Bài Giảng GIẢI TÍCH I (lưu hành nội bộ)
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC BÙI XUÂN DIỆU Bài Giảng GIẢI TÍCH I (lưu hành nội bộ) HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ - TÍCH PHÂN - HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập lời giải Hà Nội- 2009 MỤC Mục lục LỤC Chương Hàm số biến số (13LT+13BT) Sơ lược yếu tố Lôgic; tập số: N, Z, Q, R Trị tuyệt đối tính chất Định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị khái niệm: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuầ 3.1 Bài tập Dãy số 10 4.1 Bài tập 11 Giới hạn hàm số 14 Vô lớn, vô bé 15 6.1 Vô bé (VCB) 15 6.2 Vô lớn (VCL) 16 6.3 Bài tập 16 Hàm số liên tục 18 7.1 Bài tập 20 Đạo hàm vi phân 22 8.1 Bài tập 24 Các định lý hàm khả vi ứng dụng 28 9.1 Các định lý hàm khả vi 28 9.2 Qui tắc L’Hospital 28 10 Các lược đồ khảo sát hàm số 33 10.1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) 33 10.2 Khảo sát vẽ đường cong cho dạng tham số 34 10.3 Khảo sát vẽ đường cong hệ toạ độ cực 35 10.4 Bài tập 35 Chương Phép tính tích phân biến số 37 Tích phân bất định 37 MỤC LỤC 1.1 Nguyên hàm hàm số 1.2 Các phương pháp tính tích phân bất định 1.3 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ 1.4 Tích phân hàm lượng giác 1.5 Tích phân biểu thức vơ tỷ Tích phân xác định 2.1 Định nghĩa tích phân xác định 2.2 Các tiêu chuẩn khả tích 2.3 Các tính chất tích phân xác định 2.4 Tích phân với cận thay đổi (hàm tích phân) 2.5 Các phương pháp tính tích phân xác định 2.6 Hệ thống tập Các ứng dụng tích phân xác định 3.1 Tính diện tích hình phằng 3.2 Tính độ dài đường cong phẳng 3.3 Tính thể tích vật thể 3.4 Tính diện tích mặt trịn xoay Tích phân suy rộng 4.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn 4.2 Tích phân suy rộng hàm số khơng bị chặn 4.3 Tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối bán hội tụ 4.4 Các tiêu chuẩn hội tụ 4.5 Bài tập Chương Hàm số nhiều biến số Giới hạn hàm số nhiều biến số 1.1 Giới hạn hàm số nhiều biến số 1.2 Tính liên tục hàm số nhiều biến số 1.3 Bài tập Đạo hàm vi phân 2.1 Đạo hàm riêng 2.2 Vi phân toàn phần 2.3 Đạo hàm hàm số hợp 2.4 Đạo hàm vi phân cấp cao 2.5 Đạo hàm theo hướng - Gradient 2.6 Hàm ẩn - Đạo hàm hàm số ẩn 2.7 Bài tập Cực trị hàm số nhiều biến số 3.1 Cực trị tự 37 39 43 45 47 49 49 49 50 51 51 52 59 59 62 63 65 67 67 69 70 71 72 79 79 79 80 80 81 81 82 82 83 84 85 85 92 92 MỤC LỤC 3.2 3.3 Cực trị có điều kiện Giá trị lớn - Giá trị nhỏ 94 97 MỤC LỤC CHƯƠNG HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ (13LT+13BT) §1 S Ơ LƯỢC VỀ CÁC YẾU TỐ L ÔGIC; CÁC TẬP SỐ : N, Z, Q, R Phần Lôgic không dạy trực tiếp (phần Đại số dạy) mà nhắc lại phép suy luận thông qua giảng nội dung khác thấy cần thiết Giới thiệu tập số; cần nói rõ tập Q rộng Z chưa lấp đầy trục số tập R lấp đầy trục số chứa tất giới hạn dãy số hội tụ, ta có bao hàm thức N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R §2 T RỊ TUYỆT ĐỐI VÀ TÍNH CHẤT Nhắc lại định nghĩa nêu tính chất sau • | x | ≥ 0, | x | = ⇐⇒ x = 0, | x + y| ≤ | x | + |y|; • | x − y| ≥ || x | − |y|| , | x | ≥ A ⇐⇒ x ≥ A x ≤ − A • | x | ≤ B ⇐⇒ − B ≤ x ≤ B Chương Hàm số biến số (13LT+13BT) §3 Đ ỊNH NGHĨA HÀM SỐ , TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ VÀ CÁC KHÁI NIỆM : HÀM CHẴN , HÀM LẺ , HÀM TUẦN HOÀN , HÀM HỢP, HÀM NGƯỢC Định nghĩa hàm số: Nhắc lại định nghĩa phổ thông Chú ý viết dạng ánh xạ f : X → R tập xác định rõ X cịn biểu thức f (dưới dạng biểu thức giải tích) chưa rõ, khơng tìm biểu thức Cịn hàm số cho dạng biểu thức giải tích cần phải xác định rõ miền xác định hàm số Trong chương trình tập trung vào cách cho hàm số dạng hay nhiều biểu thức giải tích Một số hàm Dirichlet, dấu, phần ngun nêu dạng ví dụ hay thể qua phần dạy khác Tập giá trị hàm số: Hàm số đơn điệu Hàm số bị chặn (chặn trên, chặn dưới, bị chặn) Hàm chẵn, hàm lẻ (tính chất đồ thị kết f ( x ) = hàm chẵn + hàm lẻ) Hàm tuần hồn: Nêu qua định nghĩa, ví dụ hàm số lượng giác Trong phạm vi chương trình chủ yếu xem có số T = 0(T > 0) thỏa mãn f ( x + T ) = f ( x ) mà không sâu vào việc tìm chu kỳ (số T > bé nhất) Hàm hợp: định nghĩa ví dụ Hàm ngược: (a) Định nghĩa (b) Mối quan hệ đồ thị hai hàm (c) Định lý điều kiện đủ để tồn hàm ngược, (tăng hay giảm) (d) Trên sở định lý xây dựng hàm số lượng giác ngược vẽ đồ thị chúng Ở phổ thông học sinh biết y = ax , y = loga x hàm ngược Hàm số sơ cấp Định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị khái niệm: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn, hàm hợp, hàm ngược (a) Nêu hàm số sơ cấp bản: y = x α , y = ax , y = loga x, y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = cotg x y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arccotg x (b) Định nghĩa hàm số sơ cấp: Nêu ví dụ lớp hàm sơ cấp: đa thức, phân thức hữu tỷ, hyperbolic 3.1 Bài tập Bài tập 1.1 Tìm TXĐ hàm số a) y = b) y = arcsin lg(tan x ) √ x c) y = sin πx 2x 1+x d) y = arccos(2 sin x ) Lời giải a TXĐ = {π/4 + kπ ≤ x ≤ π/2 + kπ, k ∈ Z } b TXĐ = {−1/3 ≤ x ≤ 1} π π c TXĐ = { x ≥ 0, x ∈ Z } d TXĐ = {− + kπ ≤ x ≤ + kπ, k ∈ Z } 6 Bài tập 1.2 Tìm miền giá trị hàm số x a y = lg(1 − cos x ) b y = arcsin lg 10 Lời giải a MGT = {−∞ ≤ y ≤ lg 3} Bài tập 1.3 Tìm f ( x ) biết 1 a f x + = x2 + x x b MGT = {−π/2 ≤ y ≤ π/2} x 1+x b f Lời giải a ĐS : f ( x ) = x2 − với | x | ≥ = x2 b ĐS: f ( x ) = x 1−x ∀ x = Bài tập 1.4 Tìm hàm ngược hàm số (trên miền mà hàm số có hàm ngược) a y = 2x + Lời giải a) ĐS : y = b) ĐS : y = y = b y = 1−x 1+x x− 2 1−x 1+x c y = x (e + e − x ) Chương Hàm số biến số (13LT+13BT) c) Ta có y′ = miền: x (e − e− x ) nên hàm số cho không đơn ánh Ta phải xét 2 Trên miền x ≥ 0, từ y = (e x + e− x )⇒ e x = y ± có song ánh: y2 − 1⇒ x = ln(y + y2 − 1) Ta [0, +∞) → [1, +∞) x → y = (e x + e − x ) ln(y + y2 − 1) ← y Vậy hàm ngược miền x ≥ y = ln( x + √ x2 − 1), x ≥ √ Trên miền x ≤ 0, tương tự ta có hàm ngược y = ln( x − x2 − 1), x ≤ Bài tập 1.5 Xét tính chẵn lẻ hàm số a f ( x ) = ax + a− x (a > 0) √ b f ( x ) = ln( x + − x2 ) c f ( x ) = sin x + cos x Lời giải a