Microsoft Word chu de 1 doc Bộ giáo dục và đào tạo Dự án phát triển giáo viên tiểu học Trần Diên Hiển (Chủ biên) – Bùi Huy Hiền Giáo trình Các tập hợp số tài liệu đào tạo giáo viên Tiểu học trình độ c[.]
Bộ giáo dục đào tạo Dự án phát triển giáo viên tiểu học Trần Diên Hiển (Chủ biên) – Bùi Huy Hiền Giáo trình Các tập hợp số tài liệu đào tạo giáo viên Tiểu học trình độ cao đẳng đại học sư phạm Nhà xuất giáo dục nhà xuất đại học sư phạm c¸c tËp hỵp sè Chịu trách nhiệm xuất bản: Chủ tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc Ngô trần áI Giám đốc đinh ngọc bảo Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập nguyễn quý thao Tổng biên tập Lê a Biên tập nội dung: Lê văn tuấn Thiết kế sách Biên tập mĩ thuật: Phạm Việt Quang Trình bày bìa: Phạm Việt Quang 371 (v) 167/110-05 GD - 05 Mã s: tập hợp số Mc lc Trang Li núi đầu .5 Chủ đề Cấu trúc đại số (Biên soạn: TS Bùi Huy Hiền) Tiểu chủ đề 1.1 Phép tốn hai ngơi Tiểu chủ đề 1.2 Nửa nhóm nhóm 19 Tiểu chủ đề 1.3 Vành trường 36 Thông tin phản hồi cho chủ đề 45 Chủ đề Số tự nhiên 55 (Biên soạn: TS Bùi Huy Hiền – PGS TS Trần Diên Hiển) Tiểu chủ đề 2.1 Bản số tập hợp 57 Tiểu chủ đề 2.2 Số tự nhiên 65 Tiểu chủ đề 2.3 Lí thuyết chia hết tập số tự nhiên 73 Tiểu chủ đề 2.4 Hệ ghi số 87 Tiểu chủ đề 2.5 Nội dung sở toán học việc dạy học số vấn đề số tự nhiên Tiểu học 99 Thông tin phản hồi cho chủ đề 103 Chủ đề Tập số hữu tỉ tập số thực 113 (Biên soạn: PGS TS Trần Diên Hiển) Tiểu chủ đề 3.1 Xây dựng tập số hữu tỉ không âm 114 Tiểu chủ đề 3.2 Các phép toán tập số hữu tỉ không âm 120 Tiểu chủ đề 3.3 Quan hệ thứ tự tập số hữu tỉ không âm 129 Tiểu chủ đề 3.4 Tập số hữu tỉ không âm phân số chương trình mơn Tốn Tiểu học .133 Tiểu chủ đề 3.5 Tập số thập phân không âm .142 Tiểu chủ đề 3.6 Số thập phân chương trình mơn Tốn Tiểu học 152 Tiểu chủ đề 3.7 Tập số hữu tỉ .164 Tiểu chủ đề 3.8 Tập số thực .171 Thông tin phản hồi cho chủ đề 175 Tài liệu tham khảo 178 tập hợp số tập hợp số Li núi ããu gúp phần đổi công tác đào tạo bồi dưỡng giáo viên tiểu học, Dự án Phát triển giáo viên tiểu học tổ chức biên soạn môđun đào tạo theo chương trình Cao đẳng Sư phạm chương trình liên thơng từ Trung học Sư phạm lên Cao đẳng Sư phạm Biên soạn môđun nhằm nâng cao lực chuyên môn, nghiệp vụ, cập nhật đổi nội dung, phương pháp dạy học kiểm tra, đánh giá kết giáo dục tiểu học theo chương trình, sách giáo khoa tiểu học Điểm tài liệu viết theo môđun thiết kế hoạt động, nhằm tích cực hố hoạt động người học, kích thích óc sáng tạo khả giải vấn đề, tự giám sát đánh giá kết học tập người học; trọng sử dụng nhiều phương tiện truyền đạt khác (tài liệu in, băng hình, ) giúp cho người học dễ học, dễ hiểu gây hứng thú học tập Môđun Các tập hợp số nhóm tác giả trường Đại học Sư phạm Hà Nội biên soạn Môđun Các tập hợp số có thời lượng bốn đơn vị học trình, bao gồm chủ đề: Chủ đề 1: Cấu trúc đại số Chủ đề 2: Số tự nhiên Chủ đề 3: Tập số hữu tỉ tập số thực Lần đầu tiên, tài liệu biên soạn theo chương trình phương pháp mới, chắn