(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp Quasi Boundary Value và phần tử hữu hạn áp dụng vào bài toán nhiệt ngược thời gian

(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp Quasi Boundary Value và phần tử hữu hạn áp dụng vào bài toán nhiệt ngược thời gian(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp Quasi Boundary Value và phần tử hữu hạn áp dụng vào bài toán nhiệt ngược thời gian(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp Quasi Boundary Value và phần tử hữu hạn áp dụng vào bài toán nhiệt ngược thời gian(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp Quasi Boundary Value và phần tử hữu hạn áp dụng vào bài toán nhiệt ngược thời gian(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp Quasi Boundary Value và phần tử hữu hạn áp dụng vào bài toán nhiệt ngược thời gian(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp Quasi Boundary Value và phần tử hữu hạn áp dụng vào bài toán nhiệt ngược thời gian(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp Quasi Boundary Value và phần tử hữu hạn áp dụng vào bài toán nhiệt ngược thời gian(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp Quasi Boundary Value và phần tử hữu hạn áp dụng vào bài toán nhiệt ngược thời gian(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp Quasi Boundary Value và phần tử hữu hạn áp dụng vào bài toán nhiệt ngược thời gian(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp Quasi Boundary Value và phần tử hữu hạn áp dụng vào bài toán nhiệt ngược thời gian(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp Quasi Boundary Value và phần tử hữu hạn áp dụng vào bài toán nhiệt ngược thời gian(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp Quasi Boundary Value và phần tử hữu hạn áp dụng vào bài toán nhiệt ngược thời gian(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp Quasi Boundary Value và phần tử hữu hạn áp dụng vào bài toán nhiệt ngược thời gian(Luận văn thạc sĩ) Phương pháp Quasi Boundary Value và phần tử hữu hạn áp dụng vào bài toán nhiệt ngược thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN PHI PHÚC PHƯƠNG PHÁP QUASI-BOUNDARY VALUE VÀ PHẦN TỬ HỮU HẠN ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN NHIỆT NGƯC THỜI GIAN Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS.Đặng Đức Trọng Thành Phố Hồ Chí Minh - 2006 Hiện công cụ tính toán phát triển cách mạnh mẽ làm thay đổi nhiều quan điểm khả giải thực tế toán khác Nhiều thuật toán trước chấp nhận khối lượng tính toán lớn ngày hoàn toàn thực cách hiệu Nhiều toán thuộc lónh vực ứng dụng, đặc biệt toán không chỉnh xuất lónh vực vật lý, kinh tế, y khoa, thăm dò, hồi phục, nhận dạng v.v… giải thuật toán hữu hiệu Đây lónh vực toán học sâu rộng, thực tiễn, hứng thú, nhiều người quan tâm đạt nhiều thành tựu Trong luận văn này, trình bày việc chỉnh hoá toán nhiệt ngược thời gian, toán không chỉnh lónh vực vật lý ứng dụng phương pháp Quasi-Boundary value phần tử hữu hạn, đồng thời trình bày số phương pháp tính số có thuật toán hữu hiệu để giải Luận văn lời nói đầu, phần kết luận, phần tài liệu tham khảo phần mục lục trình bày chương: Chương phần tổng quan toán, trình bày sơ lược lịch sử vấn đề Chương phần trình bày ký hiệu nhắc lại số kiến thức cần thiết để thuận tiện cho việc theo dõi phần Chương phần trình bày việc chỉnh hoá toán nhiệt ngược thời gian Chương phần trình bày số phương pháp tính số Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn PGS TS Đặng Đức Trọng người tận tình hướng dẫn suốt trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù bận nhiều công việc thầy dành nhiều thời gian để hướng dẫn hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn đến quý thầy côâ tham gia giảng dạy cao học khoá 14, người truyền đạt kiến thức quý báu cho Sau cùng, không nhắc đến bạn bè, người thân người khuyến khích, động viên trình học tập, xin cảm ơn điều TP HCM, ngày 15 tháng năm 2006 Tác giả luận văn Nguyễn Phi Phúc MỤC LỤC Trang Lời nói đầu Mục lục Chương PHẦN TỔNG QUAN Chương CÁC KÝ HIỆU VÀ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2.1 Không gian Hilbert ……………………………………………… …………………………………………….