ỨNG DỤNG ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ

ỨNG DỤNG ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ ỨNG DỤNG ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ I Cơ sở lí thuyết Có nhiều cách giải cho một bài toán cực trị đại số, nhưng ở đây tôi muốn giới[.]

ỨNG DỤNG ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ I Cơ sở lí thuyết: Có nhiều cách giải cho toán cực trị đại số, muốn giới thiệu đến bạn học sinh cách giải khác ứng dụng độ dài đoạn thẳng để giải toán cực trị Hy vọng rằng, em có thêm phương pháp khác (nhất bạn học sinh THCS) để giải dạng tốn - Trước hết xin nhắc lại cơng thức tính độ dài đoạn thẳng AB là: AB = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) , đó: Α ( x1 ; y1 ) ; Β ( x2 ; y2 ) - Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d qua hai điểm A An Một đường gấp khúc liên tiếp gồm n đoạn thẳng mà điểm đầu đoạn thẳng thứ trùng với A 1, điểm cuối đoạn thẳng thứ n trùng với An Thế thì, ta ln có kết sau: Α1Α + Α Α3 + + Α n −2 Α n −1 + Α n −1Α n ≥ Α1Α n Đẳng thức xảy điểm A1, A2, …, An-1, An thuộc đường thẳng d II Một vài toán minh họa: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ (GTNN) hàm số : y = 2x2 − x + + 2x2 − ( ) −1 x + + 2x2 + ( ) +1 x +1 Lời giải Ta biểu diễn hàm số y sau: 2 2   3  1 3  1 y = ( x − ) + ( x − 1) +  x − + x + + x + + x + ÷   ÷  ÷ ÷ ÷ 2 ÷ 2       2 3 Do đó, mặt phẳng toạ độ Oxy xét điểm Α(0;1) ; Β( ; − ) ; C (− ; − ) Μ ( x; x) (bạn dọc tự vẽ hình) Khi đó: y = ΜΑ + ΜΒ + Μ C Dễ kiểm tra AB = AC = BC = ; OA = OB = OC = 2 2 Suy tam giác ABC với tâm gốc tọa độ O Mặt khác: tam giác ABC y = ΜΑ + ΜΒ + Μ C ≥ ΟΑ + ΟΒ + ΟC (Bổ đề tam giác đều) Do đó: y ≥ Đẳng thức xảy Μ ≡ Ο ⇔ x = Vậy y = x = Bài 2: Tìm GTNN hàm số y = x2 + x + + x2 − x + Lời giải 2 2 1  3 1  3   Ta có y =  x + ÷ +  − ÷ + x − + +  ÷  ÷ 2  ÷   ÷      3 1 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét điểm: Ο ( 0;0 ) ; Α  − ; ÷ ÷; Β  ; − ÷ ÷( dễ thấy A, B  2    nằm khác phía trục hồnh điểm A, O, B thẳng hàng) điểm Μ ( x;0 ) Khi y = ΜΑ + ΜΒ ≥ ΑΒ = Đẳng thức xảy Μ ≡ Ο ⇔ x = Vậy y = x = Bài 3: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z ≤ Chứng minh rằng: x2 + 1 + y + + z + ≥ 82 x y z Lời giải Đặt vế trái bất đẳng thức cần chứng minh u, ta chứng minh u ≥ 82 Thật vậy, ta có u = ( 0− ) 2 1  +x− ÷ + x  ( 0− ) 2  1 + y− ÷ + y  ( 0− ) 2 1  +z − ÷ z  Vì vậy, mặt phẳng tọa độ Oxy ta xét điểm :     1 1 1   Ο ( 0;0 ) ; Α1  2; − x ÷; Α  2; − x + − y ÷; Α3  2; − x + − y + − z ÷ x x y x y z       2 2  1 Khi đó: ΟΑ1 = − +  x − ÷ ; Α1Α = − +  y − ÷ ; Α Α3 = − +  z − ÷ x y z    1 1 1 Để ý rằng: − x + − y + − z = + + − ( x + y + z ) x y z x y z 1 = ( + x) + ( + y ) + ( + z ) − 10( x + y + z ) ≥ 18 − 10 = x y z (Áp dụng bất đẳng thức Cô-si x + y + z ≤ ) ( Khi đó, ta ln có ) ( ) u = ΟΑ1 + Α1Α + Α Α3 ≥ ΟΑ3 ≥ ( 2) ( + 82 u ≥ 82 Từ suy đpcm 1  x = 9x  1 = 9y  ⇔x= y=z= Đẳng thức xảy  y 1  = 9z z  x + y + z = Hay : Ta giải tốn cách khác sau: Áp dụng bất đẳng thức a + b2 + c2 + d ≥ ( a + c) +(b+d) với a, b, c, d Đẳng thức xảy ad = bc Do đó: x2 + ( x + y + z) 1 + y2 + + z2 + ≥ x y z 2 1 1 + + + ÷ x y z ( x + y) 2 1 1 +  + ÷ + z2 + ≥ z x y ) Đặt t = ( x + y + z ) 1 1 81 ⇒ < t ≤ Hơn nữa,  + + ÷ ≥  x y z  ( x + y + z) 1 1 81 nên ( x + y + z) +  + + ÷ ≥ t + t x y z 81 Mặt khác, hàm số f (t ) = t + hàm số nghịch biến nửa khoảng ( 0;1] t Do f ( t ) = f ( 1) = 82 1 + y + + z + ≥ f ( t ) ≥ 82 (đpcm) x y z x = y = z ⇔ x= y=z= Đẳng thức xảy  x + y + z = Bài 4: Cho số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Vậy x2 + Chứng minh rằng: x + + y + + z + ≥ 10 Lời giải Đặt u = x + + y + + z + , ta chứng minh u ≥ 10 2 Thật vậy, ta có u = x + 12 + (2 y )2 + 22 + (3 z ) + 32 Vì vậy, mặt phẳng tọa độ Oxy ta xét điểm sau: Ο ( 0;0 ) ; Α1 ( x;1) ; Α ( x + y;3) ; Α3 ( x + y + z = 2;6 ) Khi đó, ΟΑ1 = x + 12 ; Α1Α = (2 y ) + 22 ; Α Α3 = (3 z ) + 32 ; ΟΑ3 = 22 + 62 = 10 ⇒ u = ΟΑ1 + Α1Α + Α Α3 ≥ ΟΑ Hay u ≥ 10 Từ suy đpcm Đẳng thức xảy ⇔ điểm A1, A2 thuộc đường thẳng d qua điểm O A3 Dễ thấy phương trình đường thẳng d là: Y = X (Bạn đọc tự vẽ hình)  x, y , z >  x + y + 3z =  ⇔x= y=z= Điều kiện để A1, A2 thuộc (d) là: 1 = x  3 = ( x + y ) Như vậy, phần nhỏ việc ứng dụng độ dài đoạn thẳng để giải toán cực trị mà Hy vọng rằng, chịu khó để tìm nhiều ứng dụng thú vị khác độ dài đoạn thẳng Chúc bạn thành công Sau xin giới thiệu tập áp dụng Bài tập: a) Cho số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm GTNN hàm số sau : y = x + + y + + z + b) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x2 + x + − x2 − x + = m ĐỖ QUANG MINH (GV THCS Nguyễn Bá Ngọc, An Xuân, Tuy An, Phú Yên) ... việc ứng dụng độ dài đoạn thẳng để giải tốn cực trị mà thơi Hy vọng rằng, chịu khó để tìm nhiều ứng dụng thú vị khác độ dài đoạn thẳng Chúc bạn thành công Sau xin giới thiệu tập áp dụng Bài tập:... x = Vậy y = x = Bài 3: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z ≤ Chứng minh rằng: x2 + 1 + y + + z + ≥ 82 x y z Lời giải Đặt vế trái bất đẳng thức cần chứng minh u, ta chứng minh u ≥ 82 ... Đẳng thức xảy  x + y + z = Bài 4: Cho số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Vậy x2 + Chứng minh rằng: x + + y + + z + ≥ 10 Lời giải Đặt u = x + + y + + z + , ta chứng minh u ≥ 10 2 Thật vậy,