Phần 1 của giáo trình Điều khiển hệ đa tác tử trình bày những nội dung về: giới thiệu hệ đa tác tử; lý thuyết đồ thị; hệ đồng thuận; thuật toán đồng thuận; phân tích hệ đồng thuận theo phương pháp Lyapunov và quá trình đồng thuận cạnh;... Mời các bạn cùng tham khảo!
* d ij * d ij Agent j Agent i ĐIỀU KHIỂN HỆ ĐA TÁC TỬ Trịnh Hoàng Minh, Nguyễn Minh Hiệu Agent j g ji g ji g ij * * Trajectory Initial formation Desired formation Agent i g ij Initial position Desired position Điều khiển hệ đa tác tử Điều khiển hệ đa tác tử Trịnh Hoàng Minh, Nguyễn Minh Hiệu Ngày 30 tháng 11 năm 2022 Điều khiển hệ đa tác tử Bản quyền Giáo trình chia sẻ qua website cá nhân TS Trịnh Hoàng Minh (https://sites.google.com/ view/minhhoangtrinh) Việc sử dụng nội dung tài liệu với mục đích tham khảo, học tập, giảng dạy miễn phí Tuy nhiên, người đọc khơng chép nội dung giáo trình chưa có đồng ý từ tác giả Ghi Giáo trình viết LATEX, dựa template kaobook Template kaobook phân phối miễn phí qua Overleaf Người đọc sử dụng template tại: KOMA-Script, LATEX, kaobook Ngày xuất Phiên 10/2022 Lời nói đầu Phân tích điều khiển hệ đa tác tử hướng nghiên cứu quan tâm giới từ khoảng đầu năm 2000 Nội dung nghiên cứu bao gồm hệ đa tác tử tự nhiên (hiện tượng tụ bầy chim, cá), kĩ thuật (hệ robot tự hành, mạng cảm biến, lưới điện thông minh), hay tượng xã hội (mạng xã hội, mạng học thuật) Mặc dù nghiên cứu hệ đa tác tử phân chia thành nhiều hướng nghiên cứu nhỏ chun sâu, khơng có nhiều sách tham khảo, kể tiếng Anh, bao quát kiến thức điều khiển hệ đa tác tử Tài liệu biên soạn với mong muốn cung cấp nguồn tham khảo ngắn gọn tiếng Việt cho học viên hai học phần Điều khiển nối mạng Điều khiển hệ đa tác tử Đại học Bách Khoa Hà Nội Tài liệu chia thành ba phần Phần I giới thiệu hệ đa tác tử cung cấp số kiến thức lý thuyết đồ thị Phần II trình bày hệ đồng thuận tuyến tính số phương pháp phân tích thiết kế luật đồng thuận đồng hóa đầu Phần III giới thiệu số ứng dụng hệ đa tác tử bao gồm điều khiển đội hình, giữ liên kết tránh va chạm, định vị mạng cảm biến, số mơ hình động học quan điểm nghiên cứu mạng xã hội Để sử dụng tài liệu, người đọc cần có kiến thức Đại số tuyến tính, Giải tích, Tín hiệu hệ thống Lý thuyết điều khiển tuyến tính Một số kiến thức liên quan Đại số tuyến tính, Lý thuyết điều khiển liên quan cung cấp phần Phụ lục tài liệu Tài liệu tiếng Việt không tránh sai sót Tác giả hi vọng nhận ý kiến góp ý nội dung tài liệu từ độc giả Cuối cùng, tác giả muốn gửi lời cảm ơn tới thầy cô, bạn bè, sinh viên nước hướng dẫn, thảo luận góp ý nội dung tài liệu Trịnh Hoàng Minh, Nguyễn Minh Hiệu Khoa tự động hóa Trường Điện - Điện tử Đại học Bách Khoa Hà Nội Email: trinhhoangminhbk@gmail.com Mục lục Lời nói đầu iii Mục lục iv Danh mục kí hiệu x I Cơ sở Giới 1.1 1.2 1.3 thiệu hệ đa tác tử Giới thiệu, định nghĩa, ví dụ Điều khiển hệ đa tác tử Ghi tài liệu tham khảo 2 Lý thuyết đồ thị 2.1 Đồ thị 2.1.1 Đồ thị vô hướng 2.1.2 Đồ thị hữu hướng 2.1.3 Đồ thị có trọng số 2.2 Đại số đồ thị 2.2.1 Một số ma trận đồ thị 2.2.1.1 Ma trận bậc ma trận kề 2.2.1.2 Ma trận liên thuộc 2.2.1.3 Ma trận Laplace đồ thị vô hướng 2.2.2 Ma trận Laplace đồ thị hữu hướng 2.3 Ghi tài liệu tham khảo 2.4 Bài tập 7 10 11 11 11 11 12 14 17 20 21 II Hệ đồng thuận Thuật toán đồng thuận 3.1 Hệ đồng thuận gồm tác tử tích phân bậc 3.1.1 Phát biểu toán 3.1.2 Trường hợp tổng quát 3.1.3 Một số trường hợp riêng 3.2 Đồng thuận với tác tử tích phân bậc hai 3.3 Hệ đồng thuận tuyến tính tổng quát 3.4 Hệ đồng thuận tuyến tính không liên tục 3.4.1 Mơ hình điều kiện đồng thuận 3.4.2 Liên hệ với mơ hình hệ đồng thuận liên tục 3.5 Đồng đầu hệ tuyến tính dựa quan sát trạng thái 3.5.1 Đồng hóa dựa quan sát trạng thái Luenberger 3.5.2 Bộ quan sát kết hợp đồng hóa đầu 3.6 Ghi tài liệu tham khảo 3.7 Bài tập 24 25 25 25 26 28 31 36 38 38 40 43 43 47 50 51 Phân tích hệ đồng thuận theo phương pháp Lyapunov 4.1 Hàm bất đồng thuận 4.2 Phân tích theo phương pháp Lyapunov 4.3 Quá trình đồng thuận cạnh 4.4 Đồng hóa đầu hệ thụ động 4.5 Ghi tài liệu tham khảo 4.6 Bài tập trình đồng thuận cạnh III Một số ứng dụng hệ đa tác tử Điều 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 71 khiển đội hình Giới thiệu Điều khiển đội hình dựa vị trí tuyệt đối Điều khiển đội hình dựa vị trí tương đối 5.3.1 Trường hợp tác tử khâu tích phân bậc 5.3.2 Trường hợp tác tử khâu tích phân bậc hai Điều khiển đội hình dựa khoảng cách 5.4.1 Lý thuyết cứng khoảng