Lý thuyết và bài tập môn toán cao cấp (tập 3)

˜ ’ THANH ˆ N THUY NGUYE ` TA ˆP BAI ´ CAO CA ˆ´P TOAN Tˆa.p Ph´ep t´ınh t´ıch phˆan L´ y thuyˆe´t chuˆo˜ i Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan ’ N DAI HOC QUO ` XUA ˆ´T BA ˆ´C GIA HA ` NO ˆ I NHA http://tieulun.hopto.org Mu.c lu.c 10 T´ıch phˆ an bˆ a´t di.nh 10.1 C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan 10.1.1 Nguyˆen h`am v`a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh 10.1.2 Phu.o.ng ph´ap dˆo’i biˆe´n `an u.ng phˆ 10.1.3 Phu.o.ng ph´ap t´ıch phˆan t` 4 10.2 C´ac l´o.p h`am kha’ t´ıch l´o.p c´ac h`am so cˆa´p 10.2.1 T´ıch phˆan c´ac h`am h˜ u.u ty’ 10.2.2 T´ıch phˆan mˆo.t sˆo´ h`am vˆo ty’ do.n gia’n 10.2.3 T´ıch phˆan c´ac h`am lu.o ng gi´ac 12 21 11 T´ıch phˆ an x´ ac di.nh Riemann 11.1 H`am kha’ t´ıch Riemann v`a t´ıch phˆan x´ac di.nh - i.nh ngh˜ıa 11.1.1 D - iˆ `eu kiˆe.n dˆe’ h`am kha’ t´ıch 11.1.2 D 11.1.3 C´ac t´ınh chˆa´t co ba’n cu’a t´ıch phˆan x´ac di.nh 11.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan x´ac d i.nh 11.3 Mˆo.t sˆo´ u ´.ng du.ng cu’a t´ıch phˆan x´ac d i.nh 11.3.1 Diˆe.n t´ıch h`ınh ph˘a’ng v`a thˆe’ t´ıch vˆa.t thˆe’ 30 30 37 48 57 58 58 59 59 61 78 78 11.3.2 T´ınh dˆo d`ai cung v`a diˆe.n t´ıch m˘a.t tr`on xoay 11.4 T´ıch phˆan suy rˆo.ng 89 98 11.4.1 T´ıch phˆan suy rˆo.ng cˆa.n vˆo ha.n 98 11.4.2 T´ıch phˆan suy rˆo.ng cu’a h`am khˆong bi ch˘a.n 107 http://tieulun.hopto.org MU C LU C `eu biˆ 12 T´ıch phˆ an h` am nhiˆ e´n 12.1 T´ıch phˆan 2-l´o.p `en ch˜ u nhˆa.t 12.1.1 Tru.`o.ng ho p miˆ `en cong 12.1.2 Tru.`o.ng ho p miˆ 12.1.3 Mˆo.t v`ai u ´.ng du.ng h`ınh ho.c 12.2 T´ıch phˆan 3-l´o.p `en h`ınh hˆo.p 12.2.1 Tru.`o.ng ho p miˆ `en cong 12.2.2 Tru.`o.ng ho p miˆ 12.2.3 12.2.4 Nhˆa.n x´et chung 12.3 T´ıch phˆan d u.`o.ng 12.3.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 12.3.2 T´ınh t´ıch phˆan du.`o.ng 12.4 T´ıch phˆan m˘a.t 12.4.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 12.4.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan m˘a.t 12.4.3 Cˆong th´ u.c Gauss-Ostrogradski 12.4.4 Cˆong th´ u.c Stokes 117 118 118 118 121 133 133 134 136 136 144 144 146 158 158 160 162 162 ˜i 13 L´ y thuyˆ e´t chuˆ o 13.1 Chuˆ˜o i sˆo´ du.o.ng 13.1.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 13.1.2 Chuˆo˜ i sˆo´ du.o.ng 13.2 Chuˆ˜o i hˆo.i tu tuyˆe.t d ˆo´i v`a hˆo.i tu khˆong tuyˆe.t d ˆo´i 13.2.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 13.2.2 Chuˆo˜ i dan dˆa´u v`a dˆa´u hiˆe.u Leibnitz 13.3 Chuˆ˜o i l˜ uy th` u.a 13.3.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n - iˆ `eu kiˆe.n khai triˆe’n v`a phu.o.ng ph´ap khai triˆe’n 13.3.2 D 13.4 Chuˆ˜o i Fourier 13.4.