Bài 10696 | Xem bài giải së gd& §T thanh hãa §Ò thi häc sinh giái Trêng thpt cÈm thñy 3 m«n To¸n líp 11 N¨m häc 2007 2008 Thêi gian 180 phót §Ò Bµi Bµi1 (4 ®iÓm) Cho hµm sè f(x) = sin6 x + cos6 x a) T[.]
së gd& §T hãa Trêng thpt cÈm thđy Đề thi học sinh giỏi môn Toán - lớp 11 Năm học 2007-2008 Thời gian: 180 phút Đề Bài: Bài1: (4 điểm) Cho hàm số f(x) = sin6 x + cos6 x a) Tìm giá trị lớn nhỏ nhÊt cđa hµm sè b) Chøng minh r»ng hµm sè tuần hoàn với chu kỳ Bài2: (2 điểm) Giải phơng trình: Cos2008x - Sin2008x = Bài 3: (2 điểm) Cho tam giác ABC, chứng minh CotA, CotB, CotC lần lợt lập nên cấp số cộng a2 , b2 , c2 lần lợt lập nên cấp số cộng Bài 4: (2 ®iĨm) Trong mét chiÕc hép kÝn cã ®ùng 10 qu¶ cầu trắng cầu đỏ giả thiết kích thớc trọng lợng cầu nh Lấy hú họa cầu Tính xác suất để cầu lấy có cầu đỏ Bài5: (2 điểm) Tính tổng: Sn = Bài 6: (2 điểm) Tính giới hạn: Bài 7: (4 điểm) Tứ diện ABCD có cặp cạnh đối Chứng minh rằng: a) Các mặt tứ diện tam giác b) Đờng nối trung điểm cặp cạnh đối diện vuông góc với cạnh Bài 8: (2 điểm) Cho góc nhọn xOy điểm A thuộc miền góc HÃy tìm cạnh Ox điểm B cạnh Oy điểm C cho tam giác ABC cã chu vi nhá nhÊt HÕt ( C¸n bé coi thi không giải thích thêm.) Họ tên: SBD: Híng dÉn chÊm thi hsg líp 11 C©u 1a (2 ®iĨm) Néi dung Ta cã: f(x) = - sin22x = 0,5 Suy Max f(x) = Min f(x) = Cos4x = cos4x = -1 1b Hàm số có tập xác định là: R (2 ®iĨm) Suy ra: = f(x) Gi¶ sư cã T ®iĨ m 0,5 tho¶ f(x+T) = f(x) víi mäi x, 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Víi x = ta cã cos4T = 0,25 Do T suy kh«ng cã giá trị nguyên k thoả mÃn Vậy 0,25 chu kỳ tuần hoàn Ta có: Cos2008x - Sin2008x = 0,5 (2 ®iĨm) 1- Cos2008x + sin2008x = Do 1- cos 2008 x vµ sin 2008 x Nên (*) Ta cú (2 điểm) 0,5 l cp s cng Theo định lý Cosin tam gi¸c : 1,0 0,25 0,5 Do 0,25 Tương t 0,25 Do ú : Số cách để lấy cầu từ 18 cầu là: cách (2 điểm) Số cách để lấy cầu đỏ từ cầu đỏ là: cách 0,5 0,25 0,25 0,5 0.5 Số cách lấy cầu trắng từ 10 cầu trằng là: cách 0,5 Số cách để lấy cầu đỏ cầu trắng là: cách 0,25 Xác xuất để lấy cầu có cầu ®á lµ: Ta cã (2 n!Sn = ®iĨm) 0,5 = 0,5 = 0,5 0,25 = 2n - Suy Ta cã: (2 ®iĨm) 0,25 0.5 A 0,5 M Do D Vµ 0,5 B N VËy C 7a (2 điểm) 0,5 Theo giả thiết ta có: AB = CD; AD = BC; AC = BD Do ®ã 7b BCD = ADC 0,5 0,5 = DAB 0,5 = CBA(c-c-c) 0,5 Gọi M , N trung điểm AB CD 0.5 (2 điểm) Do BCD = ADC nên hai đờng trung tuyến tơng ứng Suy AN = BN Trong tam giác cân ANB có NM đờng trung tuyến suy MN vuông góc với cạnh AB Chứng minh tơng tự ta có MN vuông góc với cạnh CD Suy đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện vuông góc với hai cạnh (2 điểm) 0,5 0.5 0.5 A1 B’ O B x A C’ C y A2 Gọi A1 A2 lần lợt điểm đối xứng A qua Ox Oy 0.5 Nối A1A2 cắt Ox Oy B C Ta có AB + BC + CA = A1B + BC + A2C 0.5 = A1A2 Gọi B C hai điểm tia 0.5 Ox Oy Ta có: AB’+B’C’+ C’A = A1B’ + B’C’ + A2C’ Mµ A1B’ + B’C’ + A2C’ A1A2 DÊu b»ng s¶y B B C C 0.5 Từ ta suy cách xác định vị trí hai điểm B C Chú ý: Mọi cách giải khác mà có két dợc cho điểm tối đa ...Họ tên: SBD: Híng dÉn chÊm thi hsg líp 11 Câu 1a (2 điểm) Nội dung Ta c? ?: f(x) = - sin22x = 0,5 Suy Max f(x) = Min f(x) = Cos4x = cos4x = -1 1b Hàm số có tập xác định l? ?: R (2 điểm)... s cng Theo định lý Cosin tam gi¸c : 1,0 0,25 0,5 Do 0,25 Tương tự 0,25 Do : Sè cách để lấy cầu từ 18 cầu l? ?: cách (2 điểm) Số cách để lấy cầu đỏ từ cầu đỏ l? ?: cách 0,5 0,25 0,25 0,5 0.5 Số cách... trắng từ 10 cầu trằng l? ?: cách 0,5 Số cách để lấy cầu đỏ cầu trắng l? ?: cách 0,25 Xác xuất để lấy cầu có cầu đỏ l? ?: Ta có (2 n!Sn = ®iĨm) 0,5 = 0,5 = 0,5 0,25 = 2n - Suy Ta c? ?: (2 ®iĨm) 0,25 0.5