Luận văn chuyển pha lượng tử siêu chảy điện môi mott trên mô hình bose hubbard trong gần đúng bogoliubov

MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài………………………………………………………… Đối tượng nghiên cứu .………………………………………………….1 Mục đích phương pháp nghiên cứu…………………………………… Cấu trúc luận văn CHƯƠNG 1: CHUYỂN PHA NHIỆT ĐỘNG HỌC VÀ CHUYỂN PHA LƯỢNG TỬ 1.1 Các khái niệm chung chuyển pha 1.2 Thí dụ chuyển pha nhiệt động học: ngưng tụ Bose Einstein siêu chảy 1.3 Chuyển pha lượng tử 1.4 Mô hình Hubbard CHƯƠNG 2: CÁC PHA TRONG HỆ NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA SIÊU LẠNH TRONG MẠNG QUANG HỌC 2.1 Khái niệm mạng quang học nguyên tử trung hòa 2.2 Ngưng tụ Bose – Einstein siêu chảy mạng quang học 2.3 Pha siêu tinh thể mạng quang học 2.4 Chuyển pha siêu chảy – điện môi Mott CHƯƠNG 3: CHUYỂN PHA LƯỢNG TỬ SIÊU CHẢY- ĐIỆN MÔI MOTT TRONG GẦN ĐÚNG BOGOLIUBOV 3.1 Gần Bogoliubov 3.2 Chéo hóa Bogoliubov 3.3 Chuyển pha siêu chảy – điện môi Mott gần Bogoliubov KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Các tượng chuyển pha đồng tồn pha vấn đề thu hút quan tâm nhà khoa học hai lí Về mặt vật lý, tượng nhiều vấn đề bỏ ngỏ cần làm rõ Về mặt thực tiễn, hiệu ứng chuyển pha sở cho việc chế tạo vật liệu thông minh tác động nhỏ mơi trường làm thay đổi cách đáng kể tính chất vật liệu Trong thời gian gần đây, chuyển pha hệ nguyên tử siêu lạnh trở thành hướng nghiên cứu nóng, thu hút quan tâm nhà nghiên cứu nhiều lĩnh vực, đặc biệt nhà vật lý [1,3,4], đặc biệt sau phát thực nghiệm tượng ngưng tụ Bose-Einstein [5,6,7] năm 1995 nhà khoa học E.A.Cornell, C.E.Wieman, W Keterle mà sau giải thưởng Nobel vào năm 2001 Hệ nguyên tử siêu lạnh mạng quang học hấp dẫn nhà nghiên cứu tồn đa dạng pha khác Trước hết ngun tử trung hịa cư trú nút mạng cấu trúc tuần hòa Các ngun tử trung hịa nhiệt độ thấp ngưng tụ cách vĩ mô trạng thái (hiện tượng BEC bẫy) Do cấu trúc tuần hoàn mạng khả xuyên ngầm, nguyên tử vừa nhảy từ nút sang nút giả hạt Bloch [8,9] Ở nhiệt độ thấp giả hạt boson nên dịch chuyển khơng ma sát tức trạng thái siêu chảy Đồng thời tương tác nút, áp đảo động chúng định xứ Như vậy, hệ nguyên tử siêu lạnh mạng quang học pha siêu chảy chúng linh động, pha định xứ [10], tương tự electron pha kim loại, pha điện môi Mott vật liệu đất hay kim loại chuyển tiếp [1,11] Hệ điện tử gọi hệ điện tử tương quan mạnh mô tả mô hinh Hubbard [1,2,11] Trong mạng quang học nguyên tử trung hòa mô tả Hamiltonian Bose - Hubbard thay chuyển pha kim loại điện mơi- Mott [11] chuyển pha siêu chảyđiện môi Mott [9,12,13] (Thực siêu chảy- định xứ, để tương ứng với elctron người ta gọi điện môi Mott cho dù pha siêu chảy hệ ngun tử trung hịa điện mơi) Với mục đích tìm hiểu vấn đề lý thú này, chọn đề tài luận văn : Chuyển pha lượng tử siêu chảy- điện môi Mott mơ hình Bose-Hubbard gần Bogoliubov 2.Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu hệ nguyên tử siêu lạnh mạng quang học mô tả mơ hình Bose – Hubbard Nghiên cứu tượng chuyển pha siêu chảy - điện môi Mott gần Bogoliubov 3.Mục đích phương pháp nghiên cứu Đề tài đặt mục tiêu sau đây: Thu thập lọc lựa tài liệu chuyển pha nhiệt động học chuyển pha lượng tử, pha hệ nguyên tử trung hòa siêu lạnh, đặc biệt chuyển pha siêu chảy - điện môi Mott Thực số tính tốn giải tích nghiên cứu chuyển pha siêu chảy - điện môi Mott dựa gần Bogoliubov thay số hạng tương tác chứa bốn toán tử số hạng chứa hai toán tử Phương pháp tính tốn sử dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử áp dụng cho hệ nhiều hạt mà học chương trình cao học [3] Qua việc hồn thành đề tài luận văn, tơi rèn luyện kỹ tiếp cận vấn đề mới, mở rộng tầm hiểu biết vấn đề đại, học số phương pháp tiếp cận đại vật lý lý thuyết áp dụng toán cụ thể Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn sau: Chương 1: Chuyển pha nhiệt động học chuyển pha lượng tử Chương 2: Các pha hệ nguyên tử trung hòa siêu lạnh mạng quang học Chương 3: Chuyển pha lượng tử siêu chảy - điện môi Mott gần Bogoliubov Chương I : Chuyển pha nhiệt động học chuyển pha lượng tử 1.1 Các khái niệm chung chuyển pha 1.1.1 Khái niệm pha [14]: Pha nhiệt động học vật lý thống kê định nghĩa trạng thái hệ đồng Thí dụ ta thêm muối vào bát nước ta ngoáy đều, ban đầu ta có hệ đồng nhất nước muối Sau nước muối bão hòa ta có hai hệ đồng bát cịn gọi hai pha: nước muối muối tinh thể đáy Trong thí dụ ta thay đổi tỷ lệ muối nước để thay đổi pha Dưới ta xét chuyển pha thay đổi biến nhiệt động học hệ nhiệt đọ T, áp suất P, thể tích V trường ngồi điện trường, từ trường Thí dụ ta xét hệ có thành phần hóa học cố định phân tử nước H2O Nước tùy thuộc nhiệt độ tồn ba trạng thái đồng tức ba pha khác nhau: khí, lỏng, rắn Các trạng thái khác khối lượng riêng, nhiệt dung, tính chất quang học Nếu ta tăng áp suất lên trạng thái rắn nước ta thu vài pha rắn khác với cấu trúc tinh thể khác Một cách tổng quát, môt hệ rắn lỏng tồn vài cách xếp nguyên tử phân tử tương ứng với pha khác Chuyển pha tượng quan sát từ lâu tự nhiên (thí dụ giọt nước mây), sống thường ngày thuật ( thí dụ q trình bốc nước 100% động nước, q trình chuyển pha rắn - lỏng cơng nghiệp luyện kim chuyển pha phổ biến nhiệt độ thay đổi gọi chuyển pha nhiệt động nhiệt độ mà có thay đổi trạng thái đồng hệ gọi nhiệt độ chuyển pha ký hiệu Tc Chuyển pha kèm theo nhiệt ẩn: hệ thu nhiệt hay tỏa nhiệt q trình chuyển pha, có chuyển pha khơng kèm theo nhiệt ẩn Tại điểm chuyển pha đại lượng vật lý đặc trưng cho tính chất đặc trưng cho pha thay đổi cách gián đoạn, thay đổi cách liên tục Người ta mơ tả cách dễ hiểu pha giản đồ pha hai trục x, y biến nhiệt động học thí dụ áp suất P nhiệt độ T Các đường cong mặt phẳng (P, T) mô tả biên phân biệt pha Ta xét ví dụ cụ thể điều nêu với hệ phân tử nước H2O Ta xét khối lượng riêng  (T) hàm nhiệt độ T Nếu nhiệt độ tăng giữ áp suất không đổi atmosphere (đường đứt nét hình 1.1) ban đầu thể rắn, chuyển sang pha lỏng T=00 C với khối lượng riêng ~ 1g/cm3 T đạt 100o C pha với mật độ cỡ 0,001g/cm3, tức mật độ thay đổi gián đoạn đồng thời thay đổi áp suất P nhiệt độ T, hệ tồn hai trạng thái khác dọc theo đường biên AB Tc=3740C, Pc= 220 atm cịn pha tồn Tại điểm P khối lượng riêng thay đổi cách liên tục có hệ số giãn nở nhiệt đạo hàm bậc hệ nhiệt động thay đổi cách liên tục H1.1 Giản đồ pha hệ phân tử H20) Một thí dụ khác chuyển pha thuận từ - sắt từ số vật liệu từ chứa sắt nhiệt độ xuống thấp nhiệt độ Tc cho vật liệu hệ từ chỗ có