Nếu không có họ thì chắc chắn rằng tôi và các em của tôi sẽ không thể có được những đề thi thử, những bài tập thực sự chất lượng, sáng tạo để làm như ngày hôm nay! Ngoài ra, tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn tới chị Nguyễn Hương – thành viên của phòng biên tập Nhà sách Lovebook. Chị đã rất tận tình hướng dẫn tôi những kỹ thuật xử lý file word cần thiết nhất. Nếu không có chị thì có lẽ tôi đã không thể tạo ra được những file tài liệu ưu nhìn như bây giờ Cuối cùng, tôi xin được lời cảm ơn tới hơn 28 000 người em đang follow facebook tôi (https://www.facebook.com/huyenvu2405) và Mail (huyenvu2405@gmail.com). Nếu không có những tin nhắn, comment, email đón nhận tài liệu, tình cảm của tôi thì có lẽ tôi đã không có đủ động lực để hoàn thành cuốn ebook này. Tình cảm và sự tin tưởng của họ dành cho tôi đã tạo động lực giúp tôi mạnh mẽ, vượt qua những khó khăn và lạ lẫm trong quãng thời gian sinh viên năm Nhất còn non nớt. Các em của tôi đã trở thành một phần không thể thiếu trong cuộc đời tôi. Tôi biết ơn các em rất nhiều! Một lần nữa, xin cảm ơn tất cả!
NGỌC HUYỀN LB (facebook.com/huyenvu2405) Đáp án chi tiết Đây tài liệu nhỏ chị tổng hợp để dành tặng cho TẠP CHÍ em nhân ngày Valentine 2017 Tuy có đề, TỐN HỌC & khó khăn q trình ơn luyện! TUỔI TRẺ (Tháng 11/2016 – Tháng 02/2017) chị tin giúp ích cho em phần NGỌC HUYỀN LB Tác giả Bộ đề tinh túy Toán & Chắt lọc tinh túy toán Đáp án chi tiết tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ Đời phải trải qua giông tố không cúi đầu trước giông tố! Đừng bỏ Em nhé! Chị tin EM làm được! Ngọc Huyền LB Đã nói làm – Đã làm khơng hời hợt – Đã làm – Đã làm không hối hận! facebook.com/huyenvu2405 Đáp án chi tiết Tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ LỜI CẢM ƠN NGỌC HUYỀN LB Để hồn thiện ebook tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới bốn thầy cô giáo sau: 1- Thầy NGUYỄN THANH GIANG - Gv chun Tốn - Phó hiệu trưởng THPT chuyên Hưng Yên (ra đề số tháng 11/2016) 2- Thầy PHẠM TRỌNG THƯ - Gv chuyên Toán - THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp (ra đề số tháng 12/2016) 3- Thầy NGUYỄN VĂN XÁ - Gv Toán - THPT Yên Phong, Bắc Ninh (ra đề số tháng 1/2017) 4- Cô ĐẶNG THỊ QUỲNH HOA - Thạc sĩ- GV Toán - THPT Nghèn, Hà Tĩnh (ra đề số tháng 2/2017) Nếu khơng có họ chắn em có đề thi thử, tập thực chất lượng, sáng tạo để làm ngày hôm nay! Ngồi ra, tơi xin gửi lời cảm ơn tới chị Nguyễn Hương – thành viên phòng biên tập Nhà sách Lovebook Chị tận tình hướng dẫn kỹ thuật xử lý file word cần thiết Nếu khơng có chị có lẽ tạo file tài liệu ưu nhìn Cuối cùng, tơi xin lời cảm ơn tới 28 000 người em follow facebook (https://www.facebook.com/huyenvu2405) Mail (huyenvu2405@gmail.com) Nếu tin nhắn, comment, email đón nhận tài liệu, tình cảm tơi có lẽ tơi khơng có đủ động lực để hồn thành ebook Tình cảm tin tưởng họ dành cho tạo động lực giúp mạnh mẽ, vượt qua khó khăn lạ lẫm quãng thời gian sinh viên năm Nhất non nớt Các em trở thành phần thiếu đời Tôi biết ơn em nhiều! Một lần nữa, xin cảm ơn tất cả! Giải chi tiết tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ (Tháng 11/2016 – Tháng 02/2017) Đ SỐ ThS ĐẶNG THỊ QUỲNH HOA Đ đăng Báo THTT tháng / Câu Trong đồ thị đây, đồ thị đồ thị hàm số y x4 x2 ? y y Đ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 90 phút O x -1 O x -3 A song song với đường thẳng x y 24 có phương trình A y x B y C y x D y x 24 A m 3 B m Câu Tìm m để đồ thị hàm số y x4 2mx2 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích C m 3 B Câu Cho C : y x3 3x Tiếp tuyến C y x 8; y x 24 -1 Ngọc Huyền LB D m Câu Cho hàm số y f x có đồ thị đường cong y hình bên Khẳng định sau khẳng định đúng? O -1 x -3 y O x 2 C Câu Kết luận sau tính đơn điệu hàm 2x số y đúng? x 1 A Hàm số nghịch biến \ 1 B Hàm số nghịch biến ;1 1; C Hàm số đồng biến \ 1 D Hàm số đồng biến ;1 1; Câu Giá trị lớn hàm số y x3 3x đoạn 0;1 A B C D Câu Cho hàm số y x x Số giao điểm đồ thị hàm số trục Ox A B C D Câu Hàm số y x3 x 3x đồng biến A 2; B 1; C ;1 3; O D -2 A Hàm số đạt cực đại x đạt cực tiểu x2 B Hàm số có giá trị cực tiểu C Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ 2 D Hàm số có ba cực trị Câu 10 Một người cần từ khách sạn A bên bờ biển đến đảo C Biết khoảng cách từ đảo C đến bờ biển 10 km , khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B bờ gần đảo C 40 km Người đường thủy đường đường thủy (như hình vẽ đây) Biết kinh phí đường thủy USD / km , đường USD / km Hỏi người phải đường khoảng để kinh phí nhỏ nhất? ( AB 40 km, BC 10 km ) C D 1;3 Câu