Lý thuyết và bài tập môn toán cao cấp (tập 2)

˜ ’ THANH ˆ N THUY NGUYE ` TA ˆP BAI ´ CAO CA ˆ´P TOAN Tâ.p Phép t´ınh vi phân các hàm ’ N DAI HOC QUO ˆĆ GIA HA ` NO Î ` XUA ˆ´T BA NHA http://tieulun.hopto.org Mu.c lu.c a liˆ en tu.c cu’a h` am sˆ o´ Gi´ o.i ha.n v` 7.1 Gió.i ha.n cu’a dãy sô´ 7.1.1 Các bài toán liên quan tó.i di.nh ngh˜ıa gió.i ha.n 7.1.2 Ch´ u.ng minh su hô.i tu cu’a dãy sô´ du a trên các è gió.i ha.n di.nh l´ y vˆ èu 7.1.3 Ch´ u.ng minh su hô.i tu cu’a dãy sô´ du a trên diˆ kiê.n du’ dê’ dãy hô.i tu (nguyên l´ y Bolzano-Weierstrass) èu 7.1.4 Ch´ u.ng minh su hô.i tu cu’a dãy sô´ du a trên diˆ àn và du’ dê’ dãy hô.i tu (nguyên l´ kiê.n cˆ y hô.i tu 11 17 Bolzano-Cauchy) 7.2 Gió i ha.n hàm mô.t biêń è gió.i ha.n 7.2.1 Các khái niê.m và di.nh l´ y co ba’n vˆ 25 7.3 41 7.4 Hàm liên tu.c èu biêń Gió.i ha.n và liên tu.c cu’a hàm nhiˆ 27 27 51 Ph´ ep t´ınh vi phˆ an h` am mˆ o.t biˆ eń 60 - a.o hàm 61 8.1 D - a.o hàm câ´p 61 8.1.1 D - a.o hàm câ´p cao 62 8.1.2 D 8.2 Vi phân 8.2.1 Vi phân câ´p 75 75 http://tieulun.hopto.org MU C LU C 8.3 8.2.2 Vi phân câ´p cao è hàm kha’ vi Quy t˘ác l’Hospital Các di.nh l´ y co ba’n vˆ Công th´ u.c Taylor è hàm kha’ vi 8.3.1 Các d i.nh l´ y co ba’n vˆ 8.3.2 Khu’ các da.ng vô di.nh Quy t˘ác Lôpitan (L’Hospitale) 8.3.3 Công th´ u.c Taylor èu biˆ Ph´ ep t´ınh vi phˆ an h` am nhiˆ eń - a.o hàm riêng 9.1 D - a.o hàm riêng câ´p 9.1.1 D - a.o hàm cu’a hàm ho p 9.1.2 D 9.1.3 Hàm kha’ vi - a.o hàm theo hu.ó.ng 9.1.4 D - a.o hàm riêng câ´p cao 9.1.5 D èu biêń 9.2 Vi phân cu’a hàm nhiˆ 9.2.1 Vi phân câ´p ´ du.ng vi phân dê’ t´ınh gˆ àn d´ 9.2.2 Ap ung 9.2.3 Các t´ınh châ´t cu’a vi phân 9.2.4 Vi phân câ´p cao 9.2.5 Công th´ u.c Taylor 9.3 9.2.6 Vi phân cu’a hàm â’n èu biêń Cu c tri cu’a hàm nhiˆ 9.3.1 Cu c tri èu kiê.n 9.3.2 Cu c tri có diˆ 9.3.3 Giá tri ló.n nhâ´t và bé nhâ´t cu’a hàm 77 84 84 88 96 109 110 110 111 111 112 113 125 126 126 127 127 129 130 145 145 146 147 http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng a liˆ en tu.c cu’a Gi´ o.i ha.n v` h` am sˆ o´ 7.1 Gi´ o.i ha.n cu’a d˜ ay sˆ o´ o.i 7.1.1 C´ ac b` to´ an liên quan t´ o.i di.nh ngh˜ıa gi´ ha.n 7.1.2 Ch´ u.ng minh su hˆ o.i tu cu’a d˜ ay sˆ o´ du a trên è gi´ y vˆ o.i ha.n c´ ac di.nh l´ 7.1.3 Ch´ u.ng minh su hˆ o.i tu cu’a d˜ ay sˆ o´ du a èu kiê.n du’ dê’ d˜ ay hˆ o.i tu (nguyên trên diˆ Bolzano-Weierstrass) 7.1.4 11 l´ y 17 Ch´ u.ng minh su hˆ o.i tu cu’a d˜ ay sˆ o´ du a trên àn v` èu kiê.n cˆ diˆ a du’ dê’ d˜ ay hˆ o.i tu (nguyên l´ y hˆ o.i tu Bolzano-Cauchy) 25 7.2 Gi´ o.i ha.n h` am mˆ o.t biˆ eń 27 è gi´ y co ba’n vˆ o.i ha.n 27 7.2.1 C´ ac kh´ niê.m v` a di.nh l´ 7.3 H` am liˆ en tu.c 41 èu biˆ Gi´ o.i ha.n v` a liˆ en tu.c cu’a h` am nhiˆ eń 51 7.4 http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng Gió.i ha.n và liên tu.c cu’a hàm sô´ 7.1 Gi´ o.i ha.n cu’a d˜ ay sˆ o´ Hàm sô´ xác di.nh trên tâ.p ho p N du.o c go.i là dãy sô´ vô ha.n Dãy sô´ thu.