Tai liu hng dn mon hc

Tài li u h ng d n môn h c TÀI LI U H NG D N MÔN H C CH NG TRÌNH KHƠNG CHUN STT NGÀNH: K TỐN, QU N TR KINH DOANH MƠN H C GHI CHÚ Lý thuy t Xác su t th ng kê tốn TÊN MƠN H C MÃ S TH I L NG CH NG TRÌNH ĐI U KI N TIÊN QUY T MÔ T MÔN H C ĐI M Đ T LÝ THUY T XÁC SU T VÀ TH NG KÊ TỐN S tín ch : 04 (01 tín ch ng v i 15 ti t) Lý thuy t: 60 ti t Thực hành: ti t T ng c ng: 60 ti t Đã đ c trang b ki n th c Toán cao c p • Cung c p khái ni m c b n v lý thuy t xác su t th ng kê tốn h c • Trong ph n xác su t, khái ni m v bi n c , xác su t c a bi n c Bi n c ng u nhiên, phân ph i xác su t đ c đ c p nêu lên đ c tr ng • Trong ph n th ng kê toán h c, sinh viên s h c khái ni m liên quan đ n t p m u th ng kê, lý thuy t c l ng, ki m đ nh gi thuy t m i t ng quan h i qui • Sinh viên ti p c n nh ng ki n th c thông qua vi c k t h p gi ng l p, tự h c tìm hi u thêm tài li u • Trang b ki n th c xác su t, th ng kê b c đ u giúp sinh viên làm quen v i m t vài ng d ng toán h c cu c s ng - Hi n di n l p: 10% m (Danh sách bu i th o lu n t p nhóm) V ng 12 ti t khơng đ c c ng m - Ki m tra: 20% m (2 ki m tra gi a cu i môn h c) - Ki m tra h t môn: 70% m (Bài thi h t môn) L u ý: Danh sách buổi th o luận ki m tra đ ợc h y danh sách b ng m thi h t môn đ ợc công b Lý thuy t Xác su t th ng kê toán Trang Tài li u h ng d n môn h c C U TRÚC MÔN H C Ch ng 1: Khái quát nh ng ki n th c c b n v lý thuy t xác su t Ch ng 2: Đ i l ng ng u nhiên ng d ng m t s quy lu t phân ph i thông d ng Ch ng 3: Khái ni m t ng th m u Ch ng 4: c l ng tham s đ c tr ng c a t ng th Ch ng 5: Ki m đ nh gi thi t tham s th ng kê Ch ng 6: Hàm h i qui t ng quan * Thực hành: Làm tập lớp+ Hoạt đ ng theo nhóm+ Thảo luận Lý thuy t Xác su t th ng kê toán Trang Tài li u h ng d n môn h c K HO CH ĐÁNH GIÁ MÔN H C K t qu h c tập Thời l ợng gi ng d y 12,0 14,0 06,0 09,0 12,0 07,0 M c đ yêu cầu đ t đ ợc Gi Gi Gi Gi Gi Gi iđ iđ iđ iđ iđ iđ c t c t c t c t c t c t p p p p p p Hình th c đánh giá Bài Thực Đ t p Thao t p Vi t v thực tài tác t nhà X X X X X X X X X Tự h c ĐÁNH GIÁ CU I MƠN H C HÌNH TH C Thi (tự lu n) TH I GIAN 90 - 120 phút N I DUNG ĐÁNH GIÁ Tr ng tâm: - Các tốn tính xác su t d ng c n, công th c c ng, nhân, đ y đ , Bernuolli - Các tốn v tính tốn tham s nh kỳ v ng, ph ng sai, đ l ch tiêu chu n c a đ i l ng ng u nhiên - S d ng tính phân ph i c a đ i l ng ng u nhiên đ gi i t p nh phân ph i nh th c, Poison, Chu n, mũ, đ u,… - Các t p v c l ng tham s c a đ i l ng ng u nhiên - Các toán v ki m đ nh tham s c a đ i l ng ng u nhiên - Tìm hàm h i qui n tính Lý thuy t Xác su t th ng kê toán Trang Tài li u h ng d n môn h c N I DUNG CHI TI T MÔN H C .8 CH NG 1: KHÁI QUÁT NH NG KI N TH C C B N V LÝ THUY T XÁC SU T Bài B SUNG V GI I TÍCH T H P 1.1 Quy t c đ m (quy t c nhân) 1.2 Ch nh h p (không l p) 1.3 Ch nh h p l p .9 1.4 Hoán v .10 1.5 T h p .10 BÀI T P 12 Bài 2: LI T KÊ CÁC BI N C VÀ QUAN H GI A CÁC LO I BI N C 13 Phép th bi n c 13 Các lo i bi n c : 13 2.1 Bi n c ch c ch n: 13 2.2 Bi n c không th : 13 2.3 Bi n c ng u nhiên: 13 2.4 Bi n c thu n l i (Bi n c kéo theo) 13 2.5 Bi n c s c p: 13 2.6 Bi n c hi u: .14 2.7 Bi n c t ng: .14 2.8 Bi n c tích: 14 2.9 Bi n c xung kh c: .15 2.10 Bi n c đ i l p: 15 2.11 Bi n c đ ng kh năng: 15 Các tính ch t: 15 BÀI T P 16 Bài Đ NH NGHƾA XÁC SU T 17 3.1 Đ nh nghƿa xác su t theo l i c n 17 3.2 Đ nh nghƿa xác su t theo l i th ng kê: (Bằng t n su t) .19 3.3 Đ nh nghƿa xác su t theo hình h c .20 BÀI T P 23 Bài M T S CÔNG TH C TÍNH XÁC SU T 25 4.1 Các đ nh nghƿa 25 4.2 Công th c c ng 25 4.3 Công th c nhân xác su t 26 4.3.1 Xác su t có u ki n 26 4.3.2 Công th c nhân xác su t: 28 Bài CÔNG TH C XÁC SU T Đ Y Đ VÀ CÔNG TH C BAYES 29 Lý thuy t Xác su t th ng kê toán Trang Tài li u h ng d n môn h c 5.1 Công th c xác su t đ y đ 29 5.2 Công th c Bayes .29 5.3 Công th c Bernoulli 31 5.4 Công th c Bernoulli m r ng 32 5.4.1 L c đ Bernoulli m r ng 32 5.4.2 Công th c Bernoulli m r ng 