Bài Giảng Trường Hè Toán Học 2020

Bài Giảng Trường Hè Toán Học 2020 do Ths. Lưu Công Đông. Các bạn có thể tải tài liệu xuống mà không mất phí. Tài liệu phù hợp với đối tượng đam mê toán, thi Olympic quốc tế, giáo viên dạy giỏi.Các bạn có thể sáng tạo và học hỏi thêm nhờ bài này.

Bài Giảng Trường Hè Toán Học 2020 Hai đường đẳng giác, hai điểm đẳng giác Ths Lưu Công Đông Hai đường đẳng giác Định nghĩa Cho bốn đường thẳng a, b, c, d đồng quy O Khi hai đường thẳng c, d gọi đẳng giác hai đường thẳng a, b điều kiện tương đương sau xảy (h.1) (a) (a, c)   (b, d)(mod ) (b) (a, c)  (d, b )(mod ) (c) (c, a)   (d, b)(mod ) (d) (c, a)  (b, d)(mod ) Thay cho cách nói hai đường thẳng OM,ON đẳng giác với hai đường thẳng a, b (cắt O ), ta nói hai điểm M,N gọi đẳng giác hai đường thẳng a, b (h.2) O O a c a d (h.1) M b N b (h.2) Thay cho cách nói hai đường thẳng c, d đẳng giác hai đường thẳng a, b, ta nói cặp đường thẳng (c, d) đẳng giác cặp đường thẳng (a, b) Thay cho cách nói hai điểm M,N đẳng giác hai đường thẳng a, b, ta nói hai điểm M, N đẳng giác cặp đường thẳng (a, b) Đương nhiên hai đường thẳng c, d đẳng giác hai đường thẳng a, b hai đường thẳng a, b đẳng giác với hai đường thẳng c, d Để cho đơn giản, viết a, b, c, d coi đơi khác Nếu khơng có nhầm lẫn, ta không viết hai đường thẳng a, b mà viết a, b, ta không viết hai điểm M,N mà viết M,N Để cho đơn giản, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC viết đường tròn ( ABC) Các ví dụ hai đường đẳng giác Ví dụ Cho tam giác ABC, O tâm đường trịn ngoại tiếp, D hình chiếu A BC Khi O, D đẳng giác AB, AC Chứng minh Gọi E giao điểm thứ hai AO ( ABC) (h.3) Chú ý AB  BE, AD  BC, ta có (AB, AD)  (B E, BC)  ( AE,AC)  (AO, AC)(mod ) Vậy O, D đường đẳng giác AB, AC A O D B C E (h.3) Ví dụ Cho tứ giác điều hòa ABCD, M trung điểm BD Khi C, M đẳng giác AB, AD Chứng minh (h.4) Dễ thấy (BA, BM)  (BA, BD)  (CA,CD)(mod 2) Theo định lí Ptolemy, ý ABCD tứ giác điều hòa, ta có 1 AC.BM  AC.BD  (AB.CD  AD.CB)  AB.CD  AB.CD 2 BA CA Do  BM CD Vậy tam giác ABM, ACD đồng dạng hướng Điều có nghĩa ( AB, AM)  ( AC, AD)(mod ) Nói cách khác C, M đẳng giác AB, AD A O B D M C (h.4) Ví dụ Cho tam giác ABC, O, N theo thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường tròn Euler K tâm đường tròn (OBC) Khi N, K đẳng giác AB, AC Chứng minh Gọi (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; H trực tâm tam giác ABC; L điểm đối xứng O qua BC; S giao điểm tiếp tuyến với (O) B C; M trung điểm BC; P,Q giao điểm SO (O) (h.5) Q O A B M N C L P K H S (h.5) Dễ thấy AH  2OM  OL Do AOLH hình bình hành Từ đó, ý N trung điểm OH, suy AN  AL (1) Dễ thấy S, O, P, Q, K, L, M thuộc đường thẳng Vì O, P, Q thẳng hàng nên AP  AQ (2) Dễ thấy OP2  OB  OM.OS  2OM OS  OL.OK Từ đó, ý O trung điểm PQ, theo hệ thức