độ từ hóa (thuận từ) chuyển sang trạng thái có độ từ hóa ≠0 (sắt từ) cho dù khơng có trường ngồi Chuyển pha sắt từ - thuận từ thay đổi thành phần hóa học vật liệu hay thay đổi nồng độ hạt mà tái định hướng momen từ nguyên tử sắt Hai thí dụ chuyển pha gắn với thay đổi khơng gian thực cịn có N ⃗ chuyển pha xảy không gian xung lượng, thường gọi không gian 𝑘 (mặc dù đặc tính quan sát khơng gian thực) chuyển pha siêu chảy – chất lỏng thông thường He lỏng Tc= 2,2 K, hay ngưng tụ Bose – Einstein hệ nguyên tử trung hòa bẫy Tc ≈ 10−7 𝐾 mà ta xét cụ thể sau 1.1.2 Phân loại chuyển pha động học 1.1.2.1 Phân loại kiểu nhiệt động học Ehrenfest [14,15] Để mô tả chuyển pha ta phải sử dụng nhiệt động học vật lý thống kê hệ nhiều hạt nhiệt động học trạng thái hệ đặc trưng lượng đặc trưng có Nếu hệ xác xác đinh biến nhiệt động học (P,T,V) lượng đặc trưng nhiệt động Một phần lượng tự lượng hệ T = K phần phụ thuộc entropy nhiệt độ Nếu biến độc lập P T thể nhiệt động lượng tự Gibbs G=E - T S+ PV , biến độc lập T V nhiệt động lượng tự Helmoltz F=E- TS Vi phân của thể nhiệt động dG  SdT  VdP dF  SdT  PdV (1.1) ⃗ ta thêm vào (1.1) số hạng MdH có từ trường ngồi 𝐻 ⃗⃗ moment từ số hạt hệ thay đổi ta thêm vào 𝜇 dN, 𝑀 𝜇 hóa học Năm 1933 Ehrenfest đề xuất phân loại chuyển pha dựa hệ nhiệt động học hệ sau: i) Chuyển pha bậc đại lượng mật độ, entropy … liên quan tới đạo hàm bậc nhiệt động học gián đoạn điểm chuyển pha:  G   G  S    , V   T P  P T (1.2) Như chuyển pha bậc chuyển pha kèm theo nhiệt ẩn nhiệt ẩn liên quan tới tính gián đoạn entropy, thí dụ chuyển pha lỏng khí đoạn AB hình 1.1 ta thấy chuyển pha có kèm theo nhiệt ẩn mật độ hạt thay đổi đổi gián đoạn ii) Chuyển pha bậc chuyển pha nhiệt động đạo hàm bậc chúng liên tục, đạo hàm bậc theo biến trạng thái tiến tới hay tiến tới vô điểm chuyển pha Ta xet:   2G   S        T   T  T   Cp   2G   V  kTV    c       p   p T  T (1.3) CP nhiệt dung đẳng áp, KT hệ số nén đẳng nhiệt Thí dụ đại lượng tiến tới vơ chuyển pha lỏng-khí điểm B TC= 217K chuyển pha siêu chảy Helium Chuyển pha bậc hai không kèm theo nhiệt ẩn entropy liên tục Phân loại chuyển pha Ehrenfest mở rộng cho chuyển pha bậc n cao nhiệt động học đạo hàm tới bậc n-1 liên tục, đạo hàm bậc n liên tục gián đoạn Các phân loại Ehrenfest thuận lợi, chưa đầy đủ cho số loại chuyển pha,thí dụ chuyển pha T=0K.Vì theo Landau đề xuất cách phân loại khác dựa vào khái niệm tham số trật tự 1.1.2.2 Phân loại theo Landau [14] Năm 1937 Landau ý chuyển pha không kèm theo tỏa thu nhiệt ln kèm theo thay đổi tính chất đối xứng hệ, ngoại trừ chuyển pha khí lỏng điểm B hình 1.1 Thí dụ xét chuyển pha thuận từ - sắt từ nhiệt độ lớn nhiệt độ T > TC moment từ có hướng lộn xộn độ từ hóa vật liệu Hệ moment từ có đối xứng đẳng hướng Khi T≤ TC moment từ theo hướng Như tính chất đối xứng quay xung quanh trục không gian pha thuận từ bị phá vỡ khơng có tác dụng từ trường gọi phá vỡ đối xứng tự phát Ở pha sắt từ đối xứng quanh trục giảm xuống đối xứng quay quanh trục trùng với hướng moment từ tự phát Landau đưa vào khái niệm tham số trật tự liên quan tới phá vỡ đối xứng tự phát Nói chung tham số trật tự đại lượng vật lý pha đối xứng cao khác pha trật tự (đối xứng thấp hơn) Cho