32 BÀI T P 33 CH NG 2: Đ I L NG NG U NHIÊN VÀ PHÂN PH I XÁC SU T 37 Bài Đ I L NG NG U NHIÊN .37 1.1 Các đ nh nghƿa 37 1.2 Phân ph i xác su t c a đ i l ng ng u nhiên 37 1.2.1 B ng phân ph i xác su t 37 1.2.2 Hàm m t đ xác su t 39 1.2.3 Hàm phân ph i xác su t .40 1.2.4 Phân v m c xác su t α .41 Bài CÁC THAM S Đ C TR NG C A Đ I L NG NG U NHIÊN 43 2.1 Kỳ v ng: (expectation) .43 2.2 Ph ng sai: (Variance) .44 2.3 Đ l ch tiêu chu n 46 2.4 Môment .46 2.5 Mode 46 2.6 Trung v 47 BÀI T P 48 Bài M T S QUI LU T PHÂN PH I XÁC SU T THÔNG D NG 51 3.1 Phân ph i nh th c 51 3.2 Phân ph i Poison 52 3.3 Phân ph i siêu b i 54 3.4 Phân ph i chu n 56 3.4.1 Phân ph i chu n 56 3.4.2 Phân ph i chu n t c 58 3.5 Phân ph i mũ 59 3.6 Phân ph i χ2 60 3.7 Phân ph i Student .61 3.8 Phân ph i đ u 62 BÀI T P 64 Bài Đ I L NG NG U NHIÊN HAI CHI U .67 4.1 Đ nh nghƿa 67 4.2 Phân ph i xác su t c a đ i l ng ng u nhiên hai chi u 67 4.2.1 B ng phân ph i xác su t 67 Lý thuy t Xác su t th ng kê toán Trang Tài li u h ng d n môn h c 4.2.2 Hàm phân ph i xác su t .67 4.2.3 Hàm m t đ xác su t 68 4.3 Các tham s đ c tr ng c a hàm m t bi n ng u nhiên 68 4.3.1 Tr 4.3.2 Tr ng h p (X,Y) r i r c 68 ng h p (X,Y) liên t c 70 4.4 Hàm c a đ i l ng ng u nhiên 71 4.4.1 Hàm m t bi n ng u nhiên 71 4.4.2 Hàm c a đ i l ng ng u nhiên r i r c 72 4.4.3 Hàm c a hai đ i l ng ng u nhiên r i r c đ c l p 73 4.4.4 Hàm c a đ i l ng ng u nhiên liên t c .75 4.4.5 Hàm t ng c a hai đ i l ng ng u nhiên liên t c đ c l p 76 BÀI T P 78 Bài LU T S L N 80 5.1 B t đẳng th c Markov 80 5.2 B t đẳng th c Tchebyshev 80 5.3 Đ nh lý Tchebyshev 80 5.4 Đ nh lý Bernoulli 81 CH NG 3: KHÁI NI M T NG TH VÀ M U 82 Bài T NG TH VÀ M U 82 1.1 T ng th 82 1.2 M u 83 1.3 Mơ hình xác su t c a t ng th m u .83 Bài TH NG KÊ 85 2.1 Trung bình c a m u ng u nhiên 85 2.2 Ph ng sai c a m u ng u nhiên 85 2.3 Ph ng sai u ch nh c a m u ng u nhiên 86 2.4 Đ l ch tiêu chu n đ l ch tiêu chu n u ch nh 86 Bài THU TH P S LI U VÀ S P X P S LI U 88 3.1 Thu th p s li u 88 3.2 S p x p s li u 88 3.3 Thực hành tính giá tr x , s2: .89 CH NG 4: C L NG THAM S C A Đ I L NG NG U NHIÊN 90 Bài GI I THI U CÁC PH NG PHÁP 90 1.1 Mô t ph 1.2 Các ph Bài CL ng pháp: 90 ng pháp cl ng m: 90 NG CÁC THAM S 94 Lý thuy t Xác su t th ng kê toán Trang Tài li u h ng d n môn h c 2.1 Mô t ph ng pháp: 94 2.2 cl ng trung bình: 94 2.3 cl ng t l : 98 2.4 cl ng v ph ng sai: 100 BÀI T P 103 CH NG 5: KI M Đ NH GI THUY T TH NG KÊ .106 Bài GI I THI U CÁC KHÁI NI M 106 1.1 Các khái ni m: 106 1.1.1 Bài toán ki m đ nh gi thi t th ng kê: .106 1.1.2 Sai l m lo i I sai l m lo i II: 106 1.1.3 M c ý nghƿa α: 107 1.2 Ph ng pháp ki m đ nh gi thi t th ng kê: 107 Bài KI M Đ NH CÁC THAM S 108 2.1 Ki m đ nh v trung bình: 108 2.2 Ki m đ nh v t l : 111 2.3 Ki m đ nh v ph ng sai: 112 2.4 Ki m đinh v c a hai trung bình: .113 2.5 Ki m đ nh v c a hai t l : 121 2.6 Ki m đ nh v c a hai ph ng sai: 122 BÀI T P 124 CH NG 6: T NG QUAN VÀ H I QUI 128 Bài T NG QUAN 128 1.1 M i quan h gi a hai đ i l 1.2 H s t ng ng u nhiên: 128 ng quan: 128 1.2.1 Moment t ng quan (Covarian): 128 1.2.2 H s t ng quan: 128 1.3 Tỷ s t ng quan: 130 Bài 2: TÌM HÀM H I QUI 131 2.1 Kỳ v ng có u ki n: 131 2.2 Hàm h i qui: .131 2.3 Xác đ nh hàm h i qui n tính m u (thực nghi m): .132 TÀI LI U THAM KH O 139 Lý thuy t Xác su t th ng kê toán Trang Tài li u h ng d n môn h c N I DUNG CHI TI T MÔN H C CH NG 1: KHÁI QUÁT NH NG KI N TH C C LÝ THUY T XÁC SU T Bài B SUNG V GI I TÍCH T 1.1 Quy t c đ m (quy t c nhân) B NV H P Đ nh nghƿa: Giả sử m t công việc phải trải qua k giai đoạn Giai đoạn có n1 cách thực hiện, giai đoạn có n2 cách thực hiện, , giai đoạn k có nk cách thực Khi đó, đ hồn thành c cơng vi c ta có n = n1 n2 n3 nk cách thực hi n Ví d 1: Có sách tốn, sách lý, sách văn Hỏi có cách để lấy m i loại m t sách? Có giai đo n: Giai đo n 1, l y quy n tốn → có cách l y Giai đo n 2, l y quy n lý Giai đo n 3, l y quy n văn → có cách l y → có cách l y ⇒ S cách