ò.ng du.o c viê´t du.ó.i da.ng: a1, a2, , an , (7.1) ho˘a.c {an }, dó an = f(n), n ∈ N du.o c go.i là sô´ ha.ng tô’ng quát cu’a dãy, n là sô´ hiê.u cu’a sô´ ha.ng dãy àn lu.u y Ta cˆ ´ các khái niê.m sau dây: i) Dãy (7.1) du.o c go.i là bi ch˘a.n nêú ∃ M ∈ R+ : ∀ n ∈ N ⇒ |an | M ; và go.i là không bi ch˘a.n nêú: ∀ M ∈ R+ : ∃ n ∈ N ⇒ |an | > M ii) Sô´ a du.o c go.i là gió.i ha.n cu’a dãy (7.1) nêú: ∀ ε > 0, ∃ N(ε) : ∀ n > N ⇒ |an − a| < ε (7.2) iii) Sô´ a không pha’i là gió.i ha.n cu’a dãy (7.1) nêú: ∃ ε > 0, ∀ N : ∃ n > N ⇒ |an − a| > ε (7.3) iv) Dãy có gió.i ha.n du.o c go.i là dãy hô.i tu., tru.ò.ng ho p ngu.o c la.i dãy (7.1) go.i là dãy phân k` y v) Dãy (7.1) go.i là dãy vô c` ung bé nêú lim an = và go.i là dãy n→∞ vô c` ung ló.n nêú ∀ A > 0, ∃ N cho ∀ n > N ⇒ |an | > A và viê´t lim an = ∞ èu kiê.n cˆ àn dê’ dãy hô.i tu là dãy dó pha’i bi ch˘a.n vi) Diˆ Ch´ u ý: i) Hê th´ u.c (7.2) tu.o.ng du.o.ng vó.i: −ε < an − a < ε ⇔ a − ε < an < a + ε (7.4) http://tieulun.hopto.org 7.1 Gió.i ha.n cu’a dãy sô´ u.ng to’ r˘àng mo.i sô´ ha.ng vó.i chı’ sô´ n > N cu’a dãy Hê th´ u.c (7.4) ch´ èu n˘a`m khoa’ng (a − ε, a + ε), khoa’ng này go.i là ε-lân hô.i tu dˆ câ.n cu’a diê’m a Nhu vâ.y, nêú dãy (7.1) hô.i tu dêń sô´ a th`ı mo.i sô´ ha.ng cu’a nó tr` u èu n˘àm ε-lân câ.n bâ´t k` y bé bao mô.t sô´ h˜ u.u ha.n sô´ ha.ng dˆ nhiêu t` uy y ´ cu’a diê’m a ii) Ta lu.u y ´ r˘a`ng dãy sô´ vô c` ung ló.n không hô.i tu và k´ y hiê.u lim an = ∞ (−∞) chı’ có ngh˜ıa là dãy an là vô c` y hiê.u dó ung ló n và k´ hoàn toàn không có ngh˜ıa là dãy có gió.i ha.n 7.1.1 o.i C´ ac b` to´ an liˆ en quan t´ o.i di.nh ngh˜ıa gi´ ha.n àn tiêń u.ng minh lim an = a b˘a`ng cách su’ du.ng di.nh ngh˜ıa, ta cˆ Dê’ ch´ hành theo các bu ó c sau dây: i) Lâ.p biê’u th´ u.c |an − a| èu dó có lo i) cho |an − a| bn ∀ n và ii) Cho.n dãy bn (nêú diˆ vó.i ε du’ bé bâ´t k` y bâ´t phu.o.ng tr`ınh dôí vó.i n: bn < ε (7.5) ˜e dàng Gia’ su’ (7.5) có nghiê.m là n > f(ε), có thê’ gia’i mô.t cách dˆ àn f(ε) > Khi dó ta có thê’ lâý n là [f (ε)], dó [f(ε)] là phˆ nguyên cu’a f(ε) ´ VÍ DU CAC n V´ı du Gia’ su’ an = n(−1) Ch´ u.ng minh r˘àng: i) Dãy an không bi ch˘a.n ii) Dãy an không pha’i là vô c` ung ló.n Gia’i i) Ta ch´ u.ng minh r˘àng an tho’a mãn di.nh ngh˜ıa dãy không bi ch˘a.n Thâ.t vâ.y, ∀ M > sô´ ha.ng vó.i sô´ hiê.u n = 2([M] + 1) b˘a`ng èu dó có ngh˜ıa là dãy an không bi ch˘a.n n và ló.n ho.n M Diˆ http://tieulun.hopto.org Chu.o.ng Gió.i ha.n và liên tu.c cu’a