Số đường tiệm cận đứng ngang đồ thị 3x hàm số y x 4 A B C D x 10 km A A D 40 km B 15 65 km B km C 10 km 2 D 40 km Lovebook.vn| Ngọc Huyền LB Câu 11 Tọa độ giao điểm đồ thị hàm số y đường thẳng y 2 x A 2; 4 x2 x 1 B ;1 Câu 12 Nghiệm phương trình x1 A x B x 2 C x D x Câu 13 Đạo hàm hàm số y log3 x B y ' x A y ' x ln ln C y ' x D y ' x ln 1 Câu 14 Nghiệm bất phương trình 27 3 A x B x C x 1 D x 1 Câu 15 Tập xác định hàm số y log x x x B D 0;2 A D 0;2 C D 0;2 \ 1 D D 0;2 \ 1 Câu 16 Trong hàm số đây, hàm số đồng biến ? B y log x 1 1 A y 2 x D y log x 1 C y log x 1 Câu 17 Cho số thực dương a, b, c với c Khẳng định sau sai? a A log c log c a log c b b b B log c2 log c b log c a a a ln a ln b C log c ln c b 2b logc logc b logc a a D Câu 18 Đạo hàm hàm số y A y ' B y ' C y ' x x ln 2 x x ln 2 x x ln Lovebook.vn|4 log x x2 x x ln x x ln x x x ln x D y ' x ln 2 x x ln x Câu 19 Đặt log12 27 a Hãy biểu diễn log6 16 theo a 1 D 2;4 , ; 1 1 C 2; 2 The best or nothing 4a 12 12 4a B log 16 a3 a3 12 4a 12 4a C log 16 D log 16 a3 a 3 Câu 20 Cho số thực dương a, b với a A log 16 loga b Khẳng định sau đúng? a, b A 0 a b 0 b a C 1 a, b a, b B 1 a, b a, b D 0 a b Câu 21 Người ta thả bèo vào hồ nước Giả sử sau t giờ, bèo sinh sơi kín mặt hồ Biết sau giờ, lượng bèo tăng gấp 10 lần lượng bèo trước tốc độ tăng khơng đổi Hỏi sau số bèo phủ kín hồ? t t 10t A B C t log3 D log 3 Câu 22 Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x liên tục a; b , trục hoành hai đường thẳng x a, x b tính theo cơng thức sau đây? A S f x dx b C S f x dx a b B S f x dx b D S f x dx a b Câu 23 Nguyên hàm hàm số f x a a A F x ln x 1 C B F x log32 x 1 C D F x ln x C C F x x 1 1 x 1 C Câu 24 Một ca nô chạy hồ Tây với vận tốc 20 m / s hết xăng Từ thời điểm đó, ca nơ chuyển động chậm dần với vận tốc v t 5t 20 m / s , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc hết xăng Hỏi từ lúc hết xăng đến lúc dừng hẳn, ca nô mét? A 10 m B 20 m C 30 m D 40 m Câu 25 Giá trị tích phân I x x 1dx Giải chi tiết tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ (Tháng 11/2016 – Tháng 02/2017) 2 1 C 2 A 2 1 D 2 B Câu 26 Giá trị tích phân I x sin x dx C D 2 Câu 27 Thể tích vật thể trịn xoay quay hình x phẳng giới hạn đường y , y , x , x quanh trục Ox 21 A 6 B C 12 D 8 16 Câu 28 Một nguyên hàm F x hàm số A 1 B f x 2sin x x cho đồ thị hai hàm số F x , f x cắt điểm thuộc Oy 2 A cos5 x x 2 B cos5 x x 2 C cos5 x x 2 D cos5 x x 3 x x 1 x x x x x x2 Câu 34 Cho số phức z thỏa mãn z z i Tập hợp điểm biểu diễn số phức z A Đường tròn tâm I 1;2 , bán kính R B Đường thẳng có phương trình x y C Đường thẳng có phương trình x y 12 D Đường thẳng có phương trình x y Câu 35 Hình hộp chữ nhật có độ dài ba cạnh xuất phát từ đỉnh 2, 3, Thể tích hình hộp là: A 24 B C 12 D Câu 36 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy SA a Thể tích V khối chóp S.ABC A V 3a3 a3 B V 3a 3a3 C V D V 2 Câu 37 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A ' B 'C ' có góc hai mặt phẳng A ' BC ABC 600 , cạnh AB a Thể tích V ABC.A' B ' C ' là: A V 3a3 khối lăng trụ B V 3a3 3a3 3a3 D V 4 Câu 38 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD C V Câu 29 Cho số phức z i Tìm phần thực phần ảo số phức z A Phần thực 3, phần ảo B Phần thực 3 , phần ảo C Phần thực 3, phần ảo 2 D Phần thực 3 , phần ảo 2 Câu 30 Cho số phức z i Số phức liên hợp D 4;5 z có điểm biểu diễn A 4;5 B 4; 5 C 5;4 Câu 31 Giả sử z1 z2 nghiệm phức phương trình z z 13 Giá trị biểu thức A z1 z2 Ngọc Huyền LB A 18 B 20 C 26 D 22 Câu 32 Cho số phức z i Tính mơđun số z 2i z 1 A w B w C w phức w D w Câu 33 Các nghiệm phương trình z tập số phức A 2 B 1 C i i D 1; 1; i i hình vng cạnh a , SA a vng góc với đáy Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng: a a a a B C D 3 Câu 39 Trong không gian, cho tam giác ABC vuông A A , AC a, ABC 300 Tính độ dài đường sinh l hình nón, nhận quay tam giác ABC quanh trục AB B l a C l a D l a 2 Câu 40 Một thùng hình trụ tích 12 , chiều cao Diện tích xung quanh thùng là: A 12 B 6 C 4 D 24 Câu 41 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác vuông B, cạnh AB 3, BC , cạnh bên SA vng góc với đáy SA 12 Thể tích V khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là: 169 2197 A V B V 6 2197 13 C V D V 8 A l 2a Lovebook.vn| Ngọc Huyền LB The best or nothing Câu 42 Người ta cần đổ ống bi nước hình trụ với chiều cao 200 cm , độ dày thành bi 10 cm đường kính bi 60 cm Lượng bê tơng cần phải đổ bi là: A 0,1 m3 B 0,18 m3 D m3 C 0,14 m3 Câu 43 Mặt cầu S có tâm I 1;2; 3 bán kính R có phương trình: A x 1 y 