Phßng GD &§T §Ò thi kiÓm tra häc k× II N¨m häc 2007 2008 Phßng GD &§T §Ò thi chän häc sinh giái huyÖn kim b«i HuyÖn Kim B«i N¨m häc 2008 2009 M«n to¸n líp 9 §Ò chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi 150 phót kh[.]
Phòng GD &ĐT Huyện Kim Bôi Đề thi chọn học sinh giỏi huyện kim bôi Năm học 2008-2009 Môn: toán - lớp Đề thức không kể thời gian giao đề Thời gian làm 150 phút ( Đề gồm có 01 trang ) Bài 1: ( điểm ): a/ Cho : x = ( ) ( + + − : 12 b/ Cho : x = TÝnh: A = ( x − x + 1) ) TÝnh: P = x + x − ( 2009 )( 6− 2008 Bài 2: ( 4điểm): a/ Tìm số tự nhiên n để n + n hai số phơng b/ CMR: Với n nguyên dơng ta có ( n + 5n ) M Bµi 3: ( điểm): a/ Tìm 5( x + y + 1) = x + y sè x, y tho¶ mÃn phơng trình: + =2 y x b/ giải hệ phơng trình: 1 y + x =2 c/ Giải phơng trình: x ( x + 1) - ) +1 −1 x ( x − 1) = x Bài 4: ( điểm ) Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc: xyz M= ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) Víi x,y,z > Bµi 5: ( 4,0 điểm) Trong tam giác ABC; trung tuyến AD, BE cắt M; gọi F, G lần lợt trung điểm BM AM a/ Tứ giác DEGF hình ? b/ CMR: góc AMB ≤ 900 th× AC + BC > 3.AB - HÕt - kú thi chän häc sinh giái hun UBND hun kim b«i Phòng Giáo dục đào tạo lớp thCS năm học 2008 - 2009 Môn : toán Đáp án thang điểm: Bi Nội dung Cõu Điể m (3 ®iÓm) a (1,5 ®) x= Ta cã : ⇒ b (1,5 ®) Ta cã : ) + + − : 12 = ( ) P = 16 + − ( x= ⇒ ( 2009 )( 1,0 =1 0,5 ) =2 +1 −1 6− − ( ) A = x − 4x +1 2008 1,0 = ( − 4.2 + 1) 0,5 2008 =1 2008 =1 (4điểm) Để n + n hai số phơng n + = p vµ n − = q ( p, q ∈ N) a ( 2,0 ®) 0,5 ⇒ p − q = ( n + ) − ( n − ) = 13 ⇔ ( p − q ) ( p + q ) = 13 p−q = p = ⇔ p + q = 13 q = Nhng 13 số nguyên tố, nên: Từ n + = p = = 49 suy n = 43 Hc tõ n − = q = 62 ⇒ n = 43 Vậy với n = 43 n + n hai số phơng 1,0 0,5 (n ) + 5n = ( n − 1) n ( n + 1) + 6n 1,0 ( n − 1) n ( n + 1) M2;3 ( tÝch số tự nhiên liên tiếp) mà (2,0đ ( 2;3) = ) ⇒ ( n − 1) n ( n + 1) M6 Mặt khác: 6nM6 ( n + 5n ) = ( n − 1) n ( n + 1) + 6n M6 (®pcm) b 1,0 (6,0 ®iĨm) 5( x + y + 1) = x + y 0,5 ⇔ 5x + y + − x − y = a (2,0®) ⇔ ( 5x ) 9 −6 x + + 5 ( 5y ) −8 y + 16 =0 2 5x − ÷ + 5y − ÷ =0 5 5 ⇔ ( Hc PT b»ng x − ÷ 5 ⇒ x= Ta cã: 0,5 1 ; Y=y x (x,y > 0) X + −Y = Y + − X 0,5 Ta thÊy: NÕu: X > Y th× X + −Y > Y + 2− X NÕu: X < Y th× X + −Y < Y + 2− X VËy: ph¶i cã X = Y Víi X = Y ta cã: X + − X = giải ta đợc X = Y = Điều kiện: C ( 2,0 đ) Ta có : { x ( x +1) ≥0 x ( x −1) ≥0 x ( x + 1) - 0,5 0,5 0,5 0,5 x ( x − 1) = x ⇒ x ( x + 1) + x ( x − 1) − x ( x + 1) ( x − 1) = x ⇒ 1,0 4 + y − ÷ = ) 5 16 ;y= 25 25 Đặt: X = b (2,0đ) x=0 x ( x + 1) ( x − 1) = ⇒ x = − x =1 Thư l¹i thấy thoả mÃn Vậy nghiệm PT 0,5 0,5 0,5 x=0 x = − x =1 Ta cã: x + y ≥ xy ; y + z ≥ yz ; x + z ≥ zx ⇒ xyz ( x + y ) ( y +z ) ( z + x ) VËy: M max = 1,0 xyz = xy yz zx ≤ 1,5 ⇔ x=y=z 0,5 Bµi 5: ( 4,0 ®iĨm) A G N E 0,5 VÏ h×nh ®óng, ghi râ gt,kl M F B C D Chøng minh đợc: Tứ giác DEG F hình bình hành Gọi N giao điểm AF, BG MF = MB = ME hay MF = ME = BF Chỉ đợc: Nếu góc M < 90 AF < AE , (dÊu = gãc M = 900) 1,0 1,0 AN = T¬ng tù: BN = 2 AF < AE = AC 3 2 BG < BD = BC 3 VËy AC + BC > (AN + NB) > 3.AB Chú ý: Học sinh làm cách khác hợp lý cho ®iĨm tèi ®a theo thang ®iĨm quy ®Þnh 1,5 ... - HÕt - kú thi chän häc sinh giái huyÖn UBND huyÖn kim bôi Phòng Giáo dục đào tạo lớp thCS năm học 2008 - 2009... 1,0 AN = T¬ng tù: BN = 2 AF < AE = AC 3 2 BG < BD = BC 3 VËy AC + BC > (AN + NB) > 3.AB Chó ý: Häc sinh lµm cách khác hợp lý cho điểm tối đa theo thang điểm quy định 1,5