l y n = 4.2.3 = 24 cách Ví d 2: Có cách từ thành phố A đ n thành phố B, có cách từ thành phố B đ n thành phố C có cách từ thành phố C đ n thành phố D Hỏi có cách từ thành phố A đ n thành phố D ? A B C D S cách từ thành ph A đ n thành ph D : n = 3.5.2 = 30 (cách) Ví d 3: Các nhóm I, II, III, IV lần l ợt có 8, 10, 12, sinh viên Cần ch n sinh viên, m i nhóm sinh viên Hỏi có cách ch n nh vậy? Vi c ch n sinh viên xem nh đ c chia làm giai đo n: Giai đo n 1: Ch n sinh viên c a nhóm I : cách Giai đo n 2: Ch n sinh viên c a nhóm II : 10 cách Giai đo n 3: Ch n sinh viên c a nhóm III : 12 cách Giai đo n 4: Ch n sinh viên c a nhóm IV : cách ⇒ S cách ch n: 8.10.12.9 = 8640 cách 1.2 Ch nh h p (không l p) Đ nh nghƿa: Chỉnh hợp chập k n phần tử (k≤ n) m t b (nhóm) có thứ tự gồm k phần tử khác đ ợc ch n từ n phần tử cho Chỉnh hợp chập k n phần tử k kí hiệu là: A n k Cơng th c: A n = Lý thuy t Xác su t th ng kê toán n! ( n − k )! Trang Tài li u h ng d n môn h c Chú ý: + n!: n giai thừa n! = n.(n-1)……3.2.1 + Qui c: 0! = Ví d 4: Trong buổi hợp gồm 12 ng m t th ký? i Hỏi có cách ch n m t chủ t a S cách ch n ch nh h p ch p c a 12 ⇒ có n = A12 = 12! = 12.11 =132 cách (12 − 2)! Ví d 5: Cho m t tập hợp gồm số 0,1,2,3,4,5 Hỏi có số tự nhiên gồm chữ số khác nhau? Ta có s 0123, 0134,… khơng ph i s tự nhiên có ch s nên ta chia cơng vi c làm hai giai đo n Giai đo n 1: Ch n ch s đ u tiên ph i khác Vì cịn l i s nên có cách ch n Giai đo n 2: Ch n s l i từ s l i Do có k th tự, khơng trùng nên s cách ch n s ch nh h p ch p c a 5: A5 = 3.4.5 = 60 ⇒ S cách hồn thành cơng vi c n = 5.60 = 300 cách Ví d 6: Cho E = {1, 2, 3, 4} Có số tự nhiên bao gồm hai chữ số phân biệt đ ợc thành lập từ E M i s tự nhiên bao g m hai ch s phân bi t đ c thành l p từ E m t ch nh h p (không lặp) ch p c a Nên s s tự nhiên c n tìm là: A42 = 4! 4.3.2.1 = = 12 2! 2.1 Ví d 7: M t lớp có môn h c, m i ngày h c môn Hỏi có cách x p th i khóa biểu m t ngày? S cách x p th i khố bi u m t ngày vi c l y ph n t khác từ t p h p g m ph n t Vì vi c l y g n li n v i vi c x p th i khoá bi u nên th tự quan tr ng V y s cách x p th i khoá bi u cho m t ngày s ch nh h p ch p c a ph n t : A82 = 8! 8! = = 7.8 = 56 (cách) (8 − 2)! 6! 1.3 Ch nh h p l p Đ nh nghƿa: Chỉnh hợp lặp chập k n phần tử m t b (nhóm) có thứ tự gồm k phần tử đ ợc ch n từ n phần tử cho, phần tử nhóm lặp lại 2,3,4, , k lần G i s ch nh h p l p ch p k c a n ph n t Bn , đó: k B k n = nk Ví d 8: X p ngẫu nhiên sách vào ngăn kéo Hỏi có cách x p? M i cách x p quy n sách vào ngăn kéo xem nh m t ch nh h p l p ch p c a (m i l n x p m t quy n sách vào m t ngăn, ta có th xem nh ch n m t ngăn ⇒ Có cách ch n Do có quy n sách nên s cách ch n n = 35 = 243 cách Ví d 9: Có số tự nhiên gồm chữ số từ số: 1, 2, 3, 4, 5? Lý thuy t Xác su t th ng kê toán Trang Tài li u h ng d n mơn h c Có B = 54 = 625 s Ví d 10: Có cách x p 10 ng S cách s p x p 10 ng t S cách s p x p: B310 = 310 i lên m t tàu hỏa có toa? i lên toa tàu s ch nh h p l p ch p 10 c a ph n Ví d 11: M i vé số m i tỉnh gồm có chữ số Hỏi m i tỉnh phát hành m i đợt s phát hành đ ợc vé số khác nhau? Ta có m i vé s g m có ch s , nên ta có th xem vi c phát hành m t vé s vi c ch n s b t kỳ có th tự có th trùng từ 10 s từ đ n Do m i vé s đ c phát hành có th đ c xem m t ch nh h p l p ch p c a 10 V y s vé s có th phát hành m i đ t c a m i t nh s ch nh h p l p ch p c a 10: B106 = 106 = 1000000 (vé s ) L u ý: Trong ch nh h p khơng l p k ≤ n ch nh h p l p có th có k > n 1.4 Hốn v Đ nh nghƿa: Hoán v n phần tử m t b có thứ tự gồm đủ mặt n phần tử cho G i số hoán v n phần tử Pn, ta có cơng thức: Pn = n! Do m i hốn v đ u có đ m t ph n t , nên hai hốn v khác có nh t m t th tự s p x p khác Chẳng h n: 312 khác 321 Ví d 12: Hỏi có cách x p h c sinh vào m t bàn có ch ngồi? S cách x p là: n = P4 = 4! = 24 cách Ví d 13: Có sách Tốn, sách Lý sách XSTK (các sách khác nhau) đ ợc x p vào kệ Hỏi có cách x p cho sách loại đứng gần nhau? Đ th a tốn, ta chia cơng vi c giai đo n sau: Giai đo n 1: Phân k thành ph n đ x p lo i sách: Có 3! cách s p x p Giai đo n 2: X p cu n Tốn → ph n dành cho Tốn: Có 3! cách s p x p Giai đo n 3: X p cu n Lý → ph n dành cho Lý: Có 2! cách s p x p Giai đo n 4: X p cu n XSTK → ph n dành cho XSTK: Có 5! cách s p x p ⇒ S cách s p x p cho c toán: 3!.3!.2!.5! = 8640 (cách) 1.5 T h p Đ nh nghƿa: Tổ hợp chập k n phần tử (k ≤ n) m t b (nhóm) khơng kể thứ tự gồm k phần tử khác đ ợc ch n từ n phần tử cho G i số tổ hợp chập k n phần tử là: k C n , có: C k n = n! k! ( n − k )! Chú ý: C nk = C nn − k ⇒ C n0 = C nn = Ví d 14: M i đề thi gồm có câu hỏi khác ch n từ 25 câu hỏi cho Hỏi thành lập đ ợc đề thi khác nhau? Lý thuy t Xác su t th ng kê toán Trang 10 Tài li u h ng d n môn h c Tr ng l ng (g) S Tr ng l ng (g) S 236 – 240 248 – 252 240 – 244 252 – 256 244 – 248 256 – 260 V i m c ý nghƿa α = 1,2%, ki m đ nh u nghi ng Tr ng l ng trung bình xu t chu ng m t tr i chăn nuôi gà tr c 3,3 kg/con Năm ng i ta s d ng m t lo i th c ăn m i, cân th 15 gà xu t chu ng ta đ c s li u sau: 3,25 2,50 4,00 3,75 3,80 3,90 4,02 3,80 3,20 3,82 3,40 3,75 4,00 3,50 3,60 a) V i m c ý nghƿa α = 5%, cho k t lu n v tác d ng c a lo i th c ăn b) N u tr i chăn nuôi báo cáo tr ng l có ch p nh n đ c hay khơng? ng trung bình xu t chu ng 3,5 kg/con Đo ch s m s a c a 130 lai Hà – n F1 ta đ a) Hãy c b ng s li u: Ch s m s a S bò Ch s m s a S bò 3,0 – 3,6 5,4 – 6,0 22 3,6 – 4,2 6,0 – 6,6 15 4,2 – 4,8 35 6,6 – 7,2 4,8 – 5,4 43 cl ng ch s m s a trung bình c a gi ng bị lai v i đ tin c y 99% b) Bi t ch s m s a c a gi ng bò Hà Lan thu n ch ng 4,95 V i m c ý nghƿa 1%, cho k t lu n v hi u qu c a vi c lai gi ng Đ nghiên c u tác d ng c a m t ch t kích thích sinh tr ng đ i v i su t ngô, ng i ta ghi l i k t qu m nh ru ng thí nghi m m nh ru ng đ i ch ng đ c b ng s li u sau (tính theo t /ha): Năng su t ngơ m nh ru ng thí nghi m: X 60 58 29 39 47 Năng su t ngô m nh ru ng đ i ch ng : Y 55 53 30 37 49 V i m c ý nghƿa 5%, cho k t lu n v hi u qu c a ch t kích thích trên, coi su t ngô đ i l ng có lu t phân ph i chu n Cân th 100 trái nông tr ng I, ta có k t qu nh sau: Tr ng l ng X (g) 15 – 35 35 – 55 55 – 75 75 – 95 95 – 115 Lý thuy t xác su t th ng kê toán S trái 12 26 35 22 Trang 125 Tài li u h ng d n môn h c Cân th 150 trái Tr ng l a) Hãy c l tin c y 95% nông tr ng Y (g) ng II, ta có k t qu nh sau: S trái Tr ng l ng Y (g) S trái 45 – 50 70 – 75 18 50 – 55 75 – 80 12 55 – 60 15 80 – 85 60 – 65 32 85 – 90 65 – 70 47 90 – 95 ng tr ng l ng trung bình c a trái b) Có th xem tr ng l ng trung bình c a trái không v i m c ý nghƿa 1% hai nông tr hai nông tr ng v i đ ng đ c) Nh ng trái có tr ng l ng l n h n 75g đ c xem lo i m t Hãy trái lo i I c a nông tr ng v i m c ý nghƿa 3% d) Có th cho t l trái lo i I c a nông tr c a nông tr ng II đ c không v i m c ý nghƿa 5% cl c ng t l ng I l n h n t l trái lo i m t e) N u cho tr ng l ng trung bình c a trái lo i I nông tr ng I l n h n tr ng l ng trung bình c a trái lo i I nơng tr ng II v i đ tin c y 95% có đ c khơng? Bi t tr ng l ng c a trái lo i I có lu t phân ph i chu n f) T Tr ng tự câu e) v i tr ng l ng c a trái lo i m t có phân ph i chu n N (μ , ) c sau d p T t giá c a m t hàng A t i c a hi u thành ph nh sau: C a hi u Tr cT t Sau T t C a hi u Tr cT t Sau T t 95 98 105 109 109 105 99 105 99 99 109 115 98 99 102 110 V i m c ý nghƿa 5%, ki m đ nh xem có ph i có khuynh h v i m t hàng A hay không? ng tăng giá sau T t đ i Có hai lơ chu t thí nghi m tăng tr ng v i hai kh u ph n ăn khác Lô th nh t cho ăn kh u ph n ăn nhi u đ m Lô th hai cho ăn kh u ph n ăn đ m h n Sự tăng tr ng c a hai lô chu t sau m t th i gian đ c ghi l i nh sau (đv: mg): Lô th nh t: 123, 134, 146, 104, 119, 124, 161, 107, 83, 113, 129, 97 Lô th hai : 70, 118, 85, 107, 132, 94, 101, 100 a) V i m c ý nghƿa 5%, nh n đ nh vi c cho ăn đ m có tác d ng tăng tr ng hay khơng? b) V i m c ý nghƿa 5%, có th xem vi c cho