2 z 3 2 2 2 2 2 B x 3 y 2 z 2 C x 1 y 2 z 3 D x 1 y 2 z 3 Câu 44 Trong khơng gian cho đường thẳng d có x y z 1 Một vectơ phương trình d : 1 phương d là: A u 2;0;1 B u 2;0; 1 D u 1;2;3 C u 1;2;3 Câu 45 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho P : x y 3z Q : 2 x y z Khẳng định sau mặt phẳng mặt phẳng B P Q đúng? A P / / Q C P cắt Q D P Q Câu 46 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho Câu 47 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho x 1 y z 1 điểm A 2;0; 1 1 Mặt phẳng P qua điểm A vng góc với đường thẳng d : đường thẳng d có phương trình A x y z B x y z C x y z D x y z Câu 48 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho x2 y2 z mặt phẳng 1 1 P : x y 3z Đường thẳng d nằm đường thẳng : mặt phẳng P cho d cắt vng góc với có phương trình x y 1 z 1 x 1 y z 1 A B 1 1 2 x y 1 z 1 x y 1 z 1 C D 1 1 2 Câu 49 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S : x 1 y 2 z 1 mặt 2 phẳng P : x y z Khẳng định sau đúng? A P cắt S B P tiếp xúc với S C P không cắt S D Tâm mặt cầu S nằm mặt phẳng P mặt cầu S : x y z x y z Xác Câu 50 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A I 1;3; 2 , R B I 1; 3; , R phương trình x y z 2015 Gọi góc định tâm I bán kính R mặt cầu S 2 C I 1; 3;2 , R D I 1;3; 2 , R hai điểm A 1;2; 1 , B 0;4;0 mặt phẳng P có nhỏ mà mặt phẳng Q qua hai điểm A, B tạo với mặt phẳng P Giá trị cos A Lovebook.vn|6 B C D Giải chi tiết tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ (Tháng 11/2016 – Tháng 02/2017) 1C 11D 21C 31C 41B 2B 12B 22C 32B 42A 3A 13A 23D 33D 43A 4C 14B 24D 34D 44C ĐÁP ÁN 5C 6D 15D 16D 25A 26C 35A 36B 45A 46C Ngọc Huyền LB 7C 17D 27B 37A 47C 8D 18A 28C 38B 48D 9A 19B 29C 39A 49B 10B 20B 30A 40A 50D Câu : Đáp án C Dạng toán nhận dạng đồ thị đề cập kĩ đề tinh túy mơn tốn năm 7, nhiên xin nhắc lại bảng dạng đồ thị cách suy luận phía Nhận thấy hàm số đề cho hàm số bậc trùng phương có hệ số a , b.a 2 , đo đồ thị hàm số có dạng W, từ ta chọn C Dưới bảng dạng đồ thị hàm số bậc trùng phương để ta suy luận nhanh Dạng đồ thị hàm số y ax4 bx2 c a a0 a0 Phương trình y ' có ba y y nghiệm phân biệt x O Phương trình y ' có x O y y nghiệm x O O x Ta có ad bc 1 1.1 3 , đo hàm số cho nghịch biến Câu : Đáp án B khoảng xác định Từ ta chọn B Câu : Đáp án A x Ta có x 3x ' 3x x Do x giá trị hàm số đầu mút đoạn ta cần so sánh hai Nhận thấy f f 1 chọn A Câu : Đáp án C x Xét phương trình x x x 2 Câu : Đáp án C x Cách : Xét phương trình y ' x x x 7|Lovebook.vn Ngọc Huyền LB The best or nothing Mặt khác hàm số bậc ba có hệ số a có hai nghiệm phân biệt, đồ thị hàm số có dạng N, nên hàm số đồng biến ; 1 3; Dưới bảng dạng đồ thị hàm số bậc ba, từ ta suy luận nhanh Hàm số y ax3 bx2 cx d a Dạng đồ thị hàm số bậc ba y ax3 bx2 cx d a a0 a0 Phương trình y ' có hai y y nghiệm phân biệt x x O O Phương trình y ' có nghiệm y y kép O x x O Phương trình y ' vô nghiệm y y x O x O Câu : Đáp án D Tiệm cận đứng đồ thị hàm phân thức p x Một trư ng hợp phổ biến thư ng thấy tốn tìm tiệm STUDY TIP: ta ý lí thuyết tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm phân thức mà đề cập chắt lọc tinh túy tốn 2017 bên cận đư ng tiệm cận đứng hàm phân thức ( hàm có dạng f x p x q x hàm đa thức q x Nếu c số thực mà thỏa mãn q c p c , đồ thị hàm số y f x có tiệm cận đứng x c Lovebook.vn|8 , Giải chi tiết tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ (Tháng 11/2016 – Tháng 02/2017) Ngọc Huyền LB Tiệm cận ngang đồ thị hàm phân thức Đặt f x p x q x hàm phân thức, p x q x hàm đa Nếu bậc đa thức tử số p x nhỏ bậc đa thức mẫu số q x , thức y tiệm cận ngang đồ thị hàm số y f x Nếu bậc đa thức tử số p x bậc đa thức mẫu số q x , y a b đư ng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y f x , a, b hệ số hạng tử có bậc cao đa thức tử số p x đa thức mẫu số q x Nếu bậc đa thức tử số p x lớn bậc đa thức mẫu số q x đồ thị hàm số y f x khơng có tiệm cận ngang Lời giải Từ lý thuyết ta có * x 2; x 2 nghiệm phương trình x2 x 2; x không làm cho đa thức tử số 0, x 2; x hai tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho * Hàm số cho có bậc đa thức tử số nhỏ bậc đa thức mẫu số nên đồ thị hàm số cho nhận y tiệm cận ngang Từ ta chọn D Câu : Đáp án C Tiếp tuyến C điểm x0 ; yo có dạng tổng quát y f ' x0 x x0 y0 , tiếp tuyến song song với đư ng thẳng 9x y 24 thỏa mãn x 3 x0 x0 x0 Với x0 3 ta có phương trình y 9x 24 (loại trùng với phương trình đề cho) Với x0 ta có phương trình y 9x Phân tích: Nhiều độc giả khơng ý việc phương trình hai đư ng thẳng trùng nhau, chọn B sai Đề viết phương trình đư ng