Newton, suy A(KLPQ)  (KLPQ)  1 (3) Từ , (1), (2) (3) suy ( AN, AP)  ( AL, AP)  ( AP, AK)(mod ) Kết hợp với ( AP, AB)  ( AC, AP)(mod ), suy ( AN, AB)  ( AC, AK)(mod ) Nói cách khác N, K đẳng giác AB, AC Các kết hai đường đẳng giác Định lí Cho hai tam giác ABC, AB ' C ' đồng dạng ngược hướng điểm D, D' theo thứ tự thuộc BC, B' C' Khi D, D' đẳng giác AB, AB' DB D' B'  DC D'C' Chứng minh (h.6) Vì hai tam giác ABC, AB' C' đồng dạng ngược hướng nên tồn đường thẳng  qua A cho phép vị tự đối xứng HAk o R theo thứ tự biến B, C thành B', C' (1) A B' D' C' B D C (h.6) Điều kiện cần Giả sử D, D' đẳng giác AB, AB' Dễ thấy ( AD,  )  ( AD, AB)  ( AB, )   ( AD', AB')  ( AB', )   ( AD', )(mod ) Do HAk o R biến đường thẳng AD thành đường thẳng AD' Từ (1) suy HAk o R biến đường thẳng BC thành đường thẳng B' C' Vậy HAk o R (D)  HAk o R (AD  BC)  HAk o R (AD)  HAk o R (BC)  AD'  B' C'  D' Kết hợp với (1), suy DB D' B'  DC D' C' Điều kiện đủ DB D' B' Giả sử  DC D' C' Kết hợp với (1), suy HAk o R biến D thành D' Lại kết hợp với (1), suy hai tam giác ABD, AB' D' đồng dạng ngược hướng Do ( AB, AD)   ( AB', AD')(mod ) Vậy D, D' đẳng giác AB, AB' Định lí Cho tam giác ABC điểm D, E đường thẳng BC Khi mệnh đề sau tương đương (a) D, E đẳng giác AB, AC DB EB AB  DC EC AC (c) Đường tròn ( ADE) tiếp xúc với đường tròn ( ABC) Chứng minh Qua điểm B dựng đường thẳng song song với AC theo thứ tự cắt AD, AE P, Q Gọi K giao điểm BC tiếp tuyến A đường tròn ( ABC) (h.7) Các mệnh đề sau tương đương (1) D, E đẳng giác AB, AC (2) ( AB, AD)  ( AE, AC)(mod ) (3) ( AB, AD)  ( AQ, BQ)(mod ) (4) BA tiếp xúc với đường tròn ( APQ) (b) (5) BA2  BP.BQ AB BP BQ  AC AC AC AB DB EB (7)  AC DC EC Vậy (a) (b) tương đương (6) A C B E D K P Q (h 7) Các mệnh đề sau tương đương (1) Đường tròn ( ADE) tiếp xúc với đường tròn ( ABC) (2) AK tiếp xúc với đường tròn ( ADE) (3) ( AK, AD)  (EA, ED)(mod ) (4) ( AK, AB)  ( AB, AD)  (EA, ED)(mod ) (5) (CA, CB)  ( AB, AD)  (EA, ED)(mod ) (6) ( AB, AD)  (EA, ED)  (CB, CA)(mod ) (7) ( AB, AD)  ( AE, AC)(mod ) Vậy (c) (a) tương đương Tóm lại (a), (b), (c) đơi tương đương với Định lí Cho hai đường thẳng a, b cắt điểm O hai điểm A, B khác O M trung điểm AB E, F theo thứ tự hình chiếu A a, b Khi mệnh đề sau tương đương (a) A, B đẳng giác a, b (b) EF  OB (c) ME  MF Chứng minh Gọi N trung điểm OA (h.8) Vì E, F theo thứ tự hình chiếu A a, b nên O, A, E, F thuộc đường trịn (1) Vì E, F theo thứ tự hình chiếu A a, b nên NE  OA  NF (2) Vì M,N theo thứ tự trung điểm AB,OA nên MN / / OB (3) a E A M B N O F b (h.8) (a)  (b) Từ (1), ý A, B đẳng giác a, b, suy (EF,OB)  (EF,OF)  (OF,OB)  (EA,OA)  (OA,OE)  (EA,OE)  Vậy EF  OB (b)  (a) Từ (1), ý EF  OB, suy  (a,OA)  (OE, AE)  (EA,OA)   (EF,OF)(mod )  (OB, EF)  (EF,OF)  (OB,OF)  (OB, b)(mod ) Vậy A, B đẳng giác