Lý thuyết và bài tập môn toán cao cấp (tập 1)

˜ ’ THANH ˆ N THUY NGUYE ` TA ˆP BAI ´ CAO CA ˆ´P TOAN Tˆa.p Da.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh v`a H`ınh ho.c gia’i t´ıch ’ N DAI HOC QUO ˆ´C GIA HA ` NO ˆI ` XUA ˆ´T BA NHA H` a Nˆ o.i – 2006 http://tieulun.hopto.org Mu.c lu.c `au L` o.i n´ oi dˆ Sˆ o´ ph´ u.c - i.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´ 1.1 D u.c 1.2 Da.ng d a.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´ u.c ˜e n h`ınh ho.c Mˆod un v`a acgumen 1.3 Biˆe’u diˆ ˜e n sˆo´ ph´ 1.4 Biˆe’u diˆ u.c du.´o.i da.ng lu.o ng gi´ac - a th´ D u.c v` a h` am h˜ u.u ty’ - a th´ 2.1 D u.c - a th´ 2.1.1 D u.c trˆen tru.o`.ng sˆo´ ph´ u.c C - a th´ 2.1.2 D u.c trˆen tru.o`.ng sˆo´ thu c R 2.2 Phˆan th´ u.c h˜ u.u ty’ - i.nh th´ Ma trˆ a.n D u.c 3.1 Ma trˆa.n - i.nh ngh˜ıa ma trˆa.n 3.1.1 D 3.1.2 C´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen 3.1.3 Ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa.n 3.1.4 Ph´ep chuyˆe’n vi ma trˆa.n - inh th´ 3.2 D u.c 3.2.1 Nghi.ch thˆe´ - i.nh th´ 3.2.2 D u.c 3.2.3 T´ınh chˆa´t cu’a di.nh th´ u.c ma trˆa.n 6 13 23 44 44 45 46 55 66 67 67 69 71 72 85 85 85 88 http://tieulun.hopto.org MU C LU C 3.3 3.4 3.2.4 Phu.o.ng ph´ap t´ınh di.nh th´ u.c Ha.ng cu’a ma trˆa.n - i.nh ngh˜ıa 3.3.1 D 3.3.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ha.ng cu’a ma trˆa.n Ma trˆa.n nghi.ch da’o - i.nh ngh˜ıa 3.4.1 D 3.4.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ma trˆa.n nghi.ch da’o e´n t´ınh Hˆ e phu.o.ng tr`ınh tuyˆ 4.1 Hˆe n phu.o.ng tr`ınh v´o.i n aˆ’n c´o di.nh th´ u.c 4.1.1 Phu.o.ng ph´ap ma trˆa.n 4.1.2 Phu.o.ng ph´ap Cramer 4.1.3 Phu.o.ng ph´ap Gauss 4.2 Hˆe t` uy y´ c´ac phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh `an nhˆa´t 4.3 Hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh thuˆ kh´ac 89 109 109 109 118 118 119 132 132 133 134 134 143 165 n Khˆ ong gian Euclide R - i.nh ngh˜ıa khˆong gian n-chiˆ `eu v`a mˆo.t sˆo´ kh´ai niˆe.m co 5.1 D `e vecto ba’n vˆ - ˆo’i co so’ 5.2 Co so’ D 5.3 Khˆong gian vecto Euclid Co so’ tru c chuˆa’n 5.4 Ph´ep biˆe´n d ˆo’i tuyˆe´n t´ınh - inh ngh˜ıa 5.4.1 D 5.4.2 Ma trˆa.n cu’a ph´ep bdtt 5.4.3 C´ac ph´ep to´an 5.4.4 Vecto riˆeng v`a gi´a tri riˆeng Da.ng to` an phu.o.ng v` au ´.ng du.ng d ˆ e’ v` a m˘ a.t bˆ a.c hai 6.1 Da.ng to`an phu.o.ng 6.1.1 Phu.o.ng ph´ap Lagrange 6.1.2 Phu.o.ng ph´ap Jacobi 177 177 188 201 213 213 213 215 216 o.ng nhˆ a.n da.ng du.