thẳng dạng 9x y 24 mà y 9x 24 để đánh lừa thí sinh, chọn nhầm STUDY TIP: Với tốn dạng ta ý nhó gọn cơng thức S xB yA y B đáp án Câu : Đáp án D Phân tích: Với m đồ thị hàm số cho có ba điểm cực trị A 0; tọa độ điểm cực đại, hai điểm cực tiểu B m ; m2 C m ; m2 Khi diện tích tam giác ABC tính cơng thức 1 SABC BC.d A; BC m m2 2 Do A điểm cực đại nên m2 , cơng thức tên ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối thu 9|Lovebook.vn Giải chi tiết tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ (Tháng 11/2016 – Tháng 02/2017) Câu 25: Tính tích phân I tan x tan x dx A I C I B I Câu 26: Cho I ln xdx Khi đó: Ngọc Huyền LB 5 D Đáp số khác e A I x ln x x e B I x ln x 1 e C I x ln x 1 1 e ln x e D I 1 Câu 27: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x , trục hoành hai đường thẳng x 1, x 2, biết đơn vị dài trục tọa độ 2cm B S 15 17 C S cm2 cm2 4 1 Câu 28: Rút gọn biểu thức: T Cn0 Cn1 Cn2 Cn , n * n1 n 2n 2n A T B T n 1 C T n1 n1 Cho hai số phức z1 i , z2 2i Trả lời câu hỏi từ Câu 29 đến Câu 32 A S 15 cm D S 17 cm D T n1 n1 Câu 29: Phần thực phần ảo số phức z1 z2 tương ứng bằng: A B i C 1 D A B C D Câu 30: Tìm mơđun số phức z1 z2 13 Câu 31: Trong mặt phẳng Oxy, gọi điểm M , N điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , gọi G trọng tâm tam giác OMN , với O gốc tọa độ Hỏi G điểm biểu diễn số phức sau đây? A i B i C Câu 32: Tìm số phức z thỏa mãn z.z1 z2 i 3 D i 5 5 A z i B z i C z i D z i 2 2 2 2 Câu 33: Xét phương trình z tập số phức Tập nghiệm phương trình là: A S 1 1 B S 1; i C S 1; 2 i D S 2 Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn z z 10 Giá trị lớn giá trị nhỏ z là: A 10 B C D Câu 35: Một hình chóp có 1998 cạnh có mặt? A 1999 B 1998 C 2000 D Cả A, B, C sai Câu 36: Khối trụ trịn xoay có đường cao bán kính đáy thể tích bằng: D Câu 37: Cho khối chóp S.ABC có SA 9, SB 4, SC đơi vng góc Các điểm A ', B', C ' thỏa A 2 B C mãn SA 2.SA ', SB 3.SB ', SC 4.SC ' Thể tích khối chóp S.A' B' C ' là: A 24 B 16 C D 12 45|Lovebook.vn Ngọc Huyền LB The best or nothing độ dài cạnh Câu 38: Khối lăng trụ tam giác có tất cạnh tích bằng: A B 243 D Đáp số khác C 3 Câu 39: Cho ABCD.A' B' C ' D' hình lập phương có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ACD' B' a3 a3 a3 B C D a 4 Câu 40: Một viên đá có dạng khối chóp tứ giác với tất cạnh a Người ta cưa viên đá theo mặt phẳng song song với mặt đáy khối chóp để chia viên đá thành hai phần tích Tính diện tích thiết diện viên đá bị cưa mặt phẳng nói A A a2 B a2 C a2 D Kết khác Câu 41: Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A Mỗi khối đa diện khối đa diện lồi B Hình chóp tam giác hình chóp có bốn mặt tam giác C Chỉ có năm loại khối đa diện D Mỗi cạnh hình đa diện cạnh chung hai mặt Câu 42: Một hình trụ có tâm đáy A, B Biết mặt cầu đường kính AB tiếp xúc với mặt đáy hình trụ A , B tiếp xúc với mặt xung quanh hình trụ Diện tích mặt cầu 16 Tính diện tích xung quanh hình trụ cho A 16 C B 16 D 8 Câu 43: Tìm m để góc hai vectơ: u 1;log 5;log m , v 3;log 3; góc nhọn Chọn phương án đầy đủ A m , m B m m A u1 1;1; B u2 1; 2;0 C m Câu 44: Vectơ sau vectơ phương đường thẳng : C u3 2; 2; 4 D m x 1 y z ? 1 D u4 1; 2; Câu 45: Cho hai điểm A 1;1;0 , B 1; 1; 4 Phương trình mặt cầu S đường kính AB là: B x 1 y z A x y 1 z 2 2 D x 1 y z C x 1 y z 2 Câu 46: Cho hai vectơ u 3; m;0 , v 1;7 2m;0 vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng song song Khi giá trị m là: A B Câu 47: Cho điểm M a; b; c với a , b , c số khác 0, O 0;0;0 gốc tọa độ Gọi A, B, C C D Đáp số khác hình chiếu vng góc M trục tọa độ Ox , Oy , Oz Thể tích khối tứ diện OABC là: A abc abc B abc C B x y z 1 1 C x y z D abc Câu 48: Cho điểm M 1; 2; 1 Viết phương trình mặt phẳng qua gốc tọa độ O 0;0;0 cách M khoảng lớn A x 2y z Lovebook.vn|46 D x y z Giải chi tiết tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ (Tháng 11/2016 – Tháng 02/2017) x t Câu 49: Tìm điểm M đường thẳng d : y t cho AM , với A 0; 2; 2 z 2t Ngọc Huyền LB A M 1;1;0 M 2;1; 1 B M 1;1;0 M 1; 3; 4 C M 1; 3; 4 M 2;1; 1 D Khơng có điểm M thỏa mãn yêu cầu toán x 2t Câu 50: Cho mặt cầu S : x y z 2x 4z đường thẳng d : y t Tìm m để d cắt S z m t 2 hai điểm phân biệt A , B cho mặt phẳng tiếp diện S A B vng góc với A m 1 m 4 B m m 4 C m 1 m D Cả A, B, C sai 47|Lovebook.vn Ngọc Huyền LB The best or nothing ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT 1C 11C 21D 31C 41B 2C 12A 22A 32D 42B 3A 13B 23A 33C 43B 4D 14D 24B 34D 44C 5D 15A 25B 35A 45D 6B 16B 26C 36B 46D 7B 17A 27D 37C 47B 8D 18D 28D 38B 48A 9A 19C 29C 39A 49B 