ăn đ m làm cho chu t tăng tr ng không đ ng đ u hay không? Lý thuy t xác su t th ng kê toán Trang 126 Tài li u h ng d n môn h c 10 M t th y giáo d y Toán cho vi c cho h c sinh ôn t p m t vài bu i tr c thi có tác d ng t t t i k t qu h c t p c a em M t m u g m 21 h c sinh đ c ch n đ theo dõi m thi c a em tr c sau ôn t p K t cho b ng sau đây: H c sinh Đi m thi tr c ôn t p Đi m thi sau ôn t p H c sinh Đi m thi tr Đi m thi c ôn t p sau ôn t p 22 21 11 28 27 26 29 12 24 25 17 15 13 27 27 20 20 14 18 20 28 26 15 20 23 31 32 16 14 16 23 25 17 24 26 13 14 18 15 20 19 19 19 19 20 10 25 27 20 18 17 21 27 19 V i m c ý nghƿa 5%, có th k t lu n sau đ t t h n hay không? Lý thuy t xác su t th ng kê tốn c ơn t p k t qu thi c a h c sinh Trang 127 Tài li u h ng d n môn h c CH NG 6: T NG QUAN VÀ H I QUI Bài T NG QUAN 1.1 M i quan h gi a hai đ i l ng ng u nhiên: Khi kh o sát hai đ i l ng ng u nhiên X Y ta th y gi a chúng có th có m t s quan h sau: i) X Y đ c l p nhau, t c vi c nh n giá tr c a đ i l ng ng u nhiên không nh h ng đ n vi c nh n giá tr c a đ i l ng ng u nhiên ii) X Y có m i quan h ph thu c hàm s Y = ϕ ( X ) iii) X Y có ph thu c t ng quan không t ng quan 1.2 H s t ng quan: 1.2.1 Moment t ng quan (Covarian): Đ nh nghƿa: Moment t ơng quan (hiệp ph ơng sai) hai đại l ợng ngẫu nhiên X Y, ký hiệu cov(X,Y) hay μ XY , số đ ợc xác đ nh nh sau: cov( X , Y ) = E{[X − E ( X )][Y − E (Y )]} Chú ý: cov(X,Y) = E(XY) - E(X).E(Y) cov(X, Y) = E[X.Y - X.E(Y) - Y.E(X) + E(X).E(Y)] Th t v y: = E(X.Y ) - E(X ).E(Y) - E(X).E(Y) + E(X).E(Y) = E(X.Y ) − E(X ).E(Y) N u (X,Y) r i r c thì: cov( X , Y ) = ∑∑ xi y j P (xi , y j ) − E ( X ) E (Y ) C th : n i) ii) N u (X,Y) liên t c thì: cov( X , Y ) = m i =1 j =1 ∫ ∫ xyf (x, y )dxdy − E ( X )E (Y ) +∞ +∞ − ∞− ∞ Nhận xét: i) X Y đ c l p ⇔ cov(X,Y) = 0: ta nói X, Y khơng t ng quan ii) Cov(X,X) = Var(X) 1.2.2 H s t ng quan: Đ nh nghƿa: Hệ số t ơng quan hai đại l ợng ngẫu nhiên X Y, ký hiệu rXY , số đ ợc xác đ nh nh sau: rXY = cov( X , Y ) , S X , S Y đ lệch tiêu chuẩn X Y S X S Y c l ng h s t ng quan: L p m u ng u nhiên W XY = [( X , Y1 ), ( X , Y2 ), , ( X n , Yn )] Đ cl X = ng h s t ng quan ta dùng th ng kê: R = n n n X Y Y XY = = , , ∑ i ∑ i ∑ X iYi , n i =1 n i =1 n i =1 S X2 = ( n ∑ Xi − X n i =1 ) , S Y2 = Lý thuy t xác su t th ng kê toán ( n ∑ Yi − Y n i =1 XY − X Y , đó: S X S Y ) Trang 128 Tài li u h ng d n môn h c V i m u c th ta tính đ đó: x = xy − x y s x s y c giá tr c th c a R là: rXY = n ∑ xi n i =1 , ( n ∑ xi − x n i =1 s x2 = Ta có: y= ) n ∑ yi , n i =1 sY2 = , xy = ( n ∑ Yi − Y n i =1 ) n ∑ xi y i n i =1 n ⎛ n ⎞⎛ n ⎞ n∑ xi y i − ⎜ ∑ xi ⎟⎜ ∑ y i ⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠⎝ i =1 ⎠ rXY = ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n n⎜ ∑ xi2 ⎟ − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ⎞ ⎞ ⎛ n ⎛ n n⎜ ∑ y i2 ⎟ − ⎜ ∑ y i ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ Ví d 1: Từ số liệu đ ợc cho b i bảng sau, xác đ nh hệ số t ơng quan Y X: X Y 4 11 14 Ta l p b ng sau: xi yi xi2 y i2 xi y i 11 14 4 9 16 36 64 81 121 196 16 16 25 49 64 81 16 64 40 63 88 126 ∑x n i =1 i = 56 H s t ∑y n i =1 i = 40 ∑x n i =1 i = 524 ∑y n i =1 i = 256 ∑x y n i =1 i i = 364 ng quan c a X Y là: rXY = n ⎞ ⎛ n ⎞⎛ n n∑ xi y i − ⎜ ∑ xi ⎟⎜ ∑ y i ⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠⎝ i =1 ⎠ ⎞ ⎞ ⎛ n ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n n⎜ ∑ xi2 ⎟ − ⎜ ∑ xi ⎟ n⎜ ∑ y i2 ⎟ − ⎜ ∑ y i ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ (8)( 364) − (56)(40) 672 = = 0.977 = 2 (8)(524) − (56) (8)(256) − (40) 687.81 2 Tính ch t ý nghĩa c a h s t ng quan: Hệ số t ơng quan r đ ợc dùng để đánh giá mức đ chặt ch phụ thu c t ơng quan n tính hai đại l ợng ngẫu nhiên X Y, có tính chất sau đây: i) r ≤ Lý thuy t xác su t th ng kê toán Trang 129 Tài li u h ng d n môn h c ii) N u r = X Y có quan hệ n tính iii) N u r lớn phụ thu c t ơng quan n tính X Y chặt ch iv) N u