ĐS: hàm số cho hàm số chẵn b ĐS: hàm số cho hàm số lẻ c ĐS: hàm số cho không chẵn, không lẻ Bài tập 1.6 Chứng minh hàm số f ( x ) xác định khoảng đối xứng (− a, a) biểu diễn dạng tổng hàm số chẵn hàm số lẻ Lời giải Với f ( x ) ta ln có f (x) = 1 [ f ( x ) + f (− x )] + [ f ( x ) − f (− x )] 2 g( x ) h( x ) g( x ) hàm số chẵn, h( x ) hàm số lẻ Bài tập 1.7 Xét tính tuần hồn chu kì hàm số sau (nếu có) a f ( x ) = A cos λx + B sin λx Định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị khái niệm: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn, hàm hợp, hàm ngược 1 b f ( x ) = sin x + sin 2x + sin 3x c f ( x ) = sin2 x d f ( x ) = sin( x2 ) Lời giải a) Giả sử T > chu kì hàm số cho Khi f ( x + T ) = f ( x )∀ x ∈ R ⇔ A cos λ( x + T ) + B sin λ( x + T ) = A cos λx + B sin λx ∀ x ∈ R ⇔ A[cos λx − cos λ( x + T )] + B[sin λx − sin λ( x + T )] = ∀ x ∈ R −λT λT λT ⇔2 sin [ A sin(λx + ) + B cos(λx + )] = ∀ x ∈ R 2 λT =0 ⇔ sin 2kπ ⇔T= λ Vậy hàm số cho tuần hồn với chu kì T = 2π | λ| b Theo câu a) hàm số sin x tuần hồn với chu kì 2π, hàm số sin 2x tuần hoàn với 2π 1 chu kì π, hàm số sin 3x tuần hồn với chu kì Vậy f ( x ) = sin x + sin 2x + sin 3x 3 tuần hồn với chu kì T = 2π c f ( x ) = sin2 x = − cos 2x tuần hồn với chu kì T = π d Giả sử hàm số cho tuần hoàn với chu kì T > 0.Khi sin( x + T )2 = sin( x2 )∀ x √ Cho x = 0⇒ T = kπ, k ∈ Z, k > √ Cho x = π ⇒k số phương Giả sử k = l , l ∈ Z, l > Cho x = π ta suy điều mâu thuẫn Vậy hàm số cho khơng tuần hồn Bài tập 1.8 Cho f ( x ) = ax + b, f (0) = −2, f (3) = −5 Tìm f ( x ) Lời giải ĐS: f ( x ) = x − Bài tập 1.9 Cho f ( x ) = ax2 + bx + c, f (−2) = 0, f (0) = 1, f (1) = Tìm f ( x ) Đạo hàm vi phân 83 Cơng thức 3.1 viết dạng ma trận sau ∂u ∂u ∂F ∂F ∂f ∂f ∂x ∂y = ∂x ∂y ∂u ∂v ∂v ∂v ∂x ∂y ma trận ∂u ∂x ∂v ∂x ∂u ∂y ∂v ∂y gọi ma trận Jacobi ánh xạ ϕ, định thức ma trận gọi định thức D (u, v) Jacobi u, v với x, y kí hiệu D ( x, y) 2.4 Đạo hàm vi phân cấp cao • Cho hàm số hai biến số z = f ( x, y) Các đạo hàm riêng f x′ , f y′ đạo hàm riêng cấp Các đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp tồn gọi đạo hàm riêng cấp hai Có bốn đạo hàm riêng cấp hai kí hiệu sau: ∂2 f ∂ ∂f = = f xx ”( x, y) ∂x ∂x ∂x2 ∂ ∂f ∂2 f = = f yx ”( x, y) ∂y ∂x ∂y∂x ∂2 f ∂ ∂f = = f xy ”( x, y) ∂x ∂y ∂x∂y ∂2 f ∂ ∂f = = f yy ”( x, y) ∂y ∂y ∂y2 Các đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp hai, tồn tại, gọi đạo hàm riêng cấp ba, Định lý 3.24 (Schwarz) Nếu lân cận U điểm M0 ( x0 , y0 ) hàm số z = f ( x, y) có đạo hàm riêng f xy ”, f yx ” đạo hàm riêng liên tục M0 f xy ” = f yx ” M0 • Xét hàm số z = f ( x, y), vi phân tồn phần dz = f x′ dx + f y′ dy, tồn tại, hàm số với hai biến số x, y Vi phân toàn phần dz, tồn tại, gọi vi phân toàn phần cấp hai z kí hiệu d2 z Ta có cơng thức d2 z = f xx ”dx2 + f xy ”dxdy + f yy ”dy2 83 84 Chương Hàm số nhiều biến số 2.5 Đạo hàm theo hướng - Gradient • Cho f ( x, y, z) hàm số xác định miền D ∈ R3 l = (l1 , l2 , l3 ) véctơ R3 Giới hạn, có, lim t →0 f ( M0 + tl ) − f ( M) t