III. Các kiến thức liên quan 1. Nếu mỗi số hạng của một tổng hoặc hiệu chia hết cho một số thì tổng hoặc hiệu đó chia hết cho số đó. 2. Số có chữ số tận cùng chia hết cho 2 thì số đó chia hết cho 2. Số có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì số đó chia hết cho 4. Số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì số đó chia hết cho 8. Số có chữ số tận cùng chia hết cho 5 thì số đó chia hết cho 5. Số có hai chữ số tận cùng chia hết cho 25 thì số đó chia hết cho 25 Số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 3. Số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 9. 3. Dấu hiệu chia hết cho 11 Cho IV. Các dạng bài tập thường gặp. Dạng 1. Kiểm tra một số có phải số chính phương hay không Ví dụ 1. Cho một số chính phương , tìm các số chính phương biết: Lời giải Ta có: Tổng quát: Ví dụ 2: Các tổng sau có phải là số chính phương không? Lời giải a) Ta có: với mọi nên Suy ra : chia cho 9 dư 3. Vì A chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên A không phải là số chính phương. b) Ta có: Có chữ số tận cùng là 3 nên B không phải là số chính phương (tc1) c) Ta có có chữ số tận cùng là 8 nên không phải là số chính phương. d) Ta có có chữ số tận cùng là 7 nên không phải là số chính phương. e) Ta có có chữ số tận cùng là 05 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không phải là số chính phương. f) Ta có có tổng các chữ số là 3 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên không phải là số chính phương.
Mục Lục Lời nói đầu Chủ đề Tập hợp ôn tập số tự nhiên Chủ đề Các toán số tự nhiên Chủ đề Các toán lũy thừa số tự nhiên Chủ đề Các dạng toán phương pháp chứng minh chia hết Chủ đề Chuyên đề ước chung bội chung Chủ đề Tìm số tận Chủ đề Số nguyên tố-hợp số Chủ đề Số phương Chủ đề Điền chữ số Chủ đề 10 Tính tổng theo quy luật Chủ đề 11 So sánh phân số Chủ đề 12 Bất đẳng thức tìm GTLN – GTNN Chủ đề 13 Thực phép tính Chủ đề 14 Tìm ẩn chưa biết Chủ đề 15 Nguyên lý Drichlet giải toán Chủ đề 16 Một số toán đồng dư thức Chủ đề 17 Chuyên đề toán chuyển động Chủ đề 18 Một số phương pháp giải toán số học “tốn có lời văn” Trang 10 21 40 52 66 74 95 105 102 135 146 155 160 169 176 188 198 CHỦ ĐỀ 1: TẬP HỢP VÀ ÔN TẬP VỀ SỐ TỰ NHIÊN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Một tập hợp có một, có nhiều phần tử, có vơ số phần tử, khơng có phần tử Tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng Tập rỗng kí hiệu là: Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B tập hợp A gọi tập hợp tập hợp B, kí hiệu hay Nếu ta nói hai tập hợp nhau, kí hiệu B/ CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ TẬP HỢP Dạng 1: Rèn kĩ viết tập hợp, viết tập hợp con, sử dụng kí hiệu Bài Cho tập hợp A chữ cụm từ “Thành phố Hồ Chí Minh” a Hãy liệt kê phần tử tập hợp A b Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông Hướng dẫn a/ b/ Lưu ý HS: Bài tốn khơng phân biệt chữ in hoa chữ in thường cụm từ cho Bài Cho tập hợp chữ X={A, C, O} a/ Tìm chụm chữ tạo thành từ chữ tập hợp X b/ Viết tập hợp X cách tính chất đặc trưng cho phần tử X Hướng dẫn a/ Chẳng hạn cụm từ “CA CAO” “CÓ CÁ” b/ X={x: x-chữ cụm chữ “CA CAO”} Bài Cho tập hợp ; a/ Viết tập hợp C phần tử thuộc A không thuộc B b/ Viết tập hợp D phần tử thuộc B không thuộc A c/ Viết tập