r = X Y khơng có phụ thu c n tính t ơng quan v) N u r > X Y có t ơng quan thuận (X, Y tăng tăng) N u r < X Y có t ơng quan ngh ch (X giảm Y tăng ng ợc lại) 1.3 Tỷ s t ng quan: Đ nh nghƿa: Tỷ số t ơng quan hai đại l ợng ngẫu nhiên Y X, ký hiệu ηY / X , số đ ợc xác đ nh nh sau: đó: sy = ( ηY / X = ∑ n i y xi − y n ) sy sy , sy = ( ∑mj yj − y n ) Ý nghƿa c a tỷ s t ng quan: Tỷ số t ơng quan đo mức đ chặt ch phụ thu c t ơng quan phi n tính X Y Tính ch t c a tỷ s t ng quan: i) ≤ ηY / X ≤1 ii) ηY / X = ch Y X không ph thu c t iii) ηY / X = ch Y X ph thu c hàm s ng quan iv) ηY / X ≥ r N u ηY / X = r ph thu c t Lý thuy t xác su t th ng kê toán ng quan c a Y X có d ng n tính Trang 130 Tài li u h ng d n môn h c Bài 2: TÌM HÀM H I QUI 2.1 Kỳ v ng có u ki n: a) Đ i l ng ng u nhiên r i r c: i) Kỳ v ng có u ki n c a đ i l ng ng u nhiên r i r c Y v i u ki n X = x là: E(Y / x ) = ∑ y j P(X = x, Y = y j ) m j=1 ii) Kỳ v ng có u ki n c a đ i l ng ng u nhiên r i r c X v i u ki n Y = y là: E(X / y) = ∑ x i P(X = x i , Y = y ) n i =1 b) Đ i l ng ng u nhiên liên t c: i) Kỳ v ng có u ki n c a đ i l E(Y / x ) = ∫ yf ( y / x)dy , v +∞ −∞ ng ng u nhiên liên t c Y v i u ki n X = x là: i f ( y / x ) = f ( x, y) v i x không đ i ii) Kỳ v ng có u ki n c a đ i l là: E ( X / y) = ∫ xf (x / y)dx , v +∞ ng ng u nhiên liên t c X v i u ki n Y = y i f ( x / y) = f ( x, y) v i y không đ i −∞ 2.2 Hàm h i qui: Trong thực t ta th ng g p hai đ i l ng ng u nhiên X, Y có m i quan h v i nhau, vi c kh o sát X d cịn kh o sát Y khó h n th m chí khơng th kh o sát đ c Ng i ta mu n tìm m i quan h ϕ(X) gi a X Y đ bi t X có th dự đốn đ c Y { } Gi s bi t X, n u dự đốn Y ϕ(X) sai s ph m ph i E [Y − ϕ(X )]2 V n đ c đ t tìm ϕ(X) nh th đ E [Y − ϕ(X )]2 nh nh t { đ { Ta s ch ng minh ch } n ϕ(X) = E(Y/X) E{[Y − ϕ(X )] } s nh nh t } { } = {E[Y − E(Y / X)] }+ E{[E(Y / X) − ϕ(X )] } + 2E{[Y − E(Y / X)][E(Y / X) − ϕ(X )]} E [Y − ϕ(X )] = E ([Y − E(Y / X)] + [E (Y / X) − ϕ(X )]) Th t v y ta có: 2 2 Ta th y E(Y/X) ch ph thu c vào X nên có th đ t T(X) = E(Y/X) - ϕ(X) 2E{[Y − E(Y / X)][E(Y / X) − ϕ(X )]} = 2E{[Y − E(Y / X)]T(X)} Vì E[E(Y/X)T(X)] = E[YT(X)] nên { } { = 2E[YT(X)] − 2E[E(Y / X)T(X)] = } { Do đó: E [Y − ϕ(X )]2 = E [Y − E(Y / X)]2 + E [E(Y / X) − ϕ(X )]2 { } nh nh t E [E(Y / X) − ϕ(X )]2 = Ta ch c n ch n ϕ(X ) = E(Y / X) Lý thuy t xác su t th ng kê toán } Trang 131 Tài li u h ng d n môn h c Ta g i ϕ(x ) = E(Y / x ) hàm h i qui c a Y đ i v i X T ng tự, ta g i ϕ(y ) = E(X / y) hàm h i qui c a X đ i v i Y N u ϕ(x) [ho c ϕ(y)] hàm b c nh t ta nói Y (ho c X) h i qui n tính đ n đ i v i X (ho c Y) 2.3 Xác đ nh hàm h i qui n tính m u (thực nghi m): Gi s gi a hai đ i l Dựa vào n c p giá tr (x , y1 ), (x , y ), , (x n , y n ) c a (X,Y) ta tìm hàm y x = y = ax + b (*) đ c l ng hàm Y = AX + B Và (*) đ ng X Y có liên quan n tính, t c là: E(Y/X) = AX + B c g i hàm h i qui n tính m u Vì c p giá tr tr x p x c a x y nên th a (*) m t cách x p x Do đó: y i = ax i + b + ε i hay ε i = y i − ax i − b Tìm a, b cho sai s ε i (i = 1, n ) có tr t đ i nh nh t hay hàm S(a , b ) = ∑ (y i − ax i − b ) n i =1 đ t cực ti u Ph ng pháp tìm đ c g i ph ng pháp bình ph ng bé nh t Ta th y S s đ t giá tr nh nh t t i m dừng tho mãn n ∂S = −2∑ x i (y i − ax i − b ) ∂a i =1 ⎧ ⎪0 = ⎪ ⎨ ⎪0 = ⎪⎩ n ∂S = −2∑ (y i − ax i − b ) ∂b i =1 n ⎧⎛ n ⎞ ⎞ ⎛ n x a x b x i yi = + ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∑ i ∑ ⎪ ∑ i i =1 ⎪⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ⇔⎨ n n ⎪⎛⎜ x ⎞⎟.a + nb yi = ∑ i ⎪⎝ ∑ = i = i ⎠ ⎩ H có đ nh th c: ∑x ∑x D= ∑x i =1 n i =1 i i =1 ∑ x i yi ∑y ∑ x i2 n ∑x i =1 n i =1 n ∑x i i =1 i n i 2 i n i =1 n i =1 Dy = i n i n Dx = ⎛ n ⎞ = n.∑ x − ⎜ ∑ x i ⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠ n n ∑x y n ∑y i =1 n i =1 i i i n ⎛ n ⎞⎛ n ⎞ = n.