Chng III Nguyªn hµm vµ tÝch ph©n Gi¸o ¸n Gi¶i tÝch 12 Vò ThÞ Ph¬ng Thuú Ch ¬ng III Nguyªn hµm vµ tÝch ph©n §1 nguyªn hµm TiÕt theo PPCT 253 > 256 TuÇn d¹y I Môc ®Ých, yªu cÇu HS n¾m v÷ng ®Þnh nghÜa n[.]
Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phơng Thuỳ Nguyên hàm tích phân Chơng III: Đ1: nguyên hàm Tiết theo PPCT : 253 -> 256 Tuần dạy : I - Mục đích, yêu cầu: HS nắm vững định nghĩa nguyên hàm hàm số, định lý, tính chất nguyên hàm, bảng nguyên hàm HS biết cách tìm nguyên hàm hàm số II - Tiến hành: Hoạt động GV Hoạt ®éng cđa HS A- ỉn ®Þnh líp, kiĨm tra sÜ số B - Giảng mới: GV nhắc lại vấn đề tổng quát: Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a; b), tìm hàm số F(x) cho khoảng đó: F'(x) = f(x) GV nêu khẳng định: Hàm số F(x) nói đợc gọi nguyên hàm hàm số f(x) yêu cầu học sinh hÃy nêu định nghĩa nguyên hàm GV xác hoá 1) Định nghĩa: Hàm số F(x) đợc gọi nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a; b) với mäi x(a; b) ta cã: F'(x) = f(x) NÕu thay cho khoảng (a; b) đoạn [a; b] phải có thêm: F'(a+) = f(a) F'(b-) = f(b) GV đặt câu hỏi: * Tìm hàm số nguyên hàm hàm số y = 2x HS đọc phần nêu vấn đề SGK(111) HS phát biểu định nghĩa HS theo dõi ghi chép HS suy nghĩ trả lời * y = x2 Hoạt động GV Hoạt ®éng cđa HS * Hµm sè y = x + 11 có phải nguyên hàm * Có y = 2x không? * Tìm nguyên hàm hàm số y x R*+ 66 * y x Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phơng Thuỳ * Hàm số y x 0, 05 có phải nguyên * Có hàm y x R*+ không? * Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a; b) : F(x) + C nguyên hàm f(x), C = const Thật vậy: (F(x) + C)' = F'(x) + = f(x) * Giả sử G(x) nguyên * Điều ngợc lại có không? Nêu cách hàm f(x) ta phải chứng minh chứng minh điều ngợc lại G(x) = F(x) + C hay G(x) - F(x) = C GV gợi ý: Rõ ràng (G(x) - F(x))' = f(x) - f(x) với C = const =0 nên ta phải chứng minh bổ đề HS chứng minh bổ đề dựa vào định Bổ đề: Nếu F'(x) = khoảng (a; b) lý Lagrăng (SGK - 113) F(x) không đổi khoảng GV tổng hợp xác hoá thành định lý: * Từ hÃy tổng quát thành tính chất chung chứng minh Định lý: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a; b) : + C = const có F(x) + C nguyên hàm f(x) + Ngợc lại, nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a; b) viết dới dạng F(x) + C víi C = const Hay ta nãi: {F(x) + C, C R} họ HS theo dâi vµ ghi chÐp HS tù rót nhËn xÐt: muốn tìm tất nguyên hàm hàm số f(x) ta cần tìm nguyên hàm nguyên hàm khác suy đợc cách cộng vào số nguyên hàm f(x) Kí hiệu là: f ( x) dx đọc tích phân bất định f(x) Vậy: f ( x)dx F ( x ) C F '( x) f ( x) (*) DÊu gọi dấu tích phân, f(x)dx gọi biểu thức dới dấu tích phân vi phân nguyên hàm