hàm sô´ ung ló.n Thâ.t vâ.y, ii) Ta ch´ u.ng minh r˘a`ng an không pha’i là vô c` ta xét khoa’ng (−2, 2) Hiê’n nhiên mo.i sô´ ha.ng cu’a dãy vó.i sô´ hiê.u le’ èu thuô.c khoa’ng (−2, 2) v`ı n le’ th`ı ta có: dˆ n n(−1) = n−1 = 1/n ∈ (−2, 2) u dó, Nhu vâ.y kho’ng (−2, 2) có vô sô´ sô´ ha.ng cu’a dãy T` theo di.nh ngh˜ıa suy an không pha’i là vô c` ung ló.n N V´ı du D` ung di.nh ngh˜ıa gió.i ha.n dãy sô´ dê’ ch´ u.ng minh r˘a`ng: 1) lim n→∞ (−1)n−1 = n 2) lim n→∞ n = n+1 àn ch´ Gia’i Dê’ ch´ u.ng minh u.ng minh dãy an có gió.i ha.n là a, ta cˆ r˘àng dôí vó.i mô˜ i sô´ ε > cho tru.ó.c có thê’ t`ım du.o c sô´ N (N phu thuô.c ε) cho n > N th`ı suy |an − a| < ε Thông thu.ò.ng ta ˜e n N qua ε có thê’ chı’ công th´ u.c tu.ò.ng minh biê’u diˆ 1) Ta có: (−1)n−1 an h` am mˆ o.t biêń Chu.o.ng Phép t´ınh vi phˆ 84 25 y = tg45◦ 10′ 26 y = ln(10, 21) 27 y = sin 31◦ 28 y = arcsin0, 54 29 y = arctg(1, 05) 30 y = (1, 03)5 8.3 (DS 0,99) (DS 1,009) (DS 0,51) (DS 0,57) (DS 0,81) (DS 1,15) è h` C´ ac di.nh l´ y co ba’n vˆ am kha’ vi ´ Quy t˘ ac l’Hospital Cˆ ong th´ u.c Taylor 8.3.1 è h` am kha’ vi y co ba’n vˆ C´ ac di.nh l´ - i.nh l´ D y Rˆ on (Rolle) Gia’ su’.: i) f(x) liên tu.c trên doa.n [a, b] ii) f(x) c´ o da.o h` am h˜ u.u ha.n (a, b) iii) f(a) = f(b) òn ta.i diê’m ξ : a < ξ < b cho f(ξ) = Khi d´ o tˆ - i.nh l´ D y Lagr˘ ang (Lagrange) Gia’ su’.: i) f(x) liên tu.c trên doa.n [a, b] ii) f(x) c´ o da.o h` am h˜ u.u ha.n (a, b) Khi d´ a´t mˆ o.t diê’m ξ ∈ (a, b) cho o t`ım du.o c ´ıt nhˆ hay l` a f(b) − f(a) = f ′ (ξ) b−a (8.12) f(b) = f(a) + f ′ (ξ)(b − a) (8.13) u.c sô´ gia h˜ u.u ha.n Công th´ u.c (8.12) go.i là công th´ http://tieulun.hopto.org è h` am kha’ vi 8.3 C´ ac di.nh lý co ba’n vˆ 85 - i.nh l´ D y Cˆ osi (Cauchy) Gia’ su’.: i) f(x) v` a ϕ(x) liên tu.c trên doa.n [a, b] ii) f(x) v` a ϕ(x) c´ o da.o h` am h˜ u.u ha.n (a, b) òng th` iii) [f ′ (x)]2 + [ϕ′(x)]2 6= 0, ngh˜ıa l` a c´ ac da.o h` am khˆ ong dˆ o.i `ng b˘ a iv) ϕ(a) 6= ϕ(b) Khi d´ o t`ım du.o c diê’m ξ ∈ (a, b) cho: f ′ (ξ) f(b) − f(a) = ′ · ϕ(b) − ϕ(a) ϕ (ξ) (8.14) Di.nh l´ y Lagrange là tru.o`.ng ho p riêng cu’a di.nh l´ y Cauchy v`ı ϕ(x) = x th`ı t` u (8.14) thu du.o c (8.13) Di.nh l´ y Rôn c˜ ung là tru.ò.ng èu kiê.n f(a) = f(b) ho p riêng cu’a di.nh l´ y Lagrange vó.i diˆ ´ VÍ DU CAC V´ı du Gia’ su’ P (x) = (x + 3)(x + 2)(x − 1) òn ta.i nghiê.m cu’a phu.o.ng Ch´ u.ng minh r˘a`ng khoa’ng (−3, 1) tˆ tr`ınh P ′′(ξ) = Gia’i Da th´ u.c P (x) có nghiê.m ta.i các diê’m x1 = −3, x2 = −2, x3 = Trong các khoa’ng (−3, −2) và (−2, 1) hàm P (x) kha’ vi và èu kiê.n cu’a di.nh l´ tho’a mãn các diˆ y Rôn và: P (−3) = P (−2) = 0, P (−2) = P (1) = Do dó theo di.nh l´ y Rôn, t`ım du.o c diê’m ξ1 ∈ (−3, −2); ξ2 ∈ (−2, 1) cho: P ′ (ξ1 ) = P ′ (ξ2 ) = y Rôn cho doa.n [ξ1, ξ2 ] và hàm P ′ (x), ta Bây giò la.i áp du.ng di.nh l´ la.i t`ım du.o c diê’m ξ ∈ (ξ1 , ξ2 ) ⊂ (−3, 1) cho P ′′(ξ) = http://tieulun.hopto.org 86 an h` am mˆ o.t biêń Chu.o.ng Phép t´ınh vi phˆ V´ı du Hãy xét xem hàm f(x) = arcsinx trên doa.n [−1, +1] có tho’a mãn di.nh l´ y Lagrange không ? Nêú tho’a mãn th`ı hãy t`ım diê’m ξ (xem (8.12)) Gia’i Hàm f(x) xác di.nh và liên tu.c trên [−1, +1] Ta t`ım f ′ (x) f ′ (x) = √ → f ′ (x) < ∞, 1−x x ∈ (−1, 1) òn ta.i nhu.ng diê’u dó (Lu.u y ´ r˘a`ng x = ±1 da.o hàm không tˆ èu kiê.n cu’a di.nh l´ không a’nh hu.o’.ng dêń su tho’a mãn diˆ y Lagrange !) Nhu vâ.y hàm f tho’a mãn di.nh l´ y Lagrange Ta t`ım diê’m ξ Ta có: arcsin1 − arcsin(−1) =p − (−1) − ξ2 π π r − − p 2 =p ⇒ − ξ = ⇒ ξ1,2 = ± − ⇒ 2 π π 1−ξ u.c (8.12) tho’a mãn dôí vó.i Nhu vâ.y tru.o`.ng ho p này công th´ hai diê’m V´ı du Hãy kha’o sát xem các hàm f(x) = x2 − 2x + và ϕ(x) = èu kiê.n di.nh l´ x3 − 7x2 + 20x − có tho’a mãn diˆ y Cauchy trên doa n [1, 4] không ? Nêú ch´ ung tho’a mãn di.nh l´ y Cauchy th`ı hãy t`ım diê’m ξ Gia’i i) Hiê’n nhiên ca’ f(x) và ϕ(x) liên tu.c x ∈ [1, 4] u.u ha.n (1, 4) ii) f(x) và ϕ(x) có da.o hàm h˜ èu kiê.n th´ ung tho’a mãn v`ı: u iii) c˜ iii) Diˆ g ′ (x) = 3x2 − 14x + 20 > 0, x ∈ R iv) Hiê’n nhiên ϕ(1) 6= ϕ(4) http://tieulun.hopto.org è h` am kha’ vi 8.3 C´ ac di.nh lý co ba’n vˆ 87 Do dó f(x) và ϕ(x) tho’a mãn di.nh l´ y Cauchy và ta có f ′ (ξ) f(4) − f(1) = ′ ϕ(4) − ϕ(1) ϕ (ξ) hay 11 − 2ξ − = , 27 − 3ξ − 14ξ + 20 ξ ∈ (1, 4) T` u dó thu du.o c ξ1 = 2, ξ2 = và o’ dây chı’ có ξ1 = là diê’m cu’a (1, 4) Do dó: ξ = y Cauchy có áp du.ng du.o c cho các hàm f(x) = cos x, V´ı du Di.nh l´ ϕ(x) = x3 trên doa n [−π/2, π/2] hay không ? èu kiê.n i), ii) và Gia’i Hiê’n nhiên f(x) và ϕ(x) tho’a mãn các diˆ iv) cu’a di.nh l´ y Cauchy Tiê´p theo ta có: f ′ (x) = − sin x; ϕ′(x) = 3x2 và ta.i x = ta có: f ′ (0) = − sin = 0; ϕ′ (0) = và nhu vâ.y èu kiê.n iii) không du.o c tho’a mãn Ta [ϕ′(0)]2 + [f ′(0)]2 = Do dó diˆ xét vê´ trái cu’a (8.14): cos(π/2) − cos(−π/2) f(b) − f(a) = = ϕ(b) − ϕ(a) (π/2)3 − (−π/2)3 Bây giò ta xét vê´ pha’i cu’a (8.14) Ta có: sin ξ f ′ (ξ) =− · ′ ϕ (ξ) 3ξ Nhu.ng dôí vó.i vê´ pha’i này ta có: sin ξ sin ξ 1 = ∞ · lim lim − = lim − ξ→0 ξ→0 ξ ξ→0 3ξ 3ξ èu dó ch´ Diˆ u.ng to’ r˘àng các hàm dã cho không tho’a mãn di.nh l´ y Cauchy ` TA ˆP BAI √ èu kiê.n cu’a di.nh Hàm y = − x2 trên doa.n [−1, 1] có tho’a mãn diˆ l´ y Rôn không ? Ta.i ? (Tra’ lò.i: Không) http://tieulun.hopto.org an h` am mˆ o.t biêń Chu.o.ng Phép t´ınh vi phˆ 88 Hàm y = 3x2 − có tho’a mãn di.nh l´ y Lagrange trên doa.n [−2, 0] không ? Nêú nó tho’a mãn, hãy t`ım giá tri trung gian ξ (Tra’ lò.i: Có) Ch´ u.ng minh r˘àng hàm f(x) = x + 1/x tho’a mãn di.nh l´ y Lagrange trên doa n [1/2, 2] T`ım ξ (DS ξ = 1) Ch´ u.ng minh r˘àng các hàm f(x) = cos x, ϕ(x) = sin x tho’a mãn di.nh l´ y Cauchy trên doa.n [0, π/2] T`ım ξ ? (DS ξ = π/4) Ch´ u.ng minh r˘àng hàm f(x) = ex và ϕ(x) = x2 /(1 + x2) không tho’a mãn di.nh l´ y Cauchy trên doa.n [−3, 3] Trên du.o`.ng cong y = x3 hãy t`ım diê’m mà ta.i dó tiê´p tuyêń vó.i du.ò.ng cong song song vó.i dây cung nôí diê’m A(−1, −1) vó.i B(2, 8) (DS M(1, 1)) ˜ n Du a vào y ´ ngh˜ıa h`ınh ho.c cu’a công th´ u.c sô´ gia h˜ u.u ha.n Chı’ dˆ a 8.3.2 Khu’ c´ ac da.ng vˆ o di.nh (L’Hospitale) ´ Quy t˘ ac Lˆ opitan è câ.p dêń viê.c khu’ các da.ng vô di.nh Bây giò Trong chu.o.ng II ta dã dˆ ta tr`ınh bày quy t˘ać Lôpitan - công cu co ba’n dê’ khu’ các da.ng vô di.nh Da.ng vˆ o di.nh 0/0 èu kiê.n Gia’ su’ hai hàm f(x) và ϕ(x) tho’a mãn các diˆ i) lim f(x) = 0; x→a lim ϕ(x) = x→a ii) f(x) và ϕ(x) kha’ vi lân câ.n nào dó cu’a diê’m x = a và ϕ′ (x) 6= lân câ.n dó, có thê’ tr` u ch´ınh diê’m x = a òn ta.i gió.i ha.n (h˜ iii) Tˆ u.u ha.n ho˘a.c vô c` ung) f ′ (x) = k x→a ϕ′ (x) lim http://tieulun.hopto.org è h` am kha’ vi 8.3 C´ ac di.nh lý co ba’n vˆ 89 Khi dó f(x) f ′ (x) = lim ′ · x→a ϕ(x) x→a ϕ (x) lim Da.ng vˆ o di.nh ∞/∞ èu kiê.n ii) và iii) cu’a di.nh l´ Gia’ su’ f(x) và ϕ(x) tho’a mãn các diˆ y èu kiê.n i) du.o c thay bo’.i diˆ èu kiê.n: trên dây còn diˆ i)∗ lim f(x) = ∞, lim ϕ(x) = ∞ x→a x→a Khi dó: f(x) f ′ (x) = lim ′ x→a ϕ(x) x→a ϕ (x) lim Ch´ u ý Nêú thu.o.ng f ′ (x)/ϕ′ (x) la.i có da.ng vô di.nh 0/0 (ho˘a.c èu kiê.n i), ii) và iii) ∞/∞) ta.i diê’m x = a và f ′ , ϕ′ tho’a mãn các diˆ ∗ (tu.o.ng u ´.ng i) , ii) và iii)) th`ı ta có thê’ chuyê’n sang da.o hàm câ´p hai, C´ ac da.ng vˆ o di.nh kh´ ac a) Dê’ khu’ da.ng vô di.nh · ∞ lim f(x) = 0, lim ϕ(x) = ∞ ta x→a x→a biêń dô’i t´ıch f(x) · ϕ(x) thành: f(x) (dang 0/0) i) 1/ϕ(x) ϕ(x) (dang ∞/∞) ii) 1/f(x) b) Dê’ khu’ da.ng vô di.nh ∞ − ∞ Ta biêń dô’i f(x) − ϕ(x) (trong dó lim f(x) = ∞, lim ϕ(x) = ∞) x→a x→a thành t´ıch h 1 i f(x) − ϕ(x) = f(x)ϕ(x) − ϕ(x) f(x) ho˘a.c thành t´ıch da.ng h ϕ(x) i f(x) − ϕ(x) = f(x) − f(x) http://tieulun.hopto.org an h` am mˆ o.t biêń Chu.o.ng Phép t´ınh vi phˆ 90 ho˘a.c f(x) − ϕ(x) = ϕ(x) h f(x) ϕ(x) i −1 c) Da.ng vô di.nh 00 , ∞0, 1∞ Khi t´ınh gió.i ha.n cu’a hàm da.ng F (x) = [f(x)]ϕ(x) thông thu.ò.ng ta g˘a.p các da.ng vô di.nh 00 , ∞0 ho˘a.c 1∞ Trong nh˜ u.ng tru.