∑ x i y i − ⎜ ∑ x i ⎟⎜ ∑ y i ⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠⎝ i =1 ⎠ ⎛ n ⎞⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞⎛ n ⎞ = ⎜ ∑ x i2 ⎟⎜ ∑ y i ⎟ − ⎜ ∑ x i ⎟⎜ ∑ x i y i ⎟ ⎝ i =1 ⎠⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠⎝ i =1 ⎠ Vì x i khác nên theo b t đẳng th c Bunhiakovski ta có: n ⎛ n ⎞ ⎜ ∑ x i ⎟ < n.∑ x i2 i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⇒D>0 Suy h có nghi m nh t: Lý thuy t xác su t th ng kê toán Trang 132 Tài li u h ng d n môn h c ⎞ ⎛ n ⎞⎛ n ⎛ n ⎞⎛ n ⎞ ⎜ ∑ x i ⎟⎜ ∑ y i ⎟ − ⎜ ∑ x i ⎟⎜ ∑ x i y i ⎟ ⎠ b = ⎝ i =1 ⎠⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠⎝2 i =1 n ⎛ n ⎞ n.∑ x i2 − ⎜ ∑ x i ⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠ n ⎛ n ⎞⎛ n ⎞ n.∑ x i y i − ⎜ ∑ x i ⎟⎜ ∑ y i ⎟ ⎝ i =1 ⎠⎝ i =1 ⎠ ; a = i =1 n ⎛ n ⎞ n.∑ x i − ⎜ ∑ x i ⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠ N u đ t: x= n n n n x i , y = ∑ y i , xy = ∑ x i y i , x = ∑ x i2 ∑ n i =1 n i =1 n i =1 n i =1 nghi m c a h có th vi t l i: a= xy − x y () x2 − x = xy − x y ; s 2x b= x y − x xy () x2 − x = Tóm l i, ta có th tìm hàm y x = ax + b từ công th c: n ⎞ ⎛ n ⎞⎛ n n.∑ x i y i − ⎜ ∑ x i ⎟⎜ ∑ y i ⎟ xy − x y ⎝ i =1 ⎠⎝ i =1 ⎠ ; = i =1 a= 2 n sx ⎛ n ⎞ n.∑ x i − ⎜ ∑ x i ⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠ x y − x xy s 2x b = y − a.x i) Đ ng g p khúc n i m (x , y1 ) , (x , y ) , , (x n , y n ) đ qui thực nghi m Chú ý: c g i hàm h i ii) Đ ng thẳng y = ax + b nh n đ c b i cơng th c bình ph ng bé nh t không qua t t c m nh ng đ ng thẳng "g n" m nh t đ c g i đ ng thẳng h i qui th t c làm thích h p đ ng thẳng thơng qua dự li u cho tr c đ c g i h i qui n tính iii) Theo ta có b = y − a.x , m (x , y ) ln nằm đ iv) Ta có: rxy = Ví d 2: quan cặp sau: sy xy − x y ⇒ a = rxy s x s y sx ng thẳng h i qui ớc l ợng hàm hồi qui n tính mẫu Y theo X s bảng t ơng X 15 38 23 16 16 13 20 24 Y 145 228 150 130 160 114 142 265 Ta l p b ng sau: xi yi x i2 x i yi 15 145 225 3175 28 228 1444 8664 23 150 529 3450 16 130 256 2080 16 160 2556 2560 Lý thuy t xác su t th ng kê toán Trang 133 Tài li u h ng d n mơn h c ∑x Ta có: a= 13 114 169 1482 20 142 400 2840 24 265 576 6360 i ∑y = 165 i n.∑ xi y i − (∑ xi )(∑ y i ) ( ) n ∑ x − (∑ xi ) i b = y − ax = ∑x = 1334 = i ∑x y = 3855 i 8.(29611) − (165)(1334) 8.(3855) − (165) = i = 29611 16778 = 4,64 3615 1334 ⎛ 16778 ⎞⎛ 165 ⎞ −⎜ ⎟⎜ ⎟ = 71 ⎝ 3615 ⎠⎝ ⎠ V y hàm h i qui n tính m u y x = 4,64 x + 71 Ví d 3: Đ ẩm khơng khí ảnh h ng đ n bay n ớc sơn phun Ng i ti n hành nghiên cứu mối liên hệ đ ẩm khơng khí X đ bay Y Sự hiểu bi t mối liên hệ s giúp ta ti t kiệm đ ợc l ợng sơn cách chỉnh súng phun sơn m t cách thích hợp Ti n hành 25 quan sát ta đ ợc số liệu sau: Quan sát Đ m Đ bay h i (%) (%) 35.3 11.0 29.7 Quan sát Đ m Đ bay h i (%) (%) 14 39.1 9.6 11.1 15 46.8 10.9 30.8 12.5 16 48.5 9.6 58.8 8.4 17 59.3 10.1 61.4 9.3 18 70.0 8.1 71.3 8.7 19 70.0 6.8 74.4 6.4 20 74.4 8.9 76.7 8.5 21 72.1 7.7 70.7 7.8 22 58.1 8.5 10 57.5 9.1 23 44.6 8.9 11 46.4 8.2 24 33.4 10.4 12 28.9 12.2 25 28.6 11.1 13 28.1 11.9 Hãy tìm hàm h i qui n tính m u y x = ax + b Ta l p b ng sau: xi yi x i2 x i yi 35.3 11.0 1246.09 388.3 Lý thuy t xác su t th ng kê toán Trang 134 Tài li u h ng d n môn h c ∑x i 29.7 11.1 882.09 329.67 30.8 12.5 948.64 385 58.8 8.4 3457.44 493.92 61.4 9.3 3769.96 571.02 71.3 8.7 5083.69 620.31 74.4 6.4 5535.36 476.16 76.7 8.5 5882.89 651.95 70.7 7.8 4998.49 551.46 57.5 9.1 3306.25 523.25 46.4 8.2 2152.96 380.48 28.9 12.2 835.21 352.58 28.1 11.9 789.61 334.39 39.1 9.6 1528.81 375.36 46.8 10.9 2190.24 510.12 48.5 9.6 2352.25 465.60 59.3 10.1 3516.49 598.93 70.0 8.1 4900 567 70.0 6.8 4900 476 74.4 8.9 5535.36 662.16 72.1 7.7 5198.41 555.17 58.1 8.5 3375.61 493.85 44.6 8.9 1989.16 396.94 33.4 10.4 1115.56 347.36 28.6 11.1 817.96 317.46 = 1314.9 Ta có: a= ∑y i n.(∑ x i y i ) − (∑ x i )(∑ y i ) ( ) n ∑ x − (∑ x i ) b = y − ax = i ∑x = 235.7 = i = 76308.53 ∑11824.44 25.(11824.44 ) − (1314.9)(235.7 ) 25.