Bài tập Trường hè Toán học Sinh viên

Đại số tuyến tính trong Khoa học Dữ liệu

Bài tập Trường hè Toán học Sinh viên Đại số tuyến tính Khoa học Dữ liệu Ngày tháng năm 2022 Câu (Asm.1) Cho ma trận A = é Đ −2 11 10 1.1 Tìm phân tích SVD A Ta cần phân tích A = UΣV∗ , với ma trận U V ma trận Unitary Σ σ ma trận đường chéo có dạng Σ = 01 σ é Ñ é∗ Ñ é Ñ −2 11 104 28 −2 11 · = Ta có A∗ A = 10 28 146 10 Khi ta có trace(A∗ A) = 250 Thành lập phương trình đặc trưng det(A∗ A − λI2 ) = 0, ta có éé ĐĐ 104 − λ 28 =0 det(A∗ A − λI2 ) = ⇔ det 28 146 − λ ⇔ (104 − λ)(146 − λ) − 784 = ⇔ λ2 − 250λ + 14400 = Giải phương trình ta có nghiệm λ1 = 90 λ2 = 160 Khi ta có giá √ √ trị σi σ1 = 10 σ2 = 10 Ñ √ 10 é Vậy Σ = √ 10 Trong trường hợp λ1 = 90 ta có Đ é Đ é 14 28 A∗ A − λ1 I2 = −→ 28 56 0 Äx ä ∗ Vậy ta có nghiệm hệ phương trình x12 = −2 t ,t ∈ R Chọn t = 1, −2 ta có véc-tơ riêng ứng với giá trị riêng λ = 90 v1 = Ta chuẩn hóa véc-tơ chuẩn Euclide sau ∥v1 ∥2 = −2 = » (−2)2 + 12 = √ Khi véc-tơ đơn vị Đ é −2 v′1 = √ Trong trường hợp λ2 = 160 ta có Đ é Đ é −56 28 −2 A∗ A − λ2 I2 = −→ 28 −14 0 Äx ä Vậy ta có nghiệm hệ phương trình x12 = 12 t ,t ∈ R∗ Chọn t = 1, ta có véc-tơ riêng ứng với giá trị riêng λ2 = 160 v2 = chuẩn Euclide sau ∥v1 ∥2 = 2 = 12 + 22 = Khi véc-tơ đơn vị Đ é 1 v′2 = √ é∗ Ñ −2 1 Vậy V∗ = [v′1 ; v′2 ]∗ = √ Ta tính ma trận U cơng thức ui = Av′i σi √ Ta chuẩn hóa véc-tơ • u1 = • u2 = Av1 = √ σ1 10 Av2 = √ σ2 10 é Ñ −2 11 10 Ñ é −2 11 10 Ñ é √ Ñ é −2 ·√ = −1 Ñ é √ Ñ é 1 ·√ = é √ Ñ 1 Vậy U = [u1 ; u2 ] = −1 é∗ éÑ éÑ Ñ −2 1 Ta kết luận A = UΣV∗ = −1 1.2 Tìm chuẩn ma trận A Ta có ∥A∥1 = max {∥a j ∥1 } = max {∥ 1≤ j≤n 1≤ j≤n −2 10 ∥1 , ∥ 11 ∥1 , ∥ 10 ∥1 } = max{12 , 16} = 16 √ √ √ ∥A∥2 = max {σ j } = max{3 10 , 10} = 10 1≤ j≤n ∥A∥∞ = max {∥a∗i ∥1 } = max {∥ 1≤ j≤n 1≤ j≤n » √ ∥A∥F = trace(A∗ A) = 250 −2 11 ∥1 } = max{13 , 15} = 15