Ph¬ng ph¸p lîng gi¸c ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè Ph¬ng ph¸p lîng gi¸c ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè LÊ XUÂN ĐẠI (GV Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học,[.]
Phơng pháp lợng giác để chứng minh bất đẳng thức ®¹i sè LÊ XUÂN ĐẠI (GV Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Trong đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng, gặp nhiều toán chứng minh bất đẳng thức (BĐT) đại số Và tốn thuộc dạng khó với thí sinh Để giúp em có cách nhìn phong phú phương pháp chứng minh BĐT, xin giới thiệu thêm phương pháp lượng giác để chứng minh BĐT đại số mà sở xuất phát chúng bắt nguồn từ BĐT quen biết tam giác Do khuôn khổ viết nên kết BĐT tam giác không chứng minh lại Sau đây, xin đưa số dạng tốn điển hình thể cho phương pháp Dạng 1: Trong BĐT có giả thiết “x,y,z số dương thoả mãn x+y+z= xyz ” Khi tồn tam giác nhọn ABC cho x=tanA; y=tanB; z=tanC π Thật vậy, tồn A , B, C ∈ 0; ÷ cho x=tanA; y=tanB; z=tanC 2 Từ x + y + z = xyz ⇒ z = x+ y xy − ⇒ tan C = − tan( A + B) ⇒ A + B + C = π Thí dụ Cho x,y,z số thực dương thoả mãn điều kiện x+y+z=xyz x Chứng minh Lời giải Ta có x 1+ x 1+ x = y + 1+ y z + 1+ z ≤ 3 y tan A = sin A Tương tự + tan A Khi BĐT cần chứng minh ⇔ sin A + sin B + sin C ≤ z = sin B 1+ y 3 2 1+ z = sin C (đây BĐT tam giác) Bài toán chứng minh Đẳng thức xảy tam giác ABC đều, hay x = y = z = * Để ý thêm 1+ x = + tan A = cosA cosA + cosB + cosC ≤ , nên ta có tốn sau: Thí dụ Cho x,y,z số thực dương thoả mãn điều kiện x+y+z=xyz Chứng minh 1+ x + 1+ y + 1+ z ≤ Dạng 2: Trong BĐT có giả thiết “x,y,z số dương thoả mãn xy+yz+zx= ” Khi tồn tam giác ABC cho x = tan A B , y = tan , z = tan C (HS tự chứng minh) Thí dụ Cho số thực dương x,y,z thoả mãn xy+yz+xz=1 Chứng minh x y z 3 + + ≤ 2 1+ x 1+ y 1+ z Lời giải Ta có x 1+ x + y 1+ y + z = sin 1+ z A B C 3 + sin + sin ≤ 2 Đẳng thức xảy x = y = z = (đpcm) Thí dụ Cho x,y,z dương thỏa mãn điều kiện x+y+z=1 Chứng minh rằng: xy + xy + z Lời giải Viết lại giả thiết sau: Tồn tam giác ABC cho: Lúc xy xy + z = xy z = xy +1 z yz x yz yz + x xy z xz y = tan xz + xz + y xy + z yz ≤ x xz + y yz x = (*) A xz B xy C ; = tan ; = tan 2 y z 2C = sin C 2C tan +1 tan Cùng với BĐT tam giác sin A + sin B + sin C ≤ , ta suy đpcm Nhận xét: Mấu chốt lời giải đưa giả thiết x+y+z=1 dạng (*) Cùng với ý tưởng ta giải toán sau: Thí dụ Cho x,y,z dương thỏa mãn điều kiện x+y+z=1 Tìm giá trị lớn biểu thức P = x x + yz + y y + xz + xyz z + xy Lời giải Với phép đổi biến thí dụ 4, ta biến đổi P sau: xy P= Ta có 1 z = cos A + cos B + sin C = + (cos A + cos B + sin C) + + yz xz xy 2 2 1+ 1+ 1+ x y z cos A + cos B + sin C + sin A+B π ≤ 2cos + 2cos C− π ≤ 4cos A+B+C− π = 4cos π = 1 3 3 Do P ≤ + − ÷ = + Đẳng thức xảy A = B, C + π =π⇔A=B= Dễ thấy x = y = − 3, z = − Vậy P = + π ,C = 3 2π Thí dụ Cho số dương a,b,c thoả mãn điều kiện abc+a+c=b Chứng minh 2 a +1 Lời giải Từ giả thiết suy ac + ; = tan B ; c = tan C b + c b 10 + ≤ 2 b +1 c +1 = , nên tồn tam giác ABC cho 2B 2C + 3cos b 2 2 2 C A−B 10 C A − B A − B 2C P = −3sin + 2sin cos + = −3 sin − cos +3≤ ÷ + cos 2 2 a = tan A a − Khi P = 2cos2 C A−B sin − cos = A = B 10 ⇔ C P= ⇔ A − B cos2 sin = =1 A − 2sin Khi a = ; b= ; c= 2 2 Dạng 3: Trong BĐT có giả thiết “x,y,z số dương thoả mãn x2 + y2 + z2 + 2xyz=1 ” Khi tồn tam giác nhọn ABC cho x = cosA; y=cosB; z=cosC (HS tự chứng minh) Thí dụ Cho số dương x,y,z thoả mãn x2 + y2 + z2 + 2xyz=1 a) Chứng minh rằng: xy + yz + xz ≤ 1 2 − (x + y + z ) 2 1− y 1− z Lời giải Tồn tam giác nhọn ABC cho x = cosA; y=cosB; z=cosC b) Tìm giá trị nhỏ P = 1− x − + 2 a) Ta có xy + yz + xz ≤ (x + y + z) = (cos A + cos B + cos C) ≤ (đpcm) b) P = 1 2 + + + (sin A + sin B + sin C) − 2 sin A sin B sin C Ta có: sin A + sin B + sin C ≤ Áp dụng BĐT cô si: sin A + 1 + ≥4 2 sin B sin C 13 + sin A ≥ , BĐT tương tự ta suy P ≥ 16sin A Đẳng thức xảy x=y=z=1/2 Vậy P = 13 Dạng 4: Một số dạng giả thiết khác Thí dụ Cho a , b, c ∈ (0;1) Chứng minh rằng: abc + (1 − a)(1 − b)(1 − c) < π 2 2 Lời giải Đặt a = sin x, b = sin y, c = sin z; x, y, z ∈ 0; ÷ Vế trái BĐT trở thành P = sin x.sin y.sin z + cos x.cos y.cos z Ta có P < sin x.sin y + cos x.cos y = cos(x − y) ≤ , suy đpcm Thí dụ Cho a,b,c,d dương thoả mãn 1 1 + + + =1 4 4 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d Chứng minh abcd ≥ π Lời giải Đặt a2 = tan x; b2 = tan y; c2 = tan z; d2 = tan z , x, y, z, t ∈ 0; ÷ 2 Giả thiết cho trở thành cos2 x + cos2 y + cos2z + cos2t = Áp dụng BĐT Côsi cho số thực dương ta 2 2 23 23 sin x = − cos x=cos y + cos z + cos t ≥ 3( cosy.cosz.cost) Suy sin x ≥ 3( cosy.cosz.cost) Nhân vế BĐT tương tự ta được: 2 2 (s inx.sin y.sinz.sint) ≥ ( cosx.cosy.cosz.cost) ⇔ tan x.tan y.tan z.tan t ≥ hay lµ abcd ≥ Cuối xin đưa số tập cho bạn luyện tập Bài Cho số thực dương x,y,z thoả mãn x+y+z =xyz Chứng minh ( x − 1)( y − 1)( z − 1) ≤ − 10 Bài 2: Cho số thực dương x,y,z dương thỏa mãn x2 + y2 + z2 + 2xyz=1 Chứng minh a) xyz ≤ b) x + y + z ≥ Bài 3: Cho a,b,c thuộc khoảng (0;1) thỏa mãn ab+bc+ca=1 Chứng minh a 1− a + b 1− b + c 1− c ≥ 1− a a + 1− b b + 1− c c ÷ ÷ Bài Cho số dương a,b,c thoả mãn 2009ac+ab+bc=2009 Tìm giá trị lớn 2 2b P= − + 2 a + b + 2009 c +1 Email: lexuandaicvp@gmail.com; DT: 0912960417 ... tam giác ABC cho x = tan A B , y = tan , z = tan C (HS tự chứng minh) Thí dụ Cho số thực dương x,y,z thoả mãn xy+yz+xz=1 Chứng minh x y z 3 + + ≤ 2 1+ x 1+ y 1+ z Lời giải Ta có x 1+ x + y 1+... tam giác nhọn ABC cho x = cosA; y=cosB; z=cosC (HS tự chứng minh) Thí dụ Cho số dương x,y,z thoả mãn x2 + y2 + z2 + 2xyz=1 a) Chứng minh rằng: xy + yz + xz ≤ 1 2 − (x + y + z ) 2 1− y 1− z Lời... thực dương x,y,z thoả mãn x+y+z =xyz Chứng minh ( x − 1)( y − 1)( z − 1) ≤ − 10 Bài 2: Cho số thực dương x,y,z dương thỏa mãn x2 + y2 + z2 + 2xyz=1 Chứng minh a) xyz ≤ b) x + y + z ≥ Bài 3: Cho