1108 Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán đàn nhớt tuyến tính tựa tĩnh.docx

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 14 năm 2008 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO BÀI TOÁN ĐÀN NHỚT TUYẾN TÍNH TỰA TĨNH Trịnh Anh Ngọc1 Giới thiệu Bài toán tựa tĩnh lý thuyết đàn nhớt tương tự toán trường hợp đàn hồi ngoại trừ quan hệ ứng suất – biến dạng thay (u ( s))ds , t (0) ε =C σ ij z (u (t )) − ijkl ∂ Cijkl (t − s) kl u = (ui (x, t)) (1) ε ∂s trường chuyển dịch, σ = (σ ij (x, t )) trường tenxơ ứng suất, ε = (ε ij (x, t )) tenxơ biến dạng, xác định từ chuyển dịch nhờ hệ thức ε = +u ), (u ij i,j C = (Cijkl (x, t)) (2) j ,i tenxơ chùng ứng suất thỏa điều kiện đối xứng Cijkl = Cjikl , Cijkl = Cijlk , Cijkl = Cklij (3) Với vật liệu đàn nhớt ứng xử tức thời đàn hồi [3], nghĩa tồn số c0 > cho Cijkl (0)ξ ij ξ kl > c0ξ ij ξ ij (4) Để đơn giản cách viết, phương trình (1), thường ta không ghi rõ phụ thuộc đại lượng vào biến không gian x biến thời gian t không gây ngộ nhận Trong khoảng thời gian I = 0, T , xét vật thể đàn nhớt tuyến tính chiếm miền Ω ⊂ Rd (d=1,2,3) tập mở bị chặn với biên Γ = ΓD ∪ ΓN quy, giả thiết meas(ΓD ) > Lực tác dụng lên vật gồm: lực thể tích f = ( fi (x, t)) x ∈Ω , t ∈[0,T] ; lực mặt g = ( gi (x, t)) , x ∈ΓN , t ∈[0,T] Trên phần biên ΓD vật giữ cố định Bài toán tựa tĩnh lý thuyết đàn nhớt tuyến tính phát biểu sau: Tìm hàm u = u(x, t) Ω× I , (5) thỏa − σ ij , j = fi u=0 ΓD × I , (6) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM TS – Trường ĐH KHTN TP HCM Trịnh Anh Ngọc σ ij n j = gi u(0) = u0 ΓN × I , (7) Ω, (8) ứng suất σ liên hệ với chuyển dịch u thông qua (1) (2) Có nhiều phương pháp giải số tốn biên tựa tĩnh Một phương pháp thông dụng phương pháp đặt sở phép biến đổi Laplace nguyên lý tương ứng lý thuyết đàn nhớt tuyến tính [5] Trong số trường hợp đặc biệt tốn nhận phương pháp có dạng tương tự toán lý thuyết đàn hồi cổ điển, điều thu hút ý nhiều nhà tính tốn số Tuy nhiên, biết, tốn biến đổi ngược Laplace tốn khơng chỉnh độ xác kết phụ thuộc vào nhiều yếu tố Một cách tiếp cận khác áp dụng phép rời rạc hóa theo biến khơng gian dựa phát biểu biến phân “nửa yếu”, cách tốn dẫn hệ phương trình tích phân Volterra loại hai Sau áp dụng phương pháp chọn điểm (collocation method) giải hệ phương trình tích phân S Shawetal., [6], áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để xấp xỉ toán theo biến không gian, với thời gian tác giả xấp xỉ số hạng tích phân phép cầu phương Vấn đề sai số tác giả dẫn theo [1] Gần hơn, [7], S Shaw đưa cách tiếp cận rời rạc không gian lẫn thời gian phương pháp phần tử hữu hạn sở công thức biến phân đầy đủ Cách làm dẫn đến công thức xấp xỉ khác (với quy tắc cầu phương cổ điển) số hạng tích phân Trong áp dụng cách tiếp cận thứ hai để giải gần toán (5)-(7) kếp hợp với (1), (2) Cách rời rạc hóa theo biến khơng gian tương tự [6,7], đây, đặc biệt quan tâm đến cách xấp xỉ theo biến thời gian Phép cầu phương thực công thức khác nhau, có ý đến sai số cơng thức tiện lợi cài đặt