Đề Thi Thử vào 10 ĐHKHTN Năm 2011 Môn : Toán docx

1 Cho n là số nguyên dương và d là một ước nguyên dương của 3n.. 1 Chứng minh rằng tứ giác DEMN là tứ giác nội tiếp.. 3 Chứng minh rằng tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác DEMN thuộc m

Trang 1

Tài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmath

Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Đề Thi Thử Lớp 9 Năm 2011

Trường THPT Chuyên KHTN Môn : Toán (Vòng 2-Đợt 3)

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1

1) Giải phương trình

3x 7x 2 4 3x 1  x2 4x 2

2) Giải hệ phương trình

xyz y 2 yz

xyz z 3 2xz

xyz x 1 3xy

  





  



   



Câu 2

1) Cho n là số nguyên dương và d là một ước nguyên dương của 3n Chứng minh rằng 2 n2 d

là số chính phương khi và chỉ khi 2

d3n

2) Với các số a, b, c thỏa mãn điều kiện 2 2 2  

a b 4c ab 3 5c ab Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pabbc ca

Câu 3 Cho đường tròn (O) đường kính AB Đường thẳng d tiếp xúc với (O) tại A I là một điểm

cố định trên đoạn AB DE là dây cung thay đổi của (O) luôn qua I BD, BE cắt d lần lượt tại M,

N

1) Chứng minh rằng tứ giác DEMN là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh rằng AM.AN không đổi

3) Chứng minh rằng tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác DEMN thuộc một đường thẳng cố định

Câu 4 Trên đường tròn có 25 vị trí được viết các số gồm 12 số 1 và 13 số -1 Mỗi bước ta thực

hiện như sau: Với mỗi hai cặp số ở vị trí kề nhau trên đường tròn, ta tính tổng giá trị của chúng

và viết số vừa tính vào giữa hai số kề nhau đó trên đường tròn; sau đó xóa tất cả 25 số ban đầu

ta thu được 25 số mới Chứng minh rằng sau 100 bước, một trong các số trên đường tròn có giá trị nhỏ hơn 1028

Trang 2

Giải Câu 1

1) Giải phương trình

3x 7x 2 4 3x 1  x2 4x 2

Đk : x 1

3

 

Đặt 3x 1 a; x2 b

Ta có

ab 4 a b 2 a b a b ab 4 2a 2b 0

a b a 2 b 2 0

 Với a b 3x 1 x 2 3x 1 x 2 x 1

2

 Với a2 3x 1 2x 1

 Với b2 x22x2

Vậy nghiệm của phương trình là x 1; x 1; x 2

2

2) Giải hệ phương trình

xyz y 2 yz

xyz z 3 2xz

xyz x 1 3xy

z 3 xz 2 y x 1 y 2 z 3 x y z 1 0 y 2

z 3

x 1 xy 3 z

  





  



   



Vậy nghiệm của hệ phương trình là

x 1

y 2

z 3











 



Trang 3

Câu 2

1) Cho n là số nguyên dương và d là một ước nguyên dương của 3n Chứng minh rằng 2 2

n  d

là số chính phương khi và chỉ khi d3n2

 Nếu 2

d3n thì ta có n2 d 4n2 là số chính phương

 Nếu 2

n  là số chính phương Ta giả sử d 2 2

n  d a

Nếu d và n không có ước chung ngyên tố thì d 1

d 3





 



từ đó ta có n1; d thỏa mãn 3 d3n2

Nếu d và n có ước chung nguyên tố là k thì a k từ đó 2 2

n ;d;a đều chia hết cho k , từ đó ta rút 2 gọn sẽ được phương trình n02d0 a02 với d và 0 n không có ước chung nguyên tố từ đó suy 0

ra n0 1; d0  Từ đó nếu 3 2

n  là số chính phương thì d 2

d3n

2) Với các số a, b, c thỏa mãn điều kiện 2 2 2  

a b 4c ab 3 5c ab Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pabbc ca

Ta có

2

a b 4c ab 3 5c a b a b 4c a b 4c 3 ab bc ca

a b c 3 ab bc ca

ab bc ca 3

Dấu bằng xảy ra khi abc

Câu 3

Trang 4

1) Ta có EDBEAB (góc nội tiếp cùng chắn một cung)

EABANE(cùng phụ với NAE ) Từ đó EDBANE, nên tứ giác DEMN là tứ giác nội tiếp 2) Giả sử đường tròn qua D, E, M, N cắt đoạn AB tại H và cắt tia đối của tia AB tại K

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có AB2 BE.BN, do tứ giác HENK là tứ giác nội tiếp nên BE.BNBH.BK Từ đó ta có :BH.BKBA2

Tứ giác ADBE là tứ giác nội tiếp nên ID.IEIA.IB

Tứ giác DHEK là tứ giác nội tiếp nên ID.IEIH.IK Từ đó ta có IH.IKIA.IB

IH.IK IA.IB BI BH BK BI

Trang 5

2

1 AB.BI x IA.IB BI AB

x 1 AB.BI x AB BI AB

x AB

BI

     

Phương trình này có hai nghiệm dương phân biệt có tích là 1, do x BH

BA

 nên có duy nhất x thỏa mãn bài toán Từ đó ta có H, K cố định

Do tứ giác KMHN nội tiếp nên AM.ANAH.AK không đổi

3) Tâm đường tròn ngoại tiếp DEMN luôn thuộc trung trực của HK không đổi

Câu 4 Sau bước 1 tổng của 25 số gấp đôi tổng của 25 số ban đầu nên tổng của chúng là -2 Cứ

như vậy, sau 100 bước tổng của 25 số trên đường tròn là 2100, trong 25 số phải có số bé hơn 100

2

25



Ta chứng minh

100

2

10 2 25.10 25



Ta có 100 92  10 9  3 9 28

2 256.2 250 2 250 10 25.10 Từ đó ta có đpcm

Định dạng
Số trang	5
Dung lượng	181,19 KB