hợp E phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B d/ Viết tập hợp F phần tử thuộc A thuộc B Hướng dẫn a/ b/ ; c/ d/ Bài 4: Cho tập hợp a/ Hãy rõ tập hợp A có phần tử b/ Hãy rõ tập hợp A có phần tử c/ Tập hợp có phải tập hợp A khơng? Hướng dẫn a/ b/ c/ Tập hợp B tập hợp tập hợp A Bài 5: Cho tập hợp Hỏi tập hợp B có tất tập hợp con? Hướng dẫn - Tập hợp B khơng có phần từ - Tập hợp B có 1phần từ - Các tập hợp B có hai phần tử - Tập hợp B có phần tử Vậy tập hợp A có tất tập hợp Ghi Một tập hợp A ln có hai tập hợp đặc biệt Đó tập hợp rỗng tập hợp A Ta quy ước tập hợp tập hợp Bài 6: Cho Điền kí hiệu thích hợp vào vuông ; ; ; Bài 7: Cho tập hợp ; Hãy điền dấu hay vào ô ; Dạng 2: Các tập xác định số phần tử tập hợp Bài 1: Gọi A tập hợp số tự nhiên có chữ số.Hỏi tập hợp A có phần tử? Hướng dẫn: Tập hợp A có phần tử Bài 2: Hãy tính số phần tử tập hợp sau: a/ Tập hợp A số tự nhiên lẻ có chữ số b/ Tập hợp B số c/ Tập hợp C số Hướng dẫn a/ Tập hợp A có phần tử b/ Tập hợp B có phần tử c/ Tập hợp C có phần tử Cho HS phát biểu tổng quát: - Tập hợp số chẵn từ số chẵn a đến số chẵn b có phần tử - Tập hợp số lẻ từ số lẻ m đến số lẻ n có phần tử Tập hợp số từ số c đến số dãy số đều, khoảng cách hai số liên tiếp dãy có phần tử Bài 3: Cha mua cho em sổ tay dày 145 trang Để tiện theo dõi em đánh số trang từ đến 145 Hỏi em phải viết chữ số để đánh hết sổ tay? Hướng dẫn: - Từ trang đến trang 9, viết số - Từ trang 10 đến trang 99 có 90 trang, viết chữ số - Từ trang 100 đến trang 145 có trang, cần viết chữ số Vậy em cần viết chữ số Bài 4: Các số tự nhiên từ 1000 đến 10000 có số có chữ số giống Hướng dẫn Số 10000 số có chữ số, số có chữ số giống nên không thoả mãn yêu cầu tốn Vậy số cần tìm có dạng: , , , với a b cá chữ số - Xét số dạng , chữ số a có cách chọn có cách chọn để b khác a Vậy có số có dạng Lập luận tương tự ta thấy dạng cịn lại có 81 số Suy ta tất số từ 1000 đến 10000 có chữ số giống gồm số Bài 5: Có số có chữ số mà tổng chữ số 3? Hướng dẫn 3000 1011 2001 1110 2100 1200 1002 1101 2010 1020 số Bài 6: Tính nhanh tổng sau a, b, Hướng dẫn a, b, C/ BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài Viết tập hợp sau tìm số phần tử tập hợp đó: a) Tập hợp A số tự nhiên mà b) Tập hợp B số tự nhiên mà c) Tập hợp C số tự nhiên mà d) Tập hợp D số tự nhiên mà e) Tập hợp E số tự nhiên mà x Bài Viết tập hợp sau cách liệt kê phần tử nó: a) Tập hợp A số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng chữ lớn chữ số hàng đơn vị b) Tập hợp B số tự nhiên có ba chữ số mà tổng chữ số Bài Tìm số tự nhiên có năm chữ số, biết viết thêm chữ số vào đằng sau số số lớn gấp ba lần số có cách viết thêm chữ số vào đằng trước số Bài Các tập hợp A, B, C, D cho sơ đồ sau (h.1) Viết tập hợp A; B; C; D cách liệt kê phần tử tập hợp Bài Hãy xác định tập hợp sau cách tính chất đặc trưng phần tử thuộc tập hợp đó: a) b) c) Bài Tìm tập hợp số tự nhiên x, cho: a) c) e) b) d) Bài Tìm số tự nhiên a b, cho: Bài Viết số tự nhiên có bốn chữ số có hai chữ số 3, số chữ số Bài Với hai chữ số I X, viết số La Mã? (mỗi chữ số viết nhiều lần, không viết liên tiếp ba lần) Bài 10 a) Dùng ba que diêm, xếp số La Mã nào? b) Để viết số La Mã từ 4000 trở lên, chẳng hạn số 19520, người ta viết (chữ biểu thị nghìn, chữ đầu từ mille, tiếng