cách 5.4.2 Luật điều khiển đội hình Điều khiển đội hình dựa vector hướng 5.5.1 Lý thuyết cứng hướng ℝ 𝑑 5.5.2 Điều khiển đội hình cứng hướng vi phân Ghi tài liệu tham khảo Bài tập liên kết tránh Giữ liên kết Tránh va chạm Bài tập va chạm 55 55 57 61 63 66 66 72 72 76 77 77 79 79 80 82 88 88 90 97 98 Giữ 6.1 6.2 6.3 102 102 104 111 Định vị mạng cảm biến 7.1 Bài toán định vị mạng cảm biến 7.2 Định vị mạng dựa vị trí tương đối 7.2.1 Trường hợp khơng có nút tham chiếu 7.2.2 Trường hợp có nút tham chiếu mạng 7.2.3 Phương pháp dựa vector hướng 7.2.3.1 Trường hợp khơng có nút tham chiếu 7.2.3.2 Trường hợp có nút tham chiếu 7.2.4 Phương pháp dựa khoảng cách 7.3 Bài tập 113 113 113 113 114 115 115 116 117 118 Mơ hình động học ý kiến 8.1 Mơ hình French - Degroot 8.2 Mơ hình Friendkin - Johnsen 8.3 Mơ hình Abelson mơ hình Taylor 8.4 Mơ hình Friendkin - Johnsen đa chiều 8.5 Mơ hình Hegselmann-Krause 8.6 Mơ hình Altafini số mở rộng 122 122 123 125 126 132 135 Hệ đồng thuận trọng số ma trận 9.1 Đồ thị với trọng số ma trận 138 138 9.2 9.3 9.4 9.5 Thuật toán đồng thuận trọng số ma trận 9.2.1 Điều kiện đồng thuận 9.2.2 Hiện tượng phân cụm Đồng thuận trọng số ma trận với hệ có leader 9.3.1 Trường hợp leader đứng yên 9.3.2 Trường hợp leader chuyển động Đồ thị trọng số ma trận hữu hướng 9.4.1 Đồ thị có dạng với gốc 9.4.2 Đồ thị trọng số ma trận cân Ghi tài liệu tham khảo Phụ lục 139 139 141 144 144 146 147 148 148 150 151 A Một số kết lý thuyết ma trận A.1 Một số định nghĩa phép toán A.2 Định thức ma trận nghịch đảo A.3 Giá trị riêng, vector riêng, định lý Cayley - Hamilton A.4 Định lý Gerschgorin A.5 Chéo hóa ma trận dạng Jordan A.6 Ma trận hàm mũ A.7 Tích Kronecker A.8 Ma trận xác định dương ma trận bán xác định dương A.9 Chuẩn vector ma trận A.10 Lý thuyết Perron-Frobenius 152 152 153 153 154 154 155 156 156 157 157 B Lý thuyết điều khiển tuyến tính B.1 Hệ tuyến tính B.2 Lý thuyết ổn định Lyapunov B.3 Bổ đề Barbalat 158 158 159 160 C Mô MATLAB C.1 Hàm biểu diễn đội hình 2D 3D C.2 Biểu diễn thay đổi đội hình theo thời gian 162 162 164 Tài liệu tham khảo 166 Danh sách hình vẽ 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Một số ví dụ đồ thị vơ hướng Ví dụ lát cắt cạnh đồ thị 𝐺 gồm đỉnh cạnh Ví dụ lát cắt đỉnh đồ thị 𝐺 gồm đỉnh cạnh Một số đồ thị định hướng khác đồ thị 𝐺 Hình 2.1(a) Các giá trị riêng L nằm đĩa tròn 𝐵 tâm Δ + 𝑗 0, bán kính Δ = max𝑖 deg− (𝑣 𝑖 ) (vùng màu đỏ) Các trị riêng −L nằm đĩa tròn 𝐵 đối xứng với 𝐵 qua trục ảo (vùng màu xanh) 2.6 Minh họa Ví dụ 2.2.4 2.7 Đồ thị vô hướng 𝐺1 𝐺2 2.8 Đồ thị vô hướng 𝐻1 𝐻2 3.1 Sơ đồ khối thuật toán đồng thuận theo góc nhìn tác tử 𝑖 3.2 Mơ thuật tốn đồng thuận với ba đồ thị khác nhau: 𝐺1 đồ thị gồm 16 đỉnh, đỉnh có đỉnh kề, 𝐺2 đồ thị chu trình gồm 20 đỉnh 𝐺3 đồ thị Bucky (quả bóng đá) gồm 60 đỉnh 3.3 Mô chuyển động tác tử với luật đồng thuận (3.19) 3.4 Mô hệ đồng thuận Ví dụ 3.3.1 Các biến trạng thái x𝑖 → x 𝑗 𝑡 → +∞ 3.5 Đồ thị 𝐺1 liên thông mạnh có chu kỳ 2; Đồ thị 𝐺2 𝐺3 có gốc ra, thành phần liên thơng mạnh chứa gốc khơng có chu kỳ, đồ thị 𝐺3 có chứa khuyên; Đồ thị 𝐺4 , 𝐺5 liên thơng mạnh khơng có chu kỳ 3.6 Mô đối chiếu thuật tốn đồng thuận liên tục khơng liên tục 3.7 Sơ đồ khối mô tả thuật toán đồng thuận 3.8 Mô hệ đồng thuận gồm tác tử Ví dụ 3.5.1 Các biến đầu y𝑖 , 𝑖 = , , , dần đạt tới đồng thuận sau khoảng 100 giây 3.9 Sơ đồ mơ tả đồng hóa (3.50) 3.10 Mơ Ví dụ 3.5.2 3.11 Đồ thị Bài tập 3.7.3 ¯ = 𝚪L + L 𝚪 (a) Đồ thị 𝐺 ứng với L (b) Đồ thị 𝐺 ứng với L (c) Đồ thị 𝐺¯ ứng với L Mơ thuật tốn đồng thuận với ba đồ thị hữu hướng khác Đồ thị 𝐺 có ba chu trình, hai chu trình độc lập Mơ minh họa Ví dụ 4.3.2 Những cạnh màu đỏ tạo thành bao trùm đồ thị Các biến tương đối 𝜻(𝑡) → 𝑡 → +∞ 4.5 Hệ Σ gồm 𝑛 hệ thụ động với hàm kết nối 𝝓(·) 4.6 Mô mơ hình Kuramoto đơn giản cho hệ tác tử Ví dụ 4.4.1 4.7 Các đồ thị Bài tập 4.6.10 4.1 4.2 4.3 4.4 Hệ qui chiếu toàn cục ( 𝑔 Σ), hệ qui chiếu chung (𝑐 Σ), hệ qui chiếu cục (𝑖 Σ 𝑗 Σ) Mô thuật tốn điều khiển đội hình dựa vị trí tuyệt đối Mô thuật tốn điều khiển đội hình dựa vị trí tương đối 2D 3D Một số ví dụ minh họa lý thuyết cứng khoảng cách Minh họa Ví dụ 5.4.2: (a) cấu hình mong muốn, (b) & (c) & (d) & (e) bốn cấu hình khác thuộc U∗ 5.6 Đội hình đặt Ví dụ 5.4.3 5.7 Đội hình gồm tác tử: (a) (b): p tiến tới đến cấu hình mong muốn; (c) (d) p tiến tới cấu hình khơng mong muốn 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 10 12 20 20 21 21 26 30 