gọi đạo hàm hàm số f theo hướng l M0 kí hiệu ∂f ( M0 ) ∂l Nếu l trùng với véctơ đơn vị i trục Ox đạo hàm theo hướng l đạo hàm riêng theo biến x hàm f ∂f ∂f ( M0 ) = ( M0 ) ∂x ∂l Vậy đạo hàm riêng theo biến x đạo hàm theo hướng trục Ox, ∂f ∂f , đạo hàm f theo hướng trục Oy Oz Định lý sau cho vậy, ∂y ∂z ta mối liên hệ đạo hàm theo hướng đạo hàm riêng: Định lý 3.25 Nếu hàm số f ( x, y, z) khả vi điểm M0 ( x0 , y0 , z0 ) M0 có đạo hàm theo hướng l ta có ∂f ∂l ( M0 ) = ∂f ∂f ∂f ( M0 ) cos α + ( M0 ) cos β + ( M0 ) cos γ ∂x ∂y ∂z (cos α, cos β, cos γ) cosin phương l • Cho f ( x, y, z) hàm số có đạo hàm riêng M0 ( x0 , y0 , z0 ) Người ta gọi gradient f M0 véctơ ∂f ∂f ∂f ( M0 ), ( M0 ), ( M0 ) ∂x ∂y ∂z −−→ kí hiệu grad f ( M0 ) Định lý 3.26 Nếu hàm số f ( x, y, z) khả vi M0 ta có ∂f ∂l Chú ý: ∂f ∂l −−→ ( M0 ) = grad f l ( M0 ) thể tốc độ biến thiên hàm số f M0 theo hướng l Từ công thức −−→ −−→ −−→ ∂f ( M0 ) = grad f l = grad f l cos grad f , l ta có ( M0 ) đạt giá trị lớn ∂l ∂l −−→ −−−→ grad f l l có phương với grad f Cụ thể ∂f 84 Đạo hàm vi phân 85 • Theo hướng l, hàm số f tăng nhanh M0 l có phương, hướng −−−→ với grad f • Theo hướng l, hàm số f giảm nhanh M0 l có phương, ngược hướng −−−→ với grad f 2.6 Hàm ẩn - Đạo hàm hàm số ẩn • Cho phương trình F( x, y) = F : U → R hàm số có đạo hàm riêng liên tục tập mở U ⊂ R2 Fy′ ( x0 , y0 ) = Khi phương trình F( x, y) = xác định hàm số ẩn y = y( x ) lân cận x0 có đạo hàm y′ ( x ) = − Fx′ Fy′ • Tương tự, cho phương trình F( x, y, z) = F : U → R hàm số có đạo hàm riêng liên tục tập mở U ⊂ R3 Fz′ ( x0 , y0 , z0 ) = Khi phương trình F( x, y, z) = xác định hàm số ẩn z = z( x, y) lân cận ( x0 , y0 ) có đạo hàm Fy′ Fx′ ′ ′ z x = − ′ , zy = − ′ Fz Fz 2.7 Bài tập Bài tập 3.3 Chứng minh hàm số xy 2 f ( x, y) = x + y ( x, y) = (0, 0) ( x, y) = (0, 0) có đạo hàm riêng (0, 0) không liên tục (0, 0) khơng khả vi (0, 0) Bài tập 3.4 Tính đạo hàm riêng hàm số sau a) z = ln x + d) z = arctg Lời giải b) z = y2 sin x + y2 x − y2 x + y2 x y c) z = x y e) u = x y , ( x, y, z > 0) z f) u = e x2 +y2 +z2 , ( x, y, z > 0) a z′x = 1+ √ x+ x x + y2 x2 + y2 = x2 85 + y2 ; z′y = √ x+ y x + y2 x + y2 86 Chương Hàm số nhiều biến số b x x x z′x = y cos ; z′y = 2y sin − x cos y y y c z′x = y3 x y −1 ; z′y = 3y2 ln x.x y d z′x = x − y2 x + y2 z′y = ∂ + ∂x x − y2 x + y2 = ∂ + ∂y x − y2 x + y2 = x − y2 x + y2 y2 x − y4 x −y x − y4 e u′x = yz x y z −1 z z ; u′y = x y zyz−1 ln x; u′z = x y yz ln y ln x f u′x = e x2 +y2 +z2 −2x −2y ( x + y + z2 ) ; u′y = e x2 +y2 +z2 ( x + y + z2 ) ; u′z = e x2 +y2 +z2 −2z ( x + y + z2 ) Bài tập 3.5 Khảo sát liên tục tồn tại, liên tục đạo hàm riêng hàm số f ( x, y) sau a f ( x, y) = b x arctg y x 0 x sin y − y sin x x + y2 f ( x, y) = 0 86 x = x = ( x, y) = (0, 0) ( x, y) = (0, 0) Đạo hàm vi phân 87 Lời giải a Ta dễ thấy hàm số liên tục với ( x, y) = (0, y) y y Xét x = 0, x arctg x ≤ π2 | x | nên lim x arctg x = = f (0, y) Vậy f ( x, y) liên x →0 tục R2 Với x = đạo hàm riêng tồn liên tục: z′x = arctg y x − 