chuyển pha sắt từ - thuận từ tham số trật tự độ từ hóa tự phát, cịn chuyển pha sắt điện – thuận điện tham số trật tự độ phân cực điện tự phát hệ Như sử dụng khái niệm tham số trật tự ta phân loại chuyển pha theo Landau sau: i) Chuyển pha mà khơng có tham số trật tự nghĩa (tức đại lượng vật lý liên quan trực tiếp với tính đối xứng hệ) gọi chuyển pha bậc giống phân loại Ehrenfest ii) Chuyển pha xác định tham số trật tự gắn liền với tính đối xứng hệ: nhóm đối xứng pha trật tự nhóm nhóm đối xứng hệ pha trật tự Nếu tham số trật tự thay đổi cách gián đoạn điểm chuyển pha chuyển pha gọi khơng liên tục, cịn liên tục cịn gọi chuyển pha liên tục 1.1.3 Trật tự tầm gần tầm xa, trật tự chéo không chéo [4] 1.1.3.1 Khái niệm trật tự tầm xa chéo (Diogonal Long Range Order - DLRO) [24] Trước hết xét không gian tọa độ liên tục Gọi  toán tử trường (hủy sinh hạt r ) Tùy theo hệ boson hay fermion mà thỏa mãn hệ thức giao hoán hay phản giao hoán Ma trận mật độ hạt hệ định nghĩa sau: (1.4) Trong < > lấy u bình nhiệt động học (khi N, V   N/V  hữu hạn không đổi, N số hạt, V thể tích) Trung bình tốn tử Aˆ tương ứng với đại lượng vật lý A định nghĩa ˆ  Tr ˆ A ˆ A (1.5) ˆ ma trận mật độ ứng với Hamiltonian cho (1.4) gọi ma   trận coi r r’ hai số n(1) (r , r ' ) yếu tố ma trận ma trận nij (∞∞), số i, j nij biến liên tục        Nếu r  r ' ma trận mật độ hạt n(1) (r , r ' )  n(r , r )  n(r ) gọi mật độ  chéo hay phân bố hạt Nếu n(r ) thỏa mãn: n(r  a  )  n(r) (1.6)  a vecto bất kỳ, khác khơng, người ta nói hệ có trật tự tầm xa chéo Ta thấy pha tinh thể vật liệu hệ có trật tự tầm xa chéo Pha  lỏng mật độ hạt n(r ) toàn chất lỏng, nên không phá vỡ đối xứng tịnh tiến DLRO, có trật tự tầm gần, cịn pha khí khơng có trật tự Xét hệ hạt phân bố sẵn mạng xác định vecto sở   nút  mạng Ri Mật độ hạt n(r ) phụ thuộc Ri tức n(r ) = n( ) Hệ gọi có trật tự tầm xa chéo, nếu:    n Ri  C  n( Ri )    (i  1, N ) với điều kiện C không trùng với vectơ sở (1.7)  mạng Ri 1.1.3.2 Khái niệm trật tự tầm xa không chéo (Off Diogonal Long Range Order – ODLRO) [4] Ma trận mật độ hạt định nghĩa theo (1.4) thỏa mãn n(1)(r,r’)  no0 |r-r’|  ∞ ta nói hệ có trật tự tầm xa không chéo Ý nghĩa ODLRO có mặt hạt r ' tương quan với có mặt hạt r Mở rộng cho trường hợp hạt phân bố mạng,   n ij(1)  aˆ i aˆ j  n o  độ lớn Ri  R j   nói hệ hạt mạng có trật tự tầm xa khơng chéo (ODLRO) Các pha BEC siêu chảy pha có trật tự tầm xa chéo 1.2 Thí dụ chuyển pha nhiệt động học: ngưng tụ Bose Einstein siêu chảy 1.2.1 Ngưng tụ Bose-Einstein khí boson lý tưởng [3,4,8] Ngưng tự Bose –Einstein (Bose-Einstein Condensation: BEC) hệ boson nhiệt độ thấp có số lớn (gọi lớn vĩ mơ) boson trạng thái lượng tử với mức lượng nhỏ Ta cần ý trạng thái lượng tử ngưng tụ vùng khơng gian, bẫy tập trung vùng không gian nhỏ Ta giới hạn hệ boson không tương tác, tự không gian Xét hệ hạt boson lý tưởng không tương tác, Hamiltonian tổng Hamiltonian độc lập hạt ˆ  H ˆ (1) H i (1.8) i Các vecto riêng k lúc tập hợp ni  số lấp đầy ni trạng thái hạt i Tổng thống kê hệ boson không tương tác  Z  ,      e     i   1 (1.9) i Tổng số hạt hệ : N  i   ni (1.10) exp  i     i ni số hạt trung bình (số lấp đầy trung bình trạng thái i) ni    ln