F(x) f(x) : dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx Hoạt động GV Ví dụ: 1) 2) 2xdx x x Hoạt động HS C dx x C C¸c tÝnh chÊt nguyên hàm: GV đặt câu hỏi để dẫn đến tính chất * Từ (*) cho biết HS nêu chứng minh tính chất ' f ( x)dx ? * §· biÕt (aF(x))' = aF'(x) = af(x) VËy 67 ' * f ( x)dx * af ( x)dx a f ( x)dx f ( x) (a 0) Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phơng Thuỳ Thật vậy: af ( x)dx ? víi a a f ( x)dx a( F ( x) C ) aF ( x) aC mµ aF ( x) ' aF '( x) af ( x) const nên đpcm aC = af ( x)dx aF ( x) aC * §· biÕt (F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) VËy * f ( x) g ( x) dx ? f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx Chøng minh t¬ng tù * Đà biết (F(u(x)))' = F'(u).u'(x) Vậy GV bổ sung: VËy nÕu th× * f (u ( x))u '( x)dx ? Hiển nhiên F'(t) = f(t) nên (F(u(x)))' = F'(u).u'(x) = f(u).u'(x) = f(u(x)).u'(x) ®pcm f (t )dt F (t ) C f (u )du F (u) C f (t )dt F (t ) C f (u ( x))u '( x)dx F (u ( x)) C víi u = u(x) Sự tồn nguyên hàm: GV nêu định lý, cho HS thõa nhËn: HS theo dâi vµ ghi chÐp Định lý: Mọi hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] có nguyên hàm đoạn GV nêu quy ớc: Từ xét hàm số liên tục Hoạt động GV Hoạt động HS Bảng nguyên hàm: GV hớng dẫn HS từ đạo hàm suy HS tìm đạo hàm hàm số sơ nguyên hàm hàm số sơ cấp (và cấp dới hớng dẫn GV hàm số hợp) tơng ứng * (x)' = ? dx ? * dx x C 1 * x dx x C ( 1) 1 * (x) = ? x dx ? * (ln/x/)' = ? ? dx x * ln | x | C ( x 0) * (ex)' = ? ? * e x dx e x C * (ax)' = ? ? x * a x dx a C (0 a 1) ln a * (sinx)' = ? ? * cos xdx sin x C * (cosx)' = ? ? 68 Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phơng Thuỳ * (tgx)' = ? ? * sin xdx cos x C * (cotgx)' = ? ? * dx tgx C cos x dx C - Lun tËp - Cđng cè: * co tgx C sin x áp dụng: GV nêu ví dụ hớng dẫn HS tính nguyên hàm *Ví dụ 1: F(x) = x x dx x HS giải ví dụ F ( x ) 4 x dx xdx dx x dx 4 x dx 5xdx x x x 4 ln | x | C x x ln | x | C 3 *VÝ dô 2: F(x) = 2cos x dx sin x dx F ( x ) 2cos xdx 3 sin x 2 sin x 3co tgx C Hoạt động GV *VÝ dô 3: F(x) = x x Hoạt động HS 2 x x 16 dx F ( x ) x x 6 16 3 8x 3 dx 16 x dx x dx 8x dx 16 x dx 16 1 1 1 x x x 8 16 C 16 1 1 1 3 19 10 24 x3 x 48 x C 19 10 *VÝ dô 4: F(x) = cotgx 3sin x 1 dx *VÝ dô 5: F(x) = cos xdx F ( x ) sin x 1 d x 1 sin x d sin x sin x 1 d x 1 sin x ln | sin x | cos(2 x 1) C 2 x e xdx 69 Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phơng Thuỳ x2 e d x2 2 e x C F ( x) x dx *VÝ dô 6: F(x) = 1 x 3 F ( x) (1 x ) d (1 x ) 3 1 (1 x ) C 1 (1 x ) C D - Chữa tập: Đề Đáp số Bài (118) Tìm nguyên hàm hàm sè: a ) f ( x) x x b) f ( x ) x x c) f ( x) 1 x x x d ) f ( x) x 1 x a ) F ( x) x b) F ( x ) x x 1 x ln | x | C 23 x C 23 c ) F ( x ) 2 x x C d ) F ( x) x x C Bµi 2(118) Tìm nguyên hàm hàm số: a) f ( x) e x e x a) F ( x ) e x x C e x b) f ( x) e cos x b) F ( x ) 2e x tgx C x a x 23 c) F ( x) 2 x C ln a 2x 3x d ) F ( x) C ln ln x c) f ( x) 2a x d ) f ( x) 2 x x Bµi 3(118) TÝnh: 20 a) x 1 b) cos ax b dx c) x a) dx (a 0) b) c) x 5dx 70 21 x 1 C 42 sin ax b C a x3 5 C Giáo án : Giải tích 12 xdx x a d) e) tgxdx e sin xdx 2 x h) ln x x d) ln | x a | C e) ln | cos x | C g) 3cos x g) i) Vị ThÞ Ph¬ng Thuú h) xdx i) dx 3cos x e C 3 2 x C ln x C Đ2: Tích phân Tiết theo PPCT : 257 -> 261 Tuần dạy : I - Mục đích, yêu cầu: HS hiểu toán tính diện tích hình thang cong, nắm vững định nghĩa tích phân, tính chất tích phân HS biết cách tính số tích phân đơn giản II - Tiến hành: Hoạt động GV Hoạt động HS A- ổn định lớp, kiểm tra sĩ số B - Kiểm tra cũ: Tính nguyên hàm sau: e2 x a) e x dx x b) sin 3x dx c) cos x sin x cos xdx d) §¸p sè: x 23 a) e x C 2 b) cos 3x C 5 1 c) cos x sin x sin x cos x C d ) cotg x5 C 7 x dx 2 5 sin x C - Giảng míi: DiƯn tÝch h×nh thang cong: GV giíi thiƯu khái niệm tam giác cong, 71 Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phơng Thuỳ hình thang cong toán tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng cong HS theo dõi ghi chép GV nêu toán Bài toán: Tính diện tích hình thang cong aABb, đợc giới hạn đồ thị hàm số liên tục y = f(x), f(x) 0, trục Ox hai đờng thẳng x = a, x = b Hoạt động GV b f ( x)dx F ( x) b a F (b ) F (a ) a 72 Hoạt động HS Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phơng Thuỳ GV hớng dẫn HS giải toán (SGK trang120 -> 122) GV: toán nội dung định lý sau Nêu định lý ĐL: Giả sử y = f(x) hàm số liên tục f(x) đoạn [a; b] Thế diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số đó, trục Ox hai đờng thẳng x = a, x = b lµ: S = F(b) - F(a) , F(x) nguyên hàm f(x) đoạn [a; b] HS theo dõi ghi chép Định nghĩa tích phân: GV nêu định nghĩa ĐN: Giả sử f(x) hàm số liên tục khoảng K, a b hai phần tử K, F(x) nguyên hàm f(x) K Hiệu số F(b) - F(a) đợc gọi tích phân từ a HS theo dõi ghi chép b đến b f(x) đợc ký hiệu f ( x)dx Ta a b ký hiÖu: F ( x) F (b) F ( a) a VËy: (1) b b dx Fthøc ( x ) Newton F (b) -FLeibniz) (a ) f ( x)(công a a Trong đó: đấu tích phân, f(x) dx biểu thức dới dấu tích phân vi phân nguyên hàm f(x), f(x) hàm số dới dấu tích phân, a b cận tích phân, a cận trên, b cận dới, x biến số tích phân GV nêu ví dụ HS áp dụng công thức (1) ®Ĩ gi¶i vÝ dơ VÝ dơ: 1) 2xdx 1 1) 2) 2 2 2 xdx x x dx 2) 2 Hoạt động cña GV x 1 32 1 8 dx x 4 Hoạt động HS GV nêu ý b Chó ý: TÝch ph©n f ( x)dx chØ phơ thc vµo HS theo dâi vµ ghi chÐp a 73 Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phơng