34 37 39 42 44 45 47 49 52 57 60 62 62 64 65 69 74 77 78 81 85 86 87 5.8 Ví dụ tính cứng hướng vi phân: Trong ℝ2 , đội hình (a), (b), (c) cứng hướng vi phân, đội hình (d), (e), (f) không cứng hướng vi phân Trong ℝ3 , đội hình (g), (h), (i), (j) cứng hướng vi phân, đội hình (k), (l) khơng cứng hướng vi phân 5.9 Xây dựng đồ thị cứng hướng phổ quát ℝ3 xuất phát từ cạnh nối hai đỉnh 5.10 Xây dựng đồ thị cứng hướng phổ quát ℝ3 xuất phát từ chu trình 𝐶4 5.11 Minh họa phân tích ổn định thuật tốn điều khiển đội hình dựa vector hướng: (a) Luật điều khiển sử dụng vector hướng; (b) Ví dụ hai điểm cân đối xứng tâm có trọng tâm; (c) 𝜹 ln nằm tập S 5.12 Mơ đội hình tác tử luật điều khiển (5.42) trường hợp 2D 3D 5.13 Các đồ thị 𝐺1 𝐺2 6.1 Minh họa toán giữ liên kết: tác tử có miền trao đổi thơng tin mơ tả hình trịn tâm vị trí tác tử Nếu hai tác tử nằm miền thơng tin tồn cạnh mô tả tương tác hai tác tử 6.2 Hàm trọng số 𝑎 𝑖𝑗 (p) = 𝜎𝜔 (𝜖 − 𝑑 𝑖𝑗 (p(𝑡))) tương ứng với số tham số 𝜔 𝜖 khác Dễ thấy 𝑎 𝑖𝑗 (p) → 𝑑 𝑖𝑗 ( p𝑖 − p 𝑗 ) → 𝛿 = 6.3 Minh họa việc tránh va chạm tác tử 6.4 Biểu diễn hàm 𝛽 𝑖𝑗 ( p𝑖 − p 𝑗 ) với 𝑑 = 0.75 , , 1.5 6.5 Mô luật giữ liên kết Ví dụ 6.2.1 6.6 Mơ luật giữ liên kết Ví dụ 6.2.2 7.1 Mô tả mạng cảm biến với nút tham chiếu nút mạng thường Mỗi cạnh đồ thị thể luồng thông tin (đo đạc truyền thông) nút mạng.Nhiễu 𝜺𝑖𝑗 xuất cạnh đồ thị 7.2 Minh họa định vị mạng cảm biến gồm 10 nút với luật định vị mạng (7.9) 7.3 Định vị nút dựa vào nút mốc khoảng cách 7.4 Ví dụ đồ thị cứng 3-liên thơng có hiên thực hóa 2D Đồ thị khơng thừa cứng 7.5 Đồ thị Bài tập 7.3.1 7.6 Mạng cảm biến (𝐺, p) Bài tập 7.3.4 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 Mô hệ tác tử với mơ hình F-J hai trường hợp khác đồ thị tương tác Mô hệ 10 tác tử với mơ hình Taylor mở rộng Mơ mơ hình F-J với ma trận C = 0.8 0.20.3 0.7 Mơ mơ hình F-J với ma trận C = 0.8 −0.2 − 0.3 0.7 Mơ hình Ye hệ có khơng có định kiến Mơ hình Ye hệ có khơng có định kiến Tăng mức độ liên kết tác tử làm mô hình Ye ổn định đẩy nhanh q trình đồng thuận khơng làm thay đổi điểm đồng thuận mơ hình Ye Đồ thị mô tả tác tử ví dụ 8.4.3 Đồng thuận với ma trận Laplace theo mô hình Ahn: Trái - Chủ đề (𝑥 𝑖,1 , 𝑖 = , , 5) Giữa Chủ đề (𝑥 𝑖,2 , 𝑖 = , , 5) Phải - Chủ đề (𝑥 𝑖,3 , 𝑖 = , , 5) Mô mô hình Hegselmann - Krausse với 𝑑 = 0.2 , 0.4 , , 1.2 (a) Đồ thị dấu cân cấu trúc; (b) Đồ thị dấu không cân cấu trúc Mơ mơ hình Altafini với đồ thị Ví dụ 8.6.1 9.1 Ví dụ đồ thị trọng số ma trận cạnh màu đỏ thể cạnh xác định dương cạnh màu xanh thể cạnh xác định dương bán xác định dương Đồ thị với cạnh màu đỏ bao trùm xác định dương 𝐺 9.2 Đồ thị minh họa hệ bốn tác tử Ví dụ 9.2.1 9.3 Ví dụ 9.2.1: Thay đổi biến trạng thái hệ với luật đồng thuận (9.5) 9.4 Đồ thị gồm đỉnh Ví dụ 9.2.2 9.5 Ví dụ 9.2.2: Thay đổi biến trạng thái hệ với luật đồng thuận (9.5) 89 92 92 93 95 99 102 103 105 105 107 109 114 117 118 118 118 119 124 126 129 130 130 131 131 131 132 134 135 136 139 143 143 144 144 56 Phân tích hệ đồng thuận theo phương pháp Lyapunov trình đồng thuận cạnh deg− (𝑣 𝑖 ) hay 𝑛 𝑗=1 𝑎 𝑖𝑗 = 𝑛 𝑖=1 𝑎 𝑗𝑖 Do đó, ta viết tổng 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑖 𝑥 𝑗 𝑎 𝑖𝑗 − 𝑥 2𝑖 x Lx = 𝑖=1 𝑗=1 𝑗=1 𝑖=1 𝑛 𝑛 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑖 (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ), = 𝑖=1 𝑗=1 𝑛 𝑛 𝑎 𝑗𝑖 − 𝑗=1 𝑖=1 𝑛 𝑛 𝑛 𝑥 2𝑖 x L x= 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑖 𝑥 𝑗 𝑖=1 𝑗=1 𝑛 𝑛 𝑛 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑖 𝑥 𝑗 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 2𝑗 − = 𝑖=1 𝑗=1 𝑗=1 𝑖=1 𝑛 𝑛 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 (𝑥 𝑗 − 𝑥 𝑖 ) = 𝑖=1 𝑗=1 Như vậy, ta chọn 𝑉𝐿 = 21 x (L + L )x = 𝑛 𝑖,𝑗=1 𝑎 𝑖𝑗 (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 )2 Dễ thấy thêm điều kiện đồ thị 𝐺 liên thơng yếu 𝑉𝐿 = 𝑥 𝑖 = 𝑥 𝑗 , ∀𝑖, 𝑗 = , , 𝑛, 𝑖 ≠ 𝑗, hay nói cách khác, hệ (4.1) đạt đồng thuận Cuối cùng, xét trường hợp 𝐺 hữu hướng liên thông mạnh Khi đó, theo Định lý 2.2.4, ma trận Laplace L có giá trị riêng đơn 𝜆1 = 0, với vector riêng bên phải 𝜸 có tất phần tử dương Xét ma trận M = 𝚪L + L 𝚪, 𝚪 = diag(𝛾𝑖 ), ta có M ma trân đối xứng Hơn nữa, 𝑛 𝑛 𝛾𝑖 𝑥 𝑖 x 𝚪Lx = 𝑖=1 𝑎 𝑖𝑗 (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ) 𝑗=1 𝑛 𝑛 𝛾𝑖 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑖 (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ) = 𝑖=1 𝑗=1 Từ 𝜸 L = , ta suy 𝛾𝑖 𝑛 𝑛 𝛾𝑖 𝑥 𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑗=1 