Z  exp   ( i   )   1  i 1 (1.11) Vế phải (2.16) hàm phân bố Bose-Einstein quen thuộc Từ (2.16) suy điều kiện ràng buộc quan trọng cho thể hóa học hệ boson lý tưởng:  < o với o mức lượng thấp Hamiltonian hạt H(1), không, số lấp đầy âm Khi  < o- (tiến từ phía dưới) số lấp đầy trạng thái thấp lớn No  no  exp ( o   )  1 1 (1.12) Nhưng No khơng thể vơ cịn điều kiện (1.10) N = No + NT NT  NT T,    ni T ,   với (1.13) (1.14) i o Các công thức (2.17) (2.19) chất tượng ngưng tụ Bose Einstein (Bose Einstein Condensation - BEC) No số hạt ngưng tụ cịn NT số hạt ngồi ngưng tụ Khi T tăng, NC tăng, nhiệt độ TC xác định từ điều kiện: N T  TC ,   0   N (1.15) gọi điều kiện tới hạn ngưng tụ BE Ý nghĩa là: T < TC NC < N, No = N – NT > có độ lớn vĩ mơ (cùng bậc với N), cịn số hạt mức khác bậc đơn vị ~1 Người ta dùng khái niệm khí để mơ tả hệ lỗng (delute) khơng có tương tác Trong mơ hình hình hộp ba cạnh có độ dài L; thể tích V = L3, hàm riêng Hamiltonian sóng phẳng: p  Và lượng    ip r /  e V p2  2  n với ; xung lượng p  2m L   n  nx , ny , nz  0,  1,  2, Từ (2.19) ta có số hạt ngưng tụ: (1.16) Gọi a1 a 2 toán tử sinh nguyên tử hố 2, a1,a toán tử hủy hạt tương ứng n 1, n toán tử số hạt hố Hamiltonian (2.9) lúc có dạng   H   t aˆ 2 aˆ1  aˆ a1  U nˆ  nˆ  1 nˆ  nˆ  1 2 (2.22) Ta đặt   lương nguyên tử hai hố 1  2 Với nguyên tử hai hố ta có ba trạng thái sau viết biểu diễn Fock n , n | 2,0  a1 a1 | 0    |1,1  a1 a | 0     0,  a a | 0 (2.23) Trong hệ sở (2.23) , yếu tố ma trận Hamiltion (2.22) tính ì ï ï ï ï ï ïï í ï ï ï ï ï ï ïỵ á2,0 | H | 2,0ñ = U á2,0 | H |1,1ñ = -t á2,0 | H | 0,2ñ = á11| H | 2,0ñ = -t á11| H |11ñ = (2.24) á11| H | 0,2ñ = -t á02 | H | 0,2ñ = á02 | H | 0,1ñ = -t á02 | H | 02ñ = U Viết dang ma trận ta có  U  H   t    Trị riêng (2.25) tính từ cơng thức 25 t  2t    2t    (2.25)  0  det   t    t   2t    2t      Từ (2.26) ta có trị riêng nhỏ nhất, ứng với lượng trạng (2.26) thái u v Eg = - 4t + (2.27) Từ (2.27) (2.25) ta tìm hàm riêng tương ứng với trạng thái 0 2  U U     N[ 2,0  0,2    2   1,1 ]  2t  2t    (2.28) Trong N hệ số chuẩn hóa Ta có tranh sau Ta xét giới hạn, ý t > i) Nếu U < U   t 0  (| 2,0 | 0,2 ) (2.29) Công thức (2.29) phù hợp với ý nghĩa vật lý hút hạt tập trung hố Tuy nhiên trường hợp hút khơng phù hợp với trường hợp nguyên tử trung hòa ii) Thế nguyên tử đẩy U>0 nhỏ nhiều so với động U/t ~ Từ (2.28) ta có 1 0  | 2,0  | 2,0  |1,1 2 (2.30) Hàm sóng (2.30) cho thấy hạt linh động nguyên tử thăng giáng từ hố sang ngược lại dễ dàng iii) Trường hợp động nhỏ nhiều so với đầy U   t Từ (2.28) ta suy 0 |1,1 26 (2.31) Đây trạng thái định xứ Vì nhảy nút sang nút khác 1,1  0,2 hay 1,1  2,0 trả giá lượng U Thí dụ với hạt hai nút tranh giản lược tượng chuyển pha siêu chảy - điện môi Mott Thí dụ tương tự mơ hình điện tử hai nút toán chuyển pha kim loại-điện mơi Ta so sánh giống khác chuyển pha siêu chảy - điện môi Mott kim loại - điện môi cách định tính, dựa vào mơ hình hai nút i) ii) iii) Chuyển pha kim loại-điện môi hệ điện tử lấp đầy nửa tức nút có electron Khi hệ lấp đầy nửa (nhưng khác không) nửa (nhưng khơng lấp đầy hồn tồn n  ) ln kim loại nhảy từ nút sang nút trả giá tăng Với chuyển pha siêu chảy – điện môi xảy hệ lấp