1305 Nhìn về một đẳng thức tích phân.docx

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Phạm Quốc Phong NHÌN VỀ MỘT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN PHẠM QUỐC PHONG* TĨM TẮT Bài viết này, trình bày xâu chuỗi hệ đẳng thức tích phân liên hệ hai hàm số có đồ thị đối xứng với qua đường thẳng phương với trục tung Từ khóa: tích phân, tích phân đặc biệt, xâu chuỗi, đồ thị đối xứng ABSTRACT A glance at an integration equality This paper presents the series of corollaries of an integration equality which relates to two functions with the symmetrical graphs to each other across a straight line parallel to the vertical axis Keywords: integration, specific integration, series of, symmetrical graphs Mở đầu Xâu chuỗi toán yêu cầu vô cần thiết dạy học toán Chỉ xâu chuỗi toán, tìm tốn gốc, ta thấy đường lối chung chất phương pháp giải Bài viết đề cập đến xâu chuỗi hệ đẳng thức tích phân liên hệ hai hàm số có đồ thị đối xứng với qua đường thẳng song song với trục tung Tính chất & hệ Tính chất Với hàm số f(x) liên tục [a; b] ta ln có b b ∫ f (x)dx = a a ∫ f (a + b − x)dx (Dễ dàng chứng minh định lí cách đổi biến x = a + b − t.) Chú ý Trên đoạn [a; b], đồ hai hàm số y = f(x) y = f(a + b − x) đối xứng với qua đường thẳng x= a+b (xem hình vẽ) b Lời bình Tính chất cho ta cách nghĩ thay tính tích phân ∫ f(x)dx , ta tính a b tích phân ∫ f (a + b − x)dx , cách đổi biến x = a + b − t a * Ý kiến trao đổi Nhà giáo Ưu tú, nguyên GV Trường THPT Hồng Lĩnh tỉnh Hà Tĩnh Số 36 năm 2012 y O y = f(a + b x) y = f(x) A' B A B' ab a bx Từ chất ta thu hệ sau : Hệ Cho a, b ∈ □ , a ≠ Với hàm số f liên tục [−1; 1] ta có π π a+ b ∫ π b 4a − a+ b f (sin ax )dx = ∫ π b 4a f (cos ax )d x − Hệ Với hàm số f liên tục [a; b], với p, q∈ □ , k ∈ □ ta có b b pf(x) + qf (a + b − x) pf (a + b − x) + qf (x) = ∫ [f (x) + f (a + b − x)]k dx ∫ [f (x) + f (a + b − x)]k dx a Đặc biệt k = ta có : b b pf(x) + qf (a + b − x) pf (a + b − x) + qf (x) ( p + q)(b − a) ∫ f(x) + f (a + b dx = f(x) + f (a + b − dx = x) − x) ∫ • a a b pf(x) + qf (a + b − x) dx b Khai thác hệ 2, ta tính tích phân kiểu ∫ f(x) f k (x) k [f (x) + f (a + b − x)] ∫ k ∫a f(x) + f (a + b − x)dx thuật đổi biến x = a a [f (x) + f (a + b − x)] dx + b , p ≠ −q ta ln có : b − t mà không cần chút thông minh Hệ Với hàm liên tục [a; b], với p, q ∈ □ b ∫ a f(x)dx = a+b b p + q a∫ [p.f(x) + q.f (a + b − x)]dx b = ∫ [f (x) + f (a + b − x)]dx = a ∫ a+b [f (x) + f (a + b − x)]dx Lời bình Nếu biết tổng p.f(x) + q.f(a + b − x) tính tích phân b ∫ f(x)dx , mà khơng cần biết hàm số y = f(x) a Hệ Nếu f(x) hàm liên tục thoả mãn f(x) = f(α + β − x) với x ∈ [α; β ] α+ β β i) ∫ f(x)dx = α+β α α+β β ∫ x.f (x)dx = α β ∫ f(x)α +β α dx = a β ∫ f (x)dx α β iii) f (x)dx f (x)dx = ∫ ∫ α ii) β x− α+ β ∫ 1+ a x α + fα (x) dx +β = x− a β β ∫ ∫ f(x)dx = f(x)dx α+ β α 2 • Đặc biệt α + β = từ i) ta có: Nếu f(x) hàm chẵn liên tục đoạn [−a; a] a a ∫ −a a f (x)dx = 2∫ f (x)dx; ∫ x.f (x)dx = −a • Trong ii): Với f(x) = sinax, a ≠ ta có π π +b 2a π ∫ −b 2a Thí dụ x.f (sin ax)dx = f (sin ax)dx +b 2a π 2a π ∫ β dx −b 2a Cho a > a ≠ Tính theo α, β tích phân ∫ α α+ β 1+ ax Lời giải Đặt x = α + β − t suy β dx 1α +β = β ∫ dx = β−α ∫  α 1+ a x− 2α 2 n  xdx Thí dụ Tính tích phân I = ∫ n  x  n  x , với n ∈ □ −2 Lời giải Đặt x = −2 + − t = − t suy I = 12 dx =  π 4a Thí dụ Cho a > Tính theo a tích phân I = ∫ ∫ −2 ln(1+ tan ax)dx Lời giải π Đặt x = suy − t 4a ) Thí dụ Tính tích phân I = ∫ π 4a I= ⇔ ∫ π ln I= 8a ln 2dt − I (1+ 2x dx (x − 6x + 10) 1+ log ln(1+ x2 ) + ln(x2 − 6x +10) (x − 6x +10) 2 ln(1+ x2 ) = (1+ x ln(1+ x2 )dx Đặt x = − t suy I =∫ ln(x2 +1) + ln[(3 − x)2 +1] Lời giải Ta có 1+ log Vậy nên 12 I= 1∫ dx =  π Thí dụ Tính tích phân I= ln ∫ π Lời giải Ta có I = ln ∫ (1+ sin x)1+cos x 1+ cos x (1+ sin x)1+cos x dx = 1+ cos x = = dx π π ∫ 1+cos x ln(1+ sin x) dx − π 2 ∫ ln(1+ cos x)dx π ∫ [(1+ cos x) ln(1+ sin x)]dx − ∫ ln(1+ cos x)dx π π 2 ∫ [ ln(1+ sin x)] − ln(1+ cos x)]dx0 + 10 –––––2–––––3 ∫ [ cos x.ln(1+ sin x)]dx A π 2 Theo hệ ta có A = nên I = ∫ ln(1+ sin x)dx(1+ sin x) = ∫ ln xdx = ln −1  thoả mãn : Thí dụ Tính ∫ □ −3 f(x)dx , biết f(x) hàm số liên tục 2.f (x) + 3.f (−2 − x) = x42 −12 x +x +1 1 Lời giải Thay ∫ f (−2 − x)dx = −3 −3 ∫ f (x)dx ta có −3 ∫ [2f(x) + 3f (−2 − x)]dx = ∫ f (x)dx −3  ∫ ⇒ −3 1 x2 −1 1 x2  x 1 = 10 ln 39  f(x)dx = ∫ dx = ln x + x + 10 x2  x 1   −3   −3 Thí dụ Cho a ∈ □ Tính theo S tích phân A = (P) ∫ [x3 − 2x2 + (1+ a2 )x]dx , biết −1 hình phẳng (H) giới hạn parabol f(x) = x2 − 2x + + a2, trục Ox, x = 1, x = có diện tích S Lời giải Để ý f(x) = x2 − 2x + + a2 = (x − 1)2 + a ≥ suy ∀x ∈ □ có f(x) ≥ 3 f(x) = f(2 − x) Vậy nên theo giả thiết có S = |f (x) |dx = ∫ ∫ f (x)dx : 1 Ta có A = 3 ∫ [x3 − 2x2 + (1+ a2 )x]dx = −1 ∫ x[x2 − 2x + (1+ a2 )]dx = −1 ∫ f(x)dx = ∫ x f (x)dx −1 Đặt x = − t với ý f(x) = f(2 − x) suy Đặt x = − t với ý f(x) = f(2 − x) suy A= f(x)dx B= f(x)dx + ∫ ( 1) 2–3 1– B −1 − ∫ f(x)dx = −1 ∫ ∫ f(x)dx = S Thay vào (1) có A = 2S  Tích phân no tích phân khơng no Trở lại Hệ 2, xét tích phân dạng b f k (x)  □ a, b, θ ∈ □  I=∫ dx l [f (x) + p.f (θ − x)] □ p, k, l ∈ □   a (vừa chứa f(x) f(θ − x)) • Nếu a + b = 2θ , việc tính I thường thực cách đổi biến x = a + b − t b f k (x) Ta nói I = ∫ dx tích phân no (Các Thí dụ trình bày l a [f (x) + pf (a + b − x)] tích phân no) • b f k (x) Nếu a + b ≠ 2θ , ta nói I = ∫ dx tích phân khơng no l [f (x) + pf (a +thực b − x)] Việc tính tích phân khơng no I thường cách thêm bớt vào I tích phân b f k (θ − x) J=∫ dx để đưa tính tích phân đơn giản l a [f (x) + p.f (θ − x)] (Chú ý: Với tích phân không no, phép đổi biến x = a + b − t không trả lại cận ban đầu, việc tính tích phân chưa thể gọn gàng ngay.) Sau Thí dụ tích phân