` 236 236 237 241 http://tieulun.hopto.org MU C LU C 6.2 6.1.3 Phu.o.ng ph´ap biˆe´n dˆo’i tru c giao 244 - u.a phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a du.`o.ng bˆa.c hai v`a m˘a.t D `e da.ng ch´ınh t˘´ac 263 bˆa.c hai vˆ http://tieulun.hopto.org `au L` o.i n´ oi dˆ Gi´ao tr`ınh B` tˆ a.p to´ an cao cˆ a´p n`ay du.o c biˆen soa.n theo Chu.o.ng tr`ınh To´ an cao cˆ a´p cho sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.c Tu nhiˆen cu’a Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i v`a d˜a du.o c Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i thˆong qua v`a ban h`anh Mu.c d´ıch cu’a gi´ao tr`ınh l`a gi´ up d˜o sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.c Tu nhiˆen n˘a´m v˜ u.ng v`a vˆa.n du.ng du.o c c´ac phu.o.ng ph´ap gia’i to´an cao cˆa´p Mu.c tiˆeu n`ay quyˆe´t di.nh to`an bˆo cˆa´u tr´ uc cu’a gi´ao tr`ınh Trong `au tiˆen ch´ mˆo˜ i mu.c, dˆ y thuyˆe´t ung tˆoi tr`ınh b`ay t´om t˘´at nh˜ u.ng co so’ l´ `an thiˆe´t Tiˆe´p d´o, phˆ `an C´ v`a liˆe.t kˆe nh˜ u ng cˆong th´ u c cˆ ac v´ı du ch´ ung tˆoi quan tˆam d˘a.c biˆe.t t´o.i viˆe.c gia’i c´ac b`ai to´an mˆ˜a u b˘a`ng c´ach `an B` vˆa.n du.ng c´ac kiˆe´n th´ u.c l´ y thuyˆe´t d˜a tr`ınh b`ay Sau c` ung, l`a phˆ ’ `e tˆ a.p O dˆay, c´ac b`ai tˆa.p du o c gˆo.p th`anh t` u ng nh´om theo t` u ng chu’ dˆ `an vˆ `e dˆo kh´o v`a mˆ˜o i nh´om dˆ `eu u tu t˘ang dˆ v`a du.o c s˘´ap xˆe´p theo th´ `e phu.o.ng ph´ap gia’i Ch´ c´o nh˜ u.ng chı’ dˆ˜a n vˆ ung tˆoi hy vo.ng r˘a`ng viˆe.c `an C´ l`am quen v´o i l`o i gia’i chi tiˆe´t phˆ ac v´ı du s˜e gi´ up ngu.`o.i ho.c n˘´am du.o c c´ac phu.o.ng ph´ap gia’i to´an co ba’n Gi´ao tr`ınh B` tˆ a.p n`ay c´o thˆe’ su’ du.ng du.´o.i su hu.´o.ng dˆa˜ n cu’a `eu c´o d´ap sˆo´, mˆo.t gi´ao viˆen ho˘a.c tu m`ınh nghiˆen c´ u.u v`ı c´ac b`ai tˆa.p dˆ `an C´ sˆo´ c´o chı’ dˆ˜a n v`a tru ´o c gia’i c´ac b`ai tˆa.p n`ay d˜a c´o phˆ ac v´ı du `e m˘a.t phu.o.ng ph´ap gia’i to´an tr`ınh b`ay nh˜ u.ng chı’ dˆ˜a n vˆ `ay gi´ao: TS Lˆe D`ınh T´ac gia’ gi´ao tr`ınh chˆan th`anh ca’m o.n c´ac thˆ ˜e n Minh Tuˆa´n d˜a do.c k˜ Ph` ung v`a PGS TS Nguyˆ y ba’n tha’o v`a d´ong http://tieulun.hopto.org y thuyˆe´t h`am biˆe´n ph´ u.c Co so’ l´ `eu y´ kiˆe´n qu´ `e cˆa´u tr´ g´op nhiˆ y b´au vˆ uc v`a nˆo.i dung v`a d˜a g´op y´ cho t´ac `e nh˜ gia’ vˆ u ng thiˆe´u s´ot cu’a ba’n tha’o gi´ao tr`ınh `an dˆ `au, Gi´ao tr`ınh kh´o tr´anh kho’i sai s´ot Ch´ M´o.i xuˆa´t ba’n lˆ ung tˆoi rˆa´t chˆan th`anh mong du.o c ba.n do.c vui l`ong chı’ ba’o cho nh˜ u.ng