BÀI - CẤP SỐ CỘNG A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT - Cấp số cộng dãy số ( hữu hạn hay vơ hạn ) , kể từ số hạng thứ hai số hạng số hạng đứng trước cộng với số d không đổi Số d gọi công sai cấp số cộng * - Ta có cơng thức truy hồi : u n +1 = u n + d , ∀n ∈ ¥ - Khi d = cấp số cộng dãy số khơng đổi - Nếu cấp số cộng có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng quát u n = u1 + (n − 1)d, ∀n ≥ - Trong cấp số cộng , số hạng ( trừ số hạng đầu số hạng cuối ) trung bình cộng hai số hạng kề uk = u k −1 + u k +1 (k ≥ 2) - Cho cấp số cộng (u n ) , đặt Sn = u1 + u + + u n Khi Sn = n n (u1 + u n ) = [2u1 + (n − 1)d], ∀n ≥ 2 B - CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm số hạng đầu tiên, cơng sai, số hạng Ví dụ 2: Tìm số hạng đầu tiên, cơng sai, số hạng thứ 20 tổng 20 số hạng cấp số thứ 20 tổng 20 số hạng cấp u − u + u = 10 u + u = 26 cộng biết rằng: u + u = 14 s = 129 số cộng biết rằng: 12 ( 1) Lời giải Ta áp dụng công thức u n = u + ( n − 1) d u + d − ( u1 + 2d ) + u1 + 4d = 10 ( 1) ⇔ u1 + 3d + u1 + 5d = 26 : Đáp số : u1 = ; d = ; u20 = 31; S 20 = 335 2 …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… u + 3d = 10 u = ⇔ ⇔ 2u1 + 8d = 26 d = …………………………………………………… Vậy số hạng u1 = , công sai d = …………………………………………………… …………………………………………………… Số hạng thứ 20: u 20 = u1 + 19d = + 19.3 = 58 …………………………………………………… Tổng 20 số hạng đầu tiên: …………………………………………………… S 20 = 20 ( 2u1 + 19d ) …………………………………………………… = 10 ( 2.1 + 19.3 ) = 590 …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… ………………………………………………… Ví dụ 3: Tìm số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng 27 tổng bình phương chúng 293 Ví dụ 4: Định x để số 10 − 3x, 2x + 3,7 − 4x theo thứ tự lập thành cấp số cộng …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… C – BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài Tìm số hạng đầu u1 công sai d CSC biết: 1) Bài u + u = 42 u + u = 66 2) u17 − u 20 = 2 u17 + u 20 = 153 3) 3 u1 + u15 = 302094 S15 = 585 (d > 0) Một cấp số cộng có số hạng thứ –5, cơng sai 1) Tìm số hạng thứ 46 2) Số hạng thứ có giá trị ? Bài Giữa hai số 20 đặt thêm năm số để cấp số cộng Bài Tìm x để số x, x + 3, − 2x theo thứ tự lập thành cấp số cộng Bài Tính tổng sau : 1) S = 5+ 10+ 15+…+110+115+…+1000 2) S = – 10 – – – – + + + + … + 100 Bài Mặt sàn tầng nhà cao mặt sân 0.5m Cầu thang từ tầng lên tầng hai gồm 21 bậc , bậc cao 18cm Tính độ cao mặt tầng hai so với sân Bài Từ đến 12 trưa đồng hồ đánh tiếng đánh chng báo số tiếng chuông số Bài Định m để phương trình : x4 – 2mx2 + 2m – = có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng BÀI - CẤP SỐ NHÂN A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT -Cấp số nhân dãy số ( hữu hạn hay vô hạn ) , kể từ số hạng thứ hai số hạng tích số hạng đứng trước với số q không đổi Số q gọi công bội * cấp số nhân Ta có cơng thức truy hồi : u n +1 = u n q , ∀n ∈ ¥ - Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng quát u n = u1 q n −1 , ∀n ≥ - Trong cấp số nhân , bình phương số hạng ( trừ số hạng đầu số hạng cuối ) tích hai số hạng kề u k = u k −1 u k +1 (k ≥ 2) - Cho cấp số nhân (u n ) , đặt Sn = u1 + u + + u n Khi - Tổng CSN lùi vô hạn : S = u1 + u + u + = Sn = u − qn , ∀n ≥ 1;q ≠ 1− q u1 ( q < 1) 1− q B - CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số Ví dụ 2: Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số u1 + u = 51 u + u = 102 nhân, biết u1 + u + u = 135 u + u + u6 = 40 nhân, biết Lời giải …………………………………………………… u1 + u1 q = 51 u1 + u = 51 ⇔ u1 q + u1 q = 102 u + u6 = 102 …………………………………………………… ( ) u1 + q = 51 ( ∗ ) ⇔ u1 q + q = 102 ( ∗ ∗ ) ( ) ( ∗ ∗) ⇔ u q ( + q ) = 102 51 ( ∗) u (1+ q ) Lấy ⇔ q = ⇒ u1 = 4 51 51 = = 17 1+ q Kết luận: u1 = q = …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… Ví dụ 3: Cho số dương có tổng 65 lập thành cấp số nhân tăng, bớt đơn vị số hạng Ví dụ 4: Cho tổng A = + 11 + 111 + ×××+ 111 123 n thứ 19 đơn vị số hạng thứ ba ta cấp số cộng Tìm số …………………………………………………… …………………………………………………… Chứng minh A= 10 n +1 − ( n + 1) − 81 …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… C - BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài Tìm số hạng đầu u1 công bội q CSN biết: u 20 = 8u17 u + u = 272 1) Bài 6u + u = 3u + 2u = −1 2) u1 − u3 + u5 = 65 u + u = 325 3) Tìm cấp số nhân biết : 1) Cấp số nhân có a1 = 7, tổng cấp số nhân 889 số hạng cuối 448 2) Cấp số nhân biết q = 3, tổng cấp số nhân 728 số hạng cuối 486 3) Tìm số hạng liên tiếp csn biết tích chúng 38 tổng chúng 1728 4) Tìm góc tứ giác biết số đo góc lập thành cấp số nhân mà số hạng cuối gấp lần số hạng thứ hai Bài Tìm tổng cấp số nhân biết: 1) u1 = –2, q = – với n = 2) u1 = 7, q = 2, số hạng cuối 896 3) Chèn vào năm số 729 để cấp số nhân có số hạng Tính tổng số hạng 34 34 34 + + 4) S = 100 10000 1000000 + … 1 + − + 5) S = 1- Bài Vua Ấn Độ cho phép người phát minh bàn cờ vua lựa chọn phần thưởng theo sở thích Người xin nhà vua thưởng cho số thóc số thóc đặt lên 64 bàn cờ sau : Đặt lên ô thứ bàn cờ hạt thóc , thứ hai hai hạt thóc ….cứ số thóc sau gấp đơi số thóc liền trước Biết 1000 hạt thóc nặng 20 gram hỏi người nhận thóc Bài Tế bào E.coli điều kiện nuôi cấy thích hợp 20 phút lại nhân đơi lần Biết phịng thí nghiệm có 105 tế bào E.coli Vậy sau phân chia thành tế bào Bài Người ta thiết kế tháp 11 tầng Diện tích bề mặt tầng nửa diện tích mặt tầng bên diện tích bề mặt tầng nửa diện tích đế tháp Biết diện diện tích mặt đế tháp 12288 m2 Tính diện tích mặt cùng