Thuỳ f, a b mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu biến số tích phân b GV đặt câu hỏi: Từ định nghĩa tích phân hÃy HS suy nghĩ trả lời: f ( x)dx nêu ý nghĩa hình học tích phân a diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị y = f(x) hàm số liên tục không âm đoạn [a; b], trục Ox hai đờng thẳng x = a, x = b C¸c tÝnh chÊt cđa tÝch phân: Giả sử hàm số f(x), g(x) liên tục khoảng K a, b, c thuộc K Khi ®ã: HS theo dâi vµ ghi chÐp a 1 f ( x)dx 0 a a HS suy nghÜ vµ chứng minh số công thức, lại coi nh bµi tËp b f ( x) dx f ( x) dx b a b + Chøng minh (3): Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) kF(x) ng.hàm kf(x) Ta có: b 3 kf ( x)dx k f ( x)dx a k R a b b b b kf ( x)dx kF (b) kF (a) f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx a a c b a a k F (b) F (a ) c 5 f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx a a b k f ( x) dx b b 6 f ( x) 0, x a; b a f ( x)dx + Chứng minh (6): Giả sử F(x) nguyên hàm f(x), ta có: b b f ( x) g ( x), x a; b f ( x )dx g ( x )dx F'(x) = f(x) 0, x [a; b] F(x) đồng biến [a; b] Do đó: a a b 8 m f ( x) M , x a; b f ( x )dx F (b) F (a ) 0 b a a b a m b a f ( x )dx M b a + Chøng minh (7): Suy tõ (6) víi hµm h(x) =f(x)-g(x)0,x [a; b] + Chøng minh (8): Suy tõ (7) a (9) t biến thiên đoạn [a; b] t G (t ) f ( x)dx nguyên hàm a f(t) G(a) = Hoạt động GV áp dụng: GV nêu đề bài: Tính tích phân 1) Hoạt động HS HS áp dụng công thức đà học để giải tập ( x 4)dx 74 Giáo án : Giải tích 12 3 2) Vũ Thị Phơng Thuỳ cotg xdx x2 1) ( x 4)dx x 12 1 2) cotg xdx 1 dx sin x 3) cotgx x 2 1 x 1 dx 2 3) 1 x 1 dx x 1 dx x 1 dx 2 2 1 1 cotg x cos2 x dx 4) 3 cotg x dx dx cos x sin x cos x 4 5) Chøng minh r»ng: 11 3tgx 2cotgx 3 5 dx 14 3cos x 5) Ta cã: x 0; cos x 1 3cos x 3 2 1 4 3cos x 7 3cos x Do ®ã: Đáp số Bài (128) Tính tích phân: 16 xdx 75 dx x 04 dx 14 3cos x D - Chữa tập: Đề dx 7 dx 4 3cos a) x2 x2 x x 5 2 1 4) (đpcm) Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phơng Thuỳ Hoạt động GV Hoạt động HS A- ổn định lớp, kiểm tra sĩ số B - Kiểm tra cũ: Tính tích phân sau: dx a ) I 2 sin x cos x a) I dx tgx cotgx 3 cos x sin x 6 2 b) I cos xdx c) I Đáp số: cos x dx GV: tích phân tính đợc cách dùng định nghĩa tính chất tích phân, nhiên với nhiều tích phân phức tạp tính đợc cách b) I sin x dx sin xdx 0 c) I cos x dx cos xdx 0 2 sin xdx 4 cos xdx 2 HS theo dõi ghi chép C - Giảng mới: Phơng pháp đổi biến số: GV giới thiệu toán b Gi¶ sư ph¶i tÝnh I f ( x)dx , với f(x) a hàm số liên tục đoạn [a; b] Hoạt động GV Hoạt động HS a) Đổi biến số dạng 1: GV nêu định lý ĐL Nếu: 1) Hàm số x = u(t) có đạo hàm liên tục HS theo dõi ghi chép đoạn [; ] 2) Hàm số hợp