a, b (b)  (c) Từ (3), ý EF  OB, suy MN  EF Kết hợp với (2), suy ME  MF (c)  (b) Từ (2), ý ME  MF, suy MN  EF Kết hợp với (3), suy 𝑂𝐵 ⊥ 𝐸𝐹 Tóm lại ba mệnh đề (a), (b), (c) đơi tương đương  (mod ) Định lí Cho hai đường thẳng a, b cắt điểm O hai điểm A, B khác O M,N theo thứ tự hình chiếu A a, b P,Q theo thứ tự hình chiếu B a, b Khi A, B đẳng giác a, b M, N, P,Q thuộc đường tròn Chứng minh Điều kiện cần Dễ thấy O, A, M,N thuộc đường tròn O, B, P,Q thuộc đường trịn (h.9) Vì A, B đẳng giác a, b nên (OA,OM)   (OB,OP)(mod )  · · Từ đó, ý OMA  OQB  , suy tam giác OAM,OBQ đồng dạng ngược hướng Vậy (NQ, NM)  (NO, NM)  (AO, AM)   (BO, BQ)(mod )  (BQ, BO)  (PQ, PO)  (PQ, PM)(mod ) Do M, N, P,Q thuộc đường tròn P U M a S A B O b N V Q (h.9) Điều kiện đủ Gọi S,U, V theo thứ tự trung điểm AB, MP, NQ (h.9) Dễ thấy AM / / BP; AN / / BQ Từ đó, theo định lí Thales đảo, suy SU / / AM / / BP; SV / / AN / / BQ Kết hợp với AM / / BP  MP; AN / / BQ  NQ, suy SU, SV theo thứ tự trung trực MP, NQ Điều có nghĩ S tâm đường tròn qua bốn điểm M, N, P,Q Do SM  SN Vậy, theo định lí 3, A, B đẳng giác a, b Hai điểm đẳng giác Định nghĩa Hai điểm M,N gọi đẳng giác tam giác ABC M,N đẳng giác ba cặp đường thẳng ( AB, AC),(BC, BA),(CA, CB) Thay cho cách viết M,N đẳng giác tam giác ABC, ta viết M điểm đẳng giác N tam giác ABC hay N điểm đẳng giác M tam giác ABC Các ví dụ hai điểm đẳng giác Ví dụ Tâm đường tròn ngoại tiếp O trực tâm H tam giác ABC hai điểm đẳng giác tam giác Chứng minh Hệ trực tiếp ví dụ Ví dụ Trọng tâm G điểm Lemoine L tam giác ABC hai điểm đẳng giác tam giác Chứng minh Hệ trực tiếp ví dụ Ví dụ Cho tam giác ABC (O), N theo thứ tự đường tròn ngoại tiếp tâm đường tròn Euler X ,Y, Z theo thứ tự tâm đường tròn (OBC),(OCA),(OAB) Khi (a) Nếu N khơng thuộc (O) AX , BY, CZ đồng quy điểm, đẳng giác với N tam giác ABC (b) N thuộc (O) AX , BY, CZ đơi song song Chứng minh Gọi U, V,W theo thứ tự hình chiếu N BC, CA, AB; U ', V', W ' theo thứ tự điểm đối xứng N qua BC, CA, AB (h.10) Z W' A W V N B V' K Y O U C U' X (h.10) Dễ thấy U ', V', W ' theo thứ tự ảnh U, V,W qua phép vị tự HN2 (1) Theo ví dụ 3, N, X đẳng giác AB, AC; N,Y đẳng giác BA, BC; N, Z đẳng giác CB, CA Theo định lí 3, AX  VW, BY  WU, CZ  UV Từ đó, ý VW, WU,UV theo thứ tự đường trung bình tam giác, NV' W', NW'U', NU'V', suy AX  V' W', BY  W'U', CZ  U'V' Dễ thấy AV'  AN  AW', BW'  BN  BU',CU' CN CV' Vậy AX , BY,CZ theo thứ tự đường trung trực đoạn V' W', W'U',U'V' (2) (a) Nếu N khơng thuộc (O) thì, theo kết đường thẳng Simson, suy U, V,W không thẳng hàng Kết hợp với (1), suy U ', V', W' khơng thẳng hàng Từ đó, ý tới (2), theo ví dụ 3, suy AX , BY, CZ đồng quy điểm K, đẳng giác N tam giác ABC (b) Nếu N thuộc (O) thì, theo kết đường thẳng Simson, suy U, V,W thẳng hàng.Kết hợp với (1), suy U ', V', W' thẳng hàng Từ đó, ý tới (2), suy AX , BY, CZ đôi song song Các kết hai điểm đẳng giác Định lí Cho tam giác ABC hai điểm M,N Nếu M,N đẳng giác hai ba cặp đường thẳng ( AB, AC),(BC, BA),(CA, CB) M,N đẳng giác tam giác ABC Chứng minh A N Z Y O M B X C (h.11) Giả sử M,N đẳng giác hai cặp đường thẳng ( AB, AC),(BC, BA) (h 11) Gọi X ,Y, Z theo thứ tự hình chiếu M BC, CA, AB; O trung điểm MN Theo định lí 3, OY  OZ,OZ  OX Do OX  OY Vậy, lại theo định lí 3, M,N đẳng giác CA, CB Định lí Cho tam giác ABC Hai điểm M, M' đẳng giác tam giác ABC X , X ' theo thứ tự hình chiếu M, M' BC Y , Y ' theo thứ tự hình chiếu M, M' CA Z, Z ' theo thứ tự hình chiếu M, M' AB Khi X , X ',Y, Y ', Z, Z ' thuộc đường trịn có tâm trung điểm MM ' Chứng minh Gọi O trung điểm MM ' (h.12) Vì M, M' đẳng giác tam giác ABC nên, theo định lí 3, OX  OY  OZ Tương tự OX '  OY '  OZ' Dễ thấy O thuộc đường trung trực XX ' Do OX  OX ' Vậy OX  OX '  OY  OY '  OZ  OZ' Tón lại X , X ',Y,Y ', Z, Z ' thuộc đường trịn có tâm O A Z' M' Y' O Z Y M X B X' C (h.12) Định lí Cho tam giác ABC hai điểm M,N đẳng giác tam giác A', B', C' theo thứ tự điểm đối xứng M qua BC, CA, AB Khi N tâm đường trịn ( A' B' C') Chứng minh Gọi X ,Y, Z theo thứ tự hình chiếu M BC, CA, AB; O trung điểm MN (h.13) A C' B' N Z Y O M B X C A' (h.13) Vì M, M' đẳng giác tam giác ABC nên, theo định lí 3, OX  OY  OZ Vì O, X ,Y, Z theo thứ tự trung điểm MN, MA', MB', MC' nên OX ,OY,OZ theo thứ tự đường trung bình tam giác MNA', MNB', MNC' Vậy NA'  NB'  NC' Nói cách khác N tâm đường trịn ( A' B' C') 10 Một vài tốn điển hình Bài toán Cho tứ giác lồi ABCD Đường chéo BD khơng phân giác góc ̂ , 𝐴𝐷𝐶 ̂ P điểm nằm tứ giác cho ABD  CBP, ADB  CDP Chứng minh 𝐴𝐵𝐶 ABCD nội tiếp PA  PC Lời giải Ta cần có bổ đề Bổ đề Cho tam giác ABC, AD đường phân giác M điểm X ,Y, Z theo thứ tự điểm đối xứng M qua AB, AC, AD Khi X ,Y đối xứng với qua AZ Chứng minh (h.14) Dễ thấy AX  AM  AY (1) Dễ thấy (AZ, AX )  (AZ, AC)  (AC, AB)  (AB, AX )(mod 2)  (AB, AM)  (AC, AB)  (AM, AB)  (AC, AB)(mod 2) Tươg tự (AZ, AY)  (AB, AC)(mod 2) Vậy (AZ, AX )   (AZ, AY)(mod 2) (2) Từ (1) (2) suy X ,Y đối xứng với qua AZ A X Y M Z D B C (h.14) Trở lại giải toán (h.15) Gọi X ,Y, Z, T theo thứ tự điểm đối xứng P qua BA, BC, DA, DC (h.15) X A Z B Y P C D T (h.15) Theo bổ đề trên, Y, T theo thứ tự điểm đối xứng X , Z qua BD Do XZ  YT Dễ thấy AX  AP  AZ, CY  CP  CT Dễ thấy (AX , AZ)  (AX , AP)  (AP, AZ)  2(AB, AP)  2(AP, AD)  2(AB, BD)(mod 2), (CY,CT)  (CY,CP)  (CP,CT)  2(CB,CP)  2(CP,CD)  2(CB,CD)(mod 2) Vậy điều kiện sau tương đương (1) PA  PC (2 AX  CY, AZ  CT (3) Các tam giác AXZ, CYT (4) Các tam giác AXZ, CYT hướng (5) (AX , AZ)  (CY,CT)(mod 2) (6) ( AB, AD)  (CB, CD)(mod ) (7) ABCD nội tiếp Chú ý + (3)  (4) giải thích sau Giả sử tam giác AXZ, CYT