§Ò thi To¸n 7 Trêng THCS §Þnh T©n §Ò thi To¸n 7 Thêi gian 120’ A/ §Ò bµi C©u 1 ( 1,5 ®iÓm) T×m x, biÕt a/ 4 3x + x = 15 b/ 3 2x − x > 1 c/ 2 3x + ≤ 5 C©u2 ( 2 ®iÓm) a/ TÝnh tæng A= ( 7) + ( 7)2 + + ([.]
Trờng THCS Định Tân Đề thi Toán Thời gian : 120 A/ Đề bài: Câu 1: ( 1,5 điểm) T×m x, biÕt: a/ x + - x = 15 b/ 3x − - x > c/ x + ≤ C©u2: ( ®iĨm) a/ TÝnh tỉng: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 • Chøng minh r»ng: A chia hÕt cho 43 b/ Chøng minh r»ng điều kiện cần đủđể m2 + m.n + n2 chia hÕt cho lµ: m, n chia hÕt cho Câu 3: ( 23,5 điểm) Độ dài cạnh cđa mét tam gi¸c tØ lƯ víi nh thÕ nào,biết cộng lần lợt độ dài hai đờng cao tam giác tổng tỷ lệ theo 3:4:5 Câu 4: ( điểm ) Cho tam giác ABC cân A D điểm n»m tam gi¸c, biÕt ·ADB > ·ADC Chøng minh rằng: DB < DC Câu 5: ( điểm ) T×m GTLN cđa biĨu thøc: A = x − 1004 - x + 1003 Trờng THCS Định Tân B/ Đáp án: Câu 1: ( ý 0,5 điểm ) a/ x + - x = 15 ⇔ x + = x + 15 * Trêng hỵp 1: x ≥ - , ta cã: , ta cã: 4x + = x + 15 * Trêng hỵp 1: x ≥ 3x - > x + ⇒ x = ( TM§K) * Trêng hỵp 2: x < - b/ 3x − - x > ⇔ 3x − > x + ⇒ x> , ta cã: ( TMĐK) * Trờng hợp 2: x < , ta cã: 4x + = - ( x + 15) ⇒ x=- 18 ( TM§K) VËy: x = hc x = < 3x – < - ( x + 1) ( TM§K) VËy: x > hc x ⇒ x< 18 c/ x + ≤ *TH1: x ≥ - , ta cã: 2x + ≤ ⇒ x ≤ Suy ra: - ≤ x ≤ * TH 2: x < - , ta cã: 2x + ≥ -5 ⇒ x ≥ -4 Suy ra: - ≤ x < - C©u 2: a/.Ta cã: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 (1) Nh©n hai vÕ cđa (1) với -7 ta đợc: (- 7).A = (-7)2 + (- 7)3 + … + (- 7)2007 + (- 7)2008 ( 2) Lấy (1) trừ (2), ta đợc: 2 8.A = (- 7) – (-7)2008 [ (- 7) – (-7)2008 Chøng minh: A M43 Suy ra: A = ] * Ta cã: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 , có: 2007 số hạng Nhóm số liên tiếp thành nhóm (đợc 669 nhóm), ta đợc: A=[(- 7) + (-7)2 + (- 7)3] + … + [(- 7)2005 + (- 7)2006 + (7)2007] = (- 7)[1 + (- 7) + (- 7)2] + … + (- 7)2005 [1 + (- 7) + (- 7)2] = (- 7) 43 + … + (- 7)2005 43 = 43.[(- 7) + … + (- 7)2005] M 43 VËy : A M 43 b/ * Điều kiện đủ: Nếu m M n M m2 M 3, mn M n2 M 3, đó: m2+ mn + n2 M * Điều kiện cần: Ta có: m2+ mn + n2 = ( m - n)2 + 3mn (*) NÕu m2+ mn + n2 M th× m2+ mn + n2 M 3, ®ã tõ (*),suy ra: ( m - n)2 M ,do ®ã ( m - n) M v× thÕ ( m - n)2 M 3mn M nên mn M ,do hai số m n chia hÕt cho mµ ( m - n) M nên số m,n chia hết cho Câu 3: Gọi độ dài cạnh tam giác a, b, c ; đờng cao tơng ứng với cạnh , hb , hc Ta cã: (ha +hb) : ( hb + hc ) : ( + hc ) = : : Hay: 1 (ha +hb) = ( hb + hc ) = ( + hc ) = k ,( víi k ≠ 0) Suy ra: (ha +hb) = 3k ; ( hb + hc ) = 4k ; ( + hc ) = 5k Cộng biểu thức trên, ta cã: + hb + hc = 6k Tõ ®ã ta cã: = 2k ; hb =k ; hc = 3k Mặt khác, gọi S diện tích VABC , ta cã: a.ha = b.hb =c.hc ⇒ a.2k = b.k = c.3k ⇒ a b c = = Câu 4: Giả sử DC không lớn DB hay DC ≤ DB · · * NÕu DC = DB VBDC cân D nên DBC = BCD Suy ra: ·ABD = ·ACD Khi ®ã ta cã: VADB = VADC (c_g_c) Do ®ã: ·ADB = ·ADC ( trái với giả thiết) à à * Nếu DC < DB th× VBDC , ta cã DBC < BCD mµ ·ABC = ·ACB suy ra: ·ABD > ·ACD ( ) XÐt VADB vµ VACD cã: AB = AC ; AD chung ; DC < DB (2) · · Suy ra: DAC < DAB Tõ (1) (2) VADB VACD ta lại có ÃADB < ÃADC , điều trái với giả thiết VËy: DC > DB A D B C C©u 5: ( điểm) áp dụng bất đẳng thức: x y ≥ x - y , ta cã: A = x − 1004 - x + 1003 ≤ ( x − 1004) − ( x + 1003) = 2007 VËy GTLN A là: 2007 Dấu = xảy khi: x ≤ -1003 ... (- 7) + ( -7) 2 + … + (- 7) 2006 + (- 7) 20 07 (1) Nhân hai vế (1) với -7 ta đợc: (- 7) .A = ( -7) 2 + (- 7) 3 + … + (- 7) 20 07 + (- 7) 2008 ( 2) LÊy (1) trõ (2), ta đợc: 2 8.A = (- 7) – ( -7) 2008 [ (- 7) ... ( -7) 2 + (- 7) 3] + … + [(- 7) 2005 + (- 7) 2006 + (7) 20 07] = (- 7) [1 + (- 7) + (- 7) 2] + … + (- 7) 2005 [1 + (- 7) + (- 7) 2] = (- 7) 43 + … + (- 7) 2005 43 = 43.[(- 7) + … + (- 7) 2005] M 43 VËy : A M... ( -7) 2008 Chøng minh: A M43 Suy ra: A = ] * Ta cã: A= (- 7) + ( -7) 2 + … + (- 7) 2006 + (- 7) 20 07 , cã: 20 07 sè h¹ng Nhóm số liên tiếp thành nhóm (đợc 669 nhóm), ta đợc: A=[(- 7) + ( -7) 2 + (- 7) 3]