − N CB Do vªy, tù gi¡c BM N C nëi tiáp K l tƠm ữớng trỏn nởi tiáp 4AEF , t÷ìng tü suy c¡c tù gi¡c BM KA, AKN C l  c¡c tù gi¡c nëi ti¸p, â AK l dƠy chung cừa hai ữớng trỏn (BM KA) v (AKN C) Theo giÊ thiát P, Q l tƠm cừa ữớng trỏn ngoÔi tiáp tam giĂc ABM, ACN suy P, Q chẵnh l tƠm cừa hai ữớng trỏn (BM KA) v  (AKN C) ⇒ AK ⊥ P Q M°t khĂc, ba im M, N, K l tƠm cừa ữớng trỏn nởi tiáp cĂc tam giĂc BDF, CDE, AEF nản M, N, K nơm trản BI, CI, AI , suy Gåi Do â 1\ \=N \ IKN CA = ACB 1\ \ \ \ = IM \ IM N =N CB = ACB Vªy IKN N T÷ìng tü, ta câ \ \ \ = IN \ IM K = IN K, IKM M Suy I l  trüc t¥m cõa B i to¡n 3.21 ABC 4KM N ⇒⇒ KI⊥M N ⇒ P Q k M N (IMO nôm 2018) Cho ữớng trỏn ngoÔi tiáp tam giĂc nhồn CĂc im D, E lƯn lữủt nơm trản AB v  AC cho AD = AE _ _ Trung trüc BD v  CE c­t cung nhä AB v AC cừa tÔi F v G Chựng minh r¬ng DE v  F G song song ho°c trịng 78 \ [ , m  AIF [ =F \ Chùng minh Ta _câ F\ BD = F DB = ADI BA (gâc nëi ti¸p [ =F \ [ = AID [ Vªy tam gi¡c F A) hay AID BD Suy ADI A n¶n AD = AI Chùng minh t÷ìng tü ta câ AE = AH chưn cung AID cƠn tÔi Ta cõ AD = AE; AD = AI; AE = AH ⇒ AE = AH = AD = AI Suy tù gi¡c HDEI nởi tiáp ữớng trỏn tƠm [ = HGF \ HIF ữớng trỏn tƠm A bĂn kẵnh AD hay A, bĂn k½nh [ = HGF \ HID GF Ta câ (3.20) câ [ = HED \ HID Tø (3.20) v  (3.21) suy AD \ = HGF \ ⇒ ED HED (3.21) song song hoc trũng 79 Kát luên Vợi mửc tiảu tỹ chuân b cho bÊn thƠn mởt chuyản à  phửc vử bÊn thƠn dÔy hồc toĂn ð Trung håc phê thỉng v  xu§t ph¡t tø thüc tiạn cho thĐy gƯn Ơy hồc sinh rĐt sủ hẳnh hồc, nhĐt l cĂc bi toĂn chựng minh nản tổi ¢ chån chõ ·: B i to¡n chùng minh song song v vuổng gõc hẳnh hồc. Luên vôn  hon th nh c¡c nhi»m vư sau: T¼m hiºu c¡c ành lỵ, cĂc tẵnh chĐt liản quan án iÃu kiằn  hai ữớng thng song song (hay vuổng gõc) vợi cơng nh÷ c¡c h» qu£ câ ÷đc tø vi»c hai ữớng thng song song (hay vuổng gõc) Sữu tƯm cĂc à thi hồc sinh giọi cõ liản quan án vi»c chùng minh song song hay vng gâc Tr¶n cì s õ, luên vôn  Ôt ữủc nhỳng kát quÊ sau: Giợi thiằu mởt số nh lỵ, tẵnh chĐt, hằ quÊ v mởt vi k thuêt chựng minh thữớng ÷đc sû dưng º chùng minh song song hay vng gâc Tr¼nh b y mët c¡ch câ chån låc c¡c à thi tuyn sinh vo lợp 10 cừa cĂc trữớng Chuyản trản cÊ nữợc qua cĂc nôm; à thi chồn ởi tuyn; à thi Hồc sinh giọi nữợc v quốc tá qua cĂc nôm hồc v lới giÊi cừa c¡c · thi håc sinh giäi to¡n v· h¼nh håc phng liản quan án tẵnh song song, tẵnh vuổng gõc, â câ nhi·u · thi håc sinh giäi cõa nhỳng nôm gƯn Ơy  minh hồa cho ngữới ồc thĐy dÔng bi toĂn chựng minh song song, vuổng gõc l  nhúng b i to¡n cì b£n cõa h¼nh håc văn l mởt chuyản à nõng viằc chồn håc sinh giäi èi vỵi mët v i b i to¡n, luên vôn  cố gưng ữa lới giÊi chi ti¸t hìn t i li»u tham kh£o (º håc sinh Trung håc cì sð d¹ d ng hìn åc c¡c líi gi£i) èi vỵi mët v i · thi håc sinh giäi, luên vôn cụng  cố gưng ữa nhiÃu lới giÊi  minh hồa tẵnh linh hoÔt viằc vên dửng cĂc tẵnh chĐt, nh lỵ vo chựng minh bi to¡n v· t½nh song song, t½nh vng gâc 80 Hữợng nghiản cựu cừa luên vôn l m, trữợc hát l  c¡c b i to¡n v· chùng minh song song, vuæng gõc hẳnh hồc phng v Ơy cụng l nhiằm vử tiáp theo cừa hồc viản  cõ nhỳng chuyản à phửc vử cổng viằc giÊng dÔy ToĂn cừa mẳnh Trữớng 81 Ti liằu tham khÊo Tiáng Viằt R±n luy»n ph¡t triºn t÷ thỉng qua gi£i c¡c bi toĂn hẳnh hồc phng, Nh xuĐt bÊn GiĂo dửc Vi»t Nam [2] Nguy¹n B¡ ang (2018), Ph¡t triºn kh£ nông giÊi toĂn hẳnh hồc phng dnh cho bêc THCS, nh xuĐt bÊn Ôi hồc sữ phÔm TP Hỗ Chẵ Minh [1] Nguyạn BĂ ang (2018), Tiáng Anh [3] Viktor Prasolov (2006), Problems in plane and solid Geometry Trans- lated and edited by Dimitry Leites, Moscow textbooks On the Notion of Oriented Angles in Plane Elementary Geometry and Some of its Applications, MM Research Preprints, 112 [4] Wu W.T (2005), KLMM, AMSS, Academia Sinica Vol 24 ... thng song song thẳ nõ cụng vuổng gõc vợi ữớng thng Tẵnh chĐt 1.6 Hai ữớng thng phƠn biằt song song vợi mởt ữớng thng thự ba thẳ chúng song song vợi 1.1.3 CĂc nh lỵ, mằnh à và tẵnh song song... AC, AB Chựng minh AD, BE, CF ỗng quy ho°c æi mët song song v  ch¿ DB EC F A · · = −1 DC EA F B (1.4) 12 Chùng minh i·u ki»n c¦n: Gi£ sû AD, BE, CF ỗng quy Tứ A v ữớng thng song song vợi BC... minh tr¶n, ta câ O, A, A1 th¯ng h ng, hay AA1 , BB1 , CC1 ỗng quy Ta cõ 1.2 Mởt số bi toĂn liản quan án tẵnh vuổng gõc, song song hẳnh hồc phng Vên dửng cĂc nh lỵ, tẵnh chĐt và tẵnh song song