…6 2.2 Nửa nhóm liên tục……………………………………… ……….… 11 2.3 Không gian phần tử hữu hạn …………………………………………………………… ……14 2.3.1 xây dựng không gian phần tử hữu hạn …………… …………………… …………14 2.3.2 Đánh giá hội tụ phần tử hữu hạn …………………………………… … … ….18 2.4 Ký hiệu ………………………… ……………………………………………………………………… ……….…19 2.4.1 Ký hiệu hình học ………………………………………………… ………………………………… 19 2.4.2 Ký hiệu không gian hàm …………………………………….……………….……… 19 2.4.3 Ký hiệu ước lượng……………………………………………………………………………… …21 Chương CÁC KẾT QUẢ CHỈNH HOÁ 21 3.1 Các kết chỉnh hoá toán QBVP ……………………………………………… 22 3.2 Phát biểu lại toán đánh giá sai số chỉnh hoá Chương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH SỐ …………………… 32 44 4.1 Phương pháp sử dụng giá trị riêng véc tơ riêng xấp xỉ số…… 44 4.2 Xấp xỉ số qua lặp Conjugate gradient ……………………………………………… 47 4.3 Đánh giá sai số ………………………………………………………………………………….………………… 52 Kết luận Tài liệu tham khảo Chương PHẦN TỔNG QUAN Trước tiên nhắc lại khái niệm toán chỉnh không chỉnh Định nghóa (Hadamard 1923) Một toán gọi chỉnh nghiệm i) Tồn tại, ii) Là nhất, iii) Phụ thuộc liên tục vào liệu ban đầu (Tính chất ổn định) Và toán gọi không chỉnh vi phạm tính chất Ở tính chất iii) quan trọng toán thực tế, để chỉnh hoá toán điều mong muốn nghiệm thay đổi liệu toán thay đổi Trong luận văn này, xét toán nhiệt ngược thời gian cho (FVP) ⎧u , (t ) + Au (t ) = 0, < t < T , ⎨ ⎩u (T ) = f với A toán tử tự liên hợp dương, không bị chặn không gian Hilbert H cho –A sinh nửa nhóm co compắc H, thuộc tập giải – A (0∈ρ(-A)), t thời gian, T thời gian cuối cho trước, hàm liệu f cho trước H, u : [0, T] → H lời giải cần tìm Bài toán toán không chỉnh, vì, tồn lời giải [0, T] lời giải không phụ thuộc liên tục theo f Thật vậy, xét toán nhiệt cho ⎧ut − u xx = 0, < x < 1, ≤ t ≤ T , ⎪ ⎪u (0, t ) = 0, ⎨ ⎪u (1, t ) = 0, ⎪⎩u ( x, T ) = f ( x) = e −1sinπ x, (*) nghiệm xác (*) u ( x , t ) = eπ Laáy (T − t ) −1 sinπ x fn (x) = e−1sinπ x+ sinnπ x làm liệu thời gian cuối T Khi ta có n nghiệm tương ứng (*) với giá trị cuối fn (x) laø un (x, t)=eπ (T −t ) −1 sinπ x+ e n π n 2 (T −t ) sinnπ x Sai số thời gian cuối fn − f L2 ( ,1) = 1 ∫n sin nπ xdx = 1 n →∞ ⎯⎯⎯ →0 n 2π Và sai số thời gian đầu un (., 0) − u (., 0) L ( , 1) 2n π T e n π T n→∞ = ∫ 2e sin nπ xdx = ⎯⎯⎯ →∞ 2n n 2 2 Vậy (*) toán không chỉnh vi phạm tính chất iii) Việc xây dựng hàm xấp xỉ ổn định nghiệm toán nhiệt ngược trường hợp riêng vấn đề chỉnh hoá toán không chỉnh Ta nêu khái niệm xác việc chỉnh hoá toán không chỉnh Xét phương trình Au = f , u ∈ D(A) ⊂ X, f ∈ Y Trong X, Y không gian mê tríc A : D(A) → Y toán tử Ta nói u0 ∈ D(A) nghiệm xác toán tương ứng với giá trị liệu xác f0 Au0 = f Toán tử Rα : Y → X phụ thuộc vào tham số α ∈ \ (được gọi tham số chỉnh hoá) toán tử chỉnh hoá a) Rα f0 → u0 α → , b) Với δ > , tồn ω (δ ), α (δ ) → cho d X ( Rα (δ ) f , u0 ) ≤ ω (δ ) neáu dY ( f , f0 ) ≤ δ , f ∈ Y Phần tử uδ = Rα (δ ) f gọi nghiệm chỉnh hoá toán Bài toán (FVP) nhiều tác giả chỉnh hoá nhiều toán chỉnh khác Lattes Lions [9], Miller [11], Payne [13], Huang vaø Zheng [6], vaø Lavrentiev [10] xấp xỉ (FVP) cách làm nhiễu toán tử A Nghiên cứu gọi phương pháp Quasi-Reversibility Ý tưởng phương pháp nhiễu phương trình toán không chỉnh để thu toán chỉnh, dùng nghiệm