khơng no π cos xdx Thí dụ Tính tích phân I = ∫  tan x π3 cos xdx Lời giải Ta có I =  tan x = ∫  2∫ π π 3 π3 π3 cos2 x dx = 2∫(3cos2 x  sin2 x) 1 dx cos x + sin x cos x  sin x 0 dx (1) 2+ ∫6 ( cos x − sin x)dx 3x cos x + sin ∫ 0 –––2–––3 ––2––3 A B −1 Dễ dàng có A = , B= b ln Thay vào (1) có b f (x) J = [f (x) + p.f (θ − x)] a dx −1+ ln  k Lời nhắn Người ta nói : I = ∫ I= l ∫ a f k (θ − x) [f (x) + p.f (θ − x)]l dx hai tích phân liên kết với π 96 sin xdx Thí dụ Tính tích phân I = (sin ∫ x  cos x)3 π6 Lời giải Ta có I = ∫ 96 sin xdx (sin x  cos x)3 π6 = 24∫ π cos x) (sin x + − 3(cos x − (sin x + cos x)3 sin x) dx π = 24 6∫ dx d(sin x  cos x) (sin cos x)2 − 243  (sin x  cos x)3 –––2–––3 10 x+ –––2–––3 A B (1) Dễ dàng có A= 12 , B= 24 Thay vào (1) có I =  Lời bình Với a, p, q ∈ □ , a ≠ 0, với k ∈ □ ta ln có π π +b 4a ∫ π −b 4a p sin ax + q cos ax = (sin ax + cos ax)k +b 4a dx ∫ π p cos ax + q sin ax dx (sin ax + cos ax)k −b 4a (Nhưng thuận lợi tính với k = 0, 1, 2, 3) 4 Bài tập (P) Bài Tính tích phân sau P 11 ) π4 9sin 2x − cos 2x ∫ P ) (sin 2x + cos 2x)3 ∫ sin x dx cos x − 3π 16 sin( ∫ ln π x sin π xdx 1+ cos + x) P 5) ∫ dx cos x π 16 Bài Tính tích phân sau x− π x cos 1P) 12 cos2 x −1 dx 44P) 23π ∫ dx −3 2P) 1+ ∫ − π x( + x + − x ) dx 1+ 5x−2 Bài 1) Tính tích phân ∫ f(x)dx , f(x) hàm số liên tục thoả mãn: □ π −3 f(x) + 3f(−x) = 2x + tanx 3e 2)Tính ∫ f(x)dx , biết f(x) hàm số liên tục □ thoả mãn : e f(x) + f(4e − x) = Bài Cho a ∈ x ln x □ Tính A = hạn ∫ [x3 − ax2 + (a −1)x]dx , biết hình phẳng (H) giới −1 parabol f(x) = x2 − ax + a − , trục Ox, x = −1, x = có diện tích S Bài Cho a ∈ □ Tính A = giới ∫ −1 x lg(x2 − 6x +10 + a2 )dx , biết hình phẳng (H) hạn đồ thị f(x) = ln(x2 − 6x + 10 + a2), trục Ox, x = 3, x = có diện tích S TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ Giáo dục & Đào tạo (2008), Giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục Phan Đức Chính, Vũ Dương Thuỵ, Tạ Mân, Đào Tam, Lê Thống Nhất (1995), Bài giảng luyện thi mơn Tốn, Nxb Giáo dục Phan Huy Khải (1995), Giải tích−Tốn nâng cao cho lớp 12, Nxb Khoa học Kĩ thuật Phạm Quốc Phong (2008), Bồi dưỡng giải tích 12, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội (Ngày Tòa soạn nhận bài: 04-10-2011; ngày chấp nhận đăng: 24-4-2012) ... ∫ dx tích phân no (Các Thí dụ trình bày l a [f (x) + pf (a + b − x)] tích phân no) • b f k (x) Nếu a + b ≠ 2θ , ta nói I = ∫ dx tích phân khơng no l [f (x) + pf (a +thực b − x)] Việc tính tích. .. vào I tích phân b f k (θ − x) J=∫ dx để đưa tính tích phân đơn giản l a [f (x) + p.f (θ − x)] (Chú ý: Với tích phân khơng no, phép đổi biến x = a + b − t khơng trả lại cận ban đầu, việc tính tích. .. 2–3 1– B −1 − ∫ f(x)dx = −1 ∫ ∫ f(x)dx = S Thay vào (1) có A = 2S  Tích phân no tích phân khơng no Trở lại Hệ 2, xét tích phân dạng b f k (x)  □ a, b, θ ∈ □  I=∫ dx l [f (x) + p.f (θ −