f(u(t)) đợc xác định đoạn [; ] 3) u() = a, u() = b b th× ta cã: f ( x)dx f u t u ' t dt a GV yêu cầu HS chứng minh định lý HS suy nghĩ chứng minh HS đọc SGK(130) GV nêu quy tắc * Quy tắc đổi biến số dạng + Đặt x = u(t), với u(t) hàm số có đạo hàm liên tục [; ] u() = a, u() = b, f(u(t)) xác định [; ] HS theo dõi ghi chép + Thay theo cách đặt vào tích phân cần 78 Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phơng Thuỳ tính tính tích phân theo biến t GV lu ý HS đổi biến phải đổi cận GV nêu ví dụ hớng dẫn HS cách giải VD1: TÝnh I x dx HS gi¶i vÝ dơ díi sù híng dÉn GV Đặt x = sint t ; 2 Khi x = th× t = 0, x = th× t = GV: ta đặt x = cost Ta cã: dx = dsint = costdt Do ®ã: I sin t cos tdt cos tdt 0 dx x2 VD2: Tính I Đặt x = tgt t ; 2 Khi x = th× t = 0, x = th× t = Ta có dx dtgt Hoạt động GV Do ®ã: I tg 2t dt dt tg t 0 VD3: TÝnh I dx 1 x Đặt x = sint t ; 2 Khi x = th× t = 0, x = th× t = Ta cã: dx = dsint = costdt dx x x 1 VD4: TÝnh I dt tg 2t dt cos t Hoạt động HS Do ®ã: I cos tdt cos tdt dt sin t cos t 0 Ta cã: x x x 2 Đặt x tgt t ; 2 Khi x = th× tgt t , x = th× tgt t 79 Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phơng Thuỳ 1 3 Ta cã: dx d tgt dt tg 2t dt 2 cos t Do ®ã: VD5: Chøng minh r»ng tg 2t dt 33 I dt 2 3 tg 2t cos n xdx sin n xdx n N 6 0 Đặt x t b) Đổi biến số dạng 2: * Quy tắc đổi biến số dạng 2: + Đặt t = v(x) với v(x) hàm số có đạo hàm liªn tơc Ta cã: x 0 t ; x t 0; dx dt 2 Do ®ã: cos n xdx cos n 2 t dt sin n tdt sin n xdx 0 (®pcm) Hoạt động GV + Biểu thị f(x)dx theo t dt Giả sử: f(x)dx = g(t)dt Hoạt động HS HS theo dâi vµ ghi chÐp v (b ) + Khi ®ã I g (t )dt v(a) HS áp dụng quy tắc đổi biến số dạng 2, chọn biến thích hợp để giải ví dơ GV nªu vÝ dơ x 1 dx x x 1 VD1: TÝnh I Đặt t = x2 + x + Khi x = th× t = 1, x = th× t = Ta cã: dt = (2x + 1)dx dt Do ®ã: I ln t t ln GV yêu cầu HS tính theo cách khác Cách khác: (không cần đổi biÕn mµ dïng tÝnh 1 d x x 1 x 1 chÊt tÝch phân hàm số hợp) I dx ln x x ln x x 1 x x 1 0 VD2: TÝnh I xdx x Đặt t = - x2 dt = -2xdx Khi x = th× t = 1, x = 1/2 th× t = 3/4 2 Do ®ã: I dt t 21t 21 t 35 36 HS tÝnh theo c¸ch kh¸c, coi nh tập 80 Giáo án : Giải tích 12 e VD3: Tính I Vũ Thị Phơng Thuỳ dx Đặt t ln x dt x ln x dx x Khi x =1 th× t = 0, x e th× t ln e 2 dt (theo VD3 dạng 1) Do đó: I t Hoạt động GV Hoạt động HS Phơng pháp tích phân phần: GV nêu định lý ĐL: Nếu u(x) v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] thì: b b b u( x)v '( x)dx [u ( x).v( x)] v( x)u '( x)dx a a Hay HS theo dâi vµ ghi chÐp a b b b u( x)dv [u ( x).v( x)] v( x)du a a (*) a GV yêu cầu HS chứng minh định lý HS suy nghĩ chứng minh ®Þnh lý Ta cã: b b ' u x v x u x v x dx a a b u x v ' x v x u ' x dx a b b u x v ' x dx v x u ' x dx a b a b b u x v ' x dx u x v x v x u ' x dx a a a Mµ du = u'(x)dx dv = v'(x)dx nên dễ dàng suy công thức (*) GV nêu ví dụ HS áp dụng công thức tích phân phần để giải ví dụ VD1: TÝnh I x ln xdx 81 Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phơng Thuú du x dx ta cã: v x u ln x §Ỉt dv x dx x5 I ln x 1 x5 dx x 625ln x dx 51 x5 3124 625ln 625ln 5 25 Hoạt động HS Hoạt động GV VD2: TÝnh I x sin xdx u x Đặt dv sin xdx du dx v cos x ta cã: I x cos x cos x dx cos xdx sin x 02 1 ln VD3: TÝnh I xe x dx u x du dx Đặt x x dv e dx v e I xe x ln ta cã: ln ln e dx ln 2.e x ln x e d x 1 1 ln e x ln 2 2 ln VD4: TÝnh I x ln x dx u ln x Đặt dv xdx 82 xdx du x2 v x ta có: Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phơng Thuỳ e VD5: Tính I ln x dx e 1 x3 I x ln x dx x2 ln 1 x xdx 1 x dx 1 1 d 1 x ln x 2 x2 1 1 ln ln x 2 1 1 ln ln ln 2 2 ln x x 1; e Do : ln x 1 ln x x e ;1 e nªn ta cã: e I ln x dx ln xdx ln xdx ln xdx e 2 1 e D - Chữa tập: Tính tích phân Đề Đáp số Bài (141) Tính tÝch ph©n: a ) 2cos3 x 3sin x dx ; b) tgxdx ; c ) cotgxdx ; d) sin x 1 3cos x dx Bài 2(141) Tính tích phân: 83 e Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Ph¬ng Thuú a ) e x xdx ; b) e3 x 1dx ; dx c) x Bài 3(142) Tính tÝch ph©n: e a) 1 ln x dx ; x b) sin x cos xdx ; c ) esin x cos xdx ; d ) 4sin x cos xdx Bµi (142) TÝnh tích phân sau (với a > 0): a dx a) a x2 (Đặt x = atgt) Đề a b) dx Đáp số (Đặt x = asint) a x2 Bài (142) TÝnh: a ) xe3 x dx ; b) x 1 cos xdx ; c) x sin 3xdx ; d ) x e x dx Bài (142) Tính: 84 Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phơng Thuỳ a ) x sin xdx ; b) e x cos xdx ; e c ) ln xdx ; d ) 2 x ln x 1 dx ; e e) ln x dx §4: øng dơng hình học vật lý tích phân Tiết theo PPCT : 266 -> 271 Tuần dạy : I - Mục đích, yêu cầu: HS nắm vững biết cách vận dụng công thức tính: diện tích hình ph¼ng, thĨ tÝch cđa vËt thĨ, thĨ tÝch cđa vËt thể tròn xoay II - Tiến hành: Hoạt động GV Hoạt động HS A- ổn định lớp, kiểm tra sÜ sè B - KiĨm tra bµi cị: GV nêu tập để kiểm tra cũ Tính tích phân sau: HS tính tích phân vừa nêu b S f x dx a 85 ... vµ ghi chÐp a 1 f ( x)dx 0 a a HS suy nghÜ vµ chøng minh mét sè công thức, lại coi nh tập b f ( x) dx f ( x) dx b a b + Chøng minh (3): Gi¶ sư F(x) nguyên hàm f(x) kF(x) mét ng .hµm. .. 1dx ; dx c) x Bài 3(142) Tính tích ph©n: e a) 1 ln x dx ; x b) sin x cos xdx ; c ) esin x cos xdx ; d ) 4sin x cos xdx Bài (142) Tính tÝch ph©n sau (víi a > 0): a dx a) a x2... HS tính theo cách khác Cách khác: (không cần đổi biến mµ dïng tÝnh 1 d x x 1 x 1 chÊt tÝch ph©n hàm số hợp) I dx ln x x ln x x 1 x x 1 0 VD2: TÝnh I xdx x Đặt t = - x2