ò.ng ho p è da.ng vô di.nh · ∞ dã nói này ta có thê’ biêń dô’i F (x) dê’ du.a vˆ 1) nhò phép biêń dô’i ϕ(x) F (x) = [f(x)]ϕ(x) = eln[f (x)] = eϕ(x)lnf (x) và t´ınh liên tu.c cu’a hàm m˜ u ta sé có: lim [f(x)]ϕ(x) = elim[ϕ(x)·lnf (x)] x→a ´ r˘àng m˘a.c d` u quy t˘ać Lôpitan là mô.t công cu Ch´ u ý Ta lu.u y ma.nh de’ t´ınh gió.i ha.n nhu.ng nó không thê’ thay toàn bô các phu.o.ng èu dó du.o c ch´ pháp t´ınh gió.i ha.n dã xét chu.o.ng II Diˆ u.ng to’ v´ı du sau dây ´ VÍ DU CAC x2 − + lnx x→1 ex − e V´ı du T´ınh lim ´ du.ng quy t˘ác L’Hospital ta Gia’i Ta có vô di.nh da.ng “0/0” Ap thu du.o c 2x + (x2 − + lnx)′ x2 − + lnx x = N = lim = lim lim x x ′ x x→1 x→1 x→1 e −e (e − e) e e V´ı du T´ınh xn x→+∞ ex lim http://tieulun.hopto.org è h` am kha’ vi 8.3 C´ ac di.nh lý co ba’n vˆ 91 ´ du.ng quy t˘ać L’Hospital n Gia’i Ta có vô di.nh da.ng “∞/∞” Ap àn ta thu du.o c lˆ xn nxn−1 n(n − 1)xn−2 n(n − 1) · · · · = lim = lim = · · · = lim x x x→∞ ex x→1 x→1 x→1 e e ex n! = lim x = N x→1 e lim V´ı du T´ınh lim xlnx x→0+0 Gia’i Ta có vô di.nh da.ng “0 · ∞” Nhu.ng xlnx = lnx x và ta thu du.o c vô di.nh da.ng “∞/∞” Do dó (lnx)′ lim xlnx = lim ′ = lim x = − lim x = N 1 x→0+0 x→0+0 x→0+0 x→0+0 − x x V´ı du T´ınh lim xx x→0+0 Gia’i O’ dây ta có vô di.nh da.ng “00 ” Nhu.ng xx = exlnx u Trong v´ı du ta dã thu và ta thu du.o c vô di.nh da.ng · ∞ o’ sô´ m˜ du o c lim (xlnx) = 0, x→0+0 dó lim xlnx lim xx = lim exlnx = ex→0+0 x→0+0 x→0+0 V´ı du T´ınh lim + x2 x→0 = e0 = N ex −1−x http://tieulun.hopto.org an h` am mˆ o.t biêń Chu.o.ng Phép t´ınh vi phˆ 92 Gia’i O’ dây ta có vô di.nh da.ng 1∞ Nhu.ng + x2 ex −1−x ln(1+x2 ) = e ex −1−x ´ du.ng u cu’a l˜ uy th` u.a ta thu du.o c vô di.nh da.ng “0/0” Ap và o’ sô´ m˜ quy t˘ác L’Hospital ta thu du.o c 2x ln(1 + x2 ) 2x = lim 1x+ x = lim x lim x x→0 e − − x x→0 e − x→0 (e − 1)(1 + x2 ) 2 = = N = lim x x x→0 e (1 + x ) + (e − 1)2x V´ı du T´ınh limπ tgx x→ 2 cos x Gia’i Ta có vô di.nh da.ng “∞0 ” Nhu.ng 2 cos x 2ln tgx tgx = e2 cos xln tgx = e 1/ cos x ´ du.ng u cu’a l˜ uy th` u.a ta thu du.o c vô di.nh da.ng “∞/∞” Ap và o’ sô´ m˜ quy t˘ác L’Hospital ta có 1 2ln tgx x · tgx lim = limπ cos2 x = limπ + sin x x→ tg x x→ x→ π2 cos x cos x sin x − cos x = lim cos x = = limπ x→ π2 x→ 2tgx · cos2 x cos2 Do dó limπ tgx x→ 2 cos x limπ cos x·ln tgx = ex→ = e0 = N V´ı du Ch´ u.ng minh r˘àng gió.i ha.n x2 sin(1/x) =0 1) lim x→0 sin x http://tieulun.hopto.org è h` am kha’ vi 8.3 C´ ac di.nh lý co ba’n vˆ 93 x − sin x =1 x→∞ x + sin x không thê’ t`ım du.o c theo quy t˘ać L’Hospital Hãy t´ınh các gió.i ha.n dó Gia’i 1) Quy t˘ác L’Hospital không áp du.ng du.o c v`ı ty’ sô´ các da.o hàm [2x sin(1/x) − cos(1/x)]/ cos x không có gió.i ha.n x → Ta t´ınh tru c tiê´p gió.i ha.n này 2) lim x x2 sin(1/x) = lim · lim x sin = · = x→0 sin x x→0 x→0 sin x x lim 2) Quy t˘ać L’Hospital không áp du.ng du.o c v`ı ty’ sô´ các da.o hàm − cos x = tg2 (x/2) + cos x không có gió.i ha.n x → ∞ Ta t´ınh tru c tiê´p gió.i