10C 20B 30A 40D 50A Câu : Đáp án C Phân tích: Do đồ thị hàm số có dạng chữ W ( mẹo) nên có hệ số a 0; b Nhận th y với x y âm Do c Câu : Đáp án C y ax bx cx d a hàm lẻ Phân tích: ởừ định nghĩa note ax bx cx d ax bx cx d f x f x bên cạnh ta th y để hàm số bx2 d bx2 d 2bx2 2d Để thỏa mãn yêu cầu đề b d Câu : Đáp án A Phân tích: ta tìm giá trị cực đại cực tiểu hàm số cách l y đạo hàm x 1 Lời giải: ta có y ' 4 x x x ởa th y hàm số bậc bốn x trùng phương có hệ số a 1 có ba điểm cực trị, từ ta suy hàm số đạt cực đại x 1; x Hàm số đạt cực tiểu x Khi y1 y 1 y 1 , y2 y ởừ suy “ Với phương án “: ởa th y số nghiệm phương trình f x số Câu : Đáp án D giao điểm đồ thị hàm số y f x đư ng thẳng y Khi nhìn vào ””ở ta th y đư ng thẳng y cắt đồ thị hai điểm phân biệt Vậy “ đúng, nhiên ta chưa vội khoanh nhìn phương án D ta th y nói c “ C nên ta xét C mà không cần xét ” Với phương án C: ởa th y lim f x lim f x nên x 1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số y f x x 1 x 1 ởiếp tục ta có lim f x 5; lim f x nên y 2; y hai tiệm cận x x ngang đồ thị hàm số cho Do C ởa chọn D mà không cần xét ” Câu : Đáp án D Với phương án A: Ta th y A 0; 2 B 2; giao điểm đồ thị hàm số cho với trục tung trục hoành Lovebook.vn|48 y f x xác định Định nghĩa: hàm số miền D, y f x hàm số lẻ D với x D x D thỏa mãn f x f x Giải chi tiết tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ (Tháng 11/2016 – Tháng 02/2017) Ngọc Huyền LB Với phương án B: Ta th y với x phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho không xác định Do hệ số góc tiếp tuyến k f ' x0 2xo 1 Vậy ” Đến ta không cần xét C D nữa, c “ ” đúng, ta chọn đáp án, ta chọn D Câu : Đáp án B Phân tích: Để học nhanh với việc tìm GởLN, GởNN tơi trình bày bước sau: Ghi nhớ: Xét tính đơn điệu đoạn ( kho ng xét tìm nghiệm phương trình y ' Gở làm cho y’ không xác định So sánh Xét xem hàm số có đơn điệu đoạn xét khơng, đơn điệu l y ln GTNN, GTLN điểm đầu mút Nếu khơng đơn điệu, tiếp tục xét đến bước 2 Tìm nghiệm phương trình y ' giá trị làm cho y ' không xác định So sánh giá trị bước làm diễn gi i dài, nhiên vào ta tư nhanh sau: Lời giải: Ta có y ' f ' x 4x3 4x x 0; x 1; x 1 đoạn 0; 2 nên ta xét f ; f 1 ; f Từ ta ta xét M m f f 1 2 Ta th y hàm số y x 3x hàm số bậc ba, nên để đồ thị hàm số C cắt Câu : Đáp án B đư ng thẳng d ba điểm phân biệt đồ thị hàm số C trước tiên ph i có hai điểm cực trị x y Ta có y ' x x x 2 y Để đồ thị hàm số C cắt đư ng thẳng d ba điểm phân biệt 5m m Câu : Đáp án D Phân tích: Ta th y tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x điểm x x0 ln có dạng y f ' x0 x x0 f x0 Mặt khác, hàm số bậc nh t y ax b với a đồng biến a Do đó, tốn tr thành, tìm m để f ' x với Lời giải: Ta có f ' x 3x2 2mx 2m Để f ' x với x x ' m 2 6m 6 m 3 Ghi nhớ: Để phương trình * b t kì thỏa mãn với biến x đặt x làm nhân tử chung từ tìm điều kiện Câu : Đáp án A Phân tích: Ta th y hàm số cho hàm phân thức không, nhiên để đồ thị hàm số cho khơng có tiệm cận đứng hàm số cho không ph i hàm phân thức, tức đa thức tử số rút gọn cho đa thức mẫu số Lời giải: Để thỏa mãn yêu cầu đề m 1 x 2m k x 1 với k 49|Lovebook.vn Ngọc Huyền LB The best or nothing Phương trình tương đương với x m k 2m k Để thỏa mãn với m k m x 2 m k k Câu : Đáp án C Phân tích: Ta có hình vẽ sau: Đề yêu cầu tìm x để phần khơng gian nằm phía N phía S ngồi T đạt giá trị nhỏ nh t, tương đương với tìm x để thể tích khối trụ T x O’ đạt giá trị lớn nh t toán tương tự toán vắt mì tơm mà tơi giới thiệu câu đề sách đề Tinh túy mơn tốn 2017) Nên tơi trình bày l i gi i ln Lời giải: x r' xr Áp dụng định lí Thales ta có: r ' h r h O A Khi ta có cơng thức tính thể tích khối trụ V f x r ' h x r2 x h x h2 Khi f ' x r 2h 2hx 3x x x Đến ta chọn C h Câu : Đáp án C Phân tích:Nhận th y hàm số cho tồn dạng phân thức hàm số khơng thể đồng biến tập xác định được, b i tập xác định hàm số tập hợp số không liên tục gồm hai kho ng ; 1 1; Đây phần mà ý r t nhiều sách Bộ đề Tinh Túy 2017, cụ thể sách ghi rõ: sách giáo khoa hành, không giới thiệu khái niệm hàm số ( biến đồng biến, nghịch biến tập số, mà giới thiệu khái niệm hàm số ( biến đồng biến, nghịch biến kho ng, đoạn, nửa kho ng ( nửa đoạn) Do vậy, đa thức tử số rút gọn cho đa thức mẫu số hàm số tr hàm bậc nh t có hệ số a nên đồng biến tập xác định tập Ghi nhớ: Để phương trình * b t kì thỏa mãn với biến x đặt x làm nhân tử chung từ tìm điều kiện Lời giải: Để hàm số f x x 3x m đồng biến tập xác định đa x1 thức tử số chia hết cho đa thức mẫu số, tức là: 2x a x 1 2x 3x m với x a x a 3x m a 1 x a m Phương trình thỏa a a