không tránh khỏi thiếu sót định Ban điều phối Dự án mong nhận ý kiến đóng góp chân thành bạn đọc, đặc biệt đội ngũ giảng viên, sinh viên trường Sư phạm, giáo viên Tiểu học nước Xin trân trọng cảm ơn! DỰ ÁN PHT TRIN GIO VIấN TIU HC tập hợp sè CHỦ ĐỀ Cấu trúc đại số Mục tiêu A Kiến thức – Giúp cho người học nắm vững cấu trúc đại số cấu trúc nửa nhóm, nhóm, vành trường – Trên sở nắm vững cấu trúc trên, tiến tới hình thành ý tưởng để tiếp cận với toán học đại để biết cấu trúc tập hợp số Tiểu học – Giúp người học thấy phát triển không ngừng toán học theo quy luật phát triển từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng từ tư trừu tượng vận dụng vào thực tế B Kĩ – Kiểm tra "phép toán" cho có phép tốn hai ngơi khơng – Kiểm tra tập hợp với phép tốn có nửa nhóm, nhóm, vành, trường hay khơng – Kiểm tra tập cho có nửa nhóm con, nhóm con, vành con, trường hay không – Kiểm tra ánh xạ cho có đồng cấu, đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu hay khơng – Kiểm tra hai nhóm, vành, trường có đẳng cấu với hay khơng C Thái độ – Cần nắm vững định nghĩa xác khái niệm – Có liên hệ với thực tế chương trình Tốn Tiểu học D Giới thiệu chủ đề STT Tên tiểu chủ đề Phép toán hai ngơi Nửa nhóm nhóm 19 Vành trường 36 Mối quan hệ tiểu chủ đề tồn chủ đề: Trang c¸c tËp hỵp sè + Tiểu chủ đề 1: Là phần chuẩn bị kiến thức phép toán hai ngơi tính chất chúng, dùng để xây dựng cấu trúc đại số tiểu chủ đề + Tiểu chủ đề 2: Giới thiệu hai cấu trúc đại số nửa nhóm nhóm, tập hợp trang bị phép tốn hai ngơi + Tiểu chủ đề 3: Xây dựng cấu trúc đại số tập hợp có trang bị hai phép tốn hai ngơi Những cấu trúc đại số đặc biệt so với cấu trúc đại số tiểu chủ đề Cả hai tiểu chủ đề có gắn kết chặt chẽ với nhau, có dàn giống nờn ngi c d theo dừi tập hợp sè Tiểu chủ đề 1.1 Phép tốn hai ngơi Thơng tin 1.1.1 Nhắc lại khái niệm ánh xạ 1.1.1.1 Định nghĩa f Cho hai tập hợp X Y Một ánh xạ từ X đến Y, kí hiệu f: X → Y X ⎯⎯→ Y , quy tắc đặt tương ứng phần tử x ∈ X phần tử y ∈ Y Phần tử y gọi ảnh x qua ánh xạ f kí hiệu y = f(x) Tập hợp X gọi tập nguồn hay tập xác định f; tập Y gọi tập đích f Chú ý Nhiều để rõ quy tắc ánh xạ f từ X đến Y ta cịn dùng kí hiệu sau đây: f: X → Y xa xa f(x) f(x) rõ quy tắc cho biết ảnh phần tử x qua ánh xạ f Cho f g hai ánh xạ từ tập X đến tập Y Ta nói ánh xạ f ánh xạ g, kí hiệu f = g, với x ∈ X f(x) = g(x) Ví dụ 1.1: Nhiều hàm số mà ta gặp chương trình tốn phổ thơng ánh xạ từ tập tập số thực R đến R Chẳng hạn: – Cho a, b hai số thực bất kì, a ≠ Tương quan hàm số bậc y = ax + b ánh xạ từ R đến R Nú đặt tương ứng x ∈ R s? y = ax + b ∈ R f: R → R xa f(x) = ax + b – Tương tự ta có ánh xạ sau: g: R → R xa g(x) = x2 + 2x + h: R → R xa 10x l: R+ → R, R+ tập số thực dương xa lgx 1.1.1.2 ảnh tạo ảnh Cho f: X → Y ánh xạ từ tập X đến tập Y A tập X B tập Y Tập f(A) = {y ∈ Y | ∃a ∈ A, f (a) = y} gọi ảnh tập A qua ánh xạ f tập hợp số Tp f1(B) = {x X | f(x) ∈ B} gọi tạo ảnh tập B qua ánh xạ f 1.1.1.3 ánh xạ mở rộng, ánh xạ thu hẹp Cho f: X → Y ánh