Microsoft Word chuong so phuc hoan chinh DOC Tài liệu luyện thi tốt nghiệp và đại hoc Th s Nguyễn Văn Hải 1 sè phøc TÀI LIỆU LUYỆN THI TỐT NGHỆP VÀ ĐẠI HỌC Tài liệu luyện thi tốt nghiệp và đại hoc Th[.]
Tài liệu luyện thi tốt nghiệp đại hoc Th.s Nguyễn Văn Hải sè phøc TÀI LIỆU LUYỆN THI TỐT NGHỆP VÀ ĐẠI HỌC Tài liệu luyện thi tốt nghiệp đại hoc Th.s Nguyễn Văn Hải Sè phức Định nghĩa số phức Mỗi biểu thức dạng a + bi ; a, b ∈ \ , i2 = đợc gọi số phức Đối với sè phøc z = a + bi, ta nãi a phần thực, b phần ảo z { } Tập hợp số phức kí hiệu ^ ^ = a + bi a, b ∈ \, i2 = −1 Sè phøc b»ng Hai sè phức phần thực phần ảo cđa chóng t−¬ng øng b»ng a + bi = c + di ⇔ a = c vµ b = d Biểu diễn hình học số phức Điểm M(a ; b) hệ toạ độ vuông góc mặt phẳng đợc gọi điểm biểu diễn số phức z = a + bi Môđun số phức JJJJG Độ dài vectơ OM đợc gọi môđun cđa sè phøc z vµ kÝ hiƯu lµ |z| VËy a2 + b2 a + bi = Sè phức liên hợp Cho số phức z = a + bi Ta gọi a bi số phức liên hợp z kí hiệu z = a − bi y z = z y z = z Bài tập Tính phần thực phần ảo cña sè phøc z, biÕt : a) z = − πi ; b) z = − i ; c) z = 2 ; d) z = −7i; e) z = ( − 3i)2 ; f) z = i(2 − i)(3 + i) ; g) z = (2 + i)3 − (3 − i)3 ; h) z = (1 + i)10 ; k) z = (1 − i)2010 Tìm số thực x y, biết : a) (3 x − 2) + (2 y + 1)i = ( x + 1) − ( y − 5)i ; b) (1 − x ) − i = + (1 − y )i ; c) (2 x + y) + (2 y − x )i = ( x − y + 3) + ( y + x + 1)i Tài liệu luyện thi tốt nghiệp đại hoc Th.s Nguyễn Vn Hi Trên mặt phẳng toạ độ tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mÃn điều kiƯn : a) PhÇn thùc cđa z b»ng −2 ; b) Phần ảo z ; c) Phần thùc cđa z thc kho¶ng (−1 ; 2) ; d) Phần ảo z thuộc đoạn [1 ; 3] ; e) Phần thực phần ảo z thuộc ®o¹n [−2 ; 2] TÝnh z , víi a) z = −2 + i ; b) z = − 3i ; c) z = −5 ; T×m z , biÕt : d) z = i a) z = − i ; b) z = − + i ; c) z = ; d) z = 7i Céng, trõ, nh©n vµ CHIA sè phøc PhÐp céng vµ phÐp trõ ( a + bi) + ( c + di) = ( a + c) + ( b + d )i ; ( a + bi) − ( c + di) = ( a − c) + ( b − d )i PhÐp nh©n ( a + bi)( c + di) = ( ac − bd ) + ( ad + bc)i PhÐp chia hai sè phøc Chia sè phøc c + di cho sè phøc a + bi khác tìm số phức z cho c + di = (a + bi)z Sè phøc z đợc gọi thơng phép chia c + di cho a + bi vµ kÝ hiƯu lµ c + di z= a + bi ¾ Chó ý c + di Trong thực hành, để tính thơng , ta nhân tử mẫu với số phức liên hợp cđa a + bi a + bi Bµi tËp Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh sau: a) (3 − 5i) + (2 + 4i) ; b) ( −2 − 3i) + ( −1 − 7i) ; c) (4 + 3i) − (5 − 7i) ; d) (2 − 3i) − (5 − 4i) TÝnh α + β , α − β víi : a) α = 3, β = 2i ; b) α = − 2i, β = 6i ; c) α = 5i, β = −7i ; d) α = 15, β = − 2i Tài liệu luyện thi tốt nghiệp đại hoc Th.s Nguyễn Văn Hải Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh sau : a) (3 − 2i)(2 − 3i) ; b) ( −1 + i)(3 + 7i) ; c) 5(4 + 3i) ; d) ( −2 − 5i).4i TÝnh i3 , i4 , i5 Nêu cách tính in với n số tự nhiên tuỳ ý Tính : a) (2 + 3i)2 ; b) (2 + 3i)3 Thùc hiƯn c¸c phÐp chia sau : 2+i ; 2i b) Tìm nghịch đảo sè phøc z : z c) z = i ; a) z = + 2i ; b) z = − 3i ; Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh sau : a) 2i(3 + i)(2 + 4i) ; b) a) 1+i ; 2+i c) d) − 2i i d) z = + i (1 + i)2 (2i)3 ; −2 + i + 4i d) − 3i + + 6i c) + 2i + (6 + i)(5 + i) ; 5i ; 3i Giải phơng tr×nh sau : x + (2 − 3i) = − 2i); − 3i a) (3 − 2i) x + (4 + 5i) = + 3i ; b) c) ( (3 + 2i) z = z − ; d) (2 − i) z − = Phơng trình bậc hai Căn bậc hai a) Căn bậc hai số thực Căn bậc hai số thực a >0 a Căn bậc hai cđa sè thùc a < lµ ± i a b) Căn bậc hai số phức z = x + yi ( x, y \) l bËc hai cña sè phøc w = a + bi (a, b ∈ \, b ≠ 0) z = w, tức ⎧ x2 − y = a ( x + yi ) = a + bi ⇔ ⎨ ⎩2 xy = b Phơng trình bậc hai a) Phơng trình bậc hai với hệ số thực Cho phơng trình bậc hai ax + bx + c = víi a, b, c ∈ \ , a ≠ XÐt biÖt sè ∆ = b − 4ac • Khi ∆ = , phơng trình có nghiệm thực x = − b ; 2a Tài liệu luyện thi tốt nghiệp đại hoc • Th.s Nguyễn Văn Hải Khi > , có hai bậc hai (thực) phơng trình có hai nghiệm thực phân biệt, đợc xác định công thức −b ± ∆ x1,2 = ; 2a • Khi ∆ < phơng trình nghiệm thực không tồn bậc hai thực Tuy nhiên, trờng hợp < , xét tập hợp số phức, ta có hai bậc hai ảo i Khi đó, phơng trình có hai nghiệm phức đợc xác định công thức x1,2 = b i 2a b) Phơng trình bậc hai với hệ số phức Cho phơng trình bậc hai az + bz + c = víi a, b, c ∈ ^ , a ≠ XÐt biÖt sè ∆ = b − 4ac b ;; 2a −b ± δ = , δ bậc hai ∆ 2a ã Khi = , phơng trình có nghiƯm z = − • Khi ∆ ≠ , phơng trình có hai nghiệm x1,2 Nhận xét Trên tập hợp số phức, phơng trình bậc hai có hai nghiệm (không thiết phân biệt) Tổng quát, ngời ta đà chứng minh đợc phơng trình bậc n ≥ ao x n + a1 x n −1 + + an−1 x + an = , ®ã a0, a1, …, an ∈ ^ , a0 có n nghiệm phức (các nghiệm không thiết phân biệt) Đó định lí Đại số học tập Tìm bậc hai phức số sau : ; −8 ; −12 ; −20 ; −121; − i ; 4i ; + 3i ; −1 − 6i Giải phơng trình sau tập hỵp sè phøc : a) −3 x + x − = 0; b) x + 3x + = ; c) x − x + 11 = Gi¶i phơng trình sau tập hợp số phức : a) x + x − = ; b) x + x + 10 = ; Giải phơng trình sau tËp hỵp sè phøc : a) z = z + 1; b) z + z + = ; c) x + 3x − = c) z + (1 − 3i ) z − 2(1 + i ) = Cho a, b, c ∈ \ , a ≠ 0, z1 , z2 lµ hai nghiƯm (thùc phức) phơng trình ax + bx + c = H·y tÝnh z1 + z2 vµ z1.z2 theo c¸c hƯ sè a, b, c Cho z = a + bi lµ mét sè phøc H·y tìm phơng trình bậc hai với hệ số thực nhận z z làm nghiệm Giải phơng trình sau ^ : a) ( z i )( z + 1)( z + i ) = ; b) ( z + z ) + 4( z + z ) − 12 = Tài liệu luyện thi tốt nghiệp đại hoc Th.s Nguyễn Văn Hải DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Số phức dạng lượng giác a) Acgumen số phức z ≠ Cho số phức z ≠ Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo (radian) góc lược giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi acgumen z b) Dạng lượng giác số phức Dạng z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) (r > 0) dạng lương giác z = a + bi (a, b ∈ R, z ≠ 0) ⎧ ⎪r = a + b ⎪ a ⎪ ⇔ ⎨cos ϕ = r ⎪ b ⎪ ⎪⎩sin ϕ = r + ϕ acgumen z + ϕ = (Ox, OM ) Nhân chia số phức dạng lượng giác Nếu z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) , z ' = r '(cos ϕ '+ i sin ϕ '), r ≥ 0, r ' ≥ : a) z.z ' = r.r '[cos(ϕ + ϕ ' ) + i sin(ϕ + ϕ ' ) ] z r = [cos(ϕ − ϕ ') + i sin(ϕ − ϕ ')], r ' > z' r' b) Công thức Moa-vrơ [r (cos ϕ + i sin ϕ )] n = r n (cos nϕ + i sin nϕ ) , n ∈ N * Căn bậc hai số phức dạng lượng giác Căn bậc hai số phức z = r(cos ϕ + i sin ϕ ) (r > 0) laø r (cos ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + i sin ) − r (cos + i sin ) = r [cos( + π ) + i sin( + π )] 2 2 2 bµi tËp Viết số phức sau dạng lượng giác a) − i e) b) + i 1− i 1+ i f) + 2i c) (1 − i 3)(1 + i ) d) 2i( − i ) g) z = sin ϕ + i cos ϕ , ϕ ∈ \ h) sin ϕ + i 2sin 2 Viết dạng đại số số phức sau a) cos 45o + i sin 45o b) 2(cos π π + i sin ) 6 c) ( cos120o + i sin120o ) Thực phép tính ( ) a) cos120o + i sin120o (cos 45o + i sin 45o ) b) ( cos18o + i sin18o ) (cos 72o + i sin 72o ) ϕ ... + ϕ '' ) + i sin(ϕ + ϕ '' ) ] z r = [cos(ϕ − ϕ '') + i sin(ϕ − ϕ '')], r '' > z'' r'' b) Công thức Moa-vrô [r (cos ϕ + i sin ϕ )] n = r n (cos nϕ + i sin nϕ ) , n ∈ N * Căn bậc hai số phức dạng lượng