ngược hướng Chú ý X , Z theo thứ tự điểm đối xứng Y, T qua BD, suy A điểm đối xứng · C qua BD Do BD phân giác góc · mâu thuẫn Vậy tam ABC, ADC, giác AXZ, CYT hướng + Bài toán toán 5, IMO 2004 Bài toán Cho tam giác ABC, O, H theo thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp trực tâm X  BO  CH,Y  BH  CO, Z  AX  BH, T  AY  CH Chứng minh X ,Y, Z, T thuộc đường trịn Lời giải Ta cần có bổ đề Bổ đề Cho tam giác ABC hai điểm X ,Y đẳng giác AB, AC Z  BX  CY, T  BY  CX Khi Z, T đẳng giác AB, AC Chứng minh Gọi AD phân giác tam giác ABC (h.16) A Y T B Z X D C (h.16) Dễ thấy A(BCXZ)=C(BAXZ) (vì B, X , Z thẳng hàng)  C(BATY ) (vì ba điểm C, X , T C,Y, Z thẳng hàng)  A(BCTY ) (vì B,Y, T thẳng hàng)  A(CBYT) Từ đó, ý AC, AB, AY theo thứ tự ảnh AB, AC, AX qua phép đối xứng trục RAD , suy AT ảnh AZ qua phép đối xứng trục RAD Vậy Z, T đẳng giác AB, AC Trở lại giải toán (h.17) Theo ví dụ 4, O, H hai điểm đẳng giác tam giác ABC Do đó, theo bổ đề trên, X ,Y hai điểm đẳng giác tam giác ABC Vì O tâm đường trịn ( ABC) nên OB  OC Do (BO, BC )  (CO, CB)  (mod ) A X T O Z H Y C B (h.17) Vậy ( XZ, XT)  ( AZ, CT)  ( AZ, AC)  (CA, CT)  ( AB, AY )  (CY, CB)(mod )  ( AB,YB)  (YZ,YT)  (CY, CB)  ( XB, CB)  (YZ,YT)  (CY, CB)(mod )  (BO, BC)  (YZ,YT)  (CO, CB)  (YZ,YT)(mod ) Điều có nghĩa X ,Y, Z, T thuộc đường trịn Bài tốn Cho tam giác ABC, O tâm đường tròn ngoại tiếp, AD đường cao M,N theo thứ tự trung điểm cạnh AB, AC P,Q theo thứ tư giao điểm OM,ON AD T tâm đường tròn (OPQ) Chứng minh AT đường đối trung tam giác ABC Lời giải Gọi S giao điểm BC tiếp tuyến A đường tròn ( ABC); E giao điểm thứ hai AT đường tròn ( ABC) (h.18) Dễ thấy PQ,OQ,OP theo thứ tự vng góc với BC, AC, AB Do tam giác OPQ, ABC đồng dạng hướng (1) Vậy AO  OT Nói cách khác OA tiếp xúc với đường tròn (OPQ) (2) Từ (1) (2), ý AS tiếp xúc với đường tròn ( ABC), suy tam giác AOT, SAO đồng dạng hướng Kết hợp với AO  SA, suy AE  AT  SO Do SE tiếp xúc với đường trịn ( ABC) Điều có nghĩa tứ giác ABEC điều hịa Vậy, theo ví dụ 2, AT  AE đường đối trung tam giác ABC A M O N Q B T D P C S E (h.18) Bài toán Cho tam giác ABC, I A tâm đường tròn bàng tiếp đối diện với đỉnh A  đường thẳng qua I A vng góc với AI A M giao điểm  đường thẳng qua B vng góc với AB N giao điểm  đường thẳng qua C vng góc với AC Các điểm P,Q thuộc BC cho MP / / NQ / / AI A Chứng minh đường tròn ( APQ) tiếp xúc với đường tròn ( ABC) Lời giải Gọi I B , IC theo thứ tự tâm đường tròn bàng tiếp đối diện với đỉnh B; C tam giác ABC; D, S theo thứ tự giao điểm AI A , I B IC BC (h.19) IB A IC S M Q C D B IA N (h.19) Dễ thấy I A AI B  I A BI B  90 ABM  AI A M  90 P Do điểm A, B, I A , I B A, B, I A , M thuộc đường tròn đường kính I A I B Điều có nghĩa A, B, I A , I B , M thuộc đường trịn đường kính I A I B Vậy I A MI B  