(76308.53) − (1314.9 ) = −0.08 235.7 1314.9 − (− 0.08) = 13.64 25 25 V y hàm h i qui n tính m u y x = −0.08x + 13.64 Ví d 4: Xác đ nh hệ số t ơng quan hàm hồi qui n mẫu y x = ax + b đại l ợng ngẫu nhiên X Y cho b i bảng t ơng quan thực nghiệm sau: Lý thuy t xác su t th ng kê toán Trang 135 Tài li u h ng d n môn h c X 20 30 30 48 Y 10 20 Ta l p b ng sau: X mj mj yj m j y i2 20 200 2000 31 620 12400 49 1470 44100 Y 10 200 20 20 1200 60 30 30 60 4320 48 ni 20 31 49 ni x i 20 62 147 ni xi2 20 124 441 ∑ y = 2290 ∑ y n = 100 ∑ x = 229 ∑x = 585 = 58500 ∑ xy = 5840 ∑ xy = 200 + 1200 + 60 + 60 + 4320 = 5840 Trong đó: Ph n góc trái c a ghi tích n i j x i y j Ta có: x = x2 = 229 = 2.29 ; 100 585 = 5.85 ; 100 () s 2x = x − x y2 = 2290 = 22.9 ; 100 58500 = 585 ; 100 = 5.85 − (2.29) ≈ 0.6059 () s y = s 2y = y − y Do đó: a = y= 2 xy = 5840 = 58.4 ; 100 ⇒ s x = 0.78 = 585 − (22.9 ) ≈ 7.78 xy − x y 58.4 − (2.29 )(22.9 ) = = 9.835 0.6059 s 2x Lý thuy t xác su t th ng kê toán Trang 136 Tài li u h ng d n môn h c b = y − a x = 22.9 − (9.835)(2.29 ) = 0.378 Hàm h i qui n tính m u y x = 9.835x + 0.378 H s t ng quan là: rxy = xy − x y 58.4 − (2.29 )(22.9 ) = ≈ 0.982 (0.78)(7.78) s x s y Lý thuy t xác su t th ng kê toán Trang 137 Tài li u h ng d n môn h c BÀI T P 1) Đo chi u cao X (cm) tr ng l 145 - 150 X ng Y (kg) c a 100 h c sinh, ta đ 150 - 155 c k t qu sau: 155 - 160 160 - 165 165 – 170 20 15 12 Y 35 – 40 40 – 45 10 45 – 50 14 50 – 55 55 - 60 a) Hãy c l ng chi u cao trung bình c a h c sinh v i đ tin c y 95% b) M t báo cáo cho rằng, tr ng l ng trung bình c a h c sinh 47kg v i m c ý nghƿa 1% có khơng? c) Nh ng h c sinh có tr ng l ng từ 55 kg tr lên đ c xem x p vào h ng n ng T l h c sinh h ng n ng 15% phù h p khơng v i đ tin c y 95% d) Gi thuy t X Y có m i quan h t ng quan n tính Tìm hàm h i quy c a Y ph thu c X 2) Theo dõi l ng phân bón su t lúa c a 100 hecta lúa m t vùng, ta thu đ c b ng s li u sau: 120 160 180 3,4 15 17 3,8 10 X 140 200 Y 2,2 2,6 3,0 11 4,2 12 Trong X phân bón (kg/ha) Y su t lúa (t n/ha) a) Hãy c l ng su t lúa trung bình c a vùng v i đ tin c y 95% b) M t báo cáo cho rằng, su t trung bình c a vùng 3,5 t n/ha v i m c ý nghƿa 1% có hay khơng? c) Hãy tìm m t c l ng cho vi c s dung phân bón c a vùng v i đ tin c y 95% d) Gi thuy t X Y có m i quan h t ng quan n tính Tìm hàm h i quy c a Y ph thu c X 3) Đo chi u cao đ Y 30 35 X ng kính c a m t lo i c y, ta đ c k t qu cho b i b ng sau: 10 12 17 10 17 Lý thuy t xác su t th ng kê toán 14 Trang 138 Tài li u h ng d n môn h c 40 24 16 13 45 24 12 50 11 22 Trong X đ ng kính (cm) Y chi u cao (m) a) Xác đ nh h s t b) Tìm ph ng quan n tính m u r ng trình h i quy n tính m u TÀI LI U THAM KH O TÀI LI U THAM KH O Đ BIÊN SO N N I DUNG MÔN H C: Đ ng H n, 1996: Xác su t th ng kê – NXB Th ng kê Nguy n H u Khánh: Bài gi ng Xác su t th ng kê – ĐH C n Th Đinh Văn G ng: Xác su t Th ng kê toán – NXB Th ng kê Hoàng Ng c Nh m: Xác su t Th ng kê toán – ĐH Kinh t TP HCM Đ ng H n, 1996: Bài t p Xác su t th ng kê – NXB Th ng kê Hoàng H u Nh : Bài t p Xác xu t th ng kê – NXB Th ng kê Lê Khánh Lu n: Bài t p Xác su t th ng kê - Tr ng ĐH Kinh t TP HCM Ninh Quang H i: Xác su t Th ng kê toán – ĐH Ki n trúc Hà N i TÀI LI U THAM KH O Đ NGH CHO H C VIÊN: Đ ng H n, 1996: Xác su t th ng kê – NXB Th ng kê Nguy n H u Khánh: Bài gi ng Xác su t th ng kê – ĐH C n Th Đinh Văn G ng: Xác su t Th ng kê tốn – NXB Th ng kê Hồng Ng c Nh m: Xác su t Th ng kê toán – ĐH Kinh t TP HCM Đ ng H n, 1996: Bài t p Xác su t th ng kê – NXB Th ng kê Lê Khánh Lu n: Bài t p Xác su t th ng kê - Tr Lý thuy t xác su t th ng kê toán ng ĐH Kinh t TP HCM Trang 139 ... i ro c a nhóm l n l t là: 0,01; 0,05; 0,1 a Tính t l ng b N u ng nh t, t i sao? i b tai n n năm i không b tai n n năm, h có kh thu c nhóm nhi u 20 Hai nhà máy s n xu t m t lo i chi ti t Năng... viên Tính xác c viên tr ng câu (b) Tính xác su t đ viên bi đen 19 M t công ty b o hi m cho ng i b tai n n Cơng ty chia khách hàng c a thành nhóm: Ng i b r i ro, ng i b r i ro trung bình ng i th