Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN KHOA KINH TẾ - KẾ TỐN BỘ MƠN TỐN KINH TẾ ………………………………………………… CAO TẤN BÌNH BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Bình Định, 2015 CHƯƠNG BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Thuật ngữ xác suất đề cập đến việc nghiên cứu tính ngẫu nhiên khơng chắn Ngôn ngữ xác suất thường xuyên sử dụng cách khơng thức văn nói văn viết Chẳng hạn “ Rất có khả giá cổ phiếu A tăng phiên giao dịch tới”, “ Khoảng 50-50 hội ông B tái đắc cử”, “Hy vọng 10,000 vé hịa nhạc bán ra” Chương giới thiệu khái niệm xác suất bản, cho phép diễn đạt tượng ngẫu nhiên ngôn ngữ toán học cách sáng sủa logic Các nghiên cứu xác suất nhánh toán học đời cách khoảng 300 năm, bắt nguồn từ câu hỏi liên quan đến trò chơi ngẫu nhiên 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ QUY TẮC ĐẾM Quy tắc nhân Một công việc tiến hành qua k giai đoạn Giai đoạn có m1 cách thực hiện, giai đoạn có m2 cách thực hiện, …, giai đoạn k có mk cách thực Khi có n  m1.m2 mk cách thực cơng việc Tổ hợp C nk  n! với k , n    k  n k!(n  k)! Chỉnh hợp  n!  Ank   (n  k)! n k  Hoán vị n!  Pn   n!  n !n ! n ! k  2 1.2 PHÉP THỬ VÀ CÁC LOẠI BIẾN CỐ Phép thử Khi quan sát tượng hay làm thí nghiệm ý đến kết tượng hay thí nghiệm đó, ta nói thực phép thử Kết xảy phép thử gọi biến cố Ví dụ 1.2.1 Quan sát tình trạng hoạt động máy phép thử Việc máy chạy tốt hay hỏng hóc biến cố Ví dụ 1.2.2 Tung đồng xu lam phép thử Mặt sấp xuất hay mặt ngửa xuất biến cố Ví dụ 1.2.3 Từ lơ sản phẩm gồm phẩm phế phẩm, lấy ngẫu nhiên sản phẩm Khi việc lấy sản phẩm phép thử, cịn việc lấy phẩm hay phế phẩm biến cố Các loại biến cố Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố xảy khơng xảy thực phép thử Ta thường ký hiệu biến cố ngẫu nhiên chữ in: A, B, C, D,… Biến cố chắn: Là biến cố định xảy thực phép thử Ta thường dùng ký hiệu U để biểu diễn biến cố chắn Biến cố khơng thể có: Là biến cố xảy thực phép thử Ta thường dùng ký hiệu V để biểu diễn biến cố khơng thể có Ví dụ 1.2.4 Thực phép thử tung xúc xắc Khi biến cố ngẫu nhiên A: mặt hai chấm xuất hiện, biến cố chắn U là: mặt có số chấm nhỏ xuất hiện, biến cố có là: Mặt chấm xuất 1.3 CÁC PHÉP TOÁN VỀ BIẾN CỐ Tổng biến cố Biến cố E gọi tổng hai biến cố A B E xảy có hai biến cố A B xảy Ký hiệu E  A  B Biến cố A gọi tổng n biến cố A1 , A2 , , An A xảy có n n biến cố xảy Ký hiệu A  A1  A2   An   Ai i 1 Tích biến cố Biến cố E gọi tích hai biến cố A B E xảy hai biến cố A B đồng thời xảy Ký hiệu E  A.B E  AB Biến cố A gọi tích n biến cố A1 , A2 , , An A xảy n biến cố n đồng thời xảy Ký hiệu A  A1 A2 An   Ai i 1 Ví dụ 1.3.1 Có hai danh sách lớp, danh sách có nam nữ Chọn ngẫu nhiên sinh viên từ danh sách lớp Gọi A biến cố: chọn nữ danh sách thứ nhất, B biến cố: chọn nữ danh sách thứ hai, E biến cố: chọn nữ, F biến cố: chọn hai nữ Khi ta E  A  B , F  AB Biến cố đối Biến cố B gọi biến cố đối biến cố A A  B  U AB  V Ký hiệu B  A Ví dụ 1.3.2 Trở lại ví dụ 1.3.1, ta đặt M biến cố: chọn hai nam M biến cố đối biến cố E Các tính chất AA A ABB A A  (B  C )  ( A  B)  C A  B  A.B AB  BA A(BC )  ( AB)C A(B  C )  AB  AC ( A  B)( A  C )  A  BC AB  A  B 1.4 QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ Biến cố xung khắc Hai biến cố A B gọi xung khắc AB  V Nhóm n biến cố c gọi xung khắc đôi Ai Aj  V , 1  i  j  n Nhóm (họ) đầy đủ biến cố Nhóm biến cố A1 , A2 , , An gọi họ đầy đủ chúng thỏa mãn hai điều