90 Kết hợp với I A MP  90, suy M, P, I B thẳng hàng Tương tự N,Q, IC thẳng hàng Từ đó, ý PIB / / QIC / / DA, suy A(PQDS)  (PQDS)  (I B IC AS)  I A (I B IC AS)  I A (CBDS)  (CBDS)  1 Kết hợp với AD  AS, suy P,Q đẳng giác AD, AS Kết hợp với B, C đẳng giác AB, AS, suy P,Q đẳng giác với AB, AC Vậy, theo định lý 2, đường tròn ( APQ) tiếp xúc với đường trịn ( ABC) Bài tốn Cho tam giác không cân ABC A', B', C' theo thứ tự điểm đối xứng A, B, C qua BC, CA, AB O,O' theo thứ tự tâm đường tròn ( ABC), ( A' B' C') Chứng minh đường tròn (OAA'),(OBB'),(OCC') qua điểm khác O thuộc OO' Lời giải Gọi O, R theo thứ tự tâm bán kính đường trịn ( ABC); X tâm đường tròn (OBC); N tâm đường tròn Euler tam giác ABC; K điểm đẳng giác N tam giác ABC; S giao điểm tiếp tuyến với đường tròn ( ABC) B C; L điểm đối xứng O qua BC; M trung điểm BC; T giao điểm thứ hai đường tròn ( ABC), (OAA'); D, E, F theo thứ tự điểm đối xứng N qua BC, CA, AB (h.20) Đương nhiên O, S, M, L, X thẳng hàng Dễ thấy N trung điểm AL (xem phép chứng minh ví dụ 3) Dễ thấy A, A',O, L bốn đỉnh hình thang cân ( AA' / / OL ) Từ đó, ý A', L, D theo thứ tự điểm đối xứng A,O, N qua BC, suy D trung điểm OA’ Nói cách khác, qua phép vị tự HO2 , A' biến thành D Tương tự, qua phép vị tự HO2 , B', C' theo thứ tự biến thành E, F Theo định lí 7, K tâm đường tròn (DEF) O Vậy, qua phép vị tự H , O' biến thành K Nói cách khác K trung điểm OO' (1) Vì OS đường kính đường trịn (OBC) nên X trung điểm OS Theo ví dụ 3, A, K, X thẳng hàng (2) Vậy PX /(OAA')  XL.XO  ( XO  OL).XO  XO2  OL.OX  XO2  OL.2OX 2 2 2  XO  OM.OS  XO  OB  XO  R  PX /( ABC) Do A, T, X thẳng hàng (3) Từ (2) (3) suy A, K, T thẳng hàng Nói cách khác PK /(OAA')  PK /( ABC) Tương tự PK /(OBB')  PK /( ABC) ; PK /(OCC')  PK /( ABC) Vậy PK /(OAA')  PK /(OBB')  PK /(OCC') Do OK trục đẳng phương chung đường tròn (OAA'),(OBB'),(OCC') (4) Từ (1) (4) suy lại OO' trục đẳng phương chung đường tròn (OAA'), (OBB'),(OCC') Điều có nghĩa đường trịn (OAA’), (OBB’), (OCC’) có điểm chung W, W  O W  OO' A B' O F N K E X B M C' D C O' T S L W A' (h.20) Chú ý Vì tam giác A' B' C' tồn nên A', B', C' không thẳng hàng Từ đó, ý D, O E, F theo thứ tự ảnh A', B', C' qua phép vị tự H , suy D, E, F thẳng hàng Do N hình chiếu D, E, F BC, CA, AB không thẳng hàng (xét phép vị tự H ) Vậy, theo kết kết vê đường thẳng Simson, N khơng thuộc đường trịn ( ABC) Do đó, theo ví dụ 6, K tồn Bài toán Cho tam giác ABC, I, J hai điểm đẳng giác tam giác M,N theo thứ tự trung điểm BC, AJ D, E, F theo thứ tự hình chiếu I BC, CA, AB P  IE  DF,Q  IF  DE Chứng minh MN PQ Lời giải Gọi X ,Y theo thứ tự giao điểm JB, JC AC, AB; Z, T theo thứ tự trung điểm XY CY; H, K theo thứ tự hình chiếu J AB, AC (h.21) A X N Z V Y K H J F T I P B M E Q D C (h.21) Theo kết đường thẳng Gauss, M,N, Z