ha.n này [1 − (sin x)/x] x − sin x = lim = v`ı | sin x| x→∞ [1 + (sin x)/x] x→∞ x + sin x lim àn dˆ àu cu’a tiê´t này dã nói, quy t˘ać L’Hospital là mô.t Nhu o’ phˆ èu dó không có ngh˜ıa là nó có công cu ma.nh dê’ t`ım gió.i ha.n nhu.ng diˆ àn lu.u y thê’ thay cho toàn bô các phu o ng pháp t`ım gió.i ha.n Cˆ ´ r˘àng f(x) èu kiê.n du’ dê’ tˆ òn ta.i gió.i ha.n: lim quy t˘ać L’Hospital chı’ là diˆ x→a g(x) ` ` ch´ u không pha’i là diêu kiê.n cân ` TA ˆP BAI ´ du.ng quy t˘ać L’Hospital dê’ t´ınh gió.i ha.n: Ap 16 x4 − 16 (DS ) lim x→2 x + 5x − 6x − 16 13 xm − am m lim n (DS am−n ) n x→a x − a n http://tieulun.hopto.org an h` am mˆ o.t biêń Chu.o.ng Phép t´ınh vi phˆ 94 e2x − (DS 2) lim x→0 sin x a2 − cos ax (DS ) lim x→0 + cos bx b x −x e − e − 2x (DS 2) lim x→0 x − sin x ln(1 + x2 ) (DS 0) lim x→0 cos 3x − e−x e1/x − (Ds − ) lim x→∞ 2arctgx − π 2x + lim (DS 0) x→∞ 3x2 + x − ln(1 + x2) (DS −2) lim x→∞ ln[(π/2) − arctgx] √ x2 − (DS −1) 10 lim x→∞ x x (DS +∞) 11 lim x→∞ ln(1 + x) ln sin x (DS 1) ln sin 5x x−a cotg(x − a) (DS 1/a) 13 lim arcsin x→a a (DS 0) 14 lim (π − 2arctgx)lnx 12 lim x→+0 x→∞ 15 lim (a1/x − 1)x, a > x→∞ (DS lna) πx (DS e2/π ) 16 lim (2 − x)tg x→1 h x i − (DS −1) 17 lim x→1 lnx lnx (Ds 1/2) 18 lim (x − x2ln(1 + 1/x)) x→∞ 1 (DS 2/3) 19 lim − cotg x x→0 x x 20 lim x1/ln(e −1) (DS e) x→0 http://tieulun.hopto.org è h` am kha’ vi 8.3 C´ ac di.nh lý co ba’n vˆ 95 tgx (DS 1) lim cotgx x→0+0 1/ sin x √ (DS e−1/30) 22 lim x→0 + 9+x cotg2 x 23 lim cos x (DS e−1/2) x→0 1/lnx 24 lim ln2x (DS 1) 21 x→0+0 1/tg2 x (DS e) 25 lim + sin2 x x→0 1/lnx 26 lim cotgx (DS e−1) x→0+0 tgx 27 lim sin x (DS 1) x→π/2 e+x − e−x − 2x (DS −2) x→0 sin x − x x2 e−x − + x − (DS − ) lim x x→0 e −1 −x e −1+x (DS − ) lim x→0 sin 2x x ln2 2 − − xln2 (DS ) lim x→0 (1 − x)m − + mx m(m − 1) 2 1/x arccosx lim (DS e− π ) x→0 π lnx lim , α > (DS 0) x→∞ xα xm lim x , < a 6= (DS 0) x→∞ a ln sin x (DS ) lim x→0+0 ln(1 − cos x) h1 i lim − cotg2 x (DS ) x→0 x tg2x −1 limπ tgx (DS e ) 28 lim 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 x→ lim π x→ −0 tgx cotgx (DS 1) http://tieulun.hopto.org an h` am mˆ o.t biêń Chu.o.ng Phép t´ınh vi phˆ 96 8.3.3 Cˆ ong th´ u.c Taylor àn Gia’ su’ hàm f(x) xác di.nh lân câ.n nào dó cu’a diê’m x0 và n lˆ kha’ vi ta.i diê’m x0 th`ı f ′′ (x0) f ′ (x0) (x − x0) + (x − x0)2 + · · · + 1! 2! f (n) (x0) (x − x0)n + o((x − x0)n ) + n! f(x) = f(x0 ) + x → x0 hay: f(x) = n X f (k) (x0) k=0 Da th´ u.c k! (x − x0 )k + o((x − x0 )n ), Pn (x) = n X f (k) (x0) k=0 k! x → x0 (x − x0 )k (8.15) (8.16) u.c Taylor cu’a hàm f(x) ta.i diê’m x0, còn hàm: du.o c go.i là da th´ Rn (x) = f(x) − Pn (x) àn du th´ u n cu’a công th´ u.c Taylor du.o c go.i là sô´ ha.ng du hay phˆ Công th´ u.c (8.15) du.o c go.i là công th´ u.c Taylor câ´p n dôí vó.i hàm àn du da.ng Peano (nó c˜ f(x) ta.i lân câ.n cu’a diê’m x0 vó.i phˆ ung còn du.o c go.i là công th´ u.c Taylor di.a phu.o.ng) Nêú hàm f(x) có da.o hàm ˜e n nhâ´t du.