CHƯƠNG III DÃY SỐ BÀI 1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT Để chứng minh mệnh đề chứa biến nguyên dương A(n) là một mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương cho trước bă[.]
CHƯƠNG III - DÃY SỐ BÀI - PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT Để chứng minh mệnh đề chứa biến nguyên dương A(n) là một mệnh đề đúng với mọi số * nguyên dương n ≥ n (n ∈ N ) cho trước bằng phương pháp quy nạp ta thực hiện các bước sau : + CM A(n) là một mệnh đề đúng n = n0 n=k≥n + Giả sử A(n) đúng + CM A(n) là một mệnh đề đúng n = k+1 B - CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi sớ ngun n, ta có: 1.4 + 2.7 + ×××+ n ( 3n + 1) = n ( n + 1) Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi sớ nguyên n, ta có: Với n = 1: n ( n + 3) 1 + + ×××+ = 1.2.3 2.3.4 n ( n + 1) ( n + ) ( n + ) ( n + ) Vế trái (1) = 1.4 = …………………………………………………… Lời giải …………………………………………………… Vế phải (1) = 1(1 + 1) = Suy Vế trái (1) = Vế phải (1) Vậy (1) đúng với n = Giả sử (1) đúng đến n = k Có nghĩa là ta có: 1.4 + 2.7 + ×××+ k ( 3k + 1) = k ( k + 1) ( 2) …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + Có …………………………………………………… nghĩa ta phải chứng minh: …………………………………………………… 1.4 + 2.7 + ×××+ k ( 3k + 1) + ( k + 1) ( 3k + ) = ( k + 1) ( k + ) Thật 1.4 + 2.7 + ×××+ k ( 3k + 1) + ( k + 1) ( 3k + ) 4 42 4 43 = k ( k + 1) = k ( k + 1) + ( k + 1) ( 3k + ) = ( k + 1) ( k + ) ( dpcm) …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… Vậy (1) đúng n = k + Do theo ngun lí …………………………………………………… quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… C - BÀI TẬP TỰ LUẬN * BÀI TẬP Chứng minh rằng: với n ∈ N 1) n(3n + 1) 2 + + + ( 3n − 1) = 2) 12 + 22 + n = n ( n + 1) ( 2n + 1) 3) 1.2 + 2.5 + + n.(3n − 1) = n (n + 1) 4) n − n chia hết cho n 5) + 15n − chia hết cho 6) 2n-3 > 3n-1 (n ≥ 8) BÀI - DÃY SỐ A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT * Định nghĩa : Mỗi hàm số u xác định tập các số nguyên dương ¥ gọi là mợt dãy sớ u : ¥* → ¡ n a u(n) vô hạn ( gọi tắt là dãy số ) Ký hiệu : Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển u1 , u , u , , u n , u n = u(n) hay viết tắt là ( un ) và gọi u1 là số hạng đầu , u n là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát dãy số - Mỗi hàm số u xác định tập M = { 1, 2,3, , m} * với m ∈ N gọi là một dãy số hữu hạn Dạng khai triển dãy số là u1 , u , u , , u m u1 là số hạng đầu và u m là số hạng thứ m là số hạng cuối - Dãy số ( un ) - Dãy số ( un ) - Dãy số ( un ) - Dãy số ( un ) - Dãy số ( un ) * gọi là dãy sớ tăng nếu ta có u n +1 > u n với mọi n ∈ N * gọi là dãy sớ giảm nếu ta có u n +1 < u n với mọi n ∈ N * gọi là bị chặn nếu tồn tại sớ M cho ta có u n ≤ M, ∀n ∈ ¥ * gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại sớ m cho ta có u n ≥ m, ∀n ∈ ¥ gọi là bị chặn nếu vừa bị chặn vừa bị chặn dưới , tức là tồn tại số * M và m cho ta có m ≤ u n ≤ M, ∀n ∈ ¥ B - BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài Tìm sớ hạng dãy số sau: 1) Dãy số (un) với Bài un = 2n − n 2) Dãy số (un) với u n = sin nπ 2nπ + cos Hãy xét tính tăng giảm, bị chặn các dãy số sau: 1) Dãy số (un) với u n = n − 3n + 5n − 2) Dãy số (un) với un = n +1 n2 +1 Chứng minh rằng: dãy số (un) với un = 2n + 3n + là một dãy số giảm và bị chặn ... n = n ( n + 1) ( 2n + 1) 3) 1.2 + 2.5 + + n.(3n − 1) = n (n + 1) 4) n − n chia hết cho n 5) + 15n − chia hết cho 6) 2n-3 > 3n-1 (n ≥ 8) BÀI - DÃY SỐ A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT * Định nghĩa : Mỗi