Latinh nghìn) Hãy viết số sau chữ số La Mã: 7203;121512 Bài 11 Tìm số tự nhiên có tận băng 3, biết xóa chữ số hàng đơn vị số giảm 1992 đơn vị Bài 12 Tìm số tự nhiên có sáu chữ số, biết chữ số hàng đơn vị chuyển chữ số lên hàng số tăng lên gấp lần Bài 13 Cho bốn chữ số khác khác Lập số tự nhiên lớn số tự nhiên nhỏ có bốn chữ số gồm bốn chữ số Tổng chữ số 11330 Tìm tổng chữ số Bài 14 Cho ba chữ số a, b, c cho a) Viết tập hợp A số tự nhiên có ba chữ số gồm ba chữ số a, b, c b) Biết tổng hai số nhỏ tập hợp A 488 Tìm ba chữ số a, b, c nói Bài 15 Tìm ba chữ số khác khác 0, biết dùng ba chữ số lập thành số tự nhiên có ba chữ số hai số lớn có tổng 1444 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài a) b) có phần tử có hai phần tử c) khơng có phần tử d) có phần tử e) có vơ số phần tử ( Bài a) b) Bài ) Cách 1: Gọi số phải tìm , ta có phép nhân: Lần lượt tìm chữ số số bị nhân từ phải sang trái: tận nên ta có , nhớ sang hàng chục tận nên ; tận nên , ta có , nhớ sang hàng nghìn ; nên , ta có 3.8=24, nhớ sang hàng trăm nghìn; Ta được: Cách Đặt , ta có Hay Số phải tìm 85714 Bài ; ; ; Bài a) A tập hợp số lẻ nhỏ 50 b) B tập hợp số tự nhiên có hai chữ số, chữ số giống c) C tập hợp tháng có 31 ngày năm dương lịch Bài a) ; b) ; c) * ; d) ; e) Bài Có ba đáp số: Bài Có 12 số: - Chữ số đứng đầu: 3312; 3321; 3213; 3231; 3123; 3132 - Chữ số đứng đầu: 2133; 2313; 2331 - Chữ số đứng đầu: 1233, 1323, 1332 Bài Các số chứa chữ số X là: Các số chứa hai chữ số X là: Các số chứa ba chữ số X là: Số chứa bốn chữ số X là: , tận Tổng cộng có 13 số Bài 10 a) Ghi bảy số: b) 11 51 100 Bài 11 Biểu thị số cịn lại sau xố chữ số phần số phải tìm gồm 10 phần đơn vị, hiệu chúng 1992 Đáp số: Số phải tìm 2213 Bài 12 Đáp số: 102564 Bài 13 Giả sử Số lớn nhất: , số nhỏ nhất: Xét tổng: Lần lượt chứng tỏ: Bài 14 a) b) , Suy ra: Xét phép cộng cột hàng đơn vị cột hàng chục, ta thấy c+ b khơng có nhớ Do đó: Từ Suy ra: Vậy , ta được: Bài 15 Gọi chữ số phải tìm a, b, c a>b>c>0 Hai số lớn lập ba chữ số , ta có So sánh cột đơn vị cột hàng chục, ta thấy phép cộng Vậy , mà nên Xét cột hàng trăm: nên Ba chữ số phải tìm 7, 3, CHỦ ĐỀ 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ TỰ NHIÊN 1/ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ VÀ CHỮ SỐ Nội dung phương pháp: +) Tập hợp số tự nhiên: +) Tập hợp số tự nhiên khác 0: (nguyên dương): +) Chữ số: khơng có nhớ +) Phân tích số tự nhiên theo chữ số: Ví dụ minh họa: Bài Cho ba chữ số số lập từ ba chữ số Lời giải đôi khác khác Tổng tất số có hai chữ 627 Tính tổng ? Bài Cho ba chữ số khác khác Tổng tất số có hai chữ số khác lập từ ba chữ số cho 418 Tính tổng ? Lời giải Các số có hai chữ số là: Bài Tìm số tự nhiên có ba chữ số Lời giải thỏa mãn Nhận thấy: Thử lại ta thấy Bài Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết viết thêm số 12 vào bên trái số ta số lớn gấp 26 lần số phải tìm Lời giải Gọi số cần tìm là: Viết thêm số 12 vào bên trái số ta được: Theo ta có: Thử lại: 1248: 48=26 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết số gấp lần tích chữ số Bài Tìm số có hai chữ số, biết số viết theo thứ tự ngược lại nhân với số phải tìm 3154, số nhỏ hai số lớn tổng chữ số 27 Bài Tìm số có ba chữ số, biết số vừa chia hết cho vừa chia hết cho 9, hiệu số với số viết