thiˆe´u s´ot cu’a cuˆo´n s´ach dˆe’ gi´ao tr`ınh ng`ay du.o c ho`an thiˆe.n ho.n H` a Nˆ o.i, M` ua thu 2004 T´ ac gia’ http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng Sˆ o´ ph´ u.c 1.1 1.2 1.3 1.4 1.1 - i.nh ngh˜ıa sˆ D o´ ph´ u.c o´ cu’a sˆ o´ ph´ u.c Da.ng d a.i sˆ ˜ Biˆ e’u diˆ e n h`ınh ho.c Mˆ od un v` a acgumen 13 ˜ o.i da.ng lu.o ng gi´ ac 23 Biˆ e’u diˆ e n sˆ o´ ph´ u.c du.´ - i.nh ngh˜ıa sˆ D o´ ph´ u.c u tu (a; b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R du.o c go.i l`a mˆo.t sˆo´ Mˆo˜ i c˘a.p sˆo´ thu c c´o th´ ph´ u.c nˆe´u trˆen tˆa.p ho p c´ac c˘a.p d´o quan hˆe b˘`ang nhau, ph´ep cˆo.ng v`a ph´ep nhˆan du.o c du.a v`ao theo c´ac di.nh ngh˜ıa sau dˆay: (I) Quan hˆe b˘a`ng  a = a , (a1, b1) = (a2, b2 ) ⇐⇒ b1 = b2 (II) Ph´ep cˆo.ng http://tieulun.hopto.org - inh ngh˜ıa sˆo´ ph´ 1.1 D u.c def (a1 , b1) + (a2, b2 ) = (a1 + a2, b1 + b2 ).1 (III) Ph´ep nhˆan def (a1, b1 )(a2, b2) = (a1a2 − b1b2, a1 b2 + a2b1 ) Tˆa.p ho p sˆo´ ph´ u.c du.o c k´ y hiˆe.u l`a C Ph´ep cˆo.ng (II) v`a ph´ep nhˆan (III) C c´o t´ınh chˆa´t giao ho´an, kˆe´t ho p, liˆen hˆe v´o.i bo’.i `an tu’ 6= (0, 0) dˆ `eu c´o phˆ `an tu’ nghi.ch da’o luˆa.t phˆan bˆo´ v`a mo.i phˆ `an Tˆa.p ho p C lˆa.p th`anh mˆo.t tru.`o.ng (go.i l`a tru.`o.ng sˆo´ ph´ u.c) v´o.i phˆ ´ du.ng quy `an tu’ n vi l`a c˘a.p (1; 0) Ap tu’ khˆong l`a c˘a.p (0; 0) v`a phˆ t˘´ac (III) ta c´o: (0; 1)(0; 1) = (−1, 0) Nˆe´u k´ y hiˆe.u i = (0, 1) th`ı i2 = −1 Dˆo´i v´o.i c´ac c˘a.p da.ng d˘a.c biˆe.t (a, 0), ∀ a ∈ R theo (II) v`a (III) ta c´o (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0) `e m˘a.t da.i sˆo´ c´ac c˘a.p da.ng (a, 0), a ∈ R khˆong c´o g`ı kh´ac biˆe.t T` u d´o vˆ v´o.i sˆo´ thu c R: v`ı ch´ ung du.o c cˆo.ng v`a nhˆan nhu nh˜ u.ng sˆo´ thu c Do `ong nhˆa´t c´ac c˘a.p da.ng (a; 0) v´o.i sˆo´ thu c a: vˆa.y ta c´o thˆe’ dˆ (a; 0) ≡ a ∀ a ∈ R D˘a.c biˆe.t l`a (0; 0) ≡ 0; (1; 0) ≡ u.c z = (a, b): Dˆo´i v´o.i sˆo´ ph´ `an thu c a = Re z, sˆo´ thu c b go.i l`a phˆ `an 1+ Sˆo´ thu c a du.o c go.i l`a phˆ a’o v`a k´ y hiˆe.u l`a b = Im z 2+ Sˆo´ ph´ u.c z u.c z = (a, −b) go.i l`a sˆo´ ph´ u.c liˆen ho p v´o.i sˆo´ ph´ ´t cu’a t` def l` a c´ ach viˆe´t t˘ a u tiˆe´ng Anh definition (di.nh ngh˜ıa) http://tieulun.hopto.org u.c Chu.o.ng Sˆo´ ph´ 1.2 Da.ng da.i sˆ o´ cu’a sˆ o´ ph´ u.c `eu c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i da.ng Mo.i sˆo´ ph´ u.c z = (a; b) ∈ C dˆ z = a + ib (1.1) Thˆa.t vˆa.y, z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib u (1.1) u.c z = (a, b) T` Biˆe’u th´ u.c (1.1) go.i l`a da.ng da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´ v`a di.