ó.i da.ng: dêń câ´p n th`ı nó có thê’ biê’u diˆ f(x) = n X k=0 ak (x − x0 )k + o((x − x0 )n ), x → x0 u.c: vó.i các hê sô´ ak du.o c t´ınh theo công th´ ak = f (k) (x0 ) , k! k = 0, 1, , n http://tieulun.hopto.org è h` am kha’ vi 8.3 C´ ac di.nh lý co ba’n vˆ 97 Nêú x0 = th`ı (8.15) có da.ng f(x) = n X f (k) (0) k=0 k! xk + o(xn ), x→0 (8.17) và go.i là công th´ u.c Macloranh (Maclaurin) Sau dây là công th´ u.c Taylor ta.i lân câ.n diê’m x0 = cu’a mô.t sô´ hàm so câ´p n xk P + o(xn ) I ex = k! k=0 II sin x = x − = n X (−1)n x2n+1 x3 x5 + + ··· + + o(x2n+2 ) 3! 5! (2n + 1)! (−1)k x2k+1 + o(x2n+2 ) (2k + 1)! (−1)k x2k + o(x2n+1 ) (2k!) k=0 III cos x = n P k=0 α IV (1 + x) = + n X α(α − 1) (α − k + 1) k! xk + o(xn ) k=1 ! n X α xk + o(xn ) =1+ k k=1     α  α(α − 1) (α − k + 1)   nêú α ∈ R, = k  k!   C k nêú α ∈ N α Tru.o`.ng ho p riêng: n P IV1 = (−1)k xk + o(xn ), + x k=0 IV2 n P = xk + o(xn ) − x k=0 http://tieulun.hopto.org an h` am mˆ o.t biêń Chu.o.ng Phép t´ınh vi phˆ 98 V ln(1 + x) = n X (−1)k−1 k=1 ln(1 − x) = − k n X xk k=1 k xk + o(xn ) + o(xn ) Phu.o.ng pháp khai triê’n theo công th´ u.c Taylor Nhu vâ.y, dê’ khai triê’n hàm f(x) theo công th´ u.c Taylor ta pha’i áp du.ng công th´ u.c f(x) = Tn (x) + Rn+1 (x), n X Tn (x) = ak (x − x0)k , k=0 f (k) (x0 ) · (8.18) k! 1) Phu.o.ng pháp tru c tiê´p: du a vào công th´ u.c (8.18) Viê.c su’ òng kˆ ènh m˘a.c u.ng t´ınh toán râ´t cˆ du.ng công th´ u.c (8.18) dâ˜ n dêń nh˜ d` u nó cho ta kha’ n˘ang nguyên t˘ać dê’ khai triê’n 2) Phu.o.ng pháp gián tiê´p: du a vào các khai triê’n có s˘a˜ n I-V sau dã biêń dô’i so bô hàm dã cho và lu.u y ´ dêń các quy t˘ác thu c hiê.n các phép toán trên các khai triê’n Taylor Nêú ak = f(x) = g(x) = n X k=0 n X k=0 ak (x − x0)k + o((x − x0)n ) bk (x − x0)k + o((x − x0)n ) th`ı a) f(x) + g(x) = n P k=0 (ak + bk )(x − x0)k + o((x − x0 )n ); http://tieulun.hopto.org ... khoa’ng (−2, 2) Hiê’n nhiên mo.i sô´ ha.ng cu’a dãy vó.i sô´ hiê.u le’ èu thuô.c khoa’ng (−2, 2) v`ı n le’ th`ı ta có: dˆ n n(−1) = n−1 = 1/n ∈ (−2, 2) u dó, Nhu vâ.y kho’ng (−2, 2) có... ··· + 23 an = 1·2·3 2·3·4 n(n + 1)(n + 2) ˜ n Tru ó c hê´t ta ch´ u ng minh r˘àng Chı’ dˆ a h i 1 1 = − (DS ) n(n + 1)(n + 2) n(n + 1) (n + 1)(n + 2) 1 1 ) 24 an = + + ··· + (DS a1a2 a2... du T`ım lim an nêú: 1) an = (1 + 7n+2 )/(3 − 7n ) 2) an = (2 + + + · · · + 2n)/[1 + + + · · · + (2n + 1)] 3) an = n3 /(12 + 22 + · · · + n2) ung l´ y thuyê´t câ´p sô´ Gia’i Dê’ gia’i các