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 177 178 178 179 191 191 192 199 199 201 211 211 http://tieulun.hopto.org MU C LU C `e su hˆo.i tu cu’a chuˆ˜o i Fourier 212 13.4.2 Dˆa´u hiˆe.u du’ vˆ 14 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆ an 224 14.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p 225 14.1.1 Phu.o.ng tr`ınh t´ach biˆe´n 226 14.1.2 Phu.o.ng tr`ınh d ˘a’ng cˆa´p 231 14.1.3 Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 237 14.1.4 Phu.o.ng tr`ınh Bernoulli 244 `an 247 14.1.5 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan to`an phˆ 14.1.6 Phu.o.ng tr`ınh Lagrange v`a phu.o.ng tr`ınh Clairaut255 14.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p cao 259 14.2.1 C´ac phu.o.ng tr`ınh cho ph´ep thˆa´p cˆa´p 260 14.2.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh cˆa´p v´o.i hˆe sˆo´ h˘a`ng 264 `an nhˆa´t 14.2.3 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh thuˆ cˆa´p n (ptvptn cˆa´p n ) v´o.i hˆe sˆo´ h˘a`ng 273 14.3 Hˆe phu.o.ng tr`ınh vi phˆan tuyˆe´n t´ınh cˆa´p v´o.i hˆe sˆo´ h˘a`ng290 `e phu.o.ng tr`ınh vi phˆ 15 Kh´ niˆ e.m vˆ an da.o h` am riˆ eng 15.1 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p tuyˆe´n t´ınh dˆo´i v´o.i c´ac da.o h`am riˆeng 15.2 Gia’i phu.o.ng tr`ınh d a.o h`am riˆeng cˆa´p d o.n gia’n nhˆa´t 15.3 C´ac phu.o.ng tr`ınh vˆa.t l´ y to´an co ba’n `en s´ong 15.3.1 Phu.o.ng tr`ınh truyˆ `en nhiˆe.t 15.3.2 Phu o ng tr`ınh truyˆ 15.3.3 Phu.o.ng tr`ınh Laplace T` liˆ e.u tham kha’o 304 306 310 313 314 317 320 327 http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng 10 T´ıch phˆ an bˆ a´t di.nh 10.1 C´ ac phu.o.ng ph´ ap t´ınh t´ıch phˆ an 10.1.1 Nguyˆen h` am v` a t´ıch phˆ an bˆ a´t di.nh 10.1.2 Phu.o.ng ph´ ap dˆ o’i biˆe´n 12 `an 21 10.1.3 Phu.o.ng ph´ ap t´ıch phˆ an t` u.ng phˆ 10.2 C´ ac l´ o.p h` am kha’ t´ıch l´ o.p c´ ac h` am so cˆ a´p 30 10.2.1 T´ıch phˆ an c´ ac h` am h˜ u.u ty’ 30 10.2.2 T´ıch phˆ an mˆ o.t sˆ o´ h` am vˆ o ty’ do.n gia’n 37 10.2.3 T´ıch phˆ an c´ ac h` am lu.o ng gi´ ac 48 10.1 C´ ac phu.o.ng ph´ ap t´ınh t´ıch phˆ an 10.1.1 Nguyˆ en h` am v` a t´ıch phˆ an bˆ a´t di.nh - i.nh ngh˜ıa 10.1.1 H`am F (x) du.o c go.i l`a nguyˆen h`am cu’a h`am D f(x) trˆen khoa’ng n`ao d´o nˆe´u F (x) liˆen tu.c trˆen khoa’ng d´o v`a kha’ vi http://tieulun.hopto.org 10.1 C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan ta.i mˆ˜o i diˆe’m cu’a khoa’ng v`a F ′(x) = f(x) - i.nh l´ `on ta.i nguyˆen h`am) Mo.i h` `e su tˆ am liˆen tu.c trˆen D y 10.1.1 (vˆ `eu c´ doa.n [a, b] dˆ o nguyˆen h` am trˆen khoa’ng (a, b) - i.nh l´ D y 10.1.2 C´ ac nguyˆen h` am bˆ a´t k`y cu’a c` ung mˆ o.t h` am l` a chı’ `ng sˆ o.t h˘ a o´ cˆ o.ng kh´ ac bo’ i mˆ Kh´ac v´o.i da.o h`am, nguyˆen h`am cu’a h`am so cˆa´p khˆong pha’i bao gi`o c˜ ung l`a h`am so cˆa´p Ch˘a’ng ha.n, nguyˆen