mãn với x a m m Câu : Đáp án A L i gi i: nghĩ Ta có 9x 9 x 23 32 x 2.3x.3 x 32 x 23 x 3 x Câu 25 3x 3 x ( VT lớn : Đáp án B Lovebook.vn|50 Sai lầm: Nhiều độc gi x x 25 3x 3 x 5 sai Giải chi tiết tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ (Tháng 11/2016 – Tháng 02/2017) Ngọc Huyền LB Với phương án “: Đây phương án b i : 2016x.2016y.2016z 2016x y z Sai lầm: Nhiều độc gi không xét trư ng hợp r nên cho B Do x, y, z có tổng không đổi nên 2016x y z không đổi Với phương án B: Nếu đặt y xr z xr ( với r Khi Với r log y log xr log x log r log z log xr log x log r thỏa mãn c p số cộng, nhiên với r khơng thỏa mãn, b i log khơng tồn Vậy B sai Chọn B Câu : Đáp án D Phân tích: Để hàm số xác định có điều kiện: Điều kiện để thức tồn tại, tức biểu thức lớn Điều kiện để hàm phân thức tồn tại, tức đa thức mẫu khác Lời giải: Sai lầm: Nhiều độc gi nghĩ C có trể rút gọn đưa dạng cần suy ra, nhiên, phương trình ban đầu ta l y bậc 12 b i b n thân hai vế bình phương ln hớn 0, không ph i a, b lớn e x e10 x 10 x 10 Để hàm số cho xác định thì: x 10 e e x 10 Câu : Đáp án A Ta xét phương án: Với điều kiện t t c c c biểu thức logarit tồn thì: b 0; b 1; a Với phương án A: Ta có log b a a b ( Do a, b a b nên suy được) Với phương án B: Ta th y b a khơng có điều kiện để a 0; b nên không l y hai vế Với phương án C: Ta l y bậc 12 hai vế ta có 12 a 12 b6 ( Tuy nhiên khơng có điều kiện để a 0; b để rút gọn nên C không suy Với phương án D, ta c)ng có điều kiện a 0; b Nhận xét: Đây câu hỏi hay, học sinh dễ bị chọn sai Câu : Đáp án B ta chọn ln B b i điều kiện để logarit tồn xy , tức x,y d u Mà điều kiện để tách log xy log x log y x, y Do B không đủ điều kiện để suy Với phương án cịn lại: Với “: Do VP hàm m) ln lớn , ta l y logarit số hai vể suy pt log x 10 log y log x log y 10 Với C: Thì log2 x log2 y 30 log2 x log2 y 10 D tương tự A Câu : Đáp án A Đây toán tìm ngun hàm, ta có F x 3x ln x dx x7 3x C Câu 18: Đáp án D Phân tích: Với tốn dạng tìm số nghiệm phương trình này, ta khơng nh t thiết ph i gi i phương trình ra, sau tơi có l i gi i: Lời giải: Phương trình cho tương đương với: 51|Lovebook.vn Ngọc Huyền LB The best or nothing log x log x log x log x log x log x log7 x log x Đặt VT f x Khi ta xét hàm số y f x 0; Khi ta có f ' x 1 1 1 1 1 với x x ln ln ln ln ln ln ln ln Do hàm số y f x đồng biến 0; Vậy phương trình f x có nhiều nh t nghiệm 0; Chọn D Câu : Đáp án C Nếu chăm làm đề mà gi i chi tiết gần q độc gi chọn ln đáp án này, b i giống với đề S Hưng Yên đề Lam Ởơn Thanh Hóa Lời giải: Ta có log 30 1350 log 30 30.32 log 30 30 log 30 log 30 log 30 log 30 2a b Câu : Đáp án B bước 3: 3.2x Ta th y tức 3.2 x x x 3.2x 3.2x Thiếu trư ng hợp số x 1 x log 3 Câu : Đáp án D Phân tích: Đề dài, nhiên thực ch t tốn gi i phương trình m) Ta thay 65, 21% vào sau tìm t Lời giải: Ta có 100 0, 5750 65, 21 0.5 5750 0, 6521 t t t 5750.log ,5 0, 6521 3547 năm t log 0.5 0,6521 5750 Câu : Đáp án A Phân tích: Đây thực ch t tốn kiểm tra kiến thức tích phân phân Ta có định nghĩa tích phân phần Note bên Lời giải: biểu thức Vở không đổi g ' x dx d g x Vậy VT tr thành: tích phân phần b a f x d g x Áp dụng định nghĩa a b cho u f x ; v g x ta có f x d g x f x g x Câu f x g ' x dx , mặt khác ta có b a Bài toán gốc: Chứng minh udv uv b b b vdu a a b b g x d f x a a dx x2 a ln x x2 a c a 2x x x2 a dx dt dx Đặt t x x2 a dt x2 a x2 a tdx dt dx dt t x2 a x2 a Lovebook.vn|52 có đạo hàm liên tục đoạn Khi a : Đáp án A Ta có tốn gốc sau: Định nghĩa: Cho hàm u, v hàm số x Ghi nhớ: Với a ta có: dx x2 a ln x x a c Giải chi tiết tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ (Tháng 11/2016 – Tháng 02/2017) Vậy dx x2 a Ngọc Huyền LB dt ln t c ln x x2 a c t minh) Khi áp dụng cơng thức vừa chứng minh ta có F x điều ph i chứng dx ln x x2 c ln x x c 1 x Câu : Đáp án B Ta có biểu thức cư ng độ dòng điện th i điểm t phụ thuộc vào th i gian biểu thức đạo hàm biểu thức điện lượn chạy qua tiết diện thẳng dây, hay nói cách khác Điện lượng chạy qua tiết diện S th i gian từ t1 đến t2 q i.dt t2 Vậy q Qo cos t dt Qo sin t Câu tan x ' tan x Ghi nhớ: : Đáp án B Q0 sin 6 C t1 Phân tích: ta th y tan x tan x tan x tan x Mặt khác ta có tan x ' tan x Do toán tr thành dạng cos2 x f u u ' dx b a Lời giải: Ta có I tan x tan x dx tan x tan x dx tan xd tan x tan x 0 3 tan tan 3 Câu : Đáp án C Ta gi i toán dạng tích phân phần: Lời giải: u ln x du dx Đặt x vdv dx v x e e e e Khi I x.ln x x dx x.ln x x x ln x 1 1 x 1 Ghi nhớ: Khi tính tích phân, xét xem f x lớn hay nhỏ để xét d u Câu : Đáp án D Phân tích: Đây tốn tính diện