2x2 y2 ′ 2x3 y , z = x + y4 y x + y4 Xét x = 0, 0, y = f (h, y) − f (0, y) f x′ (0, y) = lim = arctg yh = π h h →0 2,y = f (0, y + k) − f (0, y) f y′ (0, y) = lim = lim = k k →0 k →0 Vậy ta thấy f x′ ( x, y) liên tục R2 \ (0, 0) ; f y′ ( x, y) liên tục R2 b Hàm số liên tục R2 \ (0, 0), cịn (0, 0) 0≤ xy x sin y − ysinx = 2 x +y x + y2 nên lim Vậy f ( x, y) liên tục R2 x →0 y →0 sin y sin x − y x ≤ sin y sin x − y x x sin y − ysinx =0 x + y2 Bài tập 3.6 Giả sử z = y f x2 − y2 , f hàm số khả vi Chứng minh hàm số z hệ thức sau thoả mãn ′ z zx + z′y = x y y Lời giải Ta có z′x = y f x2 − y2 2x, z′y = f x2 − y2 + y f x2 − y2 (−2y) nên f x − y2 ′ z ′ z x + zy = = x y y y Bài tập 3.7 Tìm đạo hàm hàm số hợp sau a z = eu −2v2 , u = cos x, v = x + y2 87 88 Chương Hàm số nhiều biến số b z = ln u2 + v2 , u = xy, v = yx c z = arcsin ( x − y ) , x = 3t, y = 4t3 Lời giải a Ta có u′x u′y nên v′x = √ x = − sin x x + y2 ; ; v′y = √ y =0 2 x +y z′ = ecos x2 −2(x2 +y2 ) [− sin 2x − 4x ] x z′ = ecos x2 −2(x2 +y2 ) [−4y] y b Ta có u′x = y ; u′y = x nên z′x v′x = v′y = y −x y2 y4 − ′ = , zy = x y ( y4 + 1) c Ta có xt′ = y′t = 12t2 nên z′t = 1 − ( x − y)2 − 12t2 Bài tập 3.8 Tìm vi phân tồn phần hàm số b z = ln tg a z = sin x2 + y2 c z = arctg Lời giải x+y x−y d u = x y z a dz = cos x2 + y2 (2xdx + 2ydy) b dz = sin 2y x 88 xdy − ydx x2 y x (3.2) Đạo hàm vi phân 89 c ( x − y) dx + ( x + y ) dy ( x − y)2 + ( x + y)2 dz = d du = x y y2 z dx + 2yz ln xdy + y2 ln xdz x 2z Bài tập 3.9 Tính gần a A = b B = ln (1, 02)2 + (0, 05)2 a Xét hàm f ( x, y) = Lời giải f x′ = √ 1, 03 + √ 0, 98 − x2 + y2 , ∆x = 0, 02; ∆y = 0, 05; x = 1; y = Ta có 3 ( x + y2 ) 2x; f y′ = 2/3 ( x + y2 ) 2/3 2y Khi f (1 + ∆x, + ∆y ) ≈ f (1, 0) + f x′ (1, 0) ∆x + f y′ (1, 0) ∆y = + 0, 02 + 0.0, 05 = 1, 013 b Xét hàm f ( x, y) = ln √ x+ √ x+ √ Ta có f x′ = √ Khi y − ; x = 1; y = 1; ∆x = 0, 03; ∆y = 0, 02 y − 3x ; f y′ = √ x+ √ y − 3y 34 1 f (1 + ∆x, + ∆y ) ≈ f (1, 1) + f x′ (1, 1) ∆x + f y′ (1, 1) ∆y = + 0, 03 + (−0, 02) = 0, 005 Bài tập 3.10 Tìm đạo hàm hàm số ẩn xác định phương trình sau a x3 y − y3 x = a4 ; tính y′ c x + y + z = ez ; tính z′x , z′y x+y y = ; tính y′ a a 3 d x + y + z − 3xyz = 0, tính z′x , z′y b arctg Lời giải a Xét hàm số ẩn F ( x, y) = x3 y − y3 x − a4 = 0, có Fx′ = 3x2 y − y3 ; Fy′ = x3 − 3y2 x Vậy y′ = 3x2 y − y3 − Fx′ = − Fy′ x3 − 3y2 x 89 90 b Xét hàm số ẩn F ( x, y) = arctg Chương Hàm số nhiều biến số x+y a − y a có y′ = Fx′ = Fy′ = 1+ ( a x +y a ) a a2 +( x + y)2 a ( x + y )2 = a a2 +( x + y)2 − a = a2 − a2 −(x + y)2 a( a2 +(x + y)2 ) nên c Xét hàm số ẩn F ( x, y, z) = x + y + z − ez có Fx′ = 1; Fy′ = 1; Fz′ = − ez nên z′x = −1 −1 ; z′y = z 1−e − ez d Xét hàm số ẩn F ( x, y) = x3 + y3 + z3 − 3xyz = có Fx′ = 3x2 − 3yz; Fy′ = 3y2 − 3xz; Fz′ = 3z2 − 3xy nên 3xz − 3y2 3yz − 3x2 ′ ; zx = z′x = 3z − 3xy 3z − 3xy +z ′ ′ Bài tập 3.11 Cho u = xy+ z , tính u x , uy biết z hàm số ẩn x, y xác định phương trình z.ez = x.e x + y.ey ′ x x Fx = − (e + xe ) Lời giải Xét hàm số F ( x, y, z) = zez − xe x − yey = có Fy′ = − (ey + yey ) nên F′ = ez + zez z x xe x x xe x − ( x + z) eez+ + eez+ ′ ) (y + z ) − ( x + z ) ( z′ ) z + ze + zez + z ( x x ′ = ux = ( y + z )2 ( y + z )2 ey + yey ey + yey ( x + z) + ez +zez − (y + z) ez +zez ( x + z) + z′y − (y + z) z′y ′ = uy = (y + z)2 ( y + z )2 Bài tập 3.12 Tìm đạo hàm hàm số ẩn y( x ), z( x ) xác định hệ x + y + z =0 x + y + z2 = Lời giải Lấy đạo hàm hai vế phương trình hệ ta có 1 + y ′ + z′ =0 x x 2x + 2yy′ + 2zz′ = x nên x z−x y′x = y−z x−y ′ zx = y−z 90 Đạo hàm vi phân 91 Bài tập 3.13 Phương trình z2 + x2 z′x + 1y z′y = 1z x y2 − z2 , xác định hàm ẩn z = z ( x, y) Chứng minh = Lời giải Xét hàm số F ( x, y, z) = z2 + Từ suy x2 z′x + z′y y x − Fx′ = − x22 −y ′ 2 y − z có Fy = √y2 −z2 Fz′ = 2z + √ nên z y2 − z2 x2 ′ zx = 2z + √ 2z y −z −y √ y2 − z2 z′y = 2z + √ z y2 − z2 = 1z Bài tập 3.14 Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số sau a z = Lời giải ( x + y2 ) z′ = x x a Ta có z′ = y y b Ta có z′x z′y c Ta có ′ zx ′ zy c z = arctg b z = x2 ln x2 + y2 x2 + y2 x2 + y2 nên z′′xx = z′′yy = ′′ zxy = x + y2 + x x + y2 + y 2xy x + y2 = 2x x + y2 2y x + y2 xy = = y x 2x2 + y2 x + y2 + 2y2 x2 x + y2 x + y2 ′′ = ln ( x + y) + 2x + 2x ( x + y) − x z xx x+y x2 ( x + y)2 = 2x ln ( x + y) + − x2 x+y ′′ = 2x + z nên xy x2 x + y ( x + y)2 = x2 x+y z′′yy = ( x + y)2 2xy z′′xx = −y −y ( x + y2 ) = = 2 y x2 2 x + y2 1+ x ′′ = − x + y + y.2y = y − x z nên xy 2 1 x ( x + y2 ) ( x + y2 ) = = 2 y 2x x +y −2xy 1+ x ′′ zyy = 2 ( x + y2 ) 91 92 Chương Hàm số nhiều biến số Bài tập 3.15 Tính vi phân cấp hai hàm số sau a z = xy2 − x2 y Lời giải b z = ( x2 + y2 ) a Ta có dz = y2 − 2xy dx + 2xy − x2 dy nên d2 z = −2y (dx )2 + (y − x ) dxdy+ (2y) (dy )2 b Ta có dz = x 2( x + y2 ) d2 z = dx + y 2( x + y2 ) y2 − 3x2 ( x2 + y2 ) dy nên (dx )2 − 4xy ( x2 + y2 ) dxdy + x2 − 3y2 ( x2 + y2 ) (dy)2 §3 C ỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 3.1 Cực trị tự Định nghĩa 3.9 Cho hàm số z = f ( x, y) xác định miền D M0 ( x0 , y0 ) ∈ D Ts nói hàm số f ( x, y) đạt cực trị M0 với điểm M lân cận M0 khác M0 , hiệu số f ( M) − f ( M0 ) có dấu khơng đổi • Nếu f ( M) − f ( M0 ) > lân cận M0 M0 gọi cực tiểu hàm số f M0 • Nếu f ( M) − f ( M0 ) < lân cận M0 M0 gọi cực đại hàm số f M0 Trong phần sử dụng kí hiệu sau: p = f x′ ( M), q = f y ( M), r = f xx ”( M), s = f xy ”( M), t = f yy ”( M) Định lý 3.27 Nếu hàm số f ( x, y) đạt cực trị M đạo hàm riêng p = f x′ ( M), q = f y ( M) tồn đạo hàm riêng không Định lý 3.28 Giả sử hàm số z = f ( x, y) có đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục lân cận M0 ( x0 , y0 ) Giả sử M0 ta có p = q = 0, Nếu s2 − rt < f ( x, y) đạt cực trị M0 Đó cực tiểu r > 0, cực đại r < 92 Cực trị hàm số nhiều biến số 93 Nếu s2 − rt > f ( x, y) không đạt cực trị M0 Chú ý: Nếu s2 − rt = chưa kết luận điều điểm M0 , cực trị, khơng Trong trường hợp ta dùng định nghĩa để xét xem M0 có phải cực trị hay không cách xét hiệu f ( M) − f ( M0 ), xác định dấu lân cận M0 cực trị ngược