thẳng hàng (1) Dễ thấy B, D, I, F thuộc đường tròn C, D, I, E thuộc đường tròn Vậy (DP, DI)  (DP, DB)  (DB, DI)  (DF, DB)  (FB, FI)(mod )  (IF, IB)  (BA, IF)  (BA, BI)  (BJ, BC)  (BX , BC)(mod ); (IP, ID)  (IE, ID)  (CE, CD)  (CX , CB)(mod ) Do tam giác DPI, BXC đồng dạng hướng Tương tự tam giác DQI, CYB đồng dạng hướng Vậy, ý TZ, TM theo thứ tự đường trung bình tam giác CYX , CYB, ta có IP IP ID CX BC CX TZ     ; IQ ID IQ CB BY BY TM (IP, IQ)  (IP, ID)  (ID, IQ)  (CX , CB)  (BC, BY )(mod 2)  (CX , CB)  (CB,YB)  (CX ,YB)  (TZ, TM)(mod 2) Do tam giác IPQ, TZM đồng dạng hướng Kết hợp với AC / / TZ, IE  AC, suy  (PQ, ZM)  (IP, TZ)  (IE, AC)  (mod ) (2) Từ (1) (2) suy PQ  MN Bài tốn (Lưu Cơng Đơng) Cho tam giác ABC, (O) đường trịn ngoại tiếp Điểm P không thuộc (O) U, V,W theo thứ tự hình chiếu P BC, CA, AB Các đường trung trực PA, PB, PC đôi cắt định tam giác XYZ E, F giao điểm đường tròn (O) (XYZ) S hình chiếu P EF Chứng minh S tâm đường tròn (UVW) Lời giải Gọi R bán kính (O); P' điểm đẳng giác P tam giác ABC; X ' Y ' Z ' tam giác định đường trung trực P' A, P' B, P' C; K  XY  X ' Y'; L  XZ  X ' Z ' (h.22) A E Y' Z Z' V Y O W P' P S B U C K X' F X L (h.22) Dễ thấy XB  XP  XC; X ' B  X ' P'  X ' C (1) Từ (1), ý OB  OC, suy O, X , X ' thẳng hàng Từ (1), ý P, P' hai điểm đẳng giác tam giác ABC, suy 1 (BX , BO)  ( XB, XO)  (OX ,OB)  ( XB, XC)  (OC,OB)(mod ) 2  (PB, PC)  ( AC, AB)  (PB, AB)  ( AC, PC )  (CB, P'B)  (P' C, BC )(mod )  (P' C, P' B)  ( X ' C, X ' B)  ( X ' O, X ' B)  ( X ' X , X ' B)(mod ) Do OB tiếp xúc với đường trịn (BXX ') Vậy OX OX '  OB  R Tương tự OX OX '  OY.OY '  OZ.OZ'  R (2) 2 Từ (2) suy E, F, X ',Y ', Z' theo thứ tự ảnh E, F, X ,Y, Z qua phép nghịch đảo NOR Điều có nghĩa đường tròn (O),( XYZ),( X ' Y ' Z') nhận EF trục đẳng phương chung (3) Từ (2) suy X , X ',Y,Y ' thuộc đường tròn X , X ', Z, Z ' thuộc đường trịn Do PK /( XYZ )  KX KY  KX '.KY '  PK /( X ' Y ' Z') , PL/( XYZ )  LX LZ  LX '.LZ '  PL/( X ' Y ' Z') Kết hợp với (3), suy K, L thuộc EF Từ đó, ý KP  KC  KP', LP  LB  LP', suy P, P' đối xứng với qua EF Nói cách khác S trung điểm PP' Vậy, theo định lí 3, SU  SV  SW Điều có nghĩa S tâm đường trịn (UVW) 11 Một vài toán đề nghị Bài toán Cho tam giác ABC, O, H theo thứ tự tâm đường ngoại tiếp trực tâm P  BO  CH,Q  BH  CO, S  OH  BC Chứng minh tâm đường tròn ( APQ) thuộc AS Bài toán 10 Cho tam giác nhọn ABC, AD, BE, CF đường cao M,N theo thứ tự trung điểm DE, DF P  BN  CM; Q  DP  EF Chứng minh P,Q đẳng giác AB, AC Bài toán 11 Cho tam giác ABC Điểm M chạy trung trực BC I1 , I2 theo thứ tự tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABM, ACM Chứng minh đường tròn ( AI1 I2 ) ln qua điểm cố định Bài tốn 12 Cho tam giác ABC, (O) đường tròn ngoại tiếp Các điểm X ,Y, Z, T thuộc (O) E giao điểm