tích hình phẳng đưa tích phân thơng thư ng, nhiên, đơn vị dài trục tọa độ cm đó, sau tính xong ta nhân kết qu với 4, đơn vị diện tích cm2 Lời giải: Xét phương trình hồnh độ giao điểm x3 x Trên 1; y x , cịn 0; 2 y x , nên diện tích hình phẳng trục tọa độ tính theo đơn vị dài trục tọa độ : S x dx x dx 1 1 17 x4 x đơn vị dài) 4 1 4 4 Đổi đơn vị cm2 ta S 17 cm2 Câu : Đáp án D 53|Lovebook.vn Ngọc Huyền LB The best or nothing Ta có 1 1 1 thay đổi ta nghĩ T Cn0 Cn1 Cnn Nhận th y số ; ; ; ; n1 2 n1 n 1 đến biểu thức xn dx x c n1 ta có l i gi i sau: Ta có x Cn0 xCn1 x Cn2 x Cn3 xn Cnn n Khi ta suy n n 2 3 1 x dx Cn xCn x Cn x Cn x Cn dx n n1 1 x2 x3 xn 1 n 1 x C x C C C n n n n1 n1 n 0 2n 1 1 Cnn Đến ta chọn D Cn0 Cn1 Cn2 n1 n1 Câu : Đáp án C Lời giải: Ta có z1 z2 1 i 2i 2i 3i 2i i i Vậy số phức z1 z2 có phần thực phần o -1 Câu : Đáp án A Lời giải: Ta có: z1 z2 i 2i 2 i 2 1 2 Câu : Đáp án C Lời giải: Do M, N điểm biểu diễn số phức z1 ; z2 nên M 1; 1 , N 3; Khi tọa độ điểm G trọng tâm tam giác OMN có tọa 4 1 độ G ; Vậy G điểm biểu diễn số phức z i 3 3 3 Câu : Đáp án D Lời giải: Đặt z x yi x, y x ix yi yi 2i , nên pt x yi 1 i 2i x y i x y x x y x y y Câu : Đáp án C Với toán này, cách nhanh nh t sử dụng máy tính sau: n MODE 5: EQN chọn Ởau nhập hệ số máy sau: Lovebook.vn|54 Giải chi tiết tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ (Tháng 11/2016 – Tháng 02/2017) Ngọc Huyền LB x 1 Lời giải thông thường: z z 1 z z x x 1 Câu : Đáp án D Lời giải: Đặt z x yi x, y x yi x yi 10 Khi phương trình đề tr x 4 x 4 y2 v Khi u v uv D u x y u, v hướng thành: y 10 Vậy đặt u x 4; y , v x 4, y Khi áp dụng bđt u v u v ta có: Đến đây, ta nhớ đến b t đẳng thức vecto note Nhớ: Cho vecto u i i x 4 y2 x 4 y2 2x y bên 10 x2 y z Vậy GTLN mô đun số phức z x Với GTNN, áp dụng b t đẳng thức Bunyakovski ta có: x 4 y x 4 y 12 12 2 y2 x y2 10 x2 y2 16 x2 y2 x2 y2 Vậy GTNN mô đun số phức z Câu : Đáp án A Nhận xét: Một hình có đáy n giác có n cạnh bên n mặt bên mặt đáy Vậy hình chóp có tổng 2.1998 cạnh tức có 1999 mặt Câu : Đáp án B Nhớ: Cho tứ diện S.ABC, điểm “’, ”’, C’ nằm đoạn SA, SB, SC Khi ta có VSA' B' C' SA' SB' SC' VSABC SA SB SC Nhớ: Diện tích tam giác có cạnh a S a2 Cơng thức tính thể tích khối trụ trịn xoay V R2 h Câu : Đáp án C Ta có cơng thức tỉ lệ thể tích tứ diện note bên Do VS A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' 1 1 VS ABC SA SB SC 24 Mặt khác đây: đề trước tơi giới thiệu thể tích khối chóp S.ABC 1 có SA, SB, SC đơi vng góc VSABC SA.SB.SC 9.8.4 48 6 48 Đến ta suy SSA ' B ' C ' 2 24 Câu : Đáp án B Hình lăng trụ tam giác khác với hình lăng trụ có đáy tam giác chỗ: Hình lăng trụ tam giác hình lăng trụ đứng có đáy tam giác Hình lăng trụ có đáy tam giác chưa hình lăng trụ đứng Ta có cơng thức tính thể tích khối lăng trụ tam giác a 3 a.h a h Mà t t c cạnh ta có V 2 V 3 a a 4 Câu : Đáp án A Ta có hình vẽ: 55|Lovebook.vn Ngọc Huyền LB The best or nothing Nhìn vào hình vẽ ta th y tính trực tiếp thể tích khối tứ diện “CD ” lâu, ta tìm cách gián tiếp sau: Lời giải: Ta có VACD' B' VABCD A' B'C ' D' VD' ADC VB' ACB VCB'C ' D' VAA' B' D' Mặt khác ta nhận th y VD' ADC VB' ACB VCB'C ' D' VAA' B' D' a .SABCD a3 a Do VACD' B' a3 a3 Câu : Đáp án D Kí hiệu hình vẽ ta đặt SO ' x Do khối chóp tứ giác có t t c cạnh a nên ta có SA SB SC SD AB BC CD DA a Hình vng ABCD có đư ng A’ B’ D’ C’ A B C D S chéo AC BD a Tam giác SOA vuông O nên A’ a 2 a SO SA AO a Áp dụng định lý Thales ta có: 2 D’ Khi VSA ' B ' C ' D ' x x D 2 1 a 2 a x a Vậy SA ' B ' C ' D ' x a x 3 2 Câu : Đáp án B ta có kiến thức sau: ởrong Chương trình ởHPở học: Chỉ có loại khối đa diện Đó loại 3; 3 , loại 4; 3 , loại 3; 4 , loại 5; 3 loại 3; 5 Chúng giới thiệu hình đây: Khối lập phương Khối mư i hai mặt Khối hai mươi mặt Lovebook.vn|56 B O x Mặt khác VSA ' B ' C ' D ' VSABCD , ta có Khối tứ diện C’ A SO ' SA ' A ' D ' x x A ' D ' AD x a SO SA AD a B ’ O’ Khối bát diện C Nhớ: Khi việc tính thể tích khối đề u cầu q khó để thiết lập công thức, ta nên chuyển hướng sang cách làm gián tiếp Giải chi tiết tạp chí Toán học & Tuổi trẻ (Tháng 11/2016 – Tháng 02/2017) Ngọc Huyền LB Do “, C ởiếp theo với D, ta th y D hai điều kiện để xác định khối đa diện Do ta chọn B Câu : Đáp án B Do mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy hình trụ A, B tiếp xúc với mặt xung quanh hình trụ nên hình trụ có chều cao h AB bán kính đáy bán kính khối cầu Mặt khác 4R2 16 R Vậy thể tích khối trụ là: V B.h .22.4 16 Câu 43: Đáp án B m1 Ta có cos u, v Chú ý: Khi nhân chia hai vế b t phương trình ph i xét d u biểu thức nhân vào u.v u.v log 5.log log m 2.4 u.v Do mẫu số lớn nên ta tìm điều kiện để tử số dương Mặt khác log 5.log 4log m 4log m 4 log m 1 log m log m m 1 m Kết hợp với điều kiện suy m m 2 1 Với m m Kết hợp điều kiện suy m m Câu : Đáp án C Với m Nhận th y u 1; 1; Ta có u3 2u ta chọn C Mặt cầu S đư ng kính AB nên mặt cầu S có tâm I 1; 0; 2 trung điểm Câu : Đáp án D 1 1 1 2 AB bán kính R IA Vậy S : x 1 y z Câu 2 : Đáp án D Vì u , v hai vtpt hai mặt phẳng song song nên hai vecto m m3 2m Câu : Đáp án B Ta nhận th y chiếu M lên trục tọa độ tứ diện OABC tứ diện có O“, O”, OC, OD đơi vng góc.