toán chỉnh nghiệm xấp xỉ toán không chỉnh Trong [9] Lattes Lions chỉnh hoá toán toán ⎧ut + Au − ε A* Au = 0, < t < T , ⎨ ⎩u (T ) = f Alekseeva vaø Yurchuk [18] xét toán ⎧ut + Au + ε At = 0, < t < T , ⎨ ⎩u(T ) = f Gajewski Zaccharias [5] xét toán tương tự Alekseeva Yurchuk làm họ đánh giá sai số nghiệm xấp xỉ uε (t ) − u (t ) ≤ 2 (T − t ) u(0) t2 Showalter [14, 15] đưa phương pháp khác để chỉnh hoá toán (FVP), phương pháp việc đánh giá sai số ổn định tác giả trước Sử dụng ý tưởng Showalter, Clark Oppenheimer [3] dùng phương pháp QuasiBoundary để chỉnh hoá toán ngược thời gian với nghiệm chỉnh hoá thoả ⎧ut + Au (t ) = 0, < t < T , ⎨ ⎩u(T ) + ε u(0) = f Cũng ý tưởng trên, Denche Bessila [4] xấp xỉ (FVP) cách nhiễu điều kiện cuối ⎧ut + Au (t ) = 0, < t < T , ⎨ ⎩u(T ) − ε u '(0) = f Huang Zheng [7] xét toán ⎧ut + Au + ε At = 0, < t < T , ⎨ ⎩u(T ) = f đây, –A toán tử sinh nửa nhóm giải tích không gian Banach Tuy nhiên, họ chưa đưa công thức đánh giá sai số hiệu phương pháp để tính toán Trong luận văn sử dụng phương pháp Quasi-Boundary value tương tự Showalter làm điều kiện tổng quát Ở làm nhiễu điều kiện cuối Điều đưa toán Quasi-Boundary value (QBVP) sau ⎧⎪uα, (t ) + Auα (t ) = 0, < t < T , ⎨ ⎪⎩α uα (0) + uα (T ) = f với α số dương nhỏ, toán tử A có tập trực giao gồm hàm véc tơ riêng qi với giá trị riêng λ i > 0, cho {qi } sở H Khi ta biểu diễn f (FVP) dạng f = ∞ ∑ b q , sau toán i =0 i i xấp xỉ chỉnh nghiệm hội tụ toán gốc có nghiệm cổ điển Phần lại luận văn bao gồm ba chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị cho luận văn Chương trình bày phương pháp QuasiBoundary value Mục đích luận văn bổ sung vào lý thuyết xấp xỉ Clark Oppenheimer [3] phần đánh giá sai số Hiển nhiên trước tìm hiểu bổ sung tính đắn cách lấy xấp xỉ, phải trả lời câu hỏi “ Có tồn xấp xỉ không?” Câu trả lời có chæ ∞ ∑b i =1 i 2T λi e hội tụ Điều nội dung chương luận văn Chương luận văn trình bày hai phương pháp tính số toán (QBVP) phương pháp xấp xỉ hữu hạn giá trị riêng, vectơ riêng phương pháp lặp Conjugate-gradient, phần cuối chương trình bày sai số xấp xỉ hữu hạn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ CÁC KÝ HIỆU Trong chương này, qui ước số ký hiệu nêu lại số kiến thức chuẩn bị cần thiết sử dụng đến chương sau 2.1 Không gian Hilbert Cho X không gian tuyến tính thực Định nghóa 2.1.1 Ánh xạ i) : X → [ 0, ∞ ) gọi chuẩn thoả u + v ≤ u + v ,∀u,v ∈ X , ii) λu = λ u ,∀u ∈ X ,λ ∈ , iii) u ≥ ,∀u ∈ X; u = ⇔ u = Không gian tuyến tính trang bị chuẩn gọi không gian tuyến tính định chuẩn Từ sau ta giả sử X không gian tuyến tính định chuẩn Định nghóa 2.1.2 Ta nói dãy {un }n=1 ⊂ X hội tụ u ∈ X lim un − u = ∞ n →∞ Ta ký hiệu: un → u Định nghóa 2.1.3 Ta nói dãy {un }n=1 ⊂ X dãy Cauchy với ε > 0, ∞ ∃N > cho un − um < ε , ∀n, m ≥ N Định nghóa 2.1.4 X gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ Định nghóa 2.1.5 X gọi không gian Banach X đầy đủ Định nghóa 2.1.6 Ta nói X tách X chứa tập đếm trù mật X Cho H không gian tuyến tính thực Định nghóa 2.1.7 Ánh xạ ( , ) : H × H → i) ( u,v ) = ( v,u ) , ∀u,v ∈ H , gọi tích vô hướng thoả ... luận văn này, trình bày việc chỉnh hoá toán nhiệt ngược thời gian, toán không chỉnh lónh vực vật lý ứng dụng phương pháp Quasi- Boundary value phần tử hữu hạn, đồng thời trình bày số phương pháp. .. dung chương luận văn Chương luận văn trình bày hai phương pháp tính số toán (QBVP) phương pháp xấp xỉ hữu hạn giá trị riêng, vectơ riêng phương pháp lặp Conjugate-gradient, phần cuối chương trình... cách làm nhiễu toán tử A Nghiên cứu gọi phương pháp Quasi- Reversibility Ý tưởng phương pháp nhiễu phương trình toán không chỉnh để thu toán chỉnh, dùng nghiệm toán chỉnh nghiệm xấp xỉ toán không