𝑛 𝑗=1 𝑎 𝑖𝑗 = 𝑛 𝑎 𝑖𝑗 (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ) = 𝑗=1 𝑛 𝛾𝑖 𝑥 2𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑥 2𝑖 𝑖=1 𝑛 𝛾𝑖 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑖 𝑥 𝑗 𝑖=1 𝑗=1 𝑛 𝑛 𝛾𝑖 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑖 𝑥 𝑗 𝑖=1 𝑗=1 𝑛 𝑥 2𝑗 𝑗=1 𝑛 𝛾 𝑗 𝑎 𝑗𝑖 − 𝑗=1 𝑛 = 𝑛 𝑎 𝑖𝑗 − 𝑗=1 𝑛 = 𝛾 𝑗 𝑎 𝑗𝑖 Do đó, 𝑛 𝑛 𝛾𝑖 𝑎 𝑖𝑗 − 𝑖=1 𝛾𝑖 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑖 𝑥 𝑗 𝑖=1 𝑗=1 𝑛 𝛾𝑖 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 (𝑥 𝑗 − 𝑥 𝑖 ) = 𝑖=1 𝑗=1 4.2 Phân tích theo phương pháp Lyapunov 57 Như vậy, 𝑉𝐿 = x (𝚪L + L 𝚪)x = 2x 𝚪Lx 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝛾𝑖 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑖 (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ) + = 𝑖=1 𝑗=1 𝑛 𝛾𝑖 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 (𝑥 𝑗 − 𝑥 𝑖 ) 𝑖=1 𝑗=1 𝑛 𝛾𝑖 𝑎 𝑖𝑗 (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 )2 = 𝑖=1 𝑗=1 Ta chứng minh với 𝐺 liên thông mạnh ker(M) = ker(L) = im(1𝑛 ) Thật vậy, x vector riêng ứng với trị riêng L x Mx = 2x 𝚪Lx = 0, suy x ∈ ker(M) Vì ker(L) = im{1𝑛 }, ta suy im(1𝑛 ) ⊆ ker(M) Ma trận M ma trận Laplace ứng với đồ thị 𝐺¯ với tập đỉnh 𝐺 với trọng số cạnh (𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ) 𝑎¯ 𝑖𝑗 = 𝛾𝑖 𝑎 𝑖𝑗 + 𝛾 𝑗 𝑎 𝑗𝑖 Dễ thấy 𝐺¯ đồ thị vô hướng Vì 𝐺 liên thơng mạnh, 𝐺¯ liên thơng mạnh Điều dẫn đến rank(M) = 𝑛 − 1, ker(M) = im(1𝑛 ) Điều chứng tỏ hệ đạt đồng thuận 𝑉𝐿 = Ví dụ 4.1.1 Trên hình 4.1(a), 𝐺 đồ thị hữu hướng với ma trận Laplace cho 0.75 −0.5 −0.25 −0 L = − 25 − 75 0 −1 0 0 0 1 Dễ thấy 𝐺 đồ thị liên thông mạnh không cân Trên hình 4.1(b), 𝐺 đồ thị hữu hướng với ma trận Laplace cho L Ma trận L có vector riêng bên trái 𝜸 = [ 43 , 43 , 43 , 1] Cuối cùng, ¯ = 𝚪L+L 𝚪 hình 4.1(c) đồ thị vơ hướng tương ứng với ma trận L 𝑣4 0.75 𝑣1 0.25 𝑣3 0.5 0.5 𝑣2 0.75 𝑣3 (a) 𝐺 𝑣4 𝑣1 0.25 0.5 0.5 𝑣2 𝑣3 (b) 𝐺 𝑣4 𝑣1 1/3 2/3 1/3 𝑣2 (c) 𝐺¯ 4.2 Phân tích q trình đồng thuận theo phương pháp Lyapunov Hình 4.1: (a) Đồ thị 𝐺 ứng với L (b) Đồ thị 𝐺 ứng với L (c) Đồ thị 𝐺¯ ¯ = 𝚪L + L 𝚪 ứng với L Dựa vào kết trên, ta phân tích trình đồng thuận x(𝑡) = −Lx(𝑡) với giả thuyết khác đồ thị 𝐺 Đầu tiên, đồ thị 𝐺 vô hướng liên thông Xét hàm Lyapunov 𝑉 = 12 x x, đó, 𝑉 = x x = −x Lx ≤ Theo nguyên lý bất biến LaSalle, quĩ đạo hội tụ tới tập bất biến lớn S = {x ∈ ℝ 𝑛 | Lx = 0} [60] Vì đồ thị liên thông, ta suy S = im(1𝑛 ) Do đó, x(𝑡) → 𝛼1𝑛 với 𝛼 ∈ ℝ 𝑡 → +∞, hay hệ dần tiến tới đồng thuận Dựa vào định lý 3.1.2, ta suy ra: (i) tập bất biến ứng với quĩ đạo x(0) bao gồm phần tử 𝑥 ∗ = 𝑛1 𝑛𝑖=1 𝑥 𝑖 (0); (ii) 1𝑛 (x(𝑡)−𝑥 ∗ 1𝑛 ) = 0, hay (x(𝑡)−𝑥 ∗ 1𝑛 ) ⊥ ker(L) Từ (i), ta suy x → 𝑥 ∗ 1𝑛 𝑡 → +∞ (ổn định tiệm cận) Từ (ii), chọn 𝑊 = 12 (x −𝑥 ∗ 1𝑛 ) (x −𝑥 ∗ 1𝑛 ) [60]: Khalil (2002), Nonlinear Systems 58 Phân tích hệ đồng thuận theo phương pháp Lyapunov trình đồng thuận cạnh ta có: 𝑊 = −(x − 𝑥 ∗ 1𝑛 ) Lx = −(x − 𝑥 ∗ 1𝑛 ) L(x − 𝑥 ∗ 1𝑛 ) ≤ −𝜆2 (L)(x − 𝑥 ∗ 1𝑛 ) (x − 𝑥 ∗ 1𝑛 ) ≤ −2𝜆2 (L)𝑊 Từ ta kết luận điểm đồng thuận x = 𝑥 ∗ 1𝑛 ổn định mũ Tốc độ tiến tới đồng thuận phụ thuộc vào 𝜆2 (L) - trị riêng dương nhỏ ma trận Laplace Tiếp theo, xét đồ thị 𝐺 hữu hướng, cân bằng, liên thông yếu Lúc này, với hàm Lyapunov 𝑉 = x x, ta có 𝑉 = −x (L + L )x Với kết từ mục 4.2, ta có 𝑉 ≤ 𝑉 = x ∈ A Theo nguyên lý bất biến LaSalle, x(𝑡) → A 𝑡 → +∞ Xét đồ thị 𝐺 hữu hướng liên thông mạnh Chọn hàm Lyapunov 𝑉 = x 𝚪x, ta có: 𝑉 = −x (𝚪L + L 𝚪)x Cũng từ kết mục 4.2, ta có 𝑉 ≤ 0, 𝑉 = x ∈ A, x → A 𝑡 → +∞ Như vậy, vector riêng bên trái ứng với trị riêng đóng vai trị quan trọng việc chọn hàm Lyapunov Nói cách khác, phương trình Lyapunov ứng với hệ (4.1) có nghiệm 𝚪 = diag(𝜸) Đối với đồ thị có có gốc-vào khơng liên thơng mạnh, vector riêng bên trái 𝜸 L có phần tử ứng với đỉnh không thuộc thành phần liên mạnh tới hạn chứa gốc 𝐺 Ta đánh dấu đỉnh nằm thành phần liên thông mạnh chứa gốc vào 𝑣1 , , 𝑣 𝑙 Các đỉnh lại 𝑣 𝑙+1 , , 𝑣 𝑛 Từ đó, ta viết ma trận L dạng: L= L11 L21 , L22 L11 ∈ ℝ 𝑙×𝑙 , L21 ∈ ℝ(𝑛−𝑙)×𝑙 , L22 ∈ ℝ(𝑛−𝑙)×(𝑛−𝑙) Ma trận khối biểu diễn L thể khơng có thơng tin từ đỉnh 𝑣 𝑙+1 , , 𝑣 𝑛 tới đỉnh thuộc thành phần liên thông mạnh chứa gốc vào Từ đó, ta phân tích q trình đồng thuận tác tử thuộc thành phần liên thông mạnh chứa gốc vào riêng rẽ trình bày Khơng tính tổng quát, ta giả thuyết đồ thị tương ứng với 𝐺 − {𝑣1 , , 𝑣 𝑙 } liên thông mạnh, trường hợp khác qui trường hợp Rõ ràng, det(𝜆I𝑛 − L) = det(𝜆I𝑙 − L11 )det(𝜆I𝑛−𝑙 − L22 ) = 𝑛𝑖=1 (𝜆 − 𝜆 𝑖 ) Vì 𝐺 đồ thị có gốc vào, L có trị riêng đơn 𝜆1 = 0, Re(𝜆 𝑖 ) > 0, ∀𝑖 = , , 𝑛 Do L11 ma trận Laplace tương ứng với đồ thị liên thông mạnh 𝐺 − {𝑣 𝑙+1 , , 𝑣 𝑛 } nên nghiệm đơn 𝜆1 = nằm đa thức det(𝜆I𝑙 − L11 ) Do đó, nghiệm đa thức det(𝜆I𝑛−𝑙 − L22 ) có phần thực dương, hay −L22 Hurwitz 4.2 Phân tích theo phương pháp Lyapunov Đặt y = [𝑥 , , 𝑥 𝑙 ] z = [𝑥 𝑙+1 , , 𝑥 𝑛 ] y = −L11 y , (4.2) z = −L22 z − L21 y (4.3) Ta xét hệ tác tử , , 𝑙, trạng thái đồng thuận, tức lúc y = 𝑥 ∗ 1𝑙 Kí hiệu L ma trận Laplace ứng với đồ thị 𝐺 = 𝐺 − {𝑣1 , , 𝑣 𝑙 }, ta viết L22 = L + diag(−L21 1𝑛−𝑙 ) Vì −L22 Hurwitz, hệ tuyến tính z = −L22 z − L21 1𝑛−𝑙 𝑥 ∗ có ∗ lim z(𝑡) = −L− 22 L21 1𝑛−𝑙 𝑥 𝑡→+∞ Chú ý L22 1𝑛−𝑙 = (L + diag(−L21 1𝑛−𝑙 ))1𝑛−𝑙 = −L21 1𝑛−𝑙 Do đó, lim𝑡→+∞ z(𝑡) = 1𝑛−𝑙 𝑥 ∗ Cuối cùng, ta định nghĩa q = [𝑞1 , , 𝑞 𝑛−𝑙 ] = L−221 1𝑛−𝑙 , P = diag(𝑝 𝑖 ) = diag(1/𝑞 𝑖 ), Q = PL22 + L22 P, P Q ma trận đối xứng xác định dương ta chọn hàm Lyapunov cho (4.3) 𝑉𝑧 = z Pz Ví dụ 4.2.1 (Mơ hệ đồng thuận với số đồ thị hữu hướng khác nhau) Trong ví dụ này, ta mơ thuật tốn đồng thuận với số đồ thị có hướng khác Các kết mơ cho Hình 4.2 Trong mô 1, giá trị đầu cho x(0) = [1 , 2, 3, 4, 5] Đồ thị 𝐺1 chu trình có hướng gồm đỉnh Dễ thấy 𝐺1 đồ thị cân Do đó, tác tử dần đạt đồng thuận giá trị trung bình cộng 15 5𝑖=1 𝑥 𝑖 (0) = Trong mô 3, giá trị đầu cho x(0) = [1 , , , , , 6] Đồ thị 𝐺2 đồ thị có gốc Thành phần liên thơng mạnh chứa gốc chu trình có hướng gồm đỉnh 1, 2, Do đó, tác tử dần đạt đồng thuận giá trị trung bình cộng 13 (𝑥1 (0) + 𝑥2 (0) + 𝑥3 (0)) = Đồ thị 𝐺3 có gốc đỉnh nên tác tử dần đạt tới đồng thuận tới 𝑥1 (0) = 59 60 Phân tích hệ đồng thuận theo phương pháp Lyapunov trình đồng thuận cạnh (a) 𝐺1 (b) (c) 𝐺2 (d) (e) 𝐺3 (f) Hình 4.2: Mơ thuật tốn đồng thuận với ba đồ thị hữu hướng khác 4.3 Quá trình đồng thuận cạnh 4.3 Quá trình đồng thuận cạnh Xét hệ đồng thuận tuyến tính mơ tả đồ thị vô hướng, liên thông 𝐺 = (𝑉 , 𝐸), tác tử hệ mơ tả khâu tích phân bậc Mơ hình đồng thuận cho bởi: x = −Lx , (4.4) x = [𝑥1 , , 𝑥 𝑛 ]𝑇 vector trạng thái 𝑛 tác tử hệ Đặt 𝜻 Hx ∈ ℝ 𝑚 , H ma trận liên thuộc 𝐺 𝜻 chứa 𝑚 phần tử có dạng (𝑥 𝑗 − 𝑥 𝑖 ) ứng với cạnh (𝑖, 𝑗) đồ thị Nhân hai vế (4.4) với H ý với 𝐺 vơ hướng L = H H, ta thu mơ hình đồng thuận cạnh sau: 𝜻 = −L𝑒 𝜻, (4.5) L𝑒 HH ∈ ℝ 𝑚×𝑚 gọi ma trận Laplace cạnh2 Rõ ràng, L𝑒 ma trận đối xứng, bán xác định dương Do 𝐺 liên thông, 𝑚 ≥ 𝑛 − Gọi 𝜆 giá trị riêng L v vector riêng tương ứng ta có: L𝑒 (Hv) = HH Hv = HLv = 𝜆(Hv) (4.6) Do đó, 𝜆 giá trị riêng L𝑒 với Hv vector riêng ứng Ta lại có rank(L)=rank(H)=rank(L𝑒 )=𝑛 − Bởi vậy, L𝑒 có 𝑛 − giá trị riêng dương (cũng giá trị riêng dương L) (𝑚 − 𝑛 + 1) giá trị riêng với vector riêng vector nằm khơng gian chu trình 𝐺 (Chương 2) ¯ với 𝑥¯ = 𝑛1 1𝑛 x ta biết 𝜹 → 𝑡 → +∞ Đặt 𝜹 = x − 1𝑛 𝑥, Bởi vậy, 𝜻 = Hx = H𝜹 ≤ H 𝜹 → 0, 𝑡 → +∞ Điều chứng tỏ đỉnh tiến tới đồng thuận trạng thái cạnh tương ứng tiến tới Giả sử ta đánh số cạnh đồ thị 𝐺 cho cạnh bao trùm 𝑇 𝑒1 , , 𝑒 𝑛−1 , ta viết lại ma trận H dạng: H= H𝐸(𝑇) , H𝐸\𝐸(𝑇) (4.7) H𝐸(𝑇) ∈ ℝ(𝑛−1)×𝑛 ma trận liên thuộc bao trùm 𝑇 H𝐸\𝐸(𝑇) ∈ ℝ(𝑚−𝑛+1)×𝑛 ma trận liên thuộc ứng với phần đồ thị cịn lại 𝐺 sau xóa cạnh 𝐸(𝑇) Do 𝑇 liên thông, H𝐸(𝑇) thỏa mãn ker(H𝐸(𝑇) ) = im(1𝑛 ) Do hàng H𝐸\𝐸(𝑇) biểu diễn tổ hợp tuyến tính hàng H𝐸(𝑇) , tồn ma trận T ∈ ℝ(𝑚−𝑛+1)×(𝑛−1) cho H𝐸\𝐸(𝑇) = TH𝐸(𝑇) Chú ý H𝐸(𝑇) đủ hạng hàng nên L𝑒 (𝑇) = H𝐸(𝑇) H𝐸(𝑇) khả nghịch ta viết T = H𝐸\𝐸(𝑇) H𝐸(𝑇) H𝐸(𝑇) H𝐸(𝑇) −1 (4.8) I𝑛−1 , ta có H = RH𝐸(𝑇) L𝑒 = HH = RH𝐸(𝑇) H𝐸(𝑇) R = T RL𝑒 (𝑇)R Đặt R = 2: edge Laplacian 61 62 Phân tích hệ đồng thuận theo phương pháp Lyapunov trình đồng thuận cạnh (a) (b) (c) Hình 4.3: Đồ thị 𝐺 có ba chu trình, hai chu trình độc lập Trở lại với phương trình đồng thuận cạnh (4.5), ta biểu diễn y = 𝜻𝑡 , 𝜻 𝑐 = R𝜻𝑡 , 𝜻 𝑡 vector biến trạng thái cạnh ứng với bao trùm 𝑇, 𝜻 𝑐 ứng với cạnh lại Bởi vậy, từ (4.5), ta có R 𝜻 𝑡 = −L𝑒 R 𝜻 𝑡 (4.9) Thay L𝑒 = RL𝑒 (𝑇)R vào (4.9), ta thu được: R 𝜻 𝑡 = −RL𝑒 (𝑇)R R 𝜻 𝑡 (4.10) Từ phương trình (4.10) cấu trúc ma trận R, ta thấy hệ rút gọn bậc mô tả bởi: 𝜻 𝑡 = −L𝑒 (𝑇)R R 𝜻 𝑡 (4.11) mơ tả hồn tồn hệ đồng thuận cạnh (4.5) Chỉ cần biết động học biến trạng thái ứng với bất kỳ, ta thu biến trạng thái 𝜻 𝑐 cịn lại theo cơng thức 𝜻 𝑐 = T𝜻 𝑡 Ví dụ 4.3.1 Xét đồ thị 𝐺 Hình 4.3 Với bao trùm gồm cạnh tơ màu đỏ, ta viết lại (a) Đồ thị 𝐶20 H= H𝐸(𝑇) H𝐸\𝐸(𝑇) = −1 −1 0 0 0 −1 −1 −1 0 0 0 0 0 1 , T = 0 −1 −1 (4.12) Ví dụ 4.3.2 Trong ví dụ này, ta sử dụng MATLAB