Microsoft Word Dinh ly Ptolemy doc 1 ðịnh Lý Ptolemy1 “Ptolemy’s Theorem 2 ” – Dr Kin Yin LI Khoa Toán, ðH Khoa Học và Kỹ Thuật Hong Kong 1 Giới thiệu Nếu cho bốn ñiểm trong mặt phẳng, thì khả năng ch[.]
ðịnh Lý Ptolemy1 “Ptolemy’s Theorem2” – Dr Kin-Yin LI Khoa Toán, ðH Khoa Học Kỹ Thuật Hong Kong Giới thiệu Nếu cho bốn điểm mặt phẳng, khả chúng thẳng hàng thuộc ñường trịn Vì thế, có số điều kiện ñặc biệt cho ñiều xảy Một điều kiện định lý Ptolemy ðịnh lý Ptolemy Cho bốn ñiểm phân biệt A, B, C , D thuộc mặt phẳng Khi AB.CD + AD.BC ≥ AC.BD ðẳng thức xảy A, B, C , D thẳng hàng A, C tương ứng với B, D thuộc đường trịn Một chứng minh đơn giản ñịnh lý sử dụng số phức Giả sử a, b, c, d số phức tương ứng với ñiểm A, B, C , D Vì (b − a)( d − c) +( d − a)(c − b) = (c − a)(d −b) , ñó, sử dụng bất ñẳng thức tam giác, ta có AB.CD + AD.BC = b − a d − c + d − a c − b ≥ c − a d − b = AC.BD Từ bất ñẳng thức tam giác, ta có đẳng thức xảy (b − a)(d − c) = t (d − a)(c − b) , t số thực dương Trong trường hợp này, (d − a) (b − a ) thừa số dương (d − c) (c − b) Do ñó = 1800 − DCB arg {(d − a ) (b − a )} = arg {(d − c) (c − b)} hay DAB Nghĩa A, B, C , D thẳng hàng A, C tương ứng với B, D thuộc đường trịn ðịnh lý Ptolemy có hai hệ quan trọng sau Hệ Cho ABCD tứ giác nội tiếp, với ABC tam giác Khi BD = AD + CD Chứng minh Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên AB.CD + AD.BC = AC.BD Do AB = BC = CA nên từ ñẳng thức ta thu ñược BD = AD + CD Hệ Cho ABCD tứ giác nội tiếp ABC = ADC = 900 Khi BD = AC sin BAD ( ) = AC sin BAC + DAC = ( BC AD + AB.CD ) AC = BD Chứng minh Ta có AC sin BAD Ta nêu số ví dụ minh họa cho việc áp dụng ñịnh lý Ptolemy hệ Một số ví dụ Bài toán [IMO 1995] Cho ABCDEF lục giác lồi có = EFA = 600 AB = BC = CD, DE = EF = FA BCD = 1200 Chứng minh Giả sử G H hai ñiểm bên lục giác cho AGB = DHE AG + GB + GH + DH + HE ≥ CF Lời giải Gọi X , Y ñiểm nằm lục giác cho tam giác ABX , DEY Khi lục giác ABCDEF đồng dạng với DBXAEY CF = XY Ta có + DHE = 1800 AXB + AGB = DYE Do đó, AXBG DHEY tứ giác nội tiếp Sử dụng hệ 1, ta có AG + GB + GH + DH + HE = XG + GH + HY ≥ XY = CF Người dịch: Cao Minh Quang, GV THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long, Việt Nam E-mail: kt13quang@yahoo.com Kin –Yin LI, “Ptolemy’s Theorem”, Mathematical Excalibur, Vol.2, No.4, 1996 Bài tốn [IMO 1996] Cho P điểm nằm tam giác ABC cho APB − ACB = APC − ABC Gọi D , E tâm đường trịn nội tiếp tam giác APB, APC Chứng minh ñường thẳng AP, BD, CE ñồng quy cắt AP Lời giải Ta cần chứng minh đường phân giác góc ABP, ACP ñiểm Gọi X , Y Z chân đường vng góc hạ từ điểm P xuống BC , CA, AB Khi đó, AZPY , BXPZ , CYPX tứ giác nội tiếp Ta có + + APB − ACB = YAP XBP = YZP XZP = YZX Tương tự ta chứng minh ñược APB − ABC = XYZ Từ suy XZ = XY Sử dụng hệ 2, ta có BP sin ABC = XZ = XY = CP sin ACB sin ABC = AB AC hay AB BP = AC CP Do BP CP = sin ACB Từ tính chất đường phân giác, suy BD CE cắt ñiểm thuộc AP Bài tốn [Bất đẳng thức Erdos - Mordell] Cho P ñiểm tam giác ABC d a , d b , d c khoảng cách từ P ñến BC , CA, AB Chứng minh PA + PB + PC ≥ (d a + db + dc ) ðẳng thức xảy ABC tam giác ñều P tâm tam giác Lời giải Gọi X , Y , Z chân đường vng góc hạ từ P xuống BC , CA, AB Sử dụng hệ ñịnh lý sin định lý cosin, ta có = YZ = d + d − 2d d cos (1800 − A) = d + d − 2d d cos ( B + C ) PA sin BAC b c b c b c b c 2 = (db sin C + dc sin B) + (db sin C − d c sin B) ≥ db sin C + dc sin B Suy PA ≥ db sin C + d c sin B Chứng minh tương tự ta có sin A PB ≥ d a sin C + d c sin A d sin B + d b sin A , PC ≥ a sin B sin C Cộng bất ñẳng thức trên, ý x +1 x ≥ với x > , ta ñược sin B sin C + ≥ ( d a + db + d c ) PA + PB + PC ≥ ∑ d a sin C sin B cyc ðẳng thức xảy khi A = B = C d a = db = d c hay ABC tam giác ñều P tâm tam giác Bài toán [IMO 1991] Cho P ñiểm tam giác ABC Chứng minh , PBC , PCA nhỏ 300 góc PAB Lời giải Giả sử khơng có góc ba góc nhỏ 300 Nếu ba góc lớn 1500 hai góc cịn lại nhỏ 300 , mâu thuẫn Do đó, ta giả sử ba góc lớn 300 nhỏ 1500 Gọi d a khoảng cách từ P đến BC , > PB sin 300 = PB 2d = PB sin PBC a Tương tự, ta có 2db > PC , 2d c > PA Cộng bất ñẳng thức này, ta thu ñược (d a + db + dc ) > PA + PB + PC (mâu thuẫn với bất ñẳng thức Erdos – Mordell) , PBC , PCA nhỏ 300 Tóm lại, góc PAB ... sin ACB Từ tính chất đường phân giác, suy BD CE cắt ñiểm thuộc AP Bài tốn [Bất đẳng thức Erdos - Mordell] Cho P ñiểm tam giác ABC d a , d b , d c khoảng cách từ P ñến BC , CA, AB Chứng minh