đầy số ngun : n=1,2,3 .Cịn lấp đầy khơng ngun ln có khả nhảy nút sang nút khác mà không thiệt lượng Điều thứ hai chuyển pha kim loại –điện môi siêu chảy-điện môi xảy tỷ số U/t tăng dần đạt giá trị tới hạn Điều dẫn tới ta khơng thể áp dụng lý thuyết nhiễu loạn thơng thường, người ta áp dụng nhiều gần khác để tìm tỷ số U/t giới hạn Trong chuyển pha kim loại – điện mơi có giá trị tới hạn hệ có trường hợp lấp đầy có chuyển pha Đó trường hợp lấp đầy nửa Ngược lại, chuyển pha siêu chảy điện môi xảy lấp đầy số nguyên nên (U/t) tới hạn phụ thuộc số lấp đầy Cùng U số lấp đầy n lớn nút tổng cộng lớn Vì ta chờ đợi tỷ số U/t tới hạn giảm n tăng Trong chương ta thử xét chuyển pha siêu chảy –điện môi phép gần đúng, gần Bogoliubov 27 Chương 3: Chuyển pha lượng tử siêu chảy - điện môi Mott gần Bogoliubov Trong chương khảo sát liệu có chuyển pha siêu chảy - điện mơi Mott gần thường áp dụng lý thuyết BEC - gần Bogoliubov Điểm xuất phát Hamiltonian Bose – Hubbard miêu tả hệ nguyên tử siêu lạnh trung hịa mạng quang học nói trên: H   t  aˆ iaˆ j   nˆ i   ij i U  nˆ i  nˆ i  1 i (3.1) Các ký hiệu giải thích sau cơng thức (2.9) Để cụ thể ta giới hạn mơ hình gần sau: i) ii) iii) iv) Chỉ có nhảy nút nút lân cận gần với tham số nhảy nút t Mạng quang học có cấu trúc kiểu lập phương d - chiều với kích thước ô sở a coi a=1 (dây chiều, mạng hình vng, mạng lập phương) Tuy mối liên hệ siêu chảy BEC chưa rõ ràng, xét mạng quang học ta coi siêu chảy hệ trực tiếp BEC Cụ thể nhiệt độ siêu thấp, nguyên tử ngưng tụ hạt siêu chảy Vì ta coi cách gần mật độ hạt ngưng tụ no tham số trật tự pha siêu chảy Ta xét số lấp đầy nguyên tử nút số nguyên với lý tương tự mơ hình Hubbard cho hệ điện tử tương quan mạnh Cụ thể chuyển pha kim loại - điện mơi Mott có ý nghĩa xét hệ lấp đầy nửa Trong trường hợp nguyên tử mạng quang học Khi nút lớn nhiều động nguyên tử, hệ lấp đầy số nguyên trình nguyên tử nhảy từ nút mạng sang nút mạng bị cấm khơng lợi mặt lượng kết hệ định xứ Trong trường hợp số lấp đầy không ngun q trình nhẩy nút ln xẩy khơng thể có trạng thái định xứ kiểu điện môi Mott Cũng giống hệ điện tử tương quan mạnh mơ tả mơ hình Hubbard, số hạng chứa U không nhỏ so với số hạng chứa t nên coi U nhiễu loạn Ngược lại, dù t trung bình nhiệt động học lấy theo Hamiltonian (3.21) ⃗⃗⃗ (3.25) số hạng với 𝑘 ⃗⃗⃗ = ứng với trạng thái Ta tách riêng tổng theo 𝑘 ⃗⃗⃗ ≠ ta sử dụng (3.13) để biểu BEC thay a 0 a  N , số hạng với 𝑘 diễn qua b k , b k Ta thu n  n0    u  v2  k k Ns k    bkbk  v k2   (3.26) Vì trung bình b k , b k lấy theo Hamiltonian (3.21), mà (3.21) có dạng chéo theo b k , b k nên b k , b k hàm phân bố Bose b k b k  k e 1 Thay giá trị uk vk từ (3.19) (3.27) vào (3.26) ta có 33 (3.27)    z t   k  Un o  w k  z1   k  u n n  n0    NS k   2w k     w    w k  e k  1                (3.28) Vì xét chuyển pha lượng tử nên ta xét giới hạn T→ , tức 𝛽 → ∞ số hạng ⃗ (3.28) tiến tới khơng Tuy bẫy quang học đầu tổng theo 𝑘 ⃗ mang giá trị gián đoạn, số mạng lớn, thông thường 𝑘 ta chuyển sang lấy tích phân  dk a  q  (2) a  v  k Đổi biến (3.29) V 2k  q ý: Ns  d ta thu từ (3.29) a a  q  Un  n  n  1 d q   1  wq    (3.30) d q  2t  1  cos 2qi  j1 1/2 w q   q  2Un q    (3.31) Cố định mật độ tổng số nguyên tử lẫn ngồi ngưng tụ n, từ (3.30) ta tính no Nếu với n giá trị nguyên mà lời giải n0 (3.30) giá trị Uc tc ta có chuyển pha Uc tc Có thể giải (3.30) cách giải số:tích phụ thuộc tìm xem với giá trị no U vào t n n U o  cho số chiều không gian d = t n 1,2,3 34 Các tác giải cơng trình [24] khảo sát số cho thấy khơng có chuyển pha siêu chảy – điện mơi Mott Kết luận đốn nhận cách khác Từ tranh vật lý ta thấy chuyển sang pha điện môi Mott xảy U/t U lớn Ta xét giới hạn   Lúc biểu thức tích phân vế phải t Ngoài từ (3.22) (3.31) ta thấy q Un (3.30) tỷ lệ với 2 q 42 | q |2 t ta có  1 dq Trong Id   1 q  Un wq dq q  1 d q  q  Un q  2Uq n Un   Id 2 2t (3.32) (3.33) Với (3.32) giới hạn U/t tiến tới vơ (3.30) trở thành: n  n0  Khi n  Un Id  4 2t (3.34) 1 Nếu n  không gian 2,3 chiều Để khảo sát (3.34) ta cần biết I d Thực giá trị cụ thể I d không quan trọng, miễn ta biết tích phân có phân kỳ hay không Ta lưu ý chuyển sang hệ tọa độ cầu cho d = 3, tọa độ trụ cho d = ta thấy 𝐼3 𝐼2 không phân kỳ số xác định Trong trường hợp d = 𝐼1 phân kỳ với d=1 khơng có lời giải 𝑛0 ≠ cho n Điều phù hợp với định lý Mermin Wagner phát biểu với 𝑑 ≤ khơng có trật tự tầm xa hệ đồng nhất, riêng với d = có T= 0K Bây ta giải (3.34) phương trình bậc √𝑛0 Ta thu  I2 U Id U  d   n0   4n    162 2t 8 2t    (3.35) Từ (3.35) ta kết luận với d=2, khơng thể có pha điện môi Mott gần Bogoliubov Ta thu lại kết tác giả cơng trình [24] 35 Như gần Bogoliubov sử dụng tốt lý thuyết BEC [8,9] không dự đốn chuyền pha siêu chảy - điện mơi Mott hệ nguyên tử trung hòa siêu lạnh mạng quang học Để giải vấn đề ta cần cách tiếp cận khác Nguyên nhân khơng thành cơng gần Bogoliubov có lẽ chỗ tính gần số hạng chứa tốn tử cách chưa thỏa đáng Vì người ta cố gắng tìm gần để xử lý số hạng chứa U tốt thu chuyển pha siêu chảy - điện môi Mott giá trị tới hạn tương tác so với tham số nhảy nút t [9,14,16,24] Tuy nhiên vấn đề vượt khuôn khổ luân văn 36 KẾT LUẬN Trong luận văn hồn thành cơng việc sau đây: Tôi tổng quan tài liệu chuyển pha nhiệt động học chuyển pha lượng tử , pha hệ nguyên tử trung hòa siêu lạnh, đặc biệt chuyển pha siêu chảy - điện môi Mott Tôi tập trung vào nghiên cứu ứng dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử cho hệ ngun tử trung hịa siêu lạnh Tơi thực tính tốn giải tích cho toán cụ thể nghiên cứu chuyển pha siêu chảy - điện môi Mott cho hệ nguyên tử trung hịa mạng quang học mơ tả Hamiltonian Bose-Hubbard gần Bogliubov Tôi thu kết gần khơng có chuyển pha siêu chảy - điện môi Mott, giống tác giả khác tính trước Rất tiếc thời gian hạn hẹp khả học viên hạn chế nên chưa xét gần khác Vấn đề tìm hiểu thêm: Mơ hình Hubbard cho electron đề tài nhiều thầy Viện Vật lý Đại học Sư phạm Hà Nội nghiên cứu thu nhiều kết có giá trị khoa học Các thầy phát triển phương pháp tính tốn mở rộng mơ hình Hubbard vùng cho nhiều trường hợp khác Vì vậy, với hướng dẫn thầy, áp dụng công cụ mở rộng mô hình Hubbard cho electron sang tốn cho mơ hình Bose- Hubbard 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Lê Đức Ánh, Hoàng Anh Tuấn, Nguyễn Toàn Thắng, Giáo trình Vật lý hệ nhiều hạt I II (bản thảo) Trần Minh Tiến, 2017, “Cơ sở vật lý hệ nhiều hạt”, NXB Khoa học Công nghệ, VHLKH&CN Việt Nam Nguyễn Toàn Thắng, Bài giảng “Vật lý hệ nguyên tử siêu lạnh” Tiếng Anh A.J Leggett (2006), Quantum Liquids: Bose Condensation and Cooper Pairing in Condensed Matter Systems Oxford University Press M H Anderson, J R Ensher, M R Matthews, C E Wieman, and E A Cornell (1995), Observation of Bose-Einstein Condensation in a Dilute Atomic Vapor, Science 269, 198 K B Davis, M.