Áp dụng cơng thức tơi trình bày ta 1 có: V OA.OB.OB abc 6 Câu : Đáp án A Ta có hình vẽ sau: phương Do Nhớ: Cho tứ diện S.ABC có cạnh Ở“, Ở”, ỞC đơi vng góc VSABC SA.SB.SC Gọi H hình chiếu M mặt phẳng Khi kho ng cách từ M đến M mặt phẳng MH Ta có tam giác MHO vng H nên HM MO Để MH max H O , hay OM Khi qua O 0; 0; có vtpt H O n OM 1; 2; 1 có phương trình x 2y z Câu : Đáp án B 57|Lovebook.vn Ngọc Huyền LB The best or nothing Ta có M 1 t;1 t; 2t Ta có AM t 1 1 t 2t t M 1; 1; 6t 12t t 2 M 1; 3; 4 Câu : Đáp án A 2 Phân tích: ta có hai mặt phẳng tiếp diện S A B vng góc với hai mặt phẳng IA , IB Với I 1; 0; 2 tâm mặt cầu S hai vtpt hai mặt phẳng c)ng vng góc với Mà hai vtpt d cắt S hai điểm phân biệt Vậy ta có hai điều kiện sau: IA.IB Lời giải: Để thỏa mãn yêu cầu đề trước tiên d ph i cắt mặt cầu, tức phương trình t t m t t m t có hai nghiệm 2 3t m 1 t m2 4m phân biệt Phương trình có hai nghiệm phân biệt ' m 1 3m2 12 m m2 5m Với phương trình có hai nghiệm phân biệt , áp dụng định lí Viet ta có t1t2 m2 m 2 ; t1 t2 m 1 3 Khi IA 1 t1 ; t1 ; m t1 , IB 1 t2 ; t2 ; m t2 Vậy IA.IB 1 t1 1 t2 t1t2 m t1 m t2 3t1 t2 m 1 t1 t2 m m2 4m Lovebook.vn|58 m 1 2 (TM) m 1 m m 4 Giải chi tiết tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ (Tháng 11/2016 – Tháng 02/2017) Cho hạnh phúc nhận Ngọc Huyền LB Một hơm, sinh viên trẻ có dịp dạo với giáo sư Vị giáo sư thường sinh viên gọi thân mật tên người bạn sinh viên thân thiện tốt bụng ơng học trị Trên đường đi, hai người bắt gặp đôi giày cũ nằm đường Họ cho đơi giày nông dân nghèo làm việc cánh đồng gần bên, có lẽ ơng ta chuẩn bị kết thúc ngày làm việc Cậu sinh viên quay sang nói với vị giáo sư: Chúng ta thử trêu chọc người nông dân xem Em giấu giày ơng ta thầy trị trốn vào sau bụi để xem thái độ ơng ta khơng tìm thấy đơi giày nhé! Vị giáo sư ngăn lại: Này, anh bạn trẻ, đừng đem người nghèo để trêu chọc, mua vui cho thân Em sinh viên giả, em tìm cho niềm vui lớn nhiều nhờ vào người nông dân Em đặt đồng tiền vào giày ông ta chờ xem phản ứng ông ta Cậu sinh viên làm lời vị giáo sư dẫn, sau hai trốn vào sau bụi gần Chẳng chốc người nơng dân xong việc băng qua cánh đồng đến nơi đặt giày áo khốc Người nơng dân vừa mặc áo khoác vừa xỏ chân vào giày cảm thấy có vật cứng cứng bên trong, ơng ta cúi xuống xem vật tìm thấy đồng tiền Sự kinh ngạc bàng hồng rõ gương mặt ơng Ơng ta chăm nhìn đồng tiền, lật hai mặt đồng tiền qua lại ngắm nhìn thật kỹ Rồi ơng nhìn khắp xung quanh chẳng thấy Lúc ông bỏ đồng tiền vào túi, tiếp tục xỏ chân vào giày cịn lại Sự ngạc nhiên ơng dường nhân lên gấp bội, ơng tìm thấy đồng tiền thứ hai bên giày Với cảm xúc tràn ngập lịng, người nơng dân q xuống, ngước mặt lên trời đọc to lời cảm tạ chân thành Ơng bày tỏ cảm tạ bàn tay vơ hình hào phóng đem lại mòn quà lúc cứu giúp gia đình ơng khỏi cảnh túng quẫn, người vợ bệnh tật khơng chăm sóc đàn thiếu ăn Cậu sinh viên lặng người xúc động, nước mắt giàn giụa Vị giáo sư lên tiếng: ”ây em có cảm thấy vui lúc trước em đem ơng ta làm trị đùa khơng? Người niên trả lời: Giáo sư dạy cho em học mà em không quên Đến em hiểu ý nghĩa thật câu nói mà trước em khơng hiểu: Cho hạnh phúc nhận Trong sống, cảm thấy bất công, cho nhiều mà nhận lại chẳng Thực khơng phải, có thứ mà ta nhận cịn đáng giá thế, niềm vui vơ hình khơng thể chạm (Nguồn: Sưu tầm) 59|Lovebook.vn ... được! Ngọc Huyền LB Đã nói làm – Đã làm khơng hời hợt – Đã làm – Đã làm không hối hận! facebook.com/huyenvu2405 Đáp án chi tiết Tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ LỜI CẢM ƠN NGỌC HUYỀN LB Để hoàn thiện... Sưu tầm) 41|Lovebook.vn Ngọc Huyền LB The best or nothing ĐỀ SỐ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 90 phút TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN Ngọc Huyền LB sưu tầm giới thiệu Câu 1: Cho... x 4 A B C D x 10 km A A D 40 km B 15 65 km B km C 10 km 2 D 40 km Lovebook.vn| Ngọc Huyền LB Câu 11 Tọa độ giao điểm đồ thị hàm số y đường thẳng y 2 x A 2; 4 x2 x 1 B