Đang tải... (xem toàn văn)
Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các hình vẽ và đồ thị MỞ ĐẦU 1 1 CÁC ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ 3 1 1 Đồ thị, đồ thị con, bậc của đỉnh 3 1 2 Đường, chu trình 6 1 3 Liên thông và thàn[.]
Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục hình vẽ đồ thị MỞ ĐẦU 1 CÁC ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ 1.1 Đồ thị, đồ thị con, bậc đỉnh 1.2 Đường, chu trình 1.3 Liên thông thành phần liên thông 1.4 Mật độ, hệ số phân cụm tỷ lệ bắc cầu CÁC ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ LUỒNG VÀ MỐI QUAN HỆ VỚI ĐỒ THỊ 12 2.1 Định nghĩa đồ thị luồng luồng liên kết 13 2.2 Mở rộng khái niệm đỉnh cạnh 17 2.3 Đồ thị luồng 19 2.4 Hàng xóm bậc 20 2.5 Đường, chu trình đồ thị luồng 21 2.6 Liên thông thành phần liên thông 24 2.7 Mật độ, hệ số phân cụm tỷ lệ bắc cầu 29 MỘT SỐ TÍNH TỐN TRÊN ĐỒ THỊ LUỒNG VÀ LUỒNG LIÊN KẾT 33 3.1 Tìm clique cực đại luồng liên kết 33 3.1.1 Clique thuật tốn tìm clique cực đại đồ thị 34 3.1.2 Clique thuật tốn tìm ∆-clique cực đại luồng liên kết 36 3.2 Tìm đường ngắn đường nhanh đồ thị luồng 42 3.2.1 Thuật tốn tìm đường ngắn 42 3.2.2 Thuật tốn tìm đường nhanh 46 KẾT LUẬN CHUNG 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ Số hiệu hình vẽ Tên hình vẽ Trang 1.1 Ví dụ đơn đồ thị vơ hướng 1.2 Ví dụ đầy đủ K4 1.3 Ví dụ đồ thị cảm sinh 1.4 Ví dụ hàng xóm bậc đỉnh 1.5 Ví dụ đường chu trình 1.6 Ví dụ thành phần liên thơng K4 1.7 Ví dụ liên thơng đồ thị có hướng 2.1 Ví dụ đồ thị luồng 15 2.2 Ví dụ luồng liên kết 16 2.3 Mối quan hệ đồ thị luồng liên kết 17 2.4 Ví dụ đồ thị luồng cảm sinh 21 2.5 Ví dụ đường đồ thị luồng 22 2.6 Ví dụ đồ thị luồng khơng liên thơng yếu 25 2.7 Ví dụ đồ thị luồng khơng liên thơng 26 mạnh 2.8 Ví dụ cluster liên thông mạnh cực đại 27 2.9 Ví dụ thành phần liên thơng đồ thị 28 luồng 3.1 Ví dụ clique đồ thị 3.2 Mơ tả thuật tốn liệt kê clique cực đại 36 đồ thị ví dụ 3.1.1 34 3.3 Ví dụ clique cực đại đồ thị 37 luồng 3.4 Ví dụ ∆-clique luồng liên kết 3.5 Mơ thuật tốn liệt kê 4-clique 41 37,38 luồng liên kết ví dụ 3.1.5 3.6 Mơ thuật tốn liệt kê 4-clique 42 luồng liên kết ví dụ 3.1.5 3.7 Mơ thuật tốn tìm đường ngắn 46 đồ thị luồng hình 2.5 3.8 Mơ thuật tốn tìm đường ngắn 48 đồ thị luồng hình 2.5 MỞ ĐẦU Ngày nay, với phát triển mạnh mẽ khoa học công nghệ, lý thuyết đồ thị áp dụng rộng rãi để giải nhiều toán thực tế Việc sử dụng đồ thị, đồ thị cực lớn lại phát triển sâu rộng, đặc biệt việc biểu diễn mạng xã hội, mạng liên kết Tiếp theo nghiên cứu đó, việc nghiên cứu mạng liên kết có thay đổi theo thời gian đặt thách thức Cấu trúc đồ thị khơng cịn hồn tồn phù hợp nữa, chưa biểu yếu tố thời gian Nhiều nhà khoa học cố gắng tìm mơ hình đồ thị phù hợp để thỏa mãn hai yếu tố Luận văn tìm hiểu mơ hình đồ thị luồng thỏa mãn hai yếu tố liên kết thời gian, đề xuất nhóm nghiên cứu Matthieu Latapy, Tiphaine Viard, Clémence Magnien [2] đại học Paris Trong luận văn này, tập trung trình bày chi tiết mơ hình đồ thị luồng, luồng liên kết rõ mối quan hệ với đồ thị Sau đó, chúng tơi tìm hiểu thuật toán liệt kê clique cực đại luồng liên kết đề xuất thuật tốn tìm đường ngắn nhất, đường nhanh đồ thị luồng Luận văn chia làm ba chương sau: Chương 1: Các định nghĩa đồ thị Trong chương này, chúng tơi trình bày lại số khái niệm đồ thị Chương 2: Các định nghĩa đồ thị luồng mối quan hệ với đồ thị Ở phần này, chúng tơi trình bày chi tiết mơ hình đồ thị luồng luồng liên kết, tự xây dựng ví dụ giải thích cụ thể cho khái niệm, mối quan hệ ba khái niệm: đồ thị luồng, luồng liên kết đồ thị Chương 3: Một số tính tốn đồ thị luồng luồng liên