kiện sau (i) Ai Aj  V , 1  i  j  n (ii) A1  A2   An   Ví dụ 1.4.1 Thực phép thử gieo xúc xắc ký hiệu Ai , i  1, ,6 biến cố mặt i chấm xuất phép thử Khi Nhóm biến cố A1 , A2 , , A6 tạo thành nhóm đầy đủ Nhận xét: Hai biến cố đối tạo thành họ đủ 1.5 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Xác suất biến cố số đặc trưng khả khách quan xuất biến cố thực phép thử Ta có kiểu định nghĩ khác xác suất biến cố Định nghĩa cổ điển xác suất Giả sử A biến cố phép thử Khi xác suất (probability) A P ( A): m n Trong m số trường hợp xảy A (số trường hợp thuận lợi cho A), n số tất trường hợp xảy phép thử thực (số trường hợp đồng khả phép thử) Ví dụ 1.5.1 Thực phép thử tung đồng xu Gọi S biến cố mặt sấp xuất hiện, ta có xác suất S P(S)  /2 Ví dụ 1.5.2 Gieo xúc xắc (cân đối đồng chất) Gọi Ai , i  1, ,6 biến cố mặt i chấm xuất hiện, ta P(A1 )  P(A2 )   P(A6 )  1/ Tính chất:  P ( A)  P (U)  P (V )  Nhận xét: Xác suất biến cố gần số khả biến cố xảy cao, xác suất biến cố gần số khả biến cố xảy thấp Định nghĩa thống kê xác suất Xác suất xuất biến cố A phép thử số p không đổi mà tần suất xuất biến cố n phép thử dao động xung quanh số phép thử tăng lên vô hạn Như mặt thực tế với số phép thử đủ lớn ta lấy P ( A)  f ( A)  k , với n số phép thử k số lần xuất biến cố A phép thử n Ví dụ 1.5.3 Để nghiên cứu khả xuất mặt sấp tung đồng xu, người ta tiến hành tung đồng xu nhiều lần thu kết sau đây: Người làm nghiệm Buffon Pearson Pearson thí Số lần tung n 4040 12000 24000 Số lần mặt Tần xuất f(A) sấp k 2048 0,5069 6019 0,5016 12012 0,5005 Qua ví dụ ta nói khả (xác suất) xuất mặt sấp 0,5 Định nghĩa hình học xác suất Xác suất để điểm ngẫu nhiên rơi vào phần A B P( A)  SA SB Trong S A , SB độ đo hình học (diện tích, thể tích,…) A B Ví dụ 1.5.4 Hai người hẹn gặp quán café khoảng thời gian từ 8h đến sáng, người đến chỗ hẹn vào thời điểm khoảng thời gian Hơm hai có việc bận đột xuất nên giao hẹn người đến trước chờ người thời gian chờ không 20 phút Tính xác suất để hai người gặp Trả lời: Xác suất để hai người gặp 5/9 Định nghĩa tiên đề xác suất Cho M   A| A   , với  không gian mẫu gồm biến cố phép thử Nếu ánh xạ P : M   0,1 thỏa mãn tính chất sau đây: (i)  P()  1, A  M (ii) P()  (iii) P(A  B)  P(A)  P(B), AB  V Khi với biến cố A   , giá trị P(A) gọi xác suất biến cố A Ba tính chất gọi hệ tiên đề Kolmogorov Xác suất có điều kiện Xác suất biến cố phụ thuộc biết kết phép thử Cho A, B hai biến cố với P(B)  (biến cố B xảy ra) Khi xác suất có điều kiện biến cố A với biến cố B xảy xác định sau: P(A|B): P(AB) P(B) Ví dụ 1.5.5 Gieo mọt xúc xắc Goi M biến cố mặt chấm xuất hiện, L biến cố mặt lẻ chấm xuất Khi P(M |L)  P(ML) P(LM)  1/3 P(L|M)  1 P(L) P(M) Các tính chất xác suất biến cố  Với A B hai biến cố cho trước bất kỳ, ta có P(A  B)  P(A)  P(B)  P(AB) Ví dụ 1.5.6 Trong kết khảo sát gồm 100 người nữ có 60 người thích loại nước hoa E, 70 người thích loại nước hoa F, 50 người thích hai loại nước hoa Chọn ngẫu nhiên người Tính xác suất để người thích hai loại nước hoa  Nếu A B hai biến cố xung khắc P(A  B)  P(A)  P(B) Ví dụ 1.5.7 Trong thùng có 10 chi tiết máy có chi tiết bị hỏng Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên chi tiết có khơng q chi tiết bị hỏng  Với biến cố A, ta có P(A)   P(A)  Giả sử A1 , A2 , , An biến cố, n P( A1  A2   An )   P(Ai )  i 1  1 i  j  n P( Ai Aj )   1 i  j  k  n P( Ai Aj Ak )    (1)n 1 P( A1 An )  Nếu Ai xung khắc n P( A1  A2   An )   P( Ai ) i 1  Giả sử A1 , A2 , , An biến cố, P( A1 A2 An )  P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 ) P( An | A1 A2 An 1 ) Ví dụ 1.5.8 Trong hộp có 12 bóng đèn, có bóng hỏng Lấy ngẫu nhiên có thứ tự khơng hồn lại bóng để dùng Tính xác suất để: a Cả bóng hỏng b Cả bóng khơng hỏng c Có bóng khơng hỏng d Chỉ có bóng thứ hai hỏng  Nếu biến cố A1 , A2 , , An độc lập đơi P( A1 A2 An )  P (A1 )P( A2 ) P( An ) Ví dụ 1.5.9 Xác suất vi trùng kháng loại thuốc T1, T2, T3 5%, 10% 20% Nếu dùng loại để diệt vi trùng xác suất để vi trùng bị tiêu diệt bao nhiêu? Giả sử tác dụng tiêu diệt vi trùng loại thuốc độc lập  Công thức xác suất đầy đủ: Cho A, H1 , H2 , , Hn biến cố, nhóm H1 , H2 , , Hn họ đầy đủ P (Hi )  Khi xác suất biến cố A n P( A)   P(Hi )P( A |Hi ) i 1 Ví dụ 1.5.10 Có hơp giống Hộp thứ đựng 10 sản phẩm có phẩm, hộp thứ hai đựng 15 sản phẩm có 10 phẩm, hộp thứ ba đựng 20 sản phẩm có 15 phẩm Lấy ngẫu nhiên hộp từ lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tìm xác suất để lấy phẩm  Công thức Bayes: Cho A, H1 , H2 , , Hn biến cố, nhóm H1 , H2 , , Hn họ đầy đủ, P (Hi )  , P (A)  Khi xác suất có điều kiện Hi với biến cố A xảy P(Hi | A)  P(Hi )P(A|Hi ) P(H )P(A|Hi )  n i P(A)  P(Hi )P(A|Hi ) i 1 Ví dụ 1.5.11 Trước đưa sản phẩm thị trường, người ta vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng sản phẩm thấy có 34 người trả lời “sẽ mua”, 96 người trả lời “có thể mua”, 70 người trả lời “không mua” Kinh nghiệm cho thấy khách hàng thực mua sản phẩm tương ứng với cách trả lời 40%, 20% 10% a Hãy đánh giá thị trường tiềm sản phẩm b Trong số khách hàng thực mua sản phẩm có phần trăm trả lời “sẽ mua”? Ví dụ 1.5.12 Hai người bắn vào mục tiêu Khả bắn trúng người 0,8 0,9 Tìm xác suất: a Chỉ có người bắn trúng b Có người bắn trúng mục tiêu c Cả hai người bắn trượt ĐS: a 0,26 b 0,98 c 0,02 Ví dụ 1.5.13 Tín hiệu thơng tin phát ba lần với xác suất thu cử lần 0,4 a Tìm xác suất để nguồn thu nhận thơng tin b Nếu muốn xác suất thu thơng tin lên đến 0,9 phải phát lần ĐS: a 0,784 b lần Ví dụ 1.5.14 Có hai xạ thủ loại I tám xạ thủ loại II, xác suất bắn trúng đích loại xạ thủ theo thứ tự 0,9 0,8 a Chọn ngẫu nhiên xạ thủ xạ thủ bắn viên đạn Tìm xác suất để viên đạn trúng đích b Nếu chọn hai xạ thủ người bắn viên khả để hai viên trúng đích bao nhiêu? ĐS: a 0,82 b 0,67 Ví dụ 1.5.15 Tỷ lệ người dân nghiện thuốc vùng 30% Biết tỷ lệ người viêm họng số người nghiện thuốc 60%, tỷ lệ người bị viêm họng số người không hút thuốc 40% a Chọn ngẫu nhiên người, biết người viêm họng Tính xác suất người nghiện thuốc b Nếu người khơng bị viêm họng, tính xác suất để người nghiện thuốc ĐS: a 0,3913 b 0,222 10 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 ... nhiên phân phối chuẩn 42 CHƯƠNG KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ 5.1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN Giả thuyết thống kê? Giả thuyết thống kê giả thuyết dạng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên, tham số đặc trưng biến... Nhận xét: Xác suất biến cố gần số khả biến cố xảy cao, xác suất biến cố gần số khả biến cố xảy thấp Định nghĩa thống kê xác suất Xác suất xuất biến cố A phép thử số p không đổi mà tần suất xuất... hiệu H0 : giả thuyết gốc, H1 : giả thuyết đối H0 Vì giả thuyết thống kê sai nên cần kiểm định Việc kiểm định gọi kiểm định giả thuyết thống kê Tiêu chuẩn kiểm định giả thuyết thống kê Giả sử W