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´ u.c liˆen ho p ta c´o z = a − ib u.c du.o c thu c Du.´o.i da.ng da.i sˆo´ c´ac ph´ep t´ınh trˆen tˆa.p ho p sˆo´ ph´ hiˆe.n theo c´ac quy t˘´ac sau Gia’ su’ z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2 Khi d´o (I) Ph´ep cˆo.ng: z1 ± z2 = (a1 ± a2) + i(b1 ± b2 ) (II) Ph´ep nhˆan: z1z2 = (a1a2 − b1b2 ) + i(a1b2 + a2b1 ) (III) Ph´ep chia: z2 a1b2 − a2 b1 a1 a2 + b1b2 +i · = 2 z1 a1 + b1 a1 + b21 ´ V´I DU CAC V´ı du 1+ T´ınh in T` u d´o ch´ u.ng minh r˘a`ng a) in + in+1 + in+2 + in+3 = 0; b) i · i2 · · · i99 · i100 = −1 2+ T`ım sˆo´ nguyˆen n nˆe´u: a) (1 + i)n = (1 − i)n ;  + i n  − i n + √ = b) √ 2 Gia’i 1+ Ta c´o i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i v`a `au l˘a.p la.i Ta kh´ai qu´at h´oa Gia’ su’ n ∈ Z v`a gi´a tri l˜ uy th` u.a b˘a´t dˆ n = 4k + r, r ∈ Z, r Khi d´o in = i4k+r = i4k · ir = (i4 )k ir = ir http://tieulun.hopto.org 1.2 Da.ng d a.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´ u.c (v`ı i4 = i) T` u d´o, theo kˆe´t qua’ trˆen ta c´o in =       i nˆe´u n = 4k, nˆe´u n = 4k + 1,   −1 nˆe´u n = 4k + 2,     −i nˆe´u n = 4k + (1.2) ˜e d`ang suy a) v`a b) T` u (1.2) dˆ u.c (1 + i)n = (1 − i)n suy u hˆe th´ 2+ a) T`  + i n 1−i =  + i n 1+i = i nˆen = in = ⇒ n = 4k, k ∈ Z Nhu ng 1−i − i  + i n  − i n  + i n b) T` u d˘a’ng th´ = −1 + √ = suy r˘`ang u.c √ 1−i 2 v`a d´o in = −1 ⇒ n = 4k + 2, k ∈ Z N V´ı du Ch´ u.ng minh r˘a`ng nˆe´u n l`a bˆo.i cu’a th`ı  −1 + i√3 n  −1 − i√3 n + =2 2 v`a nˆe´u n khˆong chia hˆe´t cho th`ı  −1 + i√3 n  −1 − i√3 n + = −1 Gia’i 1+ Nˆe´u n = 3m th`ı h −1 + i√3 3im h −1 − i√3 3im + S= √  −1 + 3i + − 3i√3 m  −1 − 3i√3 + + 3i√3 m = + 8 m m = + = http://tieulun.hopto.org • • • • • • ... thuˆ Gia’i Ta c´o w= (a − 1) + ib a2 + b2 − 2b = +i · 2 (a + 1) + ib (a + 1) + b (a + 1)2 + b2 `an a’o v`a chı’ T` u d´o suy r˘`ang w thuˆ a2 + b2 − = ⇐⇒ a2 + b2 = N (a + 1)2 + b2 ` TA ˆP BAI T´ınh... u.c z = (a; b) ∈ C dˆ z = a + ib (1 .1) Thˆa.t vˆa.y, z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, 1)( b, 0) = a + ib u (1 .1) u.c z = (a, b) T` Biˆe’u th´ u.c (1 .1) go.i l`a da.ng da.i sˆo´ cu’a sˆo´... c˘a.p (1; 0) Ap tu’ khˆong l`a c˘a.p (0; 0) v`a phˆ t˘´ac (III) ta c´o: (0; 1)( 0; 1) = (−1, 0) Nˆe´u k´ y hiˆe.u i = (0, 1) th`ı i2 = −1 Dˆo´i v´o.i c´ac c˘a.p da.ng d˘a.c biˆe.t (a, 0), ∀ a ∈ R