kết Trong chương này, chúng tơi trình bày lại thuật tốn tìm clique cực đại luồng liên kết, sau đề xuất cải tiến nhỏ cho thuật toán Cuối chúng tơi đề xuất thuật tốn tìm đường nhanh đường ngắn đồ thị luồng Trong trình nghiên cứu luận văn, thân cố gắng nhiên khó tránh khỏi thiếu sót, hạn chế Rất mong nhận góp ý q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện CHƯƠNG CÁC ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức đồ thị Các khái niệm trích dẫn từ tài liệu [1], [3] 1.1 Đồ thị, đồ thị con, bậc đỉnh Định nghĩa 1.1.1 Đồ thị vơ hướng G cặp khơng có thứ tự G := (V, E), đó: • V tập hữu hạn nút (đỉnh) • E ⊆ V ⊗ V , tập cặp khơng có thứ tự chứa đỉnh phân biệt nối với nhau, gọi cạnh Hai đỉnh thuộc cạnh gọi đỉnh đầu đỉnh cuối cạnh đó: cạnh e = uv có đỉnh đầu u đỉnh cuối v Khi hai đỉnh u v kề hàng xóm Ta nói "u kề với v " Một cạnh đồ thị có đỉnh đầu đỉnh cuối trùng gọi khuyên Các cạnh trùng điểm đầu điểm cuối gọi cạnh bội Định nghĩa 1.1.2 Đồ thị đơn vô hướng đồ thị khơng có khun khơng có cạnh bội Hình 1.1: Đồ thị đơn vơ hướng Trong luận văn này, chúng tơi dùng số kí hiệu sau đây: • "G = (V, E)" đồ thị G (nếu khơng nói thêm) nghĩa đồ thị đơn vơ hướng G = (V, E) • V (G) hay V tập đỉnh đồ thị G • E(G) hay E tập cạnh đồ thị G • n = |V | số đỉnh G, m = |E| số cạnh G Định nghĩa 1.1.3 Đồ thị G = (V, E) gọi đồ thị đầy đủ cặp đỉnh phân biệt V nối với cạnh Với số nguyên dương n, đồ thị đầy đủ n đỉnh kí hiệu Kn Hình 1.2: Đồ thị đầy đủ K4 Định nghĩa 1.1.4 Một đồ thị G0 = (V , E ) đồ thị G = (V, E) V ⊆ V E ⊆ E Hơn nữa, V = V đồ thị đồ thị bao trùm G Kí hiệu: G0 ⊆ G Định nghĩa 1.1.5 Một cluster C G tập V Tập liên kết đỉnh C E (C) = {uv ∈ E |u ∈ C, v ∈ C } Khi đó, đồ thị G(C) = (C, E(C)) gọi đồ thị cảm sinh tập đỉnh C , nghĩa đồ thị G(C) chứa tập đỉnh C tất các cạnh E mà có hai đầu mút đỉnh thuộc C , gọi G(C) đồ thị cảm sinh G tập đỉnh C Hình 1.3: Đồ thị G(C) cảm sinh tập đỉnh {a, b, d, f } Định nghĩa 1.1.6 Trong đồ thị G = (V, E), hàng xóm N (u) đỉnh u ∈ V tập đỉnh liên kết với u N (u) = {v ∈ V, ∃(u, v) ∈ E} Định nghĩa 1.1.7 Bậc d(u)(dG (u)) đỉnh u đồ thị G số hàng xóm u d (u) = |N (u)| P Trung bình bậc G d (G) = d(u) u∈V n Định lý 1.1.1 Cho đồ thị đơn vô hướng G = (V, E), P u∈V d(u) = |E| Hình 1.4: N (a) = {b, f, d} Bậc a: d(a) = 1.2 Đường, chu trình Định nghĩa 1.2.1 Cho đồ thị G = (V, E), đường từ u ∈ V đến v ∈ V G dãy (u0 , v0 ) , (u1 , v1 ) , , (uk−1 , vk−1 ) , (uk , vk ) thuộc V × V cho u0 = u, vk = v , với i, ui = vi−1 ui vi ∈ E Khi u0 gọi đỉnh đầu, vk gọi đỉnh cuối Độ dài đường số cạnh đường k Nếu tồn đường P từ u đến v G ta nói v với tới u, kí hiệu: u − v Và đường P có tính đối xứng: u − v v − u Định nghĩa 1.2.2 Một đường Q P dãy (ui , vi ) , (ui+1 , vi+1 ) , , (uj , vj ) dãy định nghĩa đường P với j ≥ i Khi Q đường từ ui đến uj Một đường P chu trình k > u = v , nghĩa đỉnh đầu đỉnh cuối trùng Đường P đường đơn đường P khơng có đường chu trình Đường P chu trình đơn đường P chu trình khơng có đường chu trình Đồ thị G acyclic khơng có chu trình ... thơng đồ thị có hướng 2.1 Ví dụ đồ thị luồng 15 2.2 Ví dụ luồng liên kết 16 2.3 Mối quan hệ đồ thị luồng liên kết 17 2.4 Ví dụ đồ thị luồng cảm sinh 21 2.5 Ví dụ đường đồ thị luồng 22 2.6 Ví dụ đồ. .. đường nhanh đồ thị luồng Luận văn chia làm ba chương sau: Chương 1: Các định nghĩa đồ thị Trong chương này, chúng tơi trình bày lại số khái niệm đồ thị Chương 2: Các định nghĩa đồ thị luồng mối... ràng Chúng tơi phân tích giống khác đồ thị đồ thị luồng qua hình vẽ cụ thể, từ thấy mối quan hệ hai khái niệm đồ thị đồ thị luồng 2.1 Định nghĩa đồ thị luồng luồng liên kết Trước hết, viết tường