để mơ q trình đồng thuận cạnh đồ thị chu trình gồm 20 đỉnh Với đồ thị này, 19 cạnh lập thành bao trùm đồ thị Mô cho thấy 𝜻 𝑡 (𝑡) → 𝜻(𝑡) → 𝑡 → +∞ (b) 𝜁 𝑡 (𝑡) Hình 4.4: Mơ minh họa Ví dụ 4.3.2 Những cạnh màu đỏ tạo thành bao trùm đồ thị Các %% Mo phong qua t r i n h dong thuan canh biến tương đối 𝜻(𝑡) → 𝑡 → +∞ g l o b a l LeT R 4.4 Đồng hóa đầu hệ thụ động 63 H = - eye ( ) ; f o r i =1:1:19 H( i , i +1) = ; H( , ) = ; end 10 11 12 13 HT = H( : , : ) ; HC = H( , : ) ; T = HC/HT; R = [ eye ( ) ; T ] ; Le = H*H ’ ; LeT = HT*HT’ ; 14 15 16 % Khoi t a o g i a t r i dau z e t a t = * ( rand ( , ) - ) ; 17 18 19 % G i a i phuong t r i n h v i phan [ t , z e t a t ] = ode45 ( @control_law , [ , ] , z e t a t ) ; 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 % Bieu d i e n t r e n t h i figure (1) ; h o l d on ; f o r i =1:19 p l o t ( t , z e t a t ( : , i ) ’ , ’ LineWidth ’ , ) ; end x l a b e l ’ Thoi g i a n [ s ] ’ ; y l a b e l ’ Bien t r a n g t h a i ung v o i cay bao trum ’ ; t i t l e ’ \ zeta_ { t } ( t ) , ( i , j ) \ i n E ’ box on ; 31 32 33 z e t a c = T* z e t a t ’ ; z e t a = [ z e t a t z e t a c ’ ] ; % Bien t r a n g t h a i ung v o i moi canh t r o n g t h i 34 35 36 37 38 39 %% Ham t i n h dao ham function dzetadt = control_law ( t , zeta ) g l o b a l LeT R d z e t a d t = -LeT * (R’ *R) * z e t a ; end 4.4 Đồng hóa đầu hệ thụ động Trong mục này, ta xét hệ đồng thuận phi tuyến Quan hệ phi tuyến nằm mơ hình tác tử quan hệ tương tác tác tử Cơng cụ để phân tích lý thuyết hệ thụ động [9, 161] Xét hệ phi tuyến z(𝑡) = f(z(𝑡), u(𝑡)), y(𝑡) = z(𝑡), (4.13) với f thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương với biến z (tức với z1 , z2 ∈ 𝐷, tồn 𝐿 > cho f(z1 ) − f(z2 ) ≤ 𝐿 z1 − z2 ) f(0 , 0) = Khi hệ (4.13) thụ động tồn hàm khả vi liên tục, bán xác định dương 𝑉, gọi hàm trữ thỏa mãn u(𝑡) y(𝑡) ≥ 𝑉(𝑡), ∀𝑡 ≥ (4.14) [9]: Arcak (2007), “Passivity as a design tool for group coordination” [161]: Zelazo andothers (2010), “Edge agreement: Graph-theoretic performance bounds and passivity analysis” 64 Phân tích hệ đồng thuận theo phương pháp Lyapunov trình đồng thuận cạnh Nếu phương trình (4.14), 𝑉 thay 𝑉 + 𝜓(z) với hàm 𝜓 xác định dương, hệ gọi thụ động chặt Hơn nữa, biến đầu trùng với biến trạng thái, u (𝑡)y(𝑡) ≥ 𝑉(𝑡) + 𝜓(y(𝑡)), ∀𝑡, hệ (4.13) thụ động chặt đầu Định lý 4.4.1 Giả sử hệ (4.13) thụ động gốc tọa độ ổn định Lyapunov Nếu hệ (4.13) thụ động chặt gốc tọa độ ổn định tiệm cận Xét hệ gồm hệ (tác tử) cho dạng: x𝑖 = f𝑖 (x𝑖 ) + g𝑖 (x𝑖 )u𝑖 , y𝑖 = h𝑖 , (4.15) với 𝑖 = 1, , 𝑛 kết nối qua đồ thị vô hướng 𝐺 = (𝑉 , 𝐸, 𝑊) Mỗi hệ thụ động với hàm trữ 𝑉𝑖 (x𝑖 ) thỏa mãn: 𝑉𝑖 ≤ y𝑖 u𝑖 − 𝜓 𝑖 (x𝑖 ) (4.16) Giả sử hàm 𝝓 : ℝ 𝑝 → ℝ 𝑝 Lipschitz địa phương (tức khoảng [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ 𝑑 cho trước, tồn 𝐿 > cho 𝝓(x) − 𝝓(y) ≤ 𝐿 x − y , ∀x , y ∈ [𝑎, 𝑏]) thỏa mãn: (i) 𝝓(−x) = −𝝓(x), (ii) x 𝝓(x) > , ∀x ≠ Xét luật đồng thuận thiết kế bởi: 𝝓(y 𝑗 − y𝑖 ), u𝑖 = (4.17) 𝑗∈𝑁𝑖 𝑛 𝑉 𝑖=1 𝑖 hàm Lyapunov 𝑉 = Ta có, 𝑛 𝑉= 𝑛 𝜓 𝑖 (x𝑖 ) y𝑖 u𝑖 − 𝑖=1 𝑖=1 𝑛 ¯ 𝝓(Hy ¯ )− = −y H 𝜓 𝑖 (x𝑖 ) ≤ (4.18) 𝑖=1 Như vậy, x(𝑡) bị chặn Hơn nữa, theo nguyên lý bất biến LaSalle, Hình 4.5: Hệ Σ gồm 𝑛 hệ thụ động với hàm kết nối 𝝓(·) x(𝑡) → Ω = {x | h𝑖 (x𝑖 ) = h 𝑗 (x 𝑗 )}, (4.19) hay y𝑖 → y 𝑗 , 𝑡 → +∞ Vậy, với luật đồng thuận (4.17), tác tử dần tiến tới đồng thuận đầu Ví dụ, chọn hàm 𝝓(x) = Wx, W = diag(𝜔 𝑘 ) ∈ ℝ 𝑚×𝑚 ma trận đường chéo, xác định dương Ví dụ 4.4.1 [Mơ hình Kuramoto đơn giản] Xét hệ 𝑛 tác tử dao động với tần số góc 𝜔 𝑖 > có góc pha cho 𝜃𝑖 (𝑡) Sự tương tác tác tử mô tả đồ thị vô hướng 𝐺 cho phương trình: 𝜃𝑖 (𝑡) = 𝜔 𝑖 − 𝑘 𝑛 sin(𝜃𝑖 − 𝜃 𝑗 ), 𝑖 = , , 𝑛 𝑗∈𝑁𝑖 (4.20) 4.4 Đồng hóa đầu hệ thụ động 65 Hình 4.6: Mơ mơ hình Kuramoto đơn giản cho hệ tác tử Ví dụ 4.4.1 Mơ hình Kuramoto nghiên cứu rộng rãi vật lý có ứng dụng giải thích tượng đồng pha tự nhiên mơ hình đồng nguồn tạo dao động Xét mơ hình Kuramoto đơn giản, tần số góc 𝜔 𝑖 = 𝜔 𝑗 = 𝜔, đồng thời liên kết tác tử mô tả đồ thị vơ hướng, liên thơng 𝐺 Phương trình mơ tả hệ cho 𝜽(𝑡) = 𝜔1𝑛 − 𝑘 H sin(H𝜽) 𝑛 (4.21) Thực phép đổi biến 𝜻(𝑡) = 𝜽(𝑡) − 𝜔𝑡 1𝑛 𝑘 𝜻 = − H sin(H𝜻) 𝑛 (4.22) Có thể kiểm tra hệ (4.22) hệ thụ động Đồng thời, hàm sin(𝑥) thỏa mãn điều kiện (i) (ii) |𝑥| < 𝜋2 Ta suy 𝜻(𝑡) → im(1𝑛 ) 𝑡 → +∞ Điều kéo theo việc 𝜃𝑖 → 𝜃 𝑗 , 𝑡 → +∞ Mô hệ với mơ hình Kuramoto đơn giản gồm tác tử cho Hình 4.6 Trong ví dụ này, đồ thị 𝐺 chọn có ma trận liên thuộc −1 0 −1 −1 −1 H = 0 −1 0 −1 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 𝑘 = 𝑛, 𝜔 𝑖 = Các giá trị 𝜃𝑖 (0) chọn ngẫu nhiên khoảng [− 𝜋4 , 𝜋4 ], |𝜃𝑖 (0) − 𝜃 𝑗 (0)| < 𝜋2 với 𝑖 ≠ 𝑗 Hình 4.6 thể góc pha dần đạt tới đồng thuận 𝑡 → +∞ Code MATLAB mơ Ví dụ 4.6: % Mo phong he t a c tu v o i mo hinh Kuramoto don g i a n g l o b a l H omega H = [ -1 0 0; 66 Phân tích hệ đồng thuận theo phương pháp Lyapunov trình đồng thuận cạnh 10 11 -1 0 ; -1 0 ; 0 -1 0 ; 0 -1 ; 0 -1 0 ; 0 -1 ] ; omega = ; t h e t a = p i / * ( rand ( , ) - ) ; 12 13 14 15 [ t , t h e t a ]= ode45 ( @kuramoto , [ ] , t h e t a ) ; t h e t a=t h e t a ’ ; t_end=l e n g t h ( t ) ; 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 figure (1) h o l d on f o r k =1:6 plot ( t , theta (k , : ) ) end l e g e n d ( { " \ theta_1 " , " \ theta_2 " , " \ theta_3 " , " \ theta_4 " , " \ theta_5 " , " \ theta_6 " } ) x l a b e l ’ Thoi g i a n [ s ] ’ y l a b e l ’ Goc pha \ t h e t a _ i [ rad ] ’ box on 26 27 28 29 30 31 %% Tinh dao ham f u n c t i o n d t h e t a d t = kuramoto ( t , t h e t a ) g l o b a l H omega d t h e t a d t = o n e s ( , ) *omega - H’ * s i n (H* t h e t a ) ; end 4.5 Ghi tài liệu tham khảo Một số kết chọn hàm Lyapunov cho hệ đồng thuận chương tham khảo từ [163] Phương pháp Lyapunov cho ta cách gián tiếp để phân tích q trình đồng thuận, khơng cho hệ đồng thuận tuyến tính mà cịn cho hệ đồng thuận với tác tử có mơ hình phức tạp hơn, hệ đồng thuận có trễ, có đồ thị thay đổi theo thời gian [89], Một số nghiên cứu khác tập trung vào thiết kế luật đồng thuận thời gian hữu hạn, dựa số định lý có dạng gần giống định lý Lyapunov [151, 33, 98, 82] Các thuật tốn đồng thuận với tín hiệu đầu vào thay đổi theo thời gian giới thiệu [118, 47, 61, 13] Các kết đồng thuận cạnh, mơ hình đồng thuận rút gọn phân tích hệ đồng thuận theo phương pháp thụ động hóa chương trình bày từ tài liệu [161] 4.6 Bài tập Bài tập 4.6.1 Xét hệ đồng thuận tác tử dạng tích phân bậc 4.6 Bài tập 67 hai cho 𝑥 𝑖1 = 𝑥 𝑖2 , 𝑥 𝑖 = −𝑘1 (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ) − 𝑘2 𝑥 𝑖 , 𝑖 = , , 𝑛, 𝑗∈𝑁𝑖 x𝑖 = [𝑥 𝑖 , 𝑥 𝑖 ] biến trạng thái tác tử thứ 𝑖, 𝑘 , 𝑘2 > số dương đồ thị tương tác 𝐺 vơ hướng Hãy phân tích tính hội tụ hệ đồng thuận theo phương pháp Lyapunov Bài tập 4.6.2 Câu hỏi giống tập 4.6.1 với hệ đồng thuận cho bởi: 𝑥 𝑖1 = 𝑥 𝑖2 , 𝑥 𝑖 = −𝑘 (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ) − 𝑘 𝑥 𝑖 − 𝑘3 𝑗∈𝑁𝑖 (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ), 𝑖 = , , 𝑛 𝑗∈𝑁𝑖 Bài tập 4.6.3 Xét hệ đồng thuận bị ảnh hưởng nhiễu: 𝑥𝑖 = − (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ) + 𝜔 𝑖 (𝑡), 𝑖 = , , 𝑛, (4.23) 𝑗∈𝑁𝑖 𝜔 𝑖 (𝑡) thỏa mãn |𝜔 𝑖 (𝑡)| ≤ 𝑘 𝑖 𝑒 −𝜌𝑖 𝑡 Chứng minh x tiến tới tập đồng thuận 𝑡 → +∞ Gợi ý: Sử dụng bổ đề: “Nếu x = Ax + 𝝎 hệ thỏa mãn A ma trận Hurwitz, 𝝎 → 𝑡 → +∞ x = ổn định tiệm cận.” kết hợp với việc viết lại hệ (4.23) dạng ma trận, phân tích L = P𝚲P−1 đổi biến z = P−1 x Bài tập 4.6.4 [18, 134] Với D ⊆ ℝ 𝑑 x ∈ D Nếu tồn hàm liên tục 𝑉(x) : D → ℝ cho điều kiện sau thỏa mãn (i) 𝑉(x) xác định dương, (ii) Tồn 𝜅 > 0, 𝛼 ∈ (0 , 1), tập mở U0 ∈ D chứa gốc tọa độ mà 𝑉(x) + 𝜅(𝑉(x))𝛼 ≤ , ∀x ∈ U0 \ {0𝑑 }, 𝑉(x) tiến tới thời gian hữu hạn bị chặn 𝑇 ≤ 𝑉(0)1−𝛼 /(𝜅(1 − 𝛼)) Sử dụng kết trên, xét hệ đồng thuận với đồ thị 𝐺 vô hướng Chứng minh luật đồng thuận cho sig𝛼 (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ), 𝑖 = , , 𝑛, 𝑥 𝑖 = −𝑘 (4.24) 𝑗∈𝑁𝑖 𝑘 > 0, 𝛼 ∈ (0, 1) sig𝛼 (𝑥) = |𝑥| 𝛼 sign(𝑥), giúp hệ đạt đồng thuận giá trị trung bình cộng thời gian hữu hạn Tìm cận thời gian hội tụ nhận xét phụ thuộc giá trị với tham số 𝑘, 𝛼, 𝜆2 (L) hệ Bài tập 4.6.5 Xét mơ hình mạng robot tương tác qua [18]: Bhat andothers (1998), “Finitetime stability of continuous autonomous systems” [134]: Trinh andothers (2020), “Pointing consensus and bearing-based solutions to the Fermat-Weber location problem” 68 Phân tích hệ đồng thuận theo phương pháp Lyapunov q trình đồng thuận cạnh đồ thị vơ hướng, liên thông 𝐺 Mỗi robot mạng mô tả phương trình: M(q𝑖 )q𝑖 + C(q𝑖 , q𝑖 )q𝑖 + g(q𝑖 ) = u𝑖 , 𝑖 = , , 𝑛, (4.25) đó: q𝑖 = [𝑞 𝑖 , , 𝑞 𝑖𝑑 ] : vector tọa độ suy rộng biến khớp u𝑖 = [𝑢𝑖 , , 𝑢𝑖𝑑 ] : vector điều khiển đầu vào (ngoại lực) M(q𝑖 ) = M(q𝑖 ) > , ∀q𝑖 : ma trận quán tính, thỏa mãn < 𝑘 𝑚 ≤ M(q𝑖 ) ≤ 𝑘 𝑚¯ C(q𝑖 , q𝑖 )q𝑖 : thành phần lực hướng tâm lực Coriolis, M(q𝑖 ) = C(q𝑖 , q𝑖 ) + C(q𝑖 , q𝑖 ) g(q𝑖 ) = 𝜕𝜕𝑃 : trọng lực, 𝑃(q𝑖 ): hàm năng, g(q𝑖 ) = ⇐⇒ q𝑖 q𝑖 = 0𝑑 i Xét robot 𝑖, sử dụng hàm Lyapunov 𝑉 = 12 (q𝑖 ) M𝑖 (q𝑖 )q𝑖 +𝑃(q𝑖 ), chứng minh với luật điều khiển u𝑖 = −K𝑑 q𝑖 , K𝑑 = K𝑑 > q𝑖 = 0𝑑 , q𝑖 = 0𝑑 ổn định tiệm cận toàn cục ii Xét luật đồng thuận cho tác tử dạng: 𝑎 𝑖𝑗 (q𝑖 − q 𝑗 ) − 𝑘 q𝑖 ) + C(q𝑖 , q𝑖 )q𝑖 + g(q𝑖 ), u𝑖 = M(q𝑖 )(− 𝑗∈𝑁𝑖 𝑖 = , , 𝑛 Viết phương trình dạng ma trận mô tả hệ với luật đồng thuận với biến trạng thái q = vec(q1 , , q𝑛 ) q = vec(q1 , , q𝑛 ) iii Với luật đồng thuận ý (ii), xét hàm Lyapunov 𝑉1 = 12 q (L ⊗ I𝑑 + 𝑘 I𝑑𝑛 )q + 2𝜇q q + 12 q q, L ma trận Laplace đồ thị 𝐺, 𝑘1 = 𝜇𝑘 𝑘 > 2𝜇 > Chứng minh 𝑉1 xác định dương 𝑉1 bán xác định âm Sử dụng định lý LaSalle, chứng minh hệ đạt đồng thuận với điều kiện đầu q(0), q(0) iv Với luật đồng thuận ý (ii), xét hàm Lyapunov 𝑉1 = 12 q (L ⊗ I𝑑 )q + 12 q q Chứng minh (L⊗ I𝑑 )q q bị chặn Sử dụng bổ đề Barbalat (xem phụ lục B), chứng minh q(𝑡) → ker(L) q → 0𝑑𝑛 , 𝑡 → +∞, hay biến tọa độ suy rộng dần đạt tới đồng thuận Bài tập 4.6.6 Xét đồ thị 𝐺 vô hướng, liên thông, gồm 𝑛 đỉnh 𝑚 cạnh với ma trận Laplace L ma trận Laplace cạnh L𝑒 Với 𝑇 bao trùm 𝐺 giả sử 𝜆 𝑖 (A) kí hiệu giá trị riêng nhỏ thứ 𝑖 ma trận A Chứng minh 𝜆 𝑖 (L) ≥ 𝜆 𝑖 (L𝑒 (𝑇)) Bài tập 4.6.7 Với 𝐺 = (𝑉 , 𝐸) với ma trận Laplace cạnh L𝑒 có phổ 𝜆1 ≤ ≤ 𝜆𝑛 Gọi 𝐺 đồ thị thu nhờ thêm cạnh vào 𝐺, L𝑒 ma trận Laplace cạnh tương ứng với giá trị riêng 𝜆ˆ ≤ ≤ 𝜆ˆ 𝑛+1 Chứng minh rằng: ≤ 𝜆ˆ ≤ 𝜆1 ≤ 𝜆ˆ ≤ 𝜆𝑛 ≤ 𝜆ˆ 𝑛+1 (4.26) 4.6 Bài tập 69 Bài tập 4.6.8 Với đồ thị 𝐺 vô hướng, liên thông, gồm 𝑛 đỉnh 𝑚 cạnh, chứng minh quan hệ sau: i Với S𝑣 = H𝐸(𝑇) H𝐸(𝑇) H𝐸(𝑇) (S𝑣 )−1 LS𝑣 = −1 H𝐸(𝑇) 𝑛 1𝑛 1𝑛 (S𝑣 )−1 = −1 L𝑒 (𝑇) H𝐸(𝑇) H𝐸(𝑇) 0𝑛−1 0𝑛−1 (4.27) (R R)−1 R , V𝑒 ∈ V𝑒 ℝ 𝑛×(𝑚−𝑛+1) ma trận với cột tạo thành sở khơng gian chu trình 𝐺 ii Với S𝑒 = R V𝑒 , (S𝑒 )−1 = (S𝑒 )−1 L𝑒 S𝑒 = L𝑒 (𝑇)R R 0 0𝑚−𝑛+1,𝑚−𝑛+1 S iii Với S = S𝑒 (S¯ 𝑣 )−1 , S¯ 𝑣 = 𝑣 (S)−1 L𝑒 S = I𝑛−𝑚 (4.28) L 0𝑚−𝑛,𝑚−𝑛 (4.29) Bài tập 4.6.9 Chứng minh ma trận Laplace cạnh đồ thị đường thẳng 𝑃𝑛 ma trận nghịch đảo cho −1 −1 −1 L𝑒 (𝑃𝑛 ) = , − − −1 [(L𝑒 (𝑃𝑛 ))−1 ]𝑖𝑗 = (a) min(𝑖, 𝑗)(𝑛 − max(𝑖, 𝑗)) 𝑛 (b) Bài tập 4.6.10 Tìm ma trận H, L𝑒 , T tương ứng đồ thị Hình 4.7 Tìm sở khơng gian chu trình đồ thị Bài tập 4.6.11 Xét đồ thị vô hướng 𝐺 = (𝑉 , 𝐸) với 𝑛 đỉnh 𝑚 cạnh có ma trận Laplace L Chứng minh rằng: Hình 4.7: Các đồ thị Bài tập 4.6.10 i Với x , y ∈ ℝ 𝑛 , ta có 𝑎 𝑖𝑗 (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 )(𝑦 𝑖 − 𝑦 𝑗 ) y Lx = (c) (𝑖,𝑗)∈𝐸 ii Từ chứng minh với x ∈ ℝ 𝑛 sign(x) Lx ≤ , bất đẳng thức chặt tồn cạnh (𝑖, 𝑗) cho sign(𝑥 𝑖 ) ≠ sign(𝑥 𝑗 ) 70 Phân tích hệ đồng thuận theo phương pháp Lyapunov trình đồng thuận cạnh Bài tập 4.6.12 Xét đồ thị vô hướng, liên thông 𝐺 gồm 𝑛 đỉnh 𝑚 cạnh Gọi 𝑇(𝐺) bao trùm 𝐺 Chứng minh 𝜆 𝑖 (L) ≥ 𝜆 𝑖 (L𝑒 (𝑇)) Bài tập 4.6.13 Phân tích hệ đồng thuận sau dựa lý thuyết ổn định Lyapunov: i ii iii iv [73]: Mei (2018), “Model reference adaptive consensus for uncertain multi-agent systems under directed graphs” 𝑥 𝑖 = − 𝑗∈𝑁𝑖 sign(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ), 𝑖 = , , 𝑛 𝑥 𝑖 = − 𝑗∈𝑁𝑖 sat(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ), 𝑖 = , , 𝑛 𝑥 𝑖 = − 𝑗∈𝑁𝑖 tanh(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ), 𝑖 = , , 𝑛 x𝑖 = − 𝑗∈𝑁𝑖 A𝑖𝑗 (x𝑖 − x 𝑗 ), 𝑖 = , , 𝑛, x𝑖 ∈ ℝ 𝑑 , A𝑖𝑗 = A 𝑗𝑖 = A𝑖𝑗 ∈ ℝ 𝑑×𝑑 ma trận đối xứng, xác định dương Bài tập 4.6.14 (Thuật tốn đồng thuận thích nghi) [73] Xét hệ đa tác tử mô tả đồ thị 𝐺 vô hướng, liên thông Giả sử mô hình tác tử cho 𝑥 𝑖 = 𝑢𝑖 + 𝑓𝑖 (𝑥 𝑖 , 𝑡)𝜃𝑖 , 𝜃𝑖 ∈ ℝ tham số chưa biết 𝑓𝑖 (𝑡) hàm biết thỏa mãn điều kiện Lipschitz Xét thuật tốn đồng thuận thích nghi cho bởi: (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ) − 𝑓𝑖 (𝑥 𝑖 , 𝑡)𝜃ˆ 𝑖 𝑢𝑖 = − (4.30) 𝑗∈𝑁𝑖 𝜃ˆ 𝑖 = 𝛾𝑖 𝑓𝑖 (𝑥 𝑖 , 𝑡) (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑗 ), 𝑖 = , , (4.31) 𝑗∈𝑁𝑖 𝛾𝑖 > hệ số thích nghi i Hãy biểu diễn hệ dạng ma trận ii Xét hàm Lyapunov 𝑉 = 12 x Lx + 2 𝑛 (𝜃ˆ 𝑖 −𝜃𝑖 ) 𝛾𝑖 𝑖=1 Sử dụng bổ đề Barbalat (xem Phụ lục B), chứng minh 𝑥 𝑖 → 𝑥 𝑗 , ∀𝑖, 𝑗 = , , 𝑛 𝑡 → +∞ ... trạng thái hệ với luật đồng thuận (9.5) 89 92 92 93 95 99 10 2 10 3 10 5 10 5 10 7 10 9 11 4 11 7 11 8 11 8 11 8 11 9 12 4 12 6 12 9 13 0 13 0 13 1 13 1 13 1 13 2 13 4 13 5 13 6 13 9 14 3 14 3 14 4 14 4 9.6 Ví dụ... Điều khiển hệ đa tác tử Điều khiển hệ đa tác tử Trịnh Hoàng Minh, Nguyễn Minh Hiệu Ngày 30 tháng 11 năm 2022 Điều khiển hệ đa tác tử Bản quyền Giáo trình chia sẻ qua website cá nhân TS Trịnh. .. 11 3 11 3 11 3 11 3 11 4 11 5 11 5 11 6 11 7 11 8 Mơ hình động học ý kiến 8 .1 Mơ hình French - Degroot 8.2 Mơ hình Friendkin - Johnsen 8.3 Mơ