máy tính Phần lại tổ chức sau: Mục trình bày cơng thức biến phân nửa yếu toán xấp xỉ phần tử hữu hạn theo biến không gian Mục giới thiệu công thức tích phân số để xấp xỉ tốn Mục theo biến thời gian Một thí số cho mục để minh họa cách áp dụng đánh giá (theo quan điểm thực hành) phương pháp Rời rạc hóa theo biến khơng gian 2.1 Phát biểu biến phân nửa yếu Ký hiệu H1(Ω) = (H1(Ω))d không gian Hilbert với tích (w, v) = (wi , vi ) H (Ω) chuẩn tương ứng ⋅ =(,) Đưa vào không gian hàm thử H = {v ∈H1(Ω) v = treân ΓD} Cố định t ∈ I , nhân phương trình (5) với v ∈ H bất kỳ, nhờ quan hệ ứng suất – biến dạng (1), sau số biến đổi ta tốn phân nửa yếu: Tìm hàm u(t) ∈ L(0, T; H) thỏa z t A(u(t), v) = L(t; v) + B(t, s;u(s), v)ds (9) với v ∈ H , z z A(w, v) = Cijkl (0)ε kl (w)ε ij (v)dΩ , (10) Ω ∂ Cijkl (t − s) B(t, s; w, v) = ε L(t; v) = z (w)ε ij (v)dΩ , (11) ∂s Ω v ⋅ fdΩ + Ω kl v ⋅ gdΓ (12) ΓN Như hệ định lý 7.2, [2], tr 189, ta có định lý sau Định lý Dưới giả thiết: (i) Các thành phần tenxơ chùng ứng suất Cijkl (t ) hàm đơn điệu giảm theo t ( t ∈ I ), có đạo hàm theo cấp theo t thuộc L1(0, T, L∞ (Ω)) ; nữa, tồn số c1 cho Cijkl (t )ξ ijξ kl > c1Cijkl (0)ξ ij ξ kl (13) với tenxơ đối xứng (ξ ij ) ; (ii) f ∈ L1(0,T ; L2 (Ω)) g ∈ L1(0,T ; L2 (ΓN)) Thì tốn (10) tồn nghiệm 2.2 Bài toán xấp xỉ phần tử hữu hạn – Hệ phương trình tích phân Volterra loại hai Phân hoạch miền Ω thành ne phần tử hữu hạn tuyến tính (n-đơn hình) Rd Mỗi phần tử hữu hạn có d +1 nút Chuyển dịch nút α qα = {q α ,, q α }T ( α = 1,, d +1) (14) d Vectơ chuyển dịch phần tử {q} = {q1 ,, q }T (15) Nα = λ α I n , (16) Các hàm dạng λα tọa độ trọng tâm, Id ma trận đơn vị cấp d Ma trận hàm dạng phần tử: [N] = [N1 ,, Nd +1 ] (17) Trong phần tử tương ứng, vectơ chuyển dịch u xấp xỉ u = [N]{q} (18) Vectơ biến dạng phần tử e = [ε 11 , ε 22, ε 33, γ 23 , γ 13, γ 12 ]T , e = Dε u = [E]{q} , (19) [E] = Dε [N] với Dε toán tử đạo hàm L 0∂ 0M∂ M 0 D =M ∂ M∂ M ∂ N∂ ε 3 ∂3 ∂2 ∂1 (20) Vectơ ứng suất phần tử s = [σ ,σ ,σ ,σ ,σ ,σ ]T , s z 11 t 22 33 23 13 ∂ [ D( t − s)] = [D(0)]e(t) − e(s)ds ∂t s = [D(0)][E]{q(t)} − ∂ [D(t − s)][E]{q(s)}ds ∂s 12 z (21) [D] ma trận hàm chùng ứng suất suy từ tenxơ C Từ công thức ta đưa vào ma trận độ cứng phần tử e z [K (t)]e = [E]eT [D(t)][E]e dΩ Ωe Ma trận [G(t − s)]e = ∂ [K (t − s)]e ∂s (22) (23) liên quan đến ảnh hưởng lịch sử biến dạng, gọi ma trận di truyền phần tử Vectơ tải phần tử: {p}e = z [N]eT f e dΩ + Ωe ΓNe z [N]eT g e dΓ (24) Bằng cách “lắp ghép” từ (10) ta tốn xấp xỉ phần tử hữu hạn: Tìm hàm vectơ t  {q(t)} thỏa phương trình tích phân Volterra loại hai [K (0)]{q(t)} = {p(t)} + z t [G(t − s)]{q(s)}ds , (25) [K (t)],[G(t)],{q},{p} ma trận vectơ toàn cục Định lý Dưới giả thiết định lý 1, toán nửa rời rạc (25) tồn nghiệm Rời rạc hóa theo biến thời gian 3.1 Các công thức cầu phương Để giải phương trình (25) ta tính xấp xỉ tích phân vế phải phương trình z t [G(t − s)]{q(s)}ds , nghĩa là, rời rạc hóa phương trình theo biến thời gian Chia khoảng thời gian I thành nt khoảng lưới τ = {0 = t1 < t2