xạ từ X đến Y A tập X, ta có ánh xạ g: A → Y xác định ∀a ∈ A, g(a) = f(a) g gọi ánh xạ thu hẹp f tập A, kí hiệu g = f A ; f gọi ánh xạ mở rộng g Nếu B tập Y cho với a ∈ A, f(a) ∈ B ta có ánh xạ f : A → B xác định ∀a ∈ A, f (a) = f(a) ∈ B f gọi ánh xạ cảm sinh ánh xạ f cách thu hẹp nguồn A đích B Ví dụ 1.2: Cho f: R → R x a x2 + 2x + Z tập số nguyên, ta có ánh xạ thu hẹp f Z là: f Z: Z → R xa x2 + 2x + ta có ánh xạ cảm sinh f: f : Z → Q, xa Q tập số hữu tỉ x2 + 2x + 1.1.1.4 Đơn ánh, toàn ánh song ánh Định nghĩa 1.1 Cho f ánh xạ từ tập X đến tập Y – f gọi đơn ánh với x1, x2 thuộc X, f(x1) = f(x2) kéo theo x1 = x2 – f gọi toàn ánh f(X) = Y, tức với y ∈ Y tồn x ∈ X cho f(x) = y – Nếu f vừa đơn ánh, vừa toàn ánh f gọi song ánh Nếu f song ánh từ X đến Y f có ánh xạ ngược từ Y đến X xác định bởi: f–1: Y → X ya x với y = f(x) 1.1.1.5 Hợp thành hai ánh xạ Định nghĩa 1.2 Cho f ánh xạ từ X đến Y g ánh xạ từ Y đến Z Khi ta có ánh xạ h từ X đến Z xác định quy tắc ∀x ∈ X, h(x) = g(f(x)) h gọi hợp thành f g; kí hiệu h = gf h = g.f (h gọi tích hai ánh xạ f g) Định lí 1.1 Cho hai ánh xạ f: X → Y; g: Y Z tập hợp số (i) Nếu f g hai đơn ánh gf đơn ánh; (ii) Nếu f g hai tồn ánh gf tồn ánh; (iii) Nếu f g hai song ánh gf song ánh Định lí 1.2 Cho ba ánh xạ f: X → Y, g: Y → Z, h: Z → W (hg)f = h(gf) 1.1.1.6 Tích Descartes hai tập hợp Cho X Y hai tập hợp Tập hợp tất cặp (x; y) x ∈ X, y ∈ Y gọi tích Descartes X Y, kí hiệu X × Y Chú ý hai cặp (x; y) (x'; y') x = x' y = y' Ví dụ 1.3: 1) Tập điểm mặt phẳng tọa độ Descartes tích Descartes tập số thực R R 2) Cho Z tập số nguyên, Z × Z = {(a; b) | a ∈ Z, b ∈ Z} T?p Z × Z cú th? coi tập điểm có tọa độ nguyên mặt phẳng tọa độ Descartes 1.1.2 Phép tốn hai ngơi 1.1.2.1 Định nghĩa Cho X tập khác rỗng Một phép tốn hai ngơi tập X ánh xạ T: X × X → X (a; b) a aTb Phần tử aTb ∈ X gọi hợp thành hay gọi kết phép toán T thực hai phần tử a b Như vậy, phép tốn hai ngơi T tập hợp X quy tắc đặt tương ứng cặp phần tử (a; b) thuộc X × X phần tử xác định aTb thuộc X Ví dụ 1.4: 1) Phép cộng thơng thường số phép tốn hai ngơi tập N số tự nhiên, tập Z số nguyên, tập Q số hữu tỉ tập R số thực 2) Phép nhân thông thường số phép tốn hai ngơi tập N số tự nhiên,… 3) Cho tập N* số tự nhiên khác ánh xạ *: N* × N* → N* (a; b) a a * b = ab phép tốn hai ngơi tập số tự nhiên khác 4) Cho tập Z số nguyên, phép trừ phép tốn hai ngơi Z, ta có ánh xạ T: Z × Z → Z (a; b) a a – b 10 ... mặt phẳng tọa độ Descartes tích Descartes tập số thực R R 2) Cho Z tập số nguyên, Z × Z = {(a; b) | a ∈ Z, b ∈ Z} T?p Z × Z cú th? coi tập điểm có tọa độ nguyên mặt phẳng tọa độ Descartes 1.1.2... X → Y, g: Y → Z, h: Z → W (hg)f = h(gf) 1.1.1.6 Tích Descartes hai tập hợp Cho X Y hai tập hợp Tập hợp tất cặp (x; y) x ∈ X, y ∈ Y gọi tích Descartes X Y, kí hiệu X × Y Chú ý hai cặp (x; y) (x'';... Thiết kế sách Biên tập mĩ thuật: Phạm Việt Quang Trình bày bìa: Phạm Việt Quang 371 (v) 167/11 0-0 5 GD - 05 Mó s: tập hợp số Mc lc Trang Lời nói đầu .5 Chủ đề Cấu trúc đại số