AB XY F giao điểm AC ZT M, N, P,Q theo thứ tự giao điểm XZ,YT, XT, YZ EF Giả sử EF / / BC Chứng minh cặp đường thẳng ( AM, AN) ( AP, AQ) đẳng giác cặp đường thẳng (AB, AC) Bài toán 13 Cho tam giác ABC, (O) đường tròn ngoại tiếp O' giao điểm tiếp tuyến với (O) B C (O') đường tròn tâm O' qua B, C Phân giác góc · cắt (O') M OM cắt BC P X ,Y theo thứ tự hình chiếu M AB, BAC AC Chứng minh · XPY  90 Bài toán 14 Cho tam giác ABC M,N, P theo thứ tự trung điểm BC, CA, AB L điểm Lemoine tam giác ABC K điểm đẳng giác L tam giác MNP Chứng minh K thuộc đường thẳng Euler tamgiác ABC Bài toán 15 Cho tam giác ABC điểm P không thuộc BC, CA, AB A', B', C' theo thứ tự giao điểm AP, BP, CP BC, CA, AB Q điểm đẳng giác P tam giác ABC Chứng minh ảnh đối xứng AQ, BQ, CQ qua B' C', C' A', A' B' đồng quy đôi song song Bài toán Cho tam giác ABC, AM, AD theo thứ tự trung tuyến phân giác E, F theo thứ tự giao điểm thứ hai AB, AC (AMD) P giao điểm BF CE X giao điểm AP EF Q giao điểm AM DX Chứng minh P, Q hai điểm đẳng giác tam giác MEF Bài toán Cho tam giác ABC, O, H theo thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp trực tâm O, H AD, BE, CF đường cao K, L điểm đối xứng O qua AB, AC M trung điểm BC Chứng minh trục đẳng phương đường tròn (DEK), (DFL) qua giao điểm AM EF Bài toán (USAMO 2008) Cho tam giác ABC, O tâm đường tròn ngoại tiếp M, P, Q theo thứ tự trung điểm BC, AB, AC AM theo thứ tự cắt OP, OQ E, F Chứng minh A, P, Q, F đồng viên Bài toán 10 (ELMO 2016) Cho tam giác ABC (AB < AC) Đường tròn nội tiếp tam giác ̂ cắt DE, DF lần tiếp xúc với BC, CA, AB D, E, F Phân giác góc 𝐵𝐴𝐶 ̂ ̂ lượt X, Y Cho S T hai điểm phân biệt BC cho 𝑋𝑆𝑌 = 𝑋𝑇𝑌 = 90° Gọi 𝛾 đường tròn ngoại tiếp Δ𝐴𝑆𝑇 (a) Chứng minh 𝛾 tiếp xúc với (ABC); (b) Chứng minh 𝛾 tiếp xúc với đường tròn nội tiếp Δ𝐴𝐵𝐶 Bài toán 13 (VN TST 2015) Cho tam giác ABC, (O) đường tròn ngoại tiếp, I trung điểm BC Các đường cao AD, BE, C đồng quy H, S giao điểm BC EF K giao điểm thứ hai AS (O) M giao điểm thứ hai KD (O) N giao điểm AI đường thẳng qua M vng góc với BC P, Q theo thứ tự giao điểm thứ hai AB, AC đường tròn qua N tiếp xúc với AK A Chứng minh AO qua trung điểm PQ  ... C qua BD Do BD phân giác góc · mâu thuẫn Vậy tam ABC, ADC, giác AXZ, CYT hướng + Bài toán toán 5, IMO 2004 Bài toán Cho tam giác ABC, O, H theo thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp trực tâm X  BO... giác AB, AC Bài toán 11 Cho tam giác ABC Điểm M chạy trung trực BC I1 , I2 theo thứ tự tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABM, ACM Chứng minh đường tròn ( AI1 I2 ) qua điểm cố định Bài toán 12 Cho... 90 Bài toán 14 Cho tam giác ABC M,N, P theo thứ tự trung điểm BC, CA, AB L điểm Lemoine tam giác ABC K điểm đẳng giác L tam giác MNP Chứng minh K thuộc đường thẳng Euler tamgiác ABC Bài toán