theo thứ tự ngược lại=297 Bài Cho số có hai chữ số Nếu lấy số chia cho hiệu chữ số hàng chục hàng đơn vị thương 18 dư Tìm số cho? Bài Tìm , biết: Bài Tìm chữ số thỏa mãn: a b Bài Tìm số tự nhiên có năm chữ số, biết viết thêm chữ số vào đằng sau số số lớn gấp ba lần số có cách viết thêm chữ số vào đằng trước số Bài Tìm số tự nhiên có tận 3, biết xóa chữ số hàng đơn vị số giảm 1992 đơn vị Bài Tìm ba chữ số khác khác 0, biết dùng ba chữ số lập thành số tự nhiên có ba chữ số hai số lớn có tổng 1444 Bài 10 Hiệu hai số Nếu tăng số gấp ba lần, giữ nguyên số hiệu chúng 60 Tìm hai số Bài 11 Tìm hai số, biết tổng chúng gấp lần hiệu chúng, tích chúng gấp 24 lần hiệu chúng Bài 12 Tích hai số 6210 Nếu giảm thừa số đơn vị tích 5265 Tìm thừa số tích Bài 13 Một học sinh nhân số với 463 Vì bạn viết chữ số tận tích riêng cột nên tích 30524 Tìm số bị nhân? Bài 14 Tìm thương phép chia, biết thêm 15 vào số bị chia thêm vào số chia thương số dư không đổi? Bài 15 Khi chia số tự nhiên gồm ba chữ số cho số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau, ta thương cịn dư Nếu xóa chữ số số bị chia xóa chữ số số chia thương phép chia số dư giảm trước 100 Tìm số bị chia số chia lúc đầu Bài 16 Một số có chữ số, tận chữ số Nếu chuyển chữ số lên đầu ta số mà chia cho số cũ thương dư 21 Tìm số Bài 17 Tìm số tự nhiên có chữ số, biết viết thêm chữ số vào đằng trước số số lớn gấp lần so với số có cách viết thêm chữ số vào sau số Bài 18 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên phải chữ số vào bên trái số tăng gấp 36 lần Bài 19 Cho hai số có chữ số chữ số mà tổng hai số 2750 Nếu hai số viết theo thứ tự ngược lại tổng hai số 8888 Tìm hai số cho Bài 20 Một số tự nhiên có hai chữ số tăng gấp lần viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục hàng đơn vị Tìm số Bài 21 Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết số vừa chia hết cho chia hết cho 9, hiệu số với số viết theo thứ tự ngược lại 297 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Gọi số phải tìm là: Số có ba chữ số chia hết cho 25 Ta có: VT (1) lẻ nên VP lẻ suy (loại) HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Gọi số phải tìm : Số có ba chữ số chia hết cho 25 Ta có: VT (1) lẻ nên VP lẻ suy loại Bài Gọi số phải tìm : số sau : , giả sử , ta có : , mà : Suy có tận suy Thử lại Bài Gọi số cần tìm : , số viết theo thứ tự ngược laị : Theo đầu ta có Mà Vì: +) nên +) nên mà , thử lại , thử lại: Vậy có hai số cần tìm: 360 855 Bài Gọi số phải tìm là: Theo ta có : Vì +) số chẵn nên b chẵn suy nên Tương tự : ( vô lý ) thỏa mãn Vậy số cần tìm là: 94 Bài Có : Vì STN nên 1977 STN chia hết cho STN lẻ Do suy d ... cịn lại có 81 số Suy ta tất số từ 10 00 đến 10 000 có chữ số giống gồm số Bài 5: Có số có chữ số mà tổng chữ số 3? Hướng dẫn 3000 10 11 20 01 111 0 210 0 12 00 10 02 11 01 2 010 10 20 số Bài 6: Tính nhanh... cộng có 13 số Bài 10 a) Ghi bảy số: b) 11 51 100 Bài 11 Biểu thị số lại sau xố chữ số phần số phải tìm gồm 10 phần đơn vị, hiệu chúng 19 92 Đáp số: Số phải tìm 2 213 Bài 12 Đáp số: 10 2 564 Bài 13 Giả... ; e) Bài Có ba đáp số: Bài Có 12 số: - Chữ số đứng đầu: 3 312 ; 33 21; 3 213 ; 32 31; 312 3; 313 2 - Chữ số đứng đầu: 213 3; 2 313 ; 23 31 - Chữ số đứng đầu: 12 33, 13 23, 13 32 Bài Các số chứa chữ số X là: