Chuyên đề Bài tập bất đẳng thức

Microsoft Word BDT 02 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 95 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1 Với , ,x y z là các số thực dương sao cho 1 6 x y z  Chứng minh 3 3 3 3[.]

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Với x, y , z số thực dương cho x y.z  Chứng minh: 1    3 x  y 1 y  27 z 1 27 z  x 1 Lời giải Có: x y.z   x y.z  Ta có: x3   y   x.2 y  x  y   x   y    xy  x  y  z   Chứng minh tương tự:  y   3z  3z    x  2 y 1 3  3  y    3z   x 1 1   1 3 x  2 y 1 3 xy  x  y  z  yz  x  y  z  xz  x  y  3z    3z   3  x 1   1 1      x  y  3z   xy yz 3zx  1    3 x  y 1 y  27 z 1 27 z  x 1 Bài Cho x , y số thực dương thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A   xy y 1 Lời giải A   3xy 3   y  xy  y  1 xy y4        xy  y   3xy  y  3xy y  6         A 2 2 y  x  1   3 y 1  2 1 y   y  1   y   y     y  y       y   6 3  A với x, y Vậy AMin  x  1; y  DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 95 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài Cho số dương a , b thoả mãn 3 a  b  a  b   ab  a  b   Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M  a  b2   a b Lời giải Ta có 3 a  b  a  b   ab  a  b    a  b   a  b  ab  1  a  b  ab   3 Vì a  b  ab   a,b  R  a  b   a  b  3 Khi ta có M a  b2  4   a b  a b   a b a b a b a b 4  1 4 1   M   a    b       a  b a b  Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho cặp số dương ta có:  4 a   a   a a   1 b   b   b  b    12     3 ab  a b GTNN M     a  a  a   Dấu “  ” xảy  b    b b 1  a  2b   Vậy M đạt giá trị nhỏ a  2; b  Bài Cho x , y số thực dương thỏa mãn x  y  x Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x   y   x, y  0:  x  y y Lời giải   x  xy  y    x  y   x  xy  y   x  y    x  y   x  y   x2  y  DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 96 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC  x  y    x  xy  y   x  xy  y  xy   x  y   xy  x y  xy x y 1   x y x y P  x 1 1 11 1 1 = 2  y  x  y      x  y  x y 2x 2y  x y  2x 2y x  y x y P2 2 2 x  y 2 Dấu "  " xảy x  y   2 2 Vậy giá trị nhỏ P x  y  Bài Chứng minh rằng: 3 2.1 1 Với x  ,ta ln có  x     x   x x     Lời giải 1 Ta có  x     x   x x     1      x3     x    x   x        x    x   3x     x  x x        x    x   x     x   2  x x x x       1       x    x  x   1   x   1   x   1   x   x  x x   x         x    x     x   1  x  x x       x  1       x     x   1    x  x  x     x x 0    x  1 Vì x  nên  0 x   2 x  x    DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 97 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: ab  bc  ac  3abc Tìm giá trị nhỏ a2 b2 c2   c  c2  a  a  a  b2  b  b2  c  biểu thức K  Lời giải ab  bc  ac  3abc  Ta có 1   3 a b c (1) Cauchy a2 a2  c2 c2 ac 1       2 2 2 2 c 2a c c  a  c c  a  c c  a  c a c  a  Tương tự, b2 1 c2 1 ,     2 2 a  a  b  a 2b b  b  c  b 2c 11 1  1 Khi K       2a b c Vậy Min K  a ,b , c   a  b  c  Bài điểm) Cho a , b số khác thỏa mãn điều kiện:  a  b  ab   a  b   ab Tìm giá trị lớn biểu thức P  1   a3 b3 Lời giải Theo giả thiết:  a  b  ab   a  b   ab  a 2b  ab  a  ab  b Do a  ; b  nên chia hai vế cho a 2b ta được: a Đặt x  ; y  1 1   2  a b a ab b ta : b x  y  x  xy  y (1)  x  y   x  y   xy  xy   x  y  Mà  x  y   xy  x  y Suy x y  x  y hay xy  x  y  x  y     x  y  4x  y   0 x y  DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 98 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Ta có: P  1    x  y    x  y   x  xy  y     x  y   (do 1) a b Mà  x  y  nên   x  y    18 2 Vậy giá trị lớn P 18 x  y  a  b  Bài Cho số thực thỏa mãn x  y – xy  Tìm GTLN GTNN biểu thức P  x  y Lời giải +) Tìm GTLN P : Ta có x  y – xy     x  y – xy   x  y   x  y    P   x  y    P    x  y  2 Ta có  x  y   với x, y Suy P  x  y   x  y  2 Max P    2  x  y  xy  Vậy Max P  x  y  2 +) Tìm GTNN P : Ta có x  y – xy   x  y – xy     x  y   x  y    3P    x  y  2 Ta có  x  y   với x, y Suy 3P   P    x     y  x   y    x  y   y  x   x      Min P      2    x  y  xy  3x   x     x         y   Vậy Min P  2 2 ;y x  x   ; y  3 3 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 99 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  ab  bc  ca  a2 b2 c2   ab bc ca Lời giải a b2 c  a  b  c  , ta Áp dụng bất đẳng thức:    x y z x yz a  b  c  2a  b  c a2 b2 c2    A a  b b  c c  a a  b  c   a  b   b  c    c  a    ab  bc  ca 4 1 Dấu "  " xảy a  b  c  Vậy giá trị nhỏ biểu thức: A  a2 b2 c2   a  b  c  ab bc ca Bài 10 Cho x  y  z  Chứng minh: 14 x   14 y  14 z   Lời giải ĐKXĐ: x, y, z  4 Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số không âm 8   8  14x , ta có: 8  8 14 x       14 x 2   8  14 x    x   14 x    7x 1 (1) Chứng minh tương tự, ta có:  14 y  8 7y 1   14 z    7z 1 (2) (3) Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được:  14 x   14 y   14 z  24    x  y  z  1 Ta có: DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 100 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC  x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx Mà: xy  yx  zx   x  y  z  Suy ra:  x  y  z   3 x  y  z    Do đó: x  y  z  Suy ra:  14 x   14 y   14 z   24      1 1 24    1 Dấu “=” xảy x  y  z   Bài 11 Tìm cặp số (x ; y) với y số nhỏ thỏa mãn điều kiện x2 + 5y2 + 2y – 4xy – = Lời giải Phương trình có nghiệm ẩn x   y   y  y      y2  y     y  1   2  y    3  y  Giá trị nhỏ y 3 phương trình  x  12 x  36   x  6 Bài 12 Cho  x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  2   x 3 5 x ( x  3)(5  x) Lời giải Ta có  x  nên x   0;5  x  Áp dụng BĐT Cauchy: A 2   x 3 5 x  x  3  x    x  3  x   x  3  x  Áp dụng BĐT Cauchy: Suy  x  3  x   x  3  x   x 35 x 1 1 Suy A  Vậy GTNN A  x    x  x  DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 101 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 13 Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị nhỏ x biểu thức: P  x  y   24 y Lời giải x Ta có: P  x  y   24 16  x  y   y x y x y 1   16  2     15 x y Vậy giá trị nhỏ P  15 Dấu xảy x  2; y  2 2 Bài 14 Cho a, b, c  Chứng minh a2 b2 c2    a  ab  b  b  bc  c  c  ca  a b c a Lời giải Đặt 2 a b c    a  ab  b  b  bc  c  c  ca  a (*) b c a Vì a, b, c  nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số không âm a, b, c, a b2 c2 ta , , b c a a2 a2 b2 b2 c2 c2 b  b  2a , c  c  2b , a2 a  2c b b c c a a  a b2 c2  a b2 c2 a2 b2 c2    a  b  c  2        a  b  c (1) b c a c a  b c a  b Suy Ta có a2 b2 c2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a   abc     a  b  c (2) b c a b c a Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số không âm a  ab  b b  bc  c c  ca  a , b, , c, ,a b c a ta a  ab  b b  bc  c c  ca  a  b  a  ab  b ,  c  b  bc  c ,  a  c  ca  a b c a (3)  a2 b2 c2  Từ (1), (2) (3) suy      a  ab  b  b  bc  c  c  ca  a hay c a   b a b2 c2    a  ab  b  b  bc  c  c  ca  a b c a Do (*) chứng minh Dấu xảy dấu (1) (4) xảy Tức DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 102 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC  a2 b2 c2 b c , ,   a a  b2 , b2  c2 , c2  a2  b c a    2 2 2 2 2 2 2  a  ab  b  b, b  bc  c  c, c  ca  a  a a  ab  b  b , b  bc  c  c , c  ca  a  a  b c a a  b2 , b2  c , c  a   a(a  b)  0, b(b  c )  0, c (c  a )  Vì a, b, c  nên suy dấu xảy a  b  c Bài 15 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a 2 2b  2c  a  b 2 a  2c  b c  2a  2b  c Vì a, b, c cạnh tam giác nên 2a  2c  b , 2a  2b  c , 2b  2c  a đểu số dương Áp dụng 3a  2b  2c  a   Ta có: P cơng 2 thức Cauchy ta có: 3a  2b  2c  a  a2  b2  c2 a 2b  2c  a a 2b  2c  a   a2 3a  2b  2c  a  b 2a  2c  b   a2 a  b2  c c 2a  2b  c   a  b2  c  a  b2  c  Vậy GTNN P  a  b  c tam giác 2) Ta coi hình vẽ thành tốn đường trịn tâm  O  nội tiếp tam giác ABC tâm  O  đường tròn trùng với trọng tâm tam giác 3R (với R bán kinh đường tròn  O  ) Suy BC  ABC nên đường cao tam giác 2.3R  3R 3 Thể tích hình nón là: V   R h     R 3R  3 R Thể tích hình cầu là: V   R Vậy tính thể tích theo R phần hình nón nằm bên cầu kem V  3 R   R   R 3 Bài 16 Cho ba số dương a , b , c thoả mãn ab  bc  ca  a b2 c2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A    ab bc ca DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 103 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Lời giải Áp dụng bất đăng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có  a2 b2 c2  2  a  b  c A   a  b  b  c  c  a      (a  b  c) a b b c c a      Suy A  abc Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có a  b  ab b  c  bc c  a  ca Suy a  b  b  c  c  a  Suy  a  b  c   , hay Vậy nên A    ab  bc  ca  2.1  abc  2 abc  2 Khi a  b  c  1 A  Vậy giá trị nhỏ A Bài 17 Cho a, b  thỏa mãn 2a  ab   Tính giá trị nhỏ T  a  2b ab Lời giải Ta có 2a  ab    a   b   Kết hơp với a  ta suy b   a  Ta có T  2b a 2b a a 2b a      1 b a 8b 8b a 8b 7 T  1  1  b 2  b  2b b      DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 104 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG ... QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  ab  bc  ca  a2 b2 c2   ab bc ca Lời giải a b2 c  a  b  c  , ta Áp dụng bất đẳng thức: ... QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 32 Cho ba số dương x, y , z thỏa mãn điều kiện Chứng minh: xy  xy  z x  y  z 1 yz  yz  x xz  xz  y Lời giải Sử dụng giả thiết x  y  z  bất đẳng thức. .. VIỆT NAM 105 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 20 Cho biểu thức M  x  y với x, y số thực thỏa mãn  y  x  x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức M Lời giải Ta có M  x  y  x