Phßng gi¸o dôc & ®µo t¹o PHÒNG GD VÀ ĐT NGA SƠN TRƯỜNGTHCS NGA THỦY ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2020 2021 Môn thi TOÁN 7 Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4,[.]
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2020- 2021 Mơn thi: TỐN PHỊNG GD VÀ ĐT NGA SƠN TRƯỜNGTHCS NGA THỦY Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1.(4,5 điểm) 1.Tính hợp lí giá trị biểu thức sau: 11 13 15 17 19 2− + − + − + − + 10 15 21 28 36 45 A= B= ( 2 1 0,4− + −0 ,25+ 11 2020 − : 7 2021 1,4− + −0 , 875+0,7 11 ) 1 1 + + a+b b+c c + a = 90 Tính C = Cho a + b + c = 2021 Câu 2.(3,5 điểm) Tìm x biết: a (x +2)n+1 = (x + 2)n+11 với n số tự nhiên b c a b + + a+b b+c c + a |2019−x|+|2020−x|+|2021−x|=2 Câu 3.(4 điểm) a) Tìm x, y nguyên thỏa mãn: 3xy - = x2 + 2y b) Cho a,b,c,d số nguyên thỏa mãn: a3 + b3 = 2(c3 - 8d3) Chứng minh: a + b+ c+ d chia hết cho Câu 4.(6 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C dựng AE vng góc với AB AE = AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B dựng AF vuông góc với AC AF = AC Chứng minh: a) FB = EC b) EF = 2AM c) AM ¿ EF 15 n −1 + + + + 16 n Câu 5.(2 điểm).Chứng tỏ S = không số tự nhiên với n N Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: ¿ HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi : Tốn PHỊNG GD VÀ ĐT NGA SƠN TRƯỜNGTHCS NGA THỦY Câu Ý 1.a (1,5) (4,5đ) 1.b (1,5) Nội dung 11 13 15 17 19 2− + − + − + − + 10 15 21 28 36 45 A= 11 13 15 17 19 1− + − + − + − + 12 20 30 42 56 72 90 Điểm = ( ) =2 ( 12 + 12 − 12 − 13 + 13 + 14 − − 18 − 19 + 19 +101 )=2( 12 +101 )= 65 B= ( 2 1 0,4− + −0 ,25+ 11 2020 − : 7 2021 1,4− + −0 , 875+0,7 11 ) 2 1 − + − + 11 2020 − : 7 7 7 2021 − + − + 11 10 ( ) =0 ( 27 − 72 ) : 2020 2021 => C = c a b 1 + + + + a+b b+c c + a = 2021( a+b b+c c + a ) = 2021 90 -3 a (1,5) -3 = (3,5) a n+1 10 a (x +2)n+1 = (x + 2)n+11 Suy ra: ( x+ ) [ 1−( x+2 ) ]=0 Từ tìm x = -2; x= -1; x = -3 |2019−x|+|2020−x|+|2021−x|=2 Ta có |2020−x|≥0 ; |2019−x|+|2021−x|≥|x−2019+2021−x|=2 (2,0đ) (4đ) để |2019−x|+|2020−x|+|2021−x|=2 Suy x = 2020 Do ( x−2019 )(2021−x )≥0 2020−x=0 { a 3xy - = x2 + 2y y(3x - 2) = x2 + (1) Do x, y nguyên suy x2 + chia hết cho 3x - ⇒ 9(x2 + 5) chia hết cho 3x - ⇒ 9x2 -6x + 6x - +49 chia hết cho 3x - ⇒ 49 chia hết cho 3x - ⇒ 3x - ¿ {−49;−7;−1;1;7;49 } ⇒ x { 1,3,17 } thay vào (1) y ¿ { 6;2;6 } Vậy (x,y) = (1;6); ¿ ⇒ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1751 90 b b (2đ) 1đ 1,5đ = = Vì a + b + c = 2021 => a = 2021 - (b+c); b = 2021 -(a+c); c = 2021-(a+b) (1,5) 0,5đ 1,5đ 1đ 1đ 0.5 0.5 0,5 0,5 (3;2); (17;6) b) Ta có: a3 + b3 = 2(c3 - 8d3) a3 +b3 +c3 +d3 = 3c3 - 15d3 ⇒ Mà 3c3 - 15d3 chia hết a3 +b3 +c3 +d3 chia hết cho (1) b 2,0 Lại có a ¿ a3 (mod3) b ¿ b3(mod3); c suy a + b+ c +d ¿ ¿ 1đ 0,5 c3(mod3); d ¿ d3(mod3) a3 + b3 +c3 + d3 (mod3) (2) 0,5 Từ (1) (2) suy a +b +c + d chia hết cho Vẽ hình xác viết GT,KL A E F M B 0,5 C K a (1,5đ) (6đ) b (2đ) c (2,0đ) (2đ) 0,5 ∆ABF = ∆AEC (c-g-c) FB = EC Trên tia đối tia MA lấy điểm K cho AK = 2AM Ta có ∆ABM = ∆KCM (c-g-c) => CK//AB =>ACK + CAB = EAF + CAB = 1800 =>ACK = EAF Xét tam giác ∆EAF ∆KCA có AE = AB = CK, ACK = EAF , AF = AC => ∆EAF = ∆KCA (c.g.c) => EF = AK = 2AM Từ ∆EAF = ∆KCA =>CAK = AFE =>CAK + FAK = AEF + FAK =900 => AK ¿ EF 2 2 1 1 + + + + 2 3 (n−1)n = 1- n S > n- - = n - (2) 1 1 + + + + 2 n < 0,5 1đ 1đ 15 n −1 −1 −1 −1 n −1 + + + + + + + + 2 n n S = 16 = 1 1 + + + + 2 n ) = (n - 1) - ( => S < n - (1) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Từ (1) (2) suy S không số nguyên