h`am cu’a c´ac h`am e−x , cos x sin x , , , l`a nh˜ u.ng h`am khˆong so cˆa´p cos(x2), sin(x2), lnx x x - i.nh ngh˜ıa 10.1.2 Tˆa.p ho p mo.i nguyˆen h`am cu’a h`am f(x) trˆen D khoa’ng (a, b) du.o c go.i l`a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh cu’a h`am f(x) trˆen khoa’ng (a, b) v`a du.o c k´ y hiˆe.u l`a Z f(x)dx Nˆe´u F (x) l`a mˆo.t c´ac nguyˆen h`am cu’a h`am f(x) trˆen khoa’ng (a, b) th`ı theo di.nh l´ y 10.1.2 Z f(x)dx = F (x) + C, C ∈ R `an hiˆe’u l`a d˘a’ng th´ u.a uy y´ v`a d˘a’ng th´ u.c cˆ u.c gi˜ d´o C l`a h˘a`ng sˆo´ t` hai tˆa.p ho p C´ac t´ınh chˆa´t co ba’n cu’a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh:  Z f(x)dx = f(x)dx 1) d 2) 3) Z Z f(x)dx df(x) = ′ Z = f(x) f ′ (x)dx = f(x) + C ut ba’ng c´ac t´ıch phˆan co T` u di.nh ngh˜ıa t´ıch phˆan bˆa´t di.nh r´ ba’n (thu.`o.ng du.o c go.i l`a t´ıch phˆan ba’ng) sau dˆay: http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng 10 T´ıch phˆan bˆa´t di.nh I Z II Z III IV V 0.dx = C 1dx = x + C Z Z Z VI xαdx = dx = ln|x| + C, x 6= x ax a dx = + C (0 < a 6= 1); lna x Z VII xα+1 + C, α 6= −1 α+1 IX Z XI Z ex dx = ex + C sin xdx = − cos x + C Z VIII Z cos xdx = sin x + C Z π dx = tgx + C, x 6= + nπ, n ∈ Z cos x dx = −cotgx + C, x 6= nπ, n ∈ Z sin2 x  Z arc sin x + C, dx −1 < x < X √ = − x2 −arc cos x + C Z  arctgx + C, dx = + x2 −arccotgx + C √ dx = ln|x + x2 ± 1| + C x2 ± u th`ı x < −1 ho˘a.c x > 1) (trong tru.`o.ng ho p dˆa´u tr` Z dx 1 + x x ln tg + ln tg dx (DS + 10 ) sin 2x 2 Z tg5 x tg3 x sin2 x 11 dx (DS + ) cos6 x ˜ n D˘a.t t = tgx Chı’ dˆ a Z 12 sin 3x cos xdx (DS − (cos 4x + cos 2x)) Z 2x x x (DS cos − cos x) 13 sin cos dx 3 Z cos3 x − sin x) 14 (DS − dx sin x sin x Z sin3 x 15 dx (DS + cos x) cos x cos x http://tieulun.hopto.org 10.2 C´ac l´o.p h`am kha’ t´ıch l´o.p c´ac h`am so cˆa´p 16 17 18 Z Z Z cos3 x dx sin5 x cotg4x ) (DS − sin5 x dx cos3 x (DS tg5 xdx (DS 55 cos2 x + ln | cos x| − ) cos2 x tg4x tg2 x − − ln | cos x|) Trong c´ac b`ai to´an sau dˆay h˜ay ´ap du.ng ph´ep dˆo’i biˆe´n 2t x − t2 2dt t = tg , sin x = , cos x = , x = 2arctgt, dx = 2 1+t 1+t + t2 19 Z dx + cos x 20 Z dx sin x + cos x 21 Z x + tg (DS ln x ... 14.1.6 Phu.o.ng tr`ınh Lagrange v`a phu.o.ng tr`ınh Clairaut255 14.2 Phu.o.ng tr`ınh vi phˆan cˆa´p cao 259 14.2.1 C´ac phu.o.ng tr`ınh cho ph´ep thˆa´p cˆa´p 260 14.2.2 Phu.o.ng... tˆa.p ho p C´ac t´ınh chˆa´t co ba’n cu’a t´ıch phˆan bˆa´t di.nh:  Z f(x)dx = f(x)dx 1) d 2) 3) Z Z f(x)dx df(x) = ′ Z = f(x) f ′ (x)dx = f(x) + C ut ba’ng c´ac t´ıch phˆan co T` u di.nh... 10.1 C´ac phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan 1) 2) Z Z kf(x)dx = k f(x)dx, k 6= [f(x) ± g(x)]dx = 3) Nˆe´u Z Z Z Z f(x)dx ± Z g(x)dx f(x)dx = F (x) + C v`a u = ϕ(x) kha’ vi liˆen tu.c th`ı f(u)du