lại Bài tập 3.16 Tìm cực trị hàm số sau a z = x2 + xy + y2 + x − y + b z = x + y − x.ey d z = x2 + y2 − e−(x c z = 2x4 + y4 − x2 − 2y2 p = z′ = 2x + y + = x a Xét hệ phương trình q = z′ = x + 2y − = Lời giải y + y2 ) x = −1 ⇔ y = Vậy ta có M (−1, 1) điểm tới hạn Ta có A = z′′xx ( M) = 2; B = z′′xy ( M) = 1; C = z′′yy ( M) = nên B2 − AC = − = −3 < Vậy hàm số đạt cực trị M A > nên M điểm cực tiểu b Xét hệ phương trình p = − ey = q = − xey = x = ⇔ y = Vậy hàm số có điểm tới hạn M (1, 0) Ta có A = z′′xx ( M) = 0; B = z′′xy ( M) = −1; C = z′′yy ( M) = −1 nên B2 − AC = > Hàm số cho cực trị c Xét hệ phương trình z′ = 8x3 − 2x x 4x2 − = x ⇔ z′ = 4y3 − 4y y y2 − = y x = ∨ x = ∨ x = − 2 ⇔ y = ∨ y = ∨ y = −1 tới hạn hàm số M1 (0, 0) ; M6 , −1 ; M2 (0, 1) ; M3 (0, −1) ; M4 M7 − , ; M8 − , ; M9 ,0 ; − , −1 Vậy điểm M5 ,1 Ta có z′′xx = 24x2 − 2; z′′xy = 0; z′′yy = 12y2 − – Tại M1 (0, 0), A = −2; B = 0; C = −4; B2 − AC = −8 < nên M1 điểm cực đại với z = – Tại M2 (0, 1) ; M3 (0, −1) ; A = −2; B = 0; C = 8; B2 − AC = 16 > nên M2 , M3 điểm cực đại với z = 93 94 Chương Hàm số nhiều biến số – Tại M4 2, ; M7 2, ; M6 −1 ,0 ; A = 4; B = 0; C = −4; B2 − AC = 16 > nên M4 , M7 , −1 ; M8 − 12 , ; M9 − 12 , −1 ; A = 4; B = 0; C = 8; B2 − điểm cực đại với z = – Tại M5 AC = −32 < nên M5 , M6 , M8 , M9 điểm cực tiểu với giá trị z = − 98 p = z′ = 2x + e−(x2 +y2 ) 2x = x = x d Xét hệ phương trình ⇔ q = z′ = 2y + e−(x2 +y2 ) 2y = y = y Vậy M(0, 0) điểm tới hạn Xét z′′xx = + 2.e−(x +y ) − 4x2 e−(x 2 z′′ = −4xy.e−(x +y ) xy ′′ zyy = + 2.e−(x 2 + y2 + y2 ) ) − 4y2 e−(x2 +y2 ) Tại M(0, 0) có A = 4; B = 0; C = 4; B2 − AC = −16 < 0; A > nên M hàm số đạt cực tiểu 3.2 Cực trị có điều kiện Cho tập mở U ⊂ R2 hàm số f : U → R Xét tốn tìm cực trị hàm số f biến x, y thoả mãn phương trình ϕ( x, y) = Ta nói điểm ( x0 , y0 ) ∈ U thoả mãn điều kiện ϕ( x0 , y0 ) = hàm f có cực đại tương đối (tương ứng cực tiểu tương đối) tồn lân cận V ⊂ U cho f ( x, y) ≤ f ( x0 , y0 ) (tương ứng f ( x, y) ≥ f ( x0 , y0 )) với ( x, y) ∈ V thoả mãn điều kiện ϕ( x, y) = Điểm ( x0 , y0 ) gọi cực trị có điều kiện hàm số f ( x, y), điều kiện ϕ( x, y) = gọi điều kiện ràng buộc toán Nếu lân cận ( x0 , y0 ) từ hệ thức ϕ( x, y) = ta xác định hàm số y = y( x ) rõ ràng ( x0 , y( x0 )) cực trị địa phương hàm số biến số g( x ) = f ( x, y( x )) Như vậy, trường hợp tốn tìm cực trị ràng buộc đưa tốn tìm cực trị tự hàm số biến số Ta xét toán sau Bài tập 3.17 Tìm cực trị có điều kiện a z = x + y với điều kiện x2 + y2 = a2 b z = x.y với điều kiện x + y = 94 Cực trị hàm số nhiều biến số Lời giải a Đặt x = a sin t ; y = 95 a cos t , ta có z= x2 + y2 = a2 Khi sin t cos t 1 + = + x y a a Ta có √ cos t sin t π 5π π = − = sin −t = 0⇔ t = ∨t = a a a 4 √ √ √ − π Với t = ta có x = 2a; y = 2a, hàm số đạt cực tiểu zCT = a √ √ √ Với t = 5π ta có x = − 2a; y = − 2a, hàm số đạt cực đại z = CĐ a z′t b Từ điều kiện x + y = ta suy y = − x Vậy z = xy = x (1 − x ) Dễ dàng nhận thấy hàm số x = x (1 − x ) đạt cực đại x = 21 zCĐ = 14 Tuy nhiên lúc tìm hàm số y = y( x ) từ điều kiện ϕ( x, y) = Do tốn tìm cực trị điều kiện khơng phải lúc đưa tốn tìm cực trị tự Trong trường hợp ta dùng phương pháp Lagrange trình bày Định lý 3.29 (Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị điều kiện) Giả sử U tập mở R2 , f : U → R ( x0 , y0 ) điểm cực trị hàm f với điều kiện ϕ( x, y) = Hơn giả thiết rằng: a Các hàm f ( x, y), ϕ( x, y) có đạo hàm riêng liên tục lân cận ( x0 , y0 ) b ∂ϕ ∂y ( x0 , y0 ) = Khi tồn số λ0 với x0 , y0 tạo thành nghiệm hệ phương trình sau (đối với λ, x, y) ∂φ ∂∂xf ( x, y) + λ ∂ϕ =0 ∂x ( x, y) = ∂x ∂φ ∂f ⇔ ∂y ( x, y) + λ ∂ϕ (3.3) ∂y = ∂y ( x, y) = ϕ( x, y) = ∂φ = ∂λ với φ( x, y, λ) = f ( x, y) + λϕ( x, y) gọi hàm Lagrange Định lý điều kiện cần cực trị có ràng buộc Giải hệ phương trình 3.3 ta thu điểm tới hạn Giả sử M( x0 , y0 ) điểm tới hạn ứng với giá trị λ0 Ta có φ( x, y, λ0 ) − φ( x0 , y0 , λ0 ) = f ( x, y) + λ0 ϕ( x, y) − f ( x0 , y0 ) − λ0 ϕ( x0 , y0 ) = f ( x, y) − f ( x0 , y0 ) nên M điểm cực trị hàm số φ( x, y, λ0 ) M điểm cực trị hàm số f ( x, y) với điều kiện ϕ( x, y) = Muốn xét xem M có phải điểm cực trị hàm số φ( x, y, λ0 ) hay khơng ta quay lại sử dụng định lý 3.28 tính vi phân cấp hai d φ ( x , y , λ0 ) = ∂2 φ ∂2 φ ∂2 φ ( x , y , λ ) dx + ( x , y , λ ) dxdy + ( x0 , y0 , λ0 )dy2 0 0 0 ∂x2 ∂x∂y ∂y2 95 96 Chương Hàm số nhiều biến số dx dy liên hệ với hệ thức ∂ϕ ∂ϕ ( x0 , y0 )dx + ( x0 , y0 )dy = ∂x ∂y hay ∂ϕ ∂x dy = − ∂ϕ ( x0 , y0 ) ∂y ( x0 , y0 ) dx Thay biểu thức dy vào d2 φ( x0 , y0 , λ0 ) ta có d2 φ( x0 , y0 , λ0 ) = G ( x0 , y0 , λ0 )dx2 Từ suy • Nếu G ( x0 , y0 , λ0 ) > ( x0 , y0 ) điểm cực tiểu có điều kiện • Nếu G ( x0 , y0 , λ0 ) < ( x0 , y0 ) điểm cực đại có điều kiện Bài tập 3.18 Tìm cực trị có điều kiện hàm số z = Lời giải Xét hàm số Lagrange φ( x, y, λ) = x x + + y1 + λ( x12 + y y2 với điều kiện − ) a2 x2 + y2 = a2 Từ hệ phương trình ∂φ = − x12 − 2λ x3 ∂x ∂φ 2λ ∂y = − y2 − y3 ∂φ = 12 + 12 − 12 = ∂λ x y a √ √ √ √ ta thu điểm tới hạn M1 (a 2, a 2) ứng với λ1 = − √a , M2 (− a 2, − a 2) ứng với λ2 = √a Ta có d2 φ = Từ điều kiện d2 φ ta có x2 ∂2 φ ∂2 φ ∂2 φ dxdy + dx + dy = ∂x∂y ∂x2 ∂y2 + y12 − a2 6λ + x x 6λ + y y dx2 + dy2 = suy − x23 dx − y23 dy = nên dy = − yx3 dx, thay vào biểu thức √ √ • Tại M1 , d2 φ( M1 ) = − 4a23 (dx2 + dy2 ) = − 24a32 (dx2 ) < nên M1 điểm cực đại có điều kiện M2 , d2 φ( M2 ) • Tại kiện = √ (dx2 4a3 + dy2 ) = √ 2 (dx2 ) 4a3 96 > nên M2 điểm cực tiểu có điều Cực trị hàm số nhiều biến số 97 3.3 Giá trị lớn - Giá trị nhỏ Giả sử f : A → R hàm số liên tục tập hợp đóng A R2 Khi đó, f đạt giá trị lớn giá trị nhỏ A Để tìm giá trị ta tìm giá trị hàm số tất điểm dừng miền A điểm đạo hàm riêng khơng tồn tại, sau so sánh giá trị với giá trị hàm biên ∂A A (tức ta phải xét cực trị có điều kiện) Bài tập 3.19 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: a z = x2 y(4 − x − y) hình tam giác giới hạn đường x = 0, y = 0, x + y = b z = sin x + sin y + sin( x + y) hình chữ nhật giới hạn đường x = 0, x = π π , y = 0, y = 97