-O Mewes, M R Andrews, N J van Druten, D S Durfee, D M Kurn, and W Ketterle (1995), Bose-Einstein Condensation in a Gas of Sodium Atoms, Phys Rev Lett 75, 3969 M R Andrews, M.-O Mewes, N J van Druten, D S Durfee, D M Kurn, and W Ketterle, (1996), Direct Nondestructive Observation of a Bose Condensate, Science 273, 84 L.P Pitaevskii, S Stringari (2016), Bose Einstein Condensation and superfluidity, Oxford Science Henk T.C Stoof, Koos B Gubbels, Dennis B.M Dickerscheid (2009), Ultracold Quantum Fields, Springer 10 M Greiner, O Mandel, T Esslinger, T W Hansch, and I Bloch (2002) Quantum phase transition from a superfluid to a Mott insulator in a gas of ultracold atoms, Nature 415, 39 11 F Gebhard (1997), The Mott Metal-insulator Transition: Models and Methods, Springer 38 12 W Zwerger (2003) Mott-Hubbard transition of cold atoms in optical lattices J Opt B Quantum Semiclass 5, 13 D Jaksch, C Bruder, J Cirac, C Gardiner and P Zoller (1998), Cold bosonic atoms in optical lattices Phys Rev Lett 81, 3108 14 V.I Yukalov (2009), Cold bosons in Optical Lattices Laser Phys 19, 15 V.I Yukalov (2013), Theory of cold atoms: Basics of quantum statistics, Laser Phys 23, 062001 16 S Sachdev (1999), Quantum Phase Transitions, Cambridge University Press 17 R Grimm, M Weidemüller, and Y B Ovchinnikov (2000), Optical dipole traps for neutral atoms Molecular and Optical Physics, 42, 95 18 A F.Andree & I.M Lifshitz, (1969) Quantum theory of defects in crystals Sov Phys JETP 29, 1107–1113 19 G.V Chester, (1970) Speculations on Bose–Einstein condensation and quantum crystals Phys Rev A 2, 256–258 20 D.Y Kim & M H W Chan (2004) Probable observation of a supersolid helium phase Nature 427, 225–227 21 D.Y Kim & M H W Chan (2012) Absence of supersolidity in solid helium in porous Vycor glass Phys Rev Lett 109, 155301 (2012) 22 M Boninsegni & N.V Prokof’ev (2012) Supersolids: What and where are they? Rev Mod Phys 84, 759 (2012) 23 L.Tanzi et al (2019), Observation of a Dipolar Quantum Gas with metastable Supersolid Properties, Phys.Rev.Lett 123 130405 24 D van Oosten, P van der Stratenand H Stoof, Quantum phases in an optical lattice, Phys Rev A 63, 53601 (2001) 39 ... Bose - Hubbard thay chuyển pha kim loại điện môi- Mott [11] chuyển pha siêu chảy? ?iện môi Mott [9,12,13] (Thực siêu chảy- định xứ, để tương ứng với elctron người ta gọi điện môi Mott cho dù pha siêu. .. tăng Trong chương ta thử xét chuyển pha siêu chảy ? ?điện môi phép gần đúng, gần Bogoliubov 27 Chương 3: Chuyển pha lượng tử siêu chảy - điện môi Mott gần Bogoliubov Trong chương khảo sát liệu có chuyển. .. trúc luận văn sau: Chương 1: Chuyển pha nhiệt động học chuyển pha lượng tử Chương 2: Các pha hệ